复数的概念(1)精选练习及答案.docx

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复数考试题目大全及答案

复数考试题目大全及答案1. 复数的基本概念题目：什么是复数？答案：复数是指形式为a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

2. 复数的加减法题目：计算复数(3+2i)和(1-4i)的和。

答案：(3+2i) + (1-4i) = (3+1) + (2-4)i = 4-2i。

3. 复数的乘除法题目：计算复数(2+3i)和(1-i)的乘积。

答案：(2+3i)(1-i) = 2(1) + 2(-i) + 3i(1) + 3i(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i。

4. 复数的模题目：求复数4+3i的模。

答案：|4+3i| = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5。

5. 复数的共轭题目：写出复数5-2i的共轭复数。

答案：5-2i的共轭复数是5+2i。

6. 复数的实部和虚部题目：复数a+bi的实部和虚部分别是多少？答案：实部是a，虚部是b。

7. 复数的指数形式题目：将复数3+4i转换为指数形式。

答案：3+4i可以表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中r=|3+4i|=5，θ=arctan(4/3)，所以3+4i=5(cos(arctan(4/3))+isin(arctan(4/3))。

8. 复数的代数形式和三角形式题目：将复数5(cos(π/4)+isin(π/4))转换为代数形式。

答案：5(cos(π/4)+isin(π/4)) = 5(√2/2 + i√2/2) =(5√2)/2 + (5√2)/2i。

9. 复数的除法题目：计算复数(3+4i)除以(1+i)的结果。

答案：(3+4i)/(1+i) = (3+4i)(1-i)/(1+i)(1-i) = (3+4i-3i-4i^2)/(1-i^2) = (3+i+4)/(1+1) = (7+i)/2 = 3.5 + 0.5i。

10. 复数的幂运算题目：计算复数(2+i)的平方。

7.1 复数的概念(精练)(解析版)

7.1 复数的概念（精练）【题组一实部虚部辨析】1．（2020·江西抚州市）若(2)x i i y i +=+，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（） A ．1 B ．iC ．2-D ．2i -【答案】C【解析】由于(2)x i i y i +=+，则1x=且2y =-，所以12z x yi i =+=-，所以复数z 的虚部为2-. 故选：C.2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）设i 为虚数单位，则复数55z i =-的实部为（） A ．5- B ．5i -C ．5D ．5i【答案】C【解析】复数55z i =-的实部为5.故选：C.3．（2020·广西桂林市）复数3z i =-的虚部是（） A ．1 B ．iC ．-1D ．i -【答案】C【解析】由复数虚部的定义得复数3z i =-的虚部是1-.故选：C4．（2020·四川省成都市新都一中高二期中）复数24i z =--的虚部是（） A ．2- B ．2C ．4-D ．4【答案】C【解析】因为24i z =--，所以由复数定义可知虚部是4-，故选：C.5．（2020·江苏宿迁市·高二期中）已知复数1z i =-，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（） A ．i B ．i -C ．1-D ．1【答案】C【解析】因为1z i =-，则虚部为1-.故选：C. 【题组二复数的分类】1．（2021·江西景德镇市）已知复数()()1i 1i z m =--+是纯虚数，则实数m =（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】D【解析】()()()1i 1i 11i z m m m =--+=--+，因为z 为纯虚数且m 为实数，故1010m m -=⎧⎨+≠⎩，故1m =，故选：D2．（2021·甘肃兰州市·兰州一中）i 为虚数单位，已知复数21(1)a a i -+-是纯虚数，则a 等于（） A ．±1 B ．1C ．1-D ．0【答案】C【解析】复数21(1)a a i -+-是纯虚数，所以21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，得1a =-.故选：C.3．（2021·江西南昌市）设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠，则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =，故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件，故选：B.4．（2020·贵州毕节市）已知a 为实数，若复数()24(2)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（） A ．2 B ．4iC ．2±D ．4【答案】D【解析】2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，∴24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，即2a =．∴复数z 的虚部为4．故选：D ．5．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高二期末）已知i 为虚数单位，a R ∈，复数()242a a i -+-是纯虚数，则a =（） A ．2 B ．-2 C ．4 D ．-2或2【答案】B【解析】因为复数()242a a i -+-是纯虚数，所以240,202a a a -=-≠∴=-故选：B6．（2020·北京市八一中学高二期中）若复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数，则m =______ 【答案】-1【解析】复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数，则1020m m +=⎧⎨-≠⎩，所以1m =-. 故答案为：-17．（2019·河南洛阳市·高二期中（文））已知复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则实数m =_____________ 【答案】1-【解析】由题意，复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则满足223030m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得1m =-，即实数m 的值为1-.故答案为：1-.8．（2020·林芝市第二高级中学）实数m 取怎样的值时，复数()22153m m z i m --=-+是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =. 【解析】（1）若22150m m --=，则z 为实数，此时3m =-或者5m =. （2）若22150m m --≠，则z 为虚数，此时3m ≠-且5m ≠.（3）若2302150m m m -=⎧⎨--≠⎩ ，则z 为纯虚数，此时3m =.9．（2020·辽源市田家炳高级中学校）已知复数()()11z m m i m R =++-∈. （1）m 取什么值时，z 为实数；（2）m 取什么值时，z 为纯虚数. 【答案】（1）1m =（2）1m =-【解析】（1）复数()()11z m m i m R =++-∈，若z 为实数，则10m -=，即1m =（2）若z 为纯虚数，则1010m m +=⎧⎨-≠⎩，解得1m =-10．（2021·江西上饶市）已知m 为实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围. 【答案】（1）2-；（2）(4,4)-.【解析】（1）由题意得：225602530m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-；（2）复数z 对应的点的坐标为22(56,253)m m m m +++-，直线70x y -+=的右下方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+>，所以22(56)(253)70m m m m ++-+-+>，解得44m -<<，所以m 的取值范围为(4,4)-. 【题组三复数的几何意义--复平面】1．（2019·重庆市江津第六中学校高二期中）在复平面内，复数1i -+所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】由题,1i -+在复平面内对应的点为()1,1-,在第二象限,故选:B2．（2020·甘肃省岷县第二中学）若,a b ∈R ，则复数()()224526a a b b i -++-+-表示的点在（） A ．在第一象限 B ．在第二象限 C ．在第三象限 D．在第四象限【答案】D【解析】因为()2245210a a a -+=-+>，()2226150b b b -+-=---<，所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限.故选：D3．（2019·周口市中英文学校高二期中（文））复数()()2lg 2221()x xz x i x R -=-+-+-∈在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】复数()()2lg 2221()x xz x i x R -=-+-+-∈的实部()2lg 2a x -=+、虚部()221x x b -=-+-.因为()22221lg 20x x +≥>⇒+>,所以0a <. 因为21122202x x x x --≥-+⇒≥>+,所以0b <. 所以复数z 在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C4．（2020·朔州市朔城区第一中学校）设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且12z i =+，则2z =（）A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i --【答案】B 【解析】12z i =+，1z ∴在复平面内对应点的坐标为(2,1)，由复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)-，22z i ∴=-+，故选：B ．5．（2020·重庆高二期中）已知()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是____. 【答案】(),2-∞-【解析】()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点()21,4m m +-在第二象限，所以21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-，即实数m 的取值范围是(),2-∞-.故答案为：(),2-∞-6．（2020·浙江台州市·高二期中）已知复数()()22lg 223z m m m m i =-++-若复数z 是实数，则实数m =________；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.【答案】3- 21m <<+【解析】z 为实数，则2230m m +-=，解得1m =或3-，又220m m ->，所以3m =-．z对应点在第二象限，则22lg(2)0230m m m m ⎧-<⎨+->⎩，解得21m <<．故答案为：3-；21m <<+7（2021·宁夏长庆高级中学）在复平面内，复数()()222z m m m i =++--对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围是________．【答案】()()2,12,--+∞【解析】根据题意得出22020m m m +>⎧⎨-->⎩，解得21m -<<-或>2m ，所以实数m 的取值范围是()()2,12,--+∞．故答案为：()()2,12,--+∞．【题组四复数的几何意义--模长】1．（2021·浙江高二期末）已知a R ∈，若有a i -=i 为虚数单位），则a =（） A ．1 B ．2-C ．2±D ．±1【答案】C【解析】因为a R ∈所以a i -==，即215a +=，解得2a =±，故选：C2．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y 则x ，y 满足的关系式为______. 【答案】22(1)1y x +-=【解析】由题意，设复数(,)z x yi x y R =+∈，因为1z i -=1=，整理得22(1)1y x +-=，即复数z 在复平面内对应的点为(),x y 则,x y 满足的关系式为22(1)1y x +-=.故答案为：22(1)1y x +-=.3．（2021·江苏高二）已知a ，b R ∈，()123ai b a i +=++，则a =______，3a bi +=______.【答案】3- 【解析】∵()123ai b a i +=++∴123ba a =⎧⎨=+⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，则333a bi i +=-+===故答案为：（1）3-；（2）4．（2020·北京人大附中高二月考）已知i 是虚数单位，若1z i =+，则22z z -=________. 【答案】2【解析】根据复数模的计算公式得：22212+222z z i i i -=+--=.故答案为：25．（2020·上海市通河中学高二期中）若z C ∈且342z i ++≤，则z 的取值范围为__________．【答案】[]3,7【解析】342z i ++≤的几何意义为复平面内动点Z 到定点()3,4A --的距离小于等于2的点的集合，z 表示复平面内动点Z 到原点的距离，∵||5OA ==，5252z ∴-≤≤+.∴z 的取值范围为[]3,7．故答案为：[]3,7．【题组五复数综合应用】1．（多选）（2020·江苏泰州市·高二期末）已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】BCD【解析】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确. 故选：BCD.2．（2020·重庆高二期末）若复数12z i =+（i 为虚数单位），则下列命题正确的是（）A ．z 是纯虚数B ．z 的实部为2C ．z 的共轭复数为12i -+D ．z 【答案】D【解析】复数12z i =+（i 为虚数单位）显然不是纯虚数，12z i =+的实部是1，z 的共轭复数为12i -，z =D 正确，故选：D.3．（2020·山东聊城市·高二期末）已知复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，则（） A ．z i +是实数（i 为虚数单位） B ．z i +是纯虚数（i 为虚数单位） C ．1z +是实数 D ．1z +是纯虚数【答案】D【解析】由题意可得，1z i =-+，则1z i +=为纯虚数，12z i i +=-+是虚数，但不是纯虚数，故选：D ．4．（2020·咸阳百灵学校）关于复数3－4i 的说法正确的是（） ①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为3+4i A ．①③ B ．①②④C ．①②③④D ．①③④【答案】C【解析】复数3－4i 的实部和虚部分别为3和-4，①正确；复数模为5，②正确；在复平面内对应的点为(3,4)-在第四象限，③正确；复数3－4i 的共轭复数为3+4i ，④正确.故选：C.。

