拓扑学习题

一、选择题.

1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ）

A 、∅；

B 、Q ；

C 、R Q -；

D 、R .

2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ∂是（D ）

A 、∅；

B 、Q ；

C 、R Q -；

D 、R .

3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ）

A 、()()()d A

B d A d B =； B 、A B A B -=-；

C 、()()()d A B d A d B =；

D 、A A =.

4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ）

A 、()()()d A

B d A d B =； B 、A B A B =；

C 、()()()d A B d A d B =；

D 、A A =.

5、平庸空间的任一非空子集为（D ）

A 、开集；

B 、闭集；

C 、既开又闭；

D 、非开非闭.

6、离散空间的任一子集为（C ）

A 、开集；

B 、闭集；

C 、既开又闭；

D 、非开非闭.

7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =∅是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ）

A 、{,{1},{3},{1,3}}T =∅；

B 、{,,{1}}T A =∅；

C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =∅；

D 、{,,{1}}T X =∅.

8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =∅是X 的拓扑，

则X 的子空间{2,3}A =的拓扑为（B ）

A 、{,{3},{2,3}}T =∅；

B 、{,,{2},{3}}T A =∅；

C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =∅；

D 、{,,{3}}T X =∅.

9、设126X X X X =⨯⨯⨯…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ）

A 、单射；

B 、连续的单射；

C 、满的连续闭映射；

D 、满的连续开映射.

10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）

A 、{,}T Z =∅；

B 、T =P ()Z ；

C 、T Z =；

D 、{}T Z =.

11、有理数集Q 是实数空间R 的一个（A ）

A 、不连通子集；

B 、连通子集；

C 、开集；

D 、以上都不对.

12、整数集Z 是实数空间R 的一个（A ）

A 、不连通子集；

B 、连通子集；

C 、开集；

D 、以上都不对.

13、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（C ）

A 、离散空间；

B 、不一定是离散空间；

C 、平庸空间；

D 、不连通空间.

14、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（C ）

A 、离散空间；

B 、不一定是离散空间；

C 、平庸空间；

D 、不连通空间.

15、实数空间R 中的连通子集E 为（D ）

A 、开区间；

B 、闭区间；

C 、区间；

D 、以上都不对.

16、实数空间R 中的不少于两点连通子集E 为（A ）

A 、开区间；

B 、闭区间；

C 、区间；

D 、以上都不对.

二、填空题.

1、同胚的拓扑空间所共有的性质叫（拓扑不变性质）.

2、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A =（X ）, A =（X ）.

3、{1,2,3}X =的拓扑{,,{2},{2,3}}T X =∅，则X 的子集{1,2}A =的内部为（{2}）.

4、设{,,}X a b c =，则X 的平庸拓扑为（{,}T X =∅）.

5、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个（商映射）.

6、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的像集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个（开映射）.

7、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B 使得,A

B A B X =∅=，

则X 是一个（不连通空间）. 8、若任意n ≥1个拓扑空间12,,,n X X X …都具有性质P ，且积空间12n X X X ⨯⨯⨯…也具有性质P ，则性质P 称为（有限可积性质）.

三、判断.

1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射. （√）

2、设12,T T 是集合X 的两个拓扑，则12T T 不一定是X 的拓扑. （×）

3、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A =∅. （√）

4、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间. （√）

四、证明题.

1、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，则以下条件等价：

（1）f 是一个连续映射；

（2）Y 中的任何一个闭集B 的原像1()f B -是一个闭集；

（3）对于X 中的任何一个子集A ，()()f A f A ⊂；

（4）对于Y 中的任何一个子集B ，11()()f B f B --⊃.

2、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →，则映射f 连续⇔对于每一点x X ∈，映射f 在点x 处连续.

3、设A 是一个由非空集合构成的族，并且A 中的元素两两不相交，则存在集合C 使得对每一个A ⊂A ，C A 是一个单点集.

4、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射，则()f X 是Y 的一个连通子集.

5、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，证明：如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得Y A B ⊂，则或者Y A ⊂，或者Y B ⊂.

6、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，证明：如果,A B 是X 的两个无交的开集使得Y A B ⊂，则或者Y A ⊂，或者Y B ⊂.

7、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.

8、设,X Y 是两个集合，又设:f X Y →是一个一一映射，则1f

-便是一个从Y 到X 的一一映射，且有1X f f i -=.