复数练习题附答案

复数练习题附答案复数是数学中的一个基本概念，它拓展了实数的概念，允许我们处理像-1的平方根这样的数。

复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

下面是一些复数的练习题，以及它们的答案。

练习题1：计算以下复数的加法：\[ (3 + 4i) + (1 - 2i) \]答案1：首先分别将实部和虚部相加：\[ 3 + 1 = 4 \]\[ 4i - 2i = 2i \]所以，结果是 \( 4 + 2i \)。

练习题2：计算以下复数的乘法：\[ (2 + 3i) \times (1 - 4i) \]答案2：使用分配律：\[ 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) \]\[ = 2 - 8i + 3i - 12i^2 \]由于 \( i^2 = -1 \)，所以：\[ = 2 - 5i + 12 \]结果是 \( 14 - 5i \)。

练习题3：求复数 \( z = 3 - 2i \) 的共轭复数。

答案3：共轭复数是将虚部的符号改变得到的数，所以：\[ \bar{z} = 3 + 2i \]练习题4：求复数 \( z = 2 + i \) 的模（magnitude）。

答案4：复数的模定义为：\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是复数的实部和虚部。

所以：\[ |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 练习题5：求复数 \( z = 1 + i \) 的逆。

答案5：复数的逆通过公式 \( \frac{1}{z} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 计算。

首先求模：\[ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]然后求共轭复数：\[ \bar{z} = 1 - i \]最后求逆：\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} \]因为 \( |1 + i|^2 = 2 \)。

2024-2025年北师大版数学必修第二册5.1.1-2复数的概念及其几何意义(带答案)

第五章复数§1 复数的概念及其几何意义1．1 复数的概念1．2 复数的几何意义必备知识基础练知识点一复数的概念与分类1．1－i 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－12．当实数m 取什么值时，复数(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i ：①是实数？②是虚数？③是纯虚数？④在复平面内对应点位于第四象限？知识点二复数相等3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a ＝( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝－1B ．x ＝0，y ＝－1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0知识点三复数的模与几何意义的应用5．已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( )A ．12B ．22C ．2D ．2 6．(多选题)已知复数z ＝(cos α＋sin α)＋(cos α－sin α)i ，则下列说法正确的是( )A ．当α∈(0，π4)时，复数z 在复平面内对应的点在第一象限内 B ．当α∈(π4 ，π2)时，复数z 在复平面内对应的点在第一象限内 C ．复数z 的模的最大值为2D ．复数z 的模长为定值7．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i关键能力综合练一、选择题1．当m <1时，复数1＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．已知i 为虚数单位，m ∈R ，复数z ＝(－m 2＋2m ＋8)＋(m 2－8m )i ，若z 为负实数，则m 的取值集合为( )A ．{0}B ．{8}C ．{x |－2<x <4}D ．{x |－4<x <2}3．若复数(m 2－m )＋3i 是纯虚数，则实数m ＝( )A ．1B ．0或1C ．1或2D ．1或34．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝32 ，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12 ，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3 5．(易错题)设复数z ＝(2t 2－5t ＋3)＋(t 2－2t ＋3)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．复数z 对应的点在第二象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实轴上方D ．复数z 一定是实数二、填空题6．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则z ＝________．(写出一个即可)7．若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________．8．若复数z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m －2＋(m 2－5m )i ，m 为实数，且z 1>z 2，则实数m 的取值集合为________．三、解答题9．(探究题)(1)若复数z ＝2a －1a ＋2＋(a 2－a －6)i(a ∈R )是实数，求z 1＝(a －1)＋(1－2a )i 的模；(2)已知复数z ＝3＋a i(a ∈R )，且|z |<4，求实数a 的取值范围．学科素养升级练1.关于复数，下列说法错误的是( )A ．若|z |＝1，则z ＝±1或±iB ．复数6＋5i 与－3＋4i 分别对应向量OA → 与OB → ，则向量AB → 对应的复数为9＋iC ．若z 是复数，则z 2＋1>0D ．若复数z 满足1≤|z |<2 ，则复数z 对应的点所构成的图形面积为π2．(学科素养——数学抽象)已知复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．(1)若z 的实部与虚部之和为7，且|z |＝13，求z ；(2)若|z |＝6 ，且z 2＋z 的实部不为0，讨论z 2＋z 在复平面内对应的点位于第几象限．§1 复数的概念及其几何意义1．1 复数的概念1．2 复数的几何意义必备知识基础练1．答案：D解析：由复数虚部定义可知，1－i 的虚部为－1.故选D.2．解析：设z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i.①要使z 为实数，必须有m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，即m ＝－2或m ＝2时，z 为实数．②要使z 为虚数，必有m 2－4≠0，即m ≠－2且m ≠2.故m ≠－2且m ≠2时，z 为虚数．③要使z 为纯虚数，必有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4≠0，m 2－3m ＋2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－2且m ≠2，m ＝1或m ＝2. 所以m ＝1，故m ＝1时，z 为纯虚数．④由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，m 2－4<0，解得－2<m <1. 3．答案：C解析：由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4.故选C. 4．答案：A解析：∵(x ＋y )i ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0， ∴x ＝1，y ＝－1.故选A. 5．答案：C解析：因为复数z ＝1＋i ，所以根据复数模的运算公式可得，|z |＝12＋12 ＝2 .故选C.6．答案：AD解析：因为cos α＋sin α＝2 sin (α＋π4)，cos α－sin α＝2 cos (α＋π4 )，所以z ＝2 [sin (α＋π4 )＋icos (α＋π4)]. 当α∈(0，π4 )时，α＋π4 ∈(π4 ，π2)，所以sin (α＋π4 )＞0，cos (α＋π4)＞0，所以z 在复平面内对应的点在第一象限，故A 正确；当α∈(π4 ，π2 )时，α＋π4 ∈(π2 ，3π4)，所以sin (α＋π4 )＞0，cos (α＋π4)＜0，所以z 在复平面内对应的点在第四象限，故B 错误；复数z 的模为2 × sin 2（α＋π4）＋cos 2（α＋π4）＝2 ，故C 错误，D 正确．故选AD.7．答案：C解析：由题意知A (6，5)，B (－2，3)，则AB 中点C (2，4)对应的复数为2＋4i.关键能力综合练1．答案：A解析：∵m <1，∴m －1<0，∴复数1＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限．故选A.2．答案：B 解析：由题意得－m 2＋2m ＋8<0，m 2－8m ＝0，解得m ＝8.即m 的取值集合为{8}．故选B.3．答案：B解析：因为复数(m 2－m )＋3i 是纯虚数，所以m 2－m ＝0，解得：m ＝0或m ＝1.故选B.4．答案：A解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12．故选A. 5．答案：C解析：∵z 的虚部t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2恒为正，∴z 对应的点在实轴上方，且z 一定是虚数，排除D.又z 的实部2t 2－5t ＋3＝(t －1)(2t －3)可为正、为零、为负，∴选项A 、B 不正确．故答案为C.6．答案：－1＋3 i(答案不唯一)解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为复数z 在复平面内对应的点在第二象限，所以a <0，b >0，又因为|z |＝2，所以a 2＋b 2＝4，显然当a ＝－1，b ＝3 时，符合题意，故答案为－1＋3 i(答案不唯一).7．答案：2 ±2解析：两个复数相等，则实部和虚部分别相等，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2.8．答案：{0}解析：∵z 1>z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 3＋3m 2＋2m ＝0，m 2－5m ＝0，m 2＋1>4m －2，解得m ＝0，∴实数m 的取值集合为{0}．9．解析：(1)∵z 为实数，∴a 2－a －6＝0，∴a ＝－2或3.∵a ＝－2时，z 无意义，∴a ＝3，∴z 1＝2－5i ，∴|z 1|＝29 .(2)方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2 ，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7 ，7 ).方法二利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．由图可知：－7 <a <7 .学科素养升级练1．答案：ABC解析：取z ＝12 ＋32 i ，则|z |＝1，故A 错误；AB → ＝OB → －OA → ＝－3＋4i －(6＋5i)＝－9－i ，故B 错误；取z ＝i ，但i 2＝－1，z 2＋1＝0，知C 错误；设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由1≤|z |<2 可知1≤x 2＋y 2<2，故复数z 对应的点所构成的图形面积为π×2－π×1＝π，故D 正确．故选ABC.2．解析：(1)依题意可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，a >0，b <0)，因为z 的实部与虚部之和为7，且|z |＝13，所以⎩⎨⎧a >0，b <0，a ＋b ＝7，a 2＋b 2＝13，解得a ＝12，b ＝－5，故z ＝12－5i.(2)依题意可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为z 2＋z ＝a 2－b 2＋a ＋(2ab ＋b )i(a >0，b <0)，所以a 2－b 2＋a ≠0，且2ab ＋b ＝b (2a ＋1)<0.因为|z |＝6 ，所以a 2＋b 2＝6，所以a 2－b 2＋a ＝a 2－(6－a 2)＋a ＝2a 2＋a －6.当0<a <32时，2a 2＋a －6<0，z 2＋z 在复平面内对应的点位于第三象限；当a >32时，2a 2＋a －6>0，z 2＋z 在复平面内对应的点位于第四象限．。

(完整版)复数经典例题

经典例题透析类型一：复数的有关概念例1．已知复数22276(56)()1a az a a i a Ra-+=+--∈-，试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.解析：（1）当z为实数时，有2256010a aa⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩1661a aaa=-=⎧⇒⇒=⎨≠±⎩或，∴当6a=时，z为实数. （2）当z为虚数时，有2256010a aa⎧--≠⎪⎨-≠⎪⎩16161a aa aa≠-≠⎧⇒⇒≠±≠⎨≠±⎩且且，∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数. （3）当z为纯虚数时，有222560761a aa aa⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩166a aaa≠-≠⎧⇒⇒∈∅⎨=⎩且∴不存在实数a使z为纯虚数.总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为22761a aa-+-与256a a--.①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可.举一反三：【变式1】设复数z=a+bi （a 、b ∈R ），则z 为纯虚数的必要不充分条件是（）A ．a=0B ．a=0且b ≠0C ．a ≠0且b=0D ．a ≠0且b ≠0【答案】A ；由纯虚数概念可知：a=0且b ≠0是复数z=a+bi （a 、b ∈R ）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.【变式2】若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（）A.1B.2C.1或2D.-1【答案】B ；∵2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，∴2320a a -+=且10a -≠，即2a =.【变式3】如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m=（）A ．1B ．－1 CD．【答案】B ；【变式4】求当实数m 取何值时，复数22(2)(32)z m m m m i =--+-+分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1）当2320m m -+=即1m =或2m =时，复数z 为实数；（2）当2320m m -+≠即1m ≠且2m ≠时，复数z 为虚数；（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--0230222m m m m 即1m =-时，复数z 为纯虚数. 类型二：复数的代数形式的四则运算例2. 计算：（1）()n i n N +∈； (2)8(1)i +(3)(12)(12)i i +÷-; (4)ii i i 4342)1)(41(++++- 解析：(1)∵21i =-，∴32i i i i =⋅=-，4221i i i =⋅=，同理可得：当41()n k k N +=+∈时，4144()k k k i i i i i i +=⋅=⋅=当42()n k k N +=+∈时，42421k k i i i +=⋅=-，当43()n k k N +=+∈时，4343k k ii i i +=⋅=- 当44()n k k N +=+∈时，4444()1k k k i i i i =⋅==，∴4114243144n i n k k N n k k N i i n k k N n k k N =+∈⎧⎪-=+∈⎪=⎨-=+∈⎪⎪=+∈⎩（，）（，）（，）（，）()n N +∈ (2)8(1)i +24444[(1)](2)216i i i =+=== (3)(12)(12)i i +÷-1212i i+=-2222(12)(12)1(2)43434(12)(12)1(2)555i i i i i i i i i ++++-+====-+-+- (4)i i i i 4342)1)(41(++++-1432434i i i +-++=+227(7)(34)3434i i i i ++-==++ 21432825251.2525i i i i ++--===- 总结升华：熟练运用常见结论： 1）ni 的“周期性”（n N +∈）2）2(1)2i i ±=±3）22()()a bi a bi a b +-=+ 举一反三：【变式1】计算：（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)（2）(12)(34)(2)i i i +--（3）23100i i i i ⋅⋅⋅⋅L（4）3322(1)(1)(1)(1)i i i i +--+-- ；【答案】（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i)=(3―3)+(―7―4)i=―11i.（2）(12)(34)(2)(112)(2)247i i i i i i +--=+-=-（3）231001210050504126222()1i i i i i i i i i +++⋅⋅⋅⋅===⋅==-L L（4）332222(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)2(2)4i i i i i i i i i i i i i i i +--+⋅+---++-==+----2214i i⋅== 【变式2】复数()221i i +=( )A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A ；()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==-【变式3等于( )i +i 【答案】A1-i i ===，故选A 【变式4】复数31()i i -等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D ；333311()()(2)88i i i i i i i--=+===-. 类型三：复数相等的充要条件例3、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x ―1)+(3―y)i=y ―i ，求x 、y.思路点拨：因x ∈R ，y 是纯虚数，所以可设y=bi （b ∈R 且b ≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：∵y 是纯虚数，可设y=bi （b ∈R ，且b ≠0），则(2x ―1)+(3―y)i ＝(2x ―1)+(3―bi )i ＝（2x －1+b ）+3i ，y ―i =bi －i=（b －1）i由(2x ―1)+(3―y)i=y ―i 得（2x ―1+b ）+3i=（b ―1）i ，由复数相等的充要条件得42103132b x b b x =⎧-+=⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎩⎪⎩， ∴32x =-，4y i =. 总结升华：1. 复数定义：“形如z a bi =+（,a b R ∈）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2．复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi 与c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）相等的充要条件是a=c 且b=d ，可得到两个实数等式.3.注意左式中的3―y 并非是(2x ―1)+(3―y)i 的虚部，同样，在右边的y ―i 中y 也并非是实部.举一反三：【变式1】设x 、y 为实数，且5______1-1-21-3x y x y i i i+=+=，则【答案】由51-1-21-3x y i i i +=得5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+ 即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，故52-50-154-1505x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩,解得 ∴4x y +=【变式2】若z ∈C 且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，则z=____.【答案】设z=a+bi(a,b ∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得 b=-1且a=-3，即z=-3-i.【变式3】设复数z 满足12i i z+=，则z =（） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i + 【答案】12(12)2211i i i i z i i ++-====---，故选C. 类型四：共轭复数例4：求证：复数z 为实数的充要条件是z z =思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：设z a bi =+（a ，b ∈R ），则z a bi =- 充分性：--0;z z a bi a bi b b b z R =⇒+=⇒=⇒=⇒∈Q 必要性：,0-z R b a bi a bi z z ∈=⇒+=⇒=Q综上，复数z 为实数的充要条件为z z =举一反三：【变式1】,x y R ∈，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+的共轭复数相等，求x ，y. 【答案】(2)1818(2)y i y i -+=+-3218-218-(-2)(32)52-512x y x y i x y xi y x y +==⎧⎧∴=++⇒⇒⎨⎨==⎩⎩ 【变式2】若复数z 同时满足2z z i -=，z iz =（i 为虚数单位），则z=________.【答案】―1+i【变式3】已知复数z=1+i ，求实数a 、b 使22(2)az bz a z +=+.【答案】∵z=1+i ，∴2(2)(2)az bz a b a b i +=++-，22(2)(2)44(2)a z a a i +=+-++2(4)4(2)a a a i =+++∵a 、b 都是实数，∴由22(2)az bz a z +=+得224,24(2).a b a a a b a ⎧+=+⎨-=+⎩ 两式相加，整理得a 2+6a+8=0解得a 1=―2，a 2=―4，对应得b 1=－1，b 2=2.∴所求实数为a=―2，b=―1或a=－4，b=2.类型五：复数的模的概念例5、已知数z 满足z+|z|=2+8i ，求复数z.法一：设z=a+bi （a ，b ∈R），则||z =代入方程得28a bi i +=+.∴28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩∴z=－15+8i法二：原式可化为：z=2－|z|+8i ，∵|z|∈R ，∴2－|z|是z 的实部.于是||z =|z|2=68－4|z|+|z|2，∴|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=－15+8i.举一反三：【变式】已知z=1+i ，a ，b 为实数.（1）若234z z ω=+-，求||ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值. 【答案】（1）2(1)3(1)4i i ω=++--2341i i i =+--=-∴||ω=（2）∵2222(1)(1)1(1)(1)1z az b i i a b z z i i ++++++=-++-++(2)(2)()a i b a a b a i i+++==+-+ ∴(2)()1a a b i i +-+=-∴21112a a ab b +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 类型六：复数的几何意义例6、已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.思路点拨：根据点Z 的位置确定复数z 实部与虚部取值情况.解析：（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式1】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】∵22ππ<<，∴sin 20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式2】已知复数2(352)(1)z m m m i =-++-(m R ∈)，若z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围.【答案】∵2(352)(1)z m m m i =-+-- ∴⎩⎨⎧<-->+-0)1(02532m m m ，解得1m >.∴m 的取值范围为(1,)m ∈+∞.【变式3】已知z 是复数，2z i +和i-z z 均为实数，且复数2()z ai +对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.【答案】设z x yi =+(,x y R ∈)，∴2(2)z i z x y i +==++，由题意得2y =-， 2111(2)(2)(22)(4)22555z x i x i i x x i i i -==--=++---，由题意得4x =，∴42z i =-∵22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-，根据已知条件有212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，解得26a <<， ∴实数a 的取值范围是(2,6)a ∈.【变式4】已知复数z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数1z zω=+在复平面上对应的点的轨迹方程.【答案】设z=a+ai（a＞0）则1111()()22 z a ai a a i z a ai a a ω=+=++=++-+令1212x aay aa⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消a得x2－y2=2（x≥.。

人教版最新高考数学复数习题及答案附参考答案(2021年整理)

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——教学资料参考参考范本——人教版最新高考数学复数习题及答案附参考答案______年______月______日____________________部门(附参考答案）一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

）1．(20xx·山东)复数等于（)A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i答案：C解析：＝＝＝2＋i。

故选C。

2．（20xx·宁夏、海南）复数－＝( ）A．0 B．2 C．－2i D．2i答案：D解析：－＝－＝－＝i＋i＝2i.3．(20xx·陕西)已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（)A．2i B．i C．－i D．－2i答案：D解析：由题意得z＝ai。

(a∈R且a≠0)．∴＝＝，则a＋2＝0，∴a＝－2。

有z＝－2i,故选D。

4．(20xx·××市高三年级2月调研考试)若f（x）＝x3－x2＋x－1，则f（i)＝( ）A．2i B．0 C．－2i D．－2答案：B解析：依题意，f（i）＝i3－i2＋i－1＝－i＋1＋i－1＝0，选择B.5．（20xx·北京朝阳4月)复数z＝（i是虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：z＝＝－i，它对应的点在第四象限，故选D。

复数练习题及答案

复数练习题及答案复数是英语语法中的一个重要概念，它用来表示多个个体或物体。

掌握复数形式对于学习英语来说至关重要。

在这篇文章中，我们将提供一些复数练习题及答案，帮助读者加深对复数的理解和应用。

第一部分：基础练习1. 将下列名词变为复数形式：a) bookb) catc) appled) boxe) child答案：a) booksb) catsc) applesd) boxese) children2. 将下列名词变为复数形式，并注意特殊变化：a) manb) womanc) childd) tooth答案：a) menb) womenc) childrend) teethe) feet第二部分：规则变化3. 根据名词的词尾变化，将下列名词变为复数形式：a) dogb) penc) bookd) hate) cup答案：a) dogsb) pensc) booksd) hatse) cups4. 将下列名词变为复数形式，并注意词尾变化规则：a) tomatoc) brushd) watche) box答案：a) tomatoesb) potatoesc) brushesd) watchese) boxes第三部分：不规则变化5. 将下列名词变为复数形式，并注意不规则变化规则：a) childb) mousec) toothd) foote) woman答案：a) childrenb) micec) teethd) feet6. 将下列名词变为复数形式，并注意不规则变化规则：a) oxb) deerc) sheepd) fishe) aircraft答案：a) oxenb) deerc) sheepd) fishe) aircraft第四部分：应用练习7. 用适当的复数形式填空：a) There are three _______ on the table.b) My sister has two _______.c) The _______ in the zoo are very cute.d) I need two _______ for this recipe.e) The _______ in the pond swim gracefully.答案：a) booksb) catsc) monkeysd) cupse) fish8. 用适当的复数形式填空，并注意不规则变化：a) The _______ are playing in the garden.b) I saw two _______ in the field.c) The dentist pulled out three _______.d) She bought a pair of _______.e) The _______ are grazing in the meadow.答案：a) childrenb) deerc) teethd) jeanse) sheep复数练习题及答案到此结束。

复数基础知识和练习(含答案)

复数基础知识和练习一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ．（4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3．复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示4．复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．5．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的四则运算1．复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2．复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5．乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++6．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

13.1 复数的概念(含答案)

【课堂例题】例1.写出下列各复数的实部和虚部:132,37,,8,62i i i -+++--例2.求当实数m 取何值时，复数2(1)(2)(1)z m m m i =-++-是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零；例3.已知(2)2(3)x y i y i -+=--,求实数,x y 的值.课堂练习1.试用集合的图示法表示复数集C 、实数集R 、虚数集、纯虚数集和有理数集Q 之间的关系.2.试问当实数x 取何值时,复数22(2)(32)x x x x i +-+++ 是实数?是虚数?是纯虚数? 3.求实数,x y 的值:(1)33(3)x y x y i ++=--(2)(3)(1)0x y x y i +-+--=【知识再现】1.i 叫做虚数单位，它满足 .2.形如z = （）的数叫做复数，其中称为实部，记作，称为虚部，记作，复数的这种表达形式也叫做复数的代数形式；复数z 中满足的复数叫做实数；满足的复数叫做虚数；满足的复数叫做纯虚数.3.两个复数12,z z 相等的充要条件是 .【基础训练】1.已知复数: 2112,(2,2,,2i i i i π++--，其中为实数，为纯虚数.2.“0a =”是“复数,(,)z a bi a b R =+∈”为纯虚数的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件3.下列集合关系表述正确的是( )A.N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆B.N Z Q C R ⊆⊆⊆⊆C.Z N Q R C ⊆⊆⊆⊆D.R N Z Q C ⊆⊆⊆⊆其中:N =自然数集,Z =整数集4.当实数m 为何值时,复数22(34)(56),m m m m i m --+--∈R 是实数?纯虚数?零?5.已知复数22(4)(68),z a a a i a R =-+-+∈为纯虚数，求实数a 和复数z .6.判断下列说法是否正确(正确画√;错误画×)(1)方程210x +=在复数集中的解集为{,}i i -;( ) (2)3222i i +>+; ( )(3)i 是1-的一个平方根; ( ) (4)若复数22120z z +=，则120z z ==;( ) (5)()bi b ∈R 是纯虚数; ( ) (6)若34z i =-,则Re 3,Im 4z z ==.( )7.解关于实数,x y 的方程:(1) 22(26)8x y xy i -+-= (2) 22(21)10x i x y --+-=【巩固提高】8.满足221222log (1)[log (3)]log (2)[log (33)]m m i n n n i ++->++--的实数,m n 的取值分别是什么?9.我们规定：n n i i i i i ⋅⋅⋅⋅=个，例如3()1i i i i i i i i i =⋅⋅=⋅⋅=-⋅=-,请计算:20131n n i =∑的值.(选做)10.设M 是一个非空集合,f 是一种运算.如果对于集合M 中任意两个元素,p q ,实施运算f 的结果仍是集合中的元素,那么就说集合M 对于运算f 是“封闭的”.已知集合{|,}M x x a a b ==+∈Q ,试验证M 对于加法、减法、乘法和除法(除数不为0)运算是封闭的.【温故知新】11.利用配方法,尝试在复数集中解方程210400x x -+=.【课堂例题答案】例1.Re(32)3,Im(32)2,Re(37)3,Im(37)7i i i i -+=--+=+=+=111Re(),Im()8)8,Im(8)0,222Re(6)0,Im(6)6i i +==-=--=-=-=- 例2.(1)1m =±;(2)(,1)(1,1)(1,)m ∈-∞--+∞;(3)2m =-;(4)1m =例3.3,4x y ==【课堂练习答案】1.如右图，2.{1,2},(,2)(2,1)(1,)x x ∈--∈-∞----+∞{1}x ∈3.(1)0,3x y ==-;(2)2,1x y ==【知识再现答案】1.21i =- 2.;,;;Re ;;Im ;0;0;0,0a bi a b R a z b z b b a b +∈=≠=≠3.1212Re Re ,Im Im z z z z ==【习题答案】1.212,0,;(2,,2i i i π- 2.B3.A4.{1,6}m ∈-时是实数；{4}m ∈时是纯虚数；{1}m ∈-时是零.5.2,24a z i =-=6.(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×(6)×7.(1)31x y =⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=-⎩;(2)01x y =⎧⎨=⎩ 8.2,1m n ==- 提示：只有实数才能比较大小，因此2122log (3)0,log (33)0m n n -=--= 解得2,4m n ==或-1，又12m n +>+，因此2,1m n ==-9.i 提示：,411,42,,43,44n i n k n k i k i n k i n k =+⎧⎪-=+⎪=∈⎨-=+⎪⎪=+⎩N ，因此414243440k k k k i i i i +++++++=201312345678200920102011201220131()()()n n i i i i i i i i i i i i i i i ==+++++++++++++=∑10.证：设,,,,,x y M x a y c a b c d ∈=+=+∈Q即证,,,(0)x x y M x y M x y M M y y+∈-∈⨯∈∈≠ ((()(x y a c a c b d +=+++=+++因为有理数集Q 对加法运算封闭，所以,a c b d +∈+∈Q Q ，因此x y M +∈同理((()(x y a c a c b d -=+-+=-+-因为有理数集Q 对减法运算封闭，所以,a c b d -∈-∈Q Q ，因此x y M -∈(((2)(x y a c ac bd ad bd ⨯=+⨯+=+++因为有理数集Q 对加法与乘法运算封闭，所以2,ac bd ad bd +∈+∈Q Q ，因此x y M ⨯∈x y =，因为0y ≠所以,c d 不都为零，故0c -≠，分子分母同乘以c -得22222()(22x ac bd bc ad y c d c d --===+--因为有理数集对加法、减法、乘法、除法运算都封闭，所以22222,22ac bd bc ad c d c d --∈∈--Q Q ，因此x M y ∈ 证毕11.5x =提示：22(5)15)x -=-=，因此5x =。

复数试题及答案

复数试题及答案1. 复数的概念复数是指实数和虚数的和，形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

2. 复数的运算(1) 两个复数的加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(2) 两个复数的减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i(3) 两个复数的乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i(4) 两个复数的除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c^2+d^2)3. 复数的模复数a+bi的模定义为|a+bi| = √(a^2 + b^2)。

4. 复数的共轭复数a+bi的共轭复数为a-bi。

5. 复数的幂运算(1) 复数的平方：(a+bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2abi(2) 复数的立方：(a+bi)^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i6. 复数的极坐标表示复数a+bi可以表示为r(cosθ + i*sinθ)，其中r是模，θ是复数在复平面上与正实轴的夹角。

7. 复数的指数形式复数a+bi可以表示为r*e^(iθ)，其中r是模，θ是复数在复平面上与正实轴的夹角。

8. 复数的根(1) 一个复数的平方根：如果z^2 = a+bi，则z = ±√(a^2 + b^2) * (cos(θ/2) + i*sin(θ/2))(2) 一个复数的立方根：如果z^3 = a+bi，则z = (a^3 +3ab^2)^(1/3) * (cos(θ/3) + i*sin(θ/3))9. 复数的解方程对于方程z^2 + az + b = 0，其解为z = (-a ± √(a^2 - 4b)) / 2。

10. 复数的几何意义复数a+bi在复平面上对应点(a, b)，其中a是实部，b是虚部。

答案：1. 复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi。

复数的概念（一）精选练习及答案

试卷复数的概念（1）一、选择题1、若z1与z2互为共轭虚数，则满足条件|z-z1|2-|z-z2|2=|z1-z2|2的复数z在平面上表示的图形是(A)双曲线 (B)平行于x轴的直线 (C)平面于y轴的直线 (D)一个点翰林汇2、设z是纯虚数，则 ( )(A)|z|2=z2 (B)|z|2=-z2 (C)=-z2 (D)z2=-z2翰林汇3、已知全集C={复数}，Q={有理数}，S={无理数}，R={实数}，P={虚数}，那么∪为( )(A)S (B)C (C)R (D)Q翰林汇4、已知M={1，2，m2-3m-1＋(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，M∩N＝{3}，则实数m为(A)-1或6 (B)-1或4 (C)-1 (D)4翰林5、若(m2-3m-4)＋(m2-5m-6)i是纯虚数，则实数m的值为 ( )(A)-1 (B)4 (C)-1或4 (D)不存在翰林汇6、设集合C={复数}，R={实数}，M={纯虚数}，其中C为全集，则 ( )(A)M∪R=C(B)R∪=C(C)M∩R={0}(D)C∩=M翰林汇7、在复平面内，与复数z=-1-i的共轭复数对应的点位于 ( )(A)第一象限 (B)第二角限(C)第三象限 (D)第四象限翰林汇8、如果用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(A)=C∩Ｉ(B)R∩I={0}(C)R∩I=?(D)C=R∪Ｉ翰林汇9、复数(i-)3的虚部是(A) -8 (B)-8i (C)8 (D) 0翰林汇10、设z为复数,且(z-1)2=|z-1|2那么z是 ( )(A)纯虚数(B)实数(C)虚数 (D)1翰林汇11、在复平面内，复数z满足1<|z|<2，则z所对应的点P的集合构成的图形是(A)圆 (B)直线 (C)线段 (D)圆环翰林汇试卷12、下列命题中正确的是 ( )(A)每个复数都有唯一的模和唯一的辐角主值(B)复数与复平面内的点是一一对应的(C)共轭虚数的n次方仍是共轭复数(D)任何两个复数都不能比较大小翰林汇13、设复数z=sin500-icos500则arg 等于(A)100 (B)800 (C)2600 (D)3500翰林汇14、已知π＜θ＜,复数z=|cosθ|+ i |sinθ|的辐角主值是 ( )(A)π－θ (B)π+θ(C)θ－π (D)θ翰林汇15、已知π＜θ＜,复数z=|cosθ|+ i |sinθ|的辐角主值是 ( )(A)π－θ (B)π+θ (C)θ－π (D)θ翰林汇16、设z为虚数,则z2一定是 ( )(A)非负实数或虚数 (B)负数或虚数(C)虚数(D)有可能是正数翰林汇17、下列命题正确的是 ( )(A)|z|＜1－1＜z＜1 (B)共轭复数的差一定是纯虚数(C)|z|=1 (D)共轭复数的辐角之和为零翰林汇18、复数z1=(a＋bi)n,z2=(a－bi)n(a,b R且b≠0,n N),则z1与z2的关系是 ( )(A)共轭复数 (B)共轭复数或相等实数(C)相等的实数 (D)以上都不对翰林汇19、设复数z1、z2,则z1=的一个必要不充分条件是(A)|z1－|=0 (B)=z2 (C)z1=z2 (D)|z1|=|z2|翰林汇20、复数z=2i-3的共轭复数是 ( )(A)-3＋2i (B)2i＋3 (C)-2i＋3 (D)-2i-3翰林汇二、填空题1、已知x，y是纯虚数，且满足(2x-1)＋i=y-(3-y)i，则x=___，y=___。

高一复数知识点+例题+练习含答案

1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：满足条件(a ，b 为实数) 复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0 a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应法则． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )1．(2015·安徽改编)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝__________. 答案 3＋i解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i.2．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝__________. 答案 2－i解析由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________________________．答案 2＋4i解析 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.4．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝__________. 答案 3－4i解析 ∵a ，b ∈R ，a ＋i ＝2－b i ，∴a ＝2，b ＝－1， ∴(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.5．(教材改编)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 ∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，∴z ＝2＋i.题型一复数的概念例1 (1)设i 是虚数单位．若复数z ＝a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________．(2)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为________．(3)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的____________条件．答案 (1)3 (2)1 (3)充分不必要解析 (1)z ＝a －103－i ＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且z ＝a －103－i为纯虚数知a ＝3.(2)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．引申探究1．对本例(1)中的复数z ，若|z |＝10，求a 的值．解若|z |＝10，则(a －3)2＋1＝10， ∴|a －3|＝3，∴a ＝0或a ＝6.2．在本例(2)中，若z 1z 2为实数，则a ＝________.答案－4解析若z 1z 2为实数，则4＋a 5＝0.∴a ＝－4.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．(2)(2014·浙江改编)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的________________条件．答案 (1)－1 (2)充分不必要解析 (1)由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.(2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二复数的运算命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2015·湖北改编)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为________． (2)(2015·北京改编)复数i(2－i)＝________. 答案 (1)i (2)1＋2i 解析 (1)方法一 i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.方法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.(2)i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i. 命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2015·湖南改编)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________.(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________. 答案 (1)－1－i (2)－1＋i解析 (1)由(1－i )2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i.(2)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的运算与复数概念的综合问题例4 (1)(2015·天津)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． (2)(2014·江苏)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．答案 (1)－2 (2)21解析 (1)(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2. (2)因为z ＝(5＋2i)2＝25＋20i ＋(2i)2 ＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 命题点4 复数的综合运算例5 (1)(2014·安徽)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z ＝________.(2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．答案 (1)2 (2)45解析 (1)∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋ii＝1－i ，∴zi ＋i·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2. (2)设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2015·山东改编)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________. (3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________. 答案 (1)1－i (2)1 (3)1＋i 解析 (1)∵z1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ， ∴z ＝1－i.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 21 008＝1. (3)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i.题型三复数的几何意义例6 (1)(2014·重庆改编)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限．答案二解析由题意可得复数z ＝－2＋i ，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限． (2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是________．答案 B解析表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .(2)已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．23．解决复数问题的实数化思想典例 (14分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思维点拨 (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．规范解答解设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，[3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分]根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3(a 2＋b 2)＝－6，[7分]解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.[10分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[14分] 温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．[方法与技巧]1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识．3．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．[失误与防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．注意复数的虚部是指在a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．(2015·福建改编)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于__________．答案3，－2解析∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，∴a＝3，b＝－2.2．设z＝11＋i＋i，则|z|＝________.答案2 2解析 ∵z ＝11＋i ＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22.3．(2015·课标全国Ⅱ改编)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝________. 答案 0解析因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0.4．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是________．答案 H解析由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H .5．(2014·江西改编)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝__________. 答案 1－i解析方法一设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.6．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．答案5解析 ∵z 2＝3＋4i ，∴|z |2＝|3＋4i|＝5，即|z |＝ 5.7．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 答案 3解析 3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3. 8．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．答案 m <23解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23. 9．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i； (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解 (1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i＝－1－3i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i(3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i3＋i ＝(－i )(3－i )4＝－14－34i. 10．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－916，7 解析由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎡⎦⎤－916，7. 12．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________．答案 3解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．13．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x 的最大值为________．答案 3 解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3. 14．设a 是实数，若复数z ＝a 1－i＋1－i 2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x ＋y ＝0上，则a 的值为________．答案 0解析 ∵z ＝a (1＋i )2＋1－i 2＝a ＋12＋a －12i ， ∴依题意得a ＋12＋a －12＝0，∴a ＝0. 15．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝_________.答案－2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知， ⎩⎪⎨⎪⎧(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ， ∴b ＝－2，c ＝3.16．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

(完整word版)复数练习(含答案),推荐文档

20.复数基础练习题一、选择题1 .下列命题中：① 若z = a + bi ，则仅当a = 0, 0时z 为纯虚数; ② 若(Z 1 — Z 2)2 +(Z 2— Z 3)2= 0，贝y Z 1= Z 2= Z 3；③ x + yi = 2 + 2i? x = y = 2;④ 若实数a 与ai 对应，其中正确命题的个数是A . 0B . 1 2.在复平面内，复数 A .第一象限 a 为正实数， 2 I (2011年高考湖南卷改编)若a , a = 1, b = 1 B . a = — 复数z=\f 3+ A .第一象限内 6 . 3. A . 4. A . 5. 则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系. ( ) C . 2 D . 3 z = sin 2 + icos 2对应的点位于( )B .第二象限C .第三象限 ,i 为虚数单位，z = 1 — ai ，若|z|= 2,贝U B ^J 3 C ^/2D . 1b € R , i 为虚数单位， 1, b = 1 C . ( )C .虚轴上 a =(D .第四象限)且 ai + i a = — 1, i 2= b + i ，则( )b =— 1 D . a = 1, b =— 1B . 设a , b 为实数，若复数 a = 3 b = 1 a = 2, b = 2 1 1 i 2对应点在复平面实轴上1 + 2i = (a — b) + (a + b)i ，则( D .第四象限内a = 3,b = 1 )C . a = 2, b = 3D . a = 1, b = 3复数z = 2+ 2i 在复平面 A .第一象限 & A . 9 . 7. 上对应的点位于 C .第三象限 D .第四象限B .第二象限已知关于x 的方程X 2 + (m + 2i)x + 2 + 2i = 0(m € R)有实根n ,且z = m + ni ，则复数z 等于() 3+ i B . 3— I C . — 3— i 设复数z 满足关系式z + |z|= 2+ i ，那么z 等于( -4+ i B .3- 1 z 满足 z + i — 3 = 3— i , B . 2i C . D . — 3+ i)D.3+ i43 . —4 — iz =(10 .已知复数 A . 0 11.计算(—i + 3) — (— 2+ 5i)的结果为( A . 5— 6i B . 3— 5i 12 .向量ol 1对应的复数是 5— 4i , A . — 10+& B . 10— & )—5+ 6i D . 6- 2iD . - 3+ 5i13 .设Z 1= 3 — 4i , Z 2= — 2+ 3i ，贝U Z 1 + Z 2在复平面内对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限14 .如果一个复数与它的模的和为 5 +^/3i ,那么这个复数是c.f +苗B .V 3IC . 向量O52对应的复数是一5 + 4i ，则OZ 1+ OZ 2对应的复数是() C . 0 D . ( 10 + &)D .第四象限D ¥ + 2V 3i515 .设 f(z)=乙 A . 1 — 3i 16 .复数 Z 1= cos0+ i , Z 2= sin 0- i ，则 |z 1 — Z 2|的最大值为 A . 5 B.& C . 6 D.V 617 .设 z € C ,且 |z + 1|— |z — i| = 0,则 |z + i|的最小值为(JC . 2D Z 1= 3+ 4i , Z 2=— 2— i ，贝U f(z 1 — Z 2)=(B . 11i — 2C . i — 2 5 +5i18 .若 z € C ,且 |z + 2— 2i|= 1,则 |z — 2 — 2i|的最小值为( A . 19 .2 B .3 C .4 (2011年高考福建卷)i 是虚数单位，若集合 i € S B . i 2€ S C . i 3€ S D . 5S = { — 1,0,1}，则( )D.2€ Si(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作 Z , i 为虚数单位.若z = 1 + i ，则(1 + Z)•=()3— i B . 3+ I C . 1 + 3i D . 32 + 4i 21 .化简〒+尹的结果是() 2+ iB . - 2 + IC . i 2+ i 3+ i 4 (2011年高考重庆卷)复数 —-—=( 1 — i4+ 3i 与一2-5i 分别表示向量O A 与OB ，则向量A B 表示的复数是33. 已知复数 Z 1 = (a 2— 2) + (a -4)i , Z 2= a - (a 2— 2)i(a € R)，且 z j — Z 2为纯虚数，则 a = 34. （2010年高考上海卷）若复数z = 1-2i （i 为虚数单位），则z-z + z =35. （2011年高考江苏卷）设复数z 满足i （z + 1） = — 3+ 2i （i 为虚数单位），贝U z 的实部是 36 .已知复数z 满足|z|= 5，且（3 - 4i ）z 是纯虚数，则 z =22. 23. 1 1 一 —一—i B . - 2+ 21 （2011年高考课标全国卷復数的共轭复数是（1 — 2iD.尹 2i 3 -5i31 + i24 . i 是虚数单位，(一)4等于(1 - iA . iB . - I 25 .若复数 Z 1 = 1 + i , z 2 = 3-i ,C .- i C . 1 Z 1 z 2=( C . 2+ 2i 26.设z 的共轭复数是z ，若 z + z = 4, z -z = 8, A . i 27. （2010年高考浙江卷 A . |z — z 1= 2y二、填空题28. 在复平面内表示复数 B . - iC . ±1 )对任意复数z = x + yi(x , y € R), i 为虚数单位，则下列结论正确的是 ( ) B . z 2= x 2 + y 2 C . |z - "z |> 2xD . |z|< x + |y| z = （m - 3）+ 2丽i 的点在直线y = x 上，则实数 m 的值为29.复数 z = x +1+ (y — 2)i(x , y € R)，且 |z|= 3，则点 Z(x , y)的轨迹是30.复数 Z 1= 1 + 2i , Z 2=— 2+ i , z 3=—逅一迈i , Z 4=U 3 —U 2i , Z 1, z 2, z 3, Z 4 在复平面内的对应点分别是 A , B , C , D ，则/ ABC +/ ADC =31.复数 32.已知 f(z + i) = 3z -2i ，贝U f(i)=答案一、选择题1. 解析：选A.在①中没有注意到；与实数的平方等同，如：若 Z 1= 1, 在③中若X , y € R ，可推出x = y = 2,而此题未限制x , 误的.故选A.2. 解析：选 D. •/ n<2< n, • sin 2>0 , cos2<0.故z = sin 2+ icos 2对应的点在第四象限.故选 D.3. 解析：选 B.|z|=|1 — ai|= p a 2+ 1 = 2,^ a = ±3. 而a 是正实数，••• a=©.4. 解析：选 D.ai + i 2=— 1 + ai = b + i ,故应有a = 1, b =— 1.5. 解析：选 B. ■/z =逅+ i 2 = \/3— 1€ R ,• Z 对应的点在实轴上，故选 B.••• z = 4 + i.410. 解析: 11. 解析： 12. 解析： 13. 解析： =(3 — 2)+ (— 4+ 3)i = 1 — i , •- Z 1 + Z 2对应的点为(1,— 1)，在第四象限.14. 解析：选C.设这个复数为z = a + bi(a , b € R),则 z + |z|= 5+德i ,即 a + W 2+ b 2 + bi = 5+凋i ,b =也 a +7 a 2+ b 2 = 5 • z = +西i.515. 解析：选D.先找出Z 1 — Z I ,再根据求函数值的方法求解.••• Z 1 = 3+ 4i, 2=— 2— i,•- Z 1 — Z 2= (3 + 2) + (4 + 1)i = 5+ 5i.••• f(z)=乙•- f(Z 1 — Z 2) = Z 1 — Z 2= 5+ 5i.故选 D.16. 解析：选 D.|Z 1 — Z 2|= |(cos0— sin ®+ 2i|=V cos0— sin 02+ 4z = a + bi 中未对a , b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方,Z 2= i ，贝U Z 2 + z 2= 1 — 1 = 0,从而由 Z 2+ z 2= 0? / Z 1= Z 2= 0，故②错误; y € R ，故③不正确；④中忽视 0i = 0,故④也是错 6.解析：选 A.由 1+ 2i = (a — b) +(a + b)i 得 a — b = 1a +b = 2一一 1 17.解析：选A. •.•复数z 在复平面上对应的点为 2， 2 点位于第一象限.& 解析：选 B.由题意知 n 2+(m + 2i)n +2+ 2i = 0, 即n 2+mn +2+(2n + 2)i = 0.n 2+mn + 2 = 0 m = 3•- ，解得，.•• z = 3— i.2n + 2= 0 n =— 19.解析：选 D.设 z = x + yi(x 、y € R),则 x + yi + 寸x 2 + y 2 = 2+ i ,，解得 a = I , b =2.，该点位于第一象限，.••复数z 在复平面上对应的X + Q x 2+ y 2 = 2, y = 1. 解得 3x = 4,y = 1.选 D.由 z + i — 3 = 3 — i ，知 z = (3 — i) + (3 — i) = 6— 2i.选 A.( — i + 3) — (— 2+ 5i) = (3 + 2) — (5 + 1)i = 5 — 6i.选 C.0Z 1 + 卫2对应的复数是 5— 4i + (— 5 + 4i) = (5 — 5)+ (— 4 + 4)i= 0.选 D. ••• Z + Z = (3 — 4i) + (— 2+ 3i)b=V 5，解得 11a = T=p 5 — 2sin 0COS0=^5— sin2 0W 寸6.17.解析：选C.|z + 1|= |z — i|表示以(—1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而 |z + i| = |z — (— i)|表示直线上的点到(0, — 1)的距离，数形结合知其最小值为芈. 18 解析：选 B.法一：设 z = x + yi(x , y € R)，则有 |x + yi + 2— 2i|= 1,即 |(x + 2) + (y — 2)i| = 1,所以根据复数模的计算公式，得(x + 2)2 + (y — 2)2 = 1 ,又 |z — 2 — 2i| = |(x — 2) + (y — 2)i| = ^ x — 2 2+ y — 2 2= ^x — 22+ 1 — x + 22=^/1—8:.而 |x + 2|W 1,即一3W XW — 1 ,.••当 x = — 1 时，|z — 2 — 2i|min = 3.法二：利用数形结合法. |z + 2— 2i|= 1表示圆心为(一2,2)，半径为1的圆，而|z — 2 — 2i|= |z — (2 + 2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离，由数形结合知，其最小值为 3,故选B.2选 B.因为 i 2=— 1 € S , i 3=— i € /S, - =— 2i € /S,故选 B..z X — yi X 2— y 2— 2xyi.・ ± z x + yi x 2+ y 2法二：•/ z + 7 = 4,设 z = 2+ bi(b € R),又 z -z = |z|2= 8,・ 4 + b 2= 8, ••• b2= 4,・ b = ±2,一 z••• z = 2±2i , z = 2?2i ,•••—= ±.z27. 解析：选 D. •/ z = X — yi(x , y € R), |z — z |= X + yi — x + yi| = |2yi| = |2y|,A A 不正确；对于 B , z 2= x 2 —y 2 + 2xyi ，故不正确；••• |z — 71= |2y|> 2x 不一定成立，二 C 不正确；对于 D , |z|=7x 2+ y 2< |x 汁 |y|,故 D 正确.二、填空题28. 解析：复数z 在复平面上对应的点为(m — 3,2需)，•• m — 3= 2yj m ，即 m — 2丽—3= 0.解得m = 9.答案：929. 解析：•/ |z|= 3,.・.V x + 1 2+ y — 2 2 = 3,即(x + 1)2 + (y — 2)2= 32.故点 Z(x , y)的轨迹是以 0’(一 1,2)19.解析: 20.解析:21.解析:22.解析:选 A.(1 + z) • = (2 + i) (1 — i) = 3— i. C .L = IT =丁 =2— i .故选 C. i 2+i 3+ i 4 — 1 — i + 1 — i — i 1 + i C.—： 1 — i 23.解析: C.法一：- ___________ 1 — i 1 1. 1— i —1 —厂 1 — i 1 + i — 2 —2 2 - 2+ i (2 + i )(1 + 2i ) 2+ i + 4i — 2. .2 + i 竹卄垢饲伞. ------- ------ ------------- =i ，•-— 的共轭复数为一i. —2i 2+ i 法二：••• Q 1 — 2i 1 — 2i 1— 2i ••• 土的共轭复数为一i.1— 2i1 — 2厂(1 — 2i )(1 + 2i) — i (1 — 2i ).= =i , 24. 25. 二 26. 解析：选 C.(严)4=[(严)2]2 = (—7)2= 1.故选 C. 1 — i 1 — i 2i解析：选 A. Z 1= 1 + i , Z 2= 3 — i ,z 2= (1 + i)(3 — i) = 3 + 3i — i — i 2= 3+ 2i + 1 = 4 + 2i.故选 A. 解析：选D.法一：设z = X + yi(x ,y € R)，贝U z = X — yi ，由 z + z = 4, z - z = 8 得, x + yi + X — yi = 4, x + yi X — yi = x = 2 x 2+ y 2= 8 x = 2y= zt2为圆心，以3为半径的圆.答案：以(—1,2)为圆心，3为半径的圆30. 解析：|Z 1|=|Z 2|=Z 3|= |Z 4|={5，所以点A , B , C , D 应在以原点为圆心， {5为半径的圆上，由于圆内接四边形 ABCD 对角互补，所以/ ABC + /ADC = 180°31.解析：AB 表示OB — OA 对应的复数，由—2 — 5i — (4 + 3i) = — 6— &,知AB 对应的复数是—6— &. 答案：—6— & 32. 解析：设 z = a + bi(a , b € R),贝Uf[a +(b + 1)i] = 3(a + bi) — 2i = 3a + (3b — 2)i ，令 a = 0, b = 0,贝U f(i) = — 2i. 答案：—2i 33 .解析：Z 1 — Z 2 = (a 2 — a — 2) + (a — 4 + a 2 — 2)i = (a 2 — a — 2) + (a 2 + a — 6)i( a € R)为纯虚数，• a 2— a — 2 = 0,… 解得a =— 1.a 2+ a — 6 丰 0, 34. 解析：■/ z = 1 — 2i ,••• Z - Z = |z|2= 5..・.z -z + z = 6— 2i. 答案：6 — 2i 35. 解析：答案：1■/ (3— 4i)z 是纯虚数，可设(3 — 4i)z =ti(t € R 且 0), • z =廿.，二 |z| = ¥= 5,^ |t|= 25,^ t3 — 4i 5=±(3 + 4i) = ± — 4+ 3i) , z =±— 4-3i) =±4+ 3i). 答案：±4 + 3i)设 z = a + bi(a 、b € R),由 i(z + 1) = — 3+ 2i ，得一b + (a + 1)i = — 3+ 2i , • a +1 = 2,A a = 1. 36.解析: =±25,翌5i …Z =—。

人教版高中数学必修第二册7.1 复数的概念同步精练(含解析)

人教版高中数学必修第二册7.1复数的概念同步精练【考点梳理】考点一复数的有关概念1.复数(1)定义：我们把形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.2.复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.考点二复数的分类1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)实数(b＝0)，虚数(b≠0)纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0.2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系考点三复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，a＋b i＝0⇔a＝b＝0.考点四复数的几何意义1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).2.复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.考点五复数的模1.定义：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模或绝对值.2.记法：复数z＝a＋b i的模记为|z|或|a＋b i|.3.公式：|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.考点六共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：z的共轭复数用z表示，即若z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i.【题型归纳】题型一：复数的概念1．（2021·全国·高一课时练习）设全集U C=，实数集为R，纯虚数集为M，那么（）A ．M R U ⋃=B ．U UM R ⋃=ðC ．{}0M R ⋂=D ．U R M R ⋂=ð2．（2021·山西柳林·高一期中）关于复数的下列说法错误的是（）A ．复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系B ．在复平面中，实轴上的点都表示实数C ．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数D ．复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系3．（2021·浙江·高一单元测试）下列命题：①若z ＝a ＋bi ，则仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；②若2120z z +=，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3题型二：复数实部和虚部4．（2022·全国·高一）复数z 满足()2i 5z --=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-5．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z 满足()12i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A ．2-B ．-2iC ．1D ．i6．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知i 为虚数单位，且复数|34i |12i z+=-，则复数z 的虚部是（）A ．103-B ．10i 3-C ．2iD ．2题型三：根据相等条件求参数7．（2021·全国·高一课时练习）复数i z x y =+（x ，y R ∈，i 为虚数单位），若()1i 23i x y +=--，则z =（）A ．2B ．5C ．3D ．108．（2020·天津红桥·高一期中）已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则 a b -等于（）A ．1B ．1C ．3D ．49．（2021·上海·高一期末）已知12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A ．若12||||z z =，则12z z =B ．若11z z =，则1z 为实数C ．若220z >，则2z 为纯虚数D ．若()()2212110z z -+-=，则121z z ==题型四：复数的分类问题10．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中，真命题是（）．A ．虚数所对应的点在虚轴上B ．“0a =”是“复数()i ,z a b a b =+∈R 是纯虚数”的充分非必要条件C ．若()0z a a =>，则z a=±D ．“12=z z ”是“12z z =”的必要非充分条件11．（2021·全国·高一课时练习）设m R ∈，则“2m =”是“复数()()2i 1i z m =++为纯虚数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2021·安徽·东至县第二中学高一期末）有以下四个命题：①若复数34i z =+，则25z =；②若复数()2i z m m =+∈R ，且2z z +=，则1m =；③若复数1i z =--，则z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1--；④若复数2z ∈R ，则z 的实部与虚部至少有一个为0．其中所有真命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4题型五：复数的几何意义问题13．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z 满足1-i-2z =1+i,则在复平面内,复数z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．（2021·全国·高一课时练习）已知()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，则复数z 的模的取值范围是（）A ．)22,4⎡⎣B ．[]2,4C ．()22,4D ．()2,415．（2021·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）已知i 为虚数单位，复数z 满足2020(2i)i z -=，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的模为15B ．复数z 的共轭复数为21i55--C ．复数z 的虚部为1i5D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限题型六：复数的模的问题（最值）16．（2022·全国·高一）设复数1z ，2z 满足122z z ==，122z z =，则12z z +的最大值是（）A ．2B ．22C ．4D ．4217．（2021·全国·高一课时练习）若z 是复数，|z +2-2i|＝2，则|z +1-i|+|z |的最大值是（）A ．2B ．52C ．222+D ．324+18．（2021·广东·深圳市富源学校高一期中）若i 为虚数单位，复数z 满足1z ≤，则2i z -的最大值为（）A ．2B ．3C ．23D ．33【双基达标】一、单选题19．（2021·全国·高一课时练习）设集合{}A =虚数，{}B =纯虚数，{}C =复数，则A ，B ，C 间的关系为（）A ．A BC苘B ．B AC苘C ．B CA种D ．A CB苘20．（2021·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）若复数12z i =-（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（）A ．1B ．-2C ．iD ．2i-21．（2022·全国·高一）已知复数z 满足3i z =+，且z 的共轭复数为z ，则z =（）A ．3B ．2C ．4D ．322．（2022·全国·高一）以下命题中，正确的是（）A ．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数B ．如果a +b i=c +d i ，那么a =c ，b =dC ．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应D ．复平面上，实轴上的点与实数一一对应23．（2021·全国·高一课时练习）已知复数i(,R)z a b a b =+∈，有下列四个命题：甲：||1z =乙：z 的虚部为12丙：复数z 对应的点位于第二象限丁：1z z +=，如果只有一个假命题，则该命题是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁24．（2021·重庆市育才中学高一期中）已知复数()()cos sin 1i k k k z R θθθ=++∈对应复平面内的动点为()1,2k Z k =，模为1的纯虚数3z 对应复平面内的点为3Z ，若313212Z Z Z Z =，则12z z -=（）A ．1B ．62C ．3D ．325．（2021·云南·罗平县第二中学高一期末）当x []12∈-，时，求复数()2i z x x =+-的模长的最小值是（）A ．2B ．2C ．10D ．10【高分突破】一、单选题26．（2021·福建尤溪·高一期中）已知,a b ∈R ，且1i 32i a a b -+=+，则b =（）A ．1B ．52C ．2D ．427．（2021·山西柳林·高一期中）设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，则21z z -的值为（）A ．1B ．2C ．2D ．无法确定28．（2021·广东潮州·高一期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离.在复平面内，复数02i1ia z +=+（i 是虚数单位，a ∈R ）是纯虚数，其对应的点为0Z ，满足条件1z =的点Z 与0Z 之间的最大距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．429．（2021·安徽池州·高一期中）已知复数()()2342i =+-++z m m m 在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,1-B ．()4,2--C ．()1,4-D ．()1,1-30．（2021·安徽宣城·高一期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式i cos i sin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，3i 4e π表示的复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、多选题31．（2021·山东邹城·高一期中）下列关于复数的命题中正确的是（）A ．若z 是虚数，则z 不是实数B ．若a ，b R ∈且a b >，则2i ia b +>+C ．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D ．复数()()()23122i z t t t t =-+++∈R 对应的点在实轴上方32．（2021·重庆市江津第五中学校高一期中）实数x ，y 满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+y i ，则下列说法正确的是（）A ．z 在复平面内对应的点在第一象限B ．|z|=2C ．z 的虚部是iD ．z 的实部是133．（2021·山东莱西·高一期末）设复数()()3i 2i z m =+-+，i 为虚数单位，m ∈R ，则下列结论正确的为（）A ．当213m <<时，则复数z 在复平面上对应的点位于第四象限B ．若复数z 在复平面上对应的点位于直线210x y -+=上，则1m =C ．若复数z 是纯虚数，则23m =D ．在复平面上，复数1z -对应的点为Z '，O 为原点，若10OZ '=，则2m =34．（2021·广东白云·高一期末）已知复数()cos sin i 3z αα=+()α∈R （i 为虚数单位），下列说法正确的有（）A ．当π3α=-时，复平面内表示复数z 的点位于第二象限B ．当π2α=时，z 为纯虚数C ．z 最大值为3D ．z 的共轭复数为()cos sin i 3z αα=-+()α∈R 35．（2021·浙江·效实中学高一期中）已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈B ．若复数z 满足z R ∈，则z R∈C ．若复数2i1iz =+，则z 的值为2D ．若复数z 满足i 3i z z +=-，则||z 的最小值为136．（2021·浙江宁波·高一期末）已知复数122i z =-（i 为虚数单位），复数2z 满足2i 1z -=，则下列结论正确的是（）．A ．1z 在复平面内所对的点在第四象限B ．21z z -在复平面内对应的点在第一象限C ．12z z -的最大值为131+D ．12z z +的最小值为131-三、填空题37．（2021·湖北·高一期末）已知m R ∈，复平面内表示复数22i (56)()--++m m m m 的点在虚轴上，则m=_____________．38．（2021·全国·高一课时练习）若复数cos 1isin z θθ=++，则z 的最大值为______．39．（2021·全国·高一课时练习）设复数z=(a 2-1)+(a 2-3a+2)i ，若z 2<0，则实数a 的值为____.40．（2021·上海中学高一期末）已知sin i 2cos ((0,2))2sin i cos z αααπαα+=∈+，则z 的取值范围是__________．四、解答题41．（2021·上海·高一单元测试）实数m 分别为何值时，复数z 2233m m m +-=++（m 2﹣3m ﹣18）i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．42．（2021·全国·高一单元测试）已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．43．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()()2690x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数满足20z a bi z ---=，求z 的最小值．44．（2021·全国·高一单元测试）如图，已知复平面内平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为2+2i ，BC 对应的复数为4-4i .（1）求D 点对应的复数；（2）求平行四边形ABCD 的面积.【答案详解】1．D 【详解】由题意，全集U C =，实数集为R ，纯虚数集为M ，可得{}{|,,,0}0U M z z a bi a b R a ==+∈≠⋃ð，所以U R M R ⋂=ð.故选：D.2．C 【详解】复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系,故A 正确；在复平面中，实轴上的点都表示实数，但是虚轴上的点是除了坐标原点外，都表示纯虚数，故B 正确，C 错误；复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系，故D 正确..故选：C.3．A利用特列法可判断①②③都不正确.【详解】在①中0,a b i ==时，z 不为纯虚数，故①错误；在②中12,1z i z ==时，2120z z +=，但120z z ≠≠，故②错误；在③中，0a =时，00i ⨯=不是纯虚数，故③也是错误的.故选：A.4．A 【详解】因为()()()52i 52i 2i 2i 2i z -+===-+-----+，因此，复数z 的虚部为1.故选：A.5．A 【解析】【详解】解：因为()12i 34i z +=-，()2234i 345-=+-=，所以()12i 5z +=，所以()()()()()22512i 512i 512i 12i 12i 12i 12i z --====-++--所以复数z 的虚部为2-；故选：A 6．D 【解析】【分析】首先化简求得z ，由此求得z 的虚部.【详解】|34i |512i 12i z z +=-⇒=-，()()()512i 12i 12i 12i z +==+-+，所以z 的虚部是2.故选：D 7．D 【解析】【分析】根据复数相等求出,x y ，即可得出所求.【详解】()1i 23i x y +=--，123y x =-⎧∴⎨=-⎩，解得31x y =-⎧⎨=⎩，3i z ∴=-+，()23110z ∴=-+=.故选：D.8．A 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-，1,2,1a b a b ∴==∴-=-.故选：A .9．B 【详解】A ：121,z z i ==时，12||||z z =，显然12z z ≠，错误；B ：11z z =则虚部为0，即1z 为实数，正确；C ：2z 为非零实数时，220z >也成立，错误；D ：1z i =，2z i =-时，()()221211220z z i i -+-=-+=，错误.10．D【详解】复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A 错；i(,R)z a b a b =+∈表示纯虚数的条件是0a =且0b ≠，因此B 错；i z a =时，也有z a =，C 错；12z z =时有12=z z ，但12z z =-时也有12=z z ，D 正确．故选：D ．11．C【详解】()()()2i 1i =22i z m m m =++-++，复数()()2i 1i z m =++为纯虚数，则20m -=，解得：2m =，所以则“2m =”是“复数()()2i 1i z m =++为纯虚数”的充要条件故选：C12．C【详解】因为22345z =+=，所以①是假命题；因为2i z m =+，所以2i z m =-，所以由2z z +=可得1m =，故②为真命题；易知命题③为真命题；设i z a b =+，则由2222i z a b ab =-+∈R ，可得0ab =，所以z 的实部与虚部至少有一个为0，故④为真命题．综上，真命题的个数为3，故选：C ．13．D【解析】【分析】利用复数的除法运算，可得z=2-i ，则z 的对应点为(2,-1)，即得解【详解】∵1-i -2z =1+i,∴z-2=21-i (1-i)1i (1i)(1-i)=++=-i,∴z=2-i,∴z 的对应点为(2,-1)14．A【解析】【分析】根据()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，求出m 的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：因为()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，所以3010m m +>⎧⎨-<⎩，解得31m -<<，()()()2222312410218z m m m m m =++-=++=++，因为31m -<<，所以()[)210,2m +∈，则())221822,4m ⎡++∈⎣，所以复数z 的模的取值范围是)22,4⎡⎣.故选：A.15．D【解析】【分析】利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z ，再逐项判断.【详解】因为()50520204(2i)i i 1z -===，所以()()()212i 2i 2i 1i 55i 2z +--=++==， A.复数z 的模为22215555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误；B.复数z 的共轭复数为21i 55z =-，故错误；C.复数z 的虚部为15，故错误；D.复数z 在复平面内对应的点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以在第一象限，故正确；故选：D16．B【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得||2a ≤，从而可得选项.【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，所以222a b +=①，222c d +=②.又122z z =，所以(i)(i)()i 2a b c d ac bd ad bc ++=-++=，所以2ac bd -=③，0ad bc +=④.由①+②-③×2，得22()()0a c b d -++=，所以a c =，0b d +=.所以2i z a b =-，由①知||2a ≤，故122||22z z a +=≤.故选：B.17．D【解析】【分析】设z ＝x +y i （x ，y ∈R ），由题意可知动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，然后即可得到P ，A ，O 三点共线时|z +1-i|+|z |取得最大值时,从而可求出答案.【详解】设z ＝x +y i(x ，y ∈R )，由|z +2-2i|＝2知，动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，而|CO |＝22，|CA |＝2，易知当P ，A ，O 三点共线时，|z +1-i|+|z |取得最大值时，且最大值为|PA |+|PO |＝(|CA |+2)+(|CO |+2)＝324+，故选：D ．18．B【解析】【分析】设()i ,z x y x y R =+∈，根据条件可得221x y +≤，2i z -表示点(),x y 与点()0,2间的距离，转化为求圆221x y +=上及其内部的点与点()0,2间的距离的最大值，由圆的性质可得答案.【详解】设()i ,z x y x y R =+∈，则由1z ≤，可得221x y +≤所以点(),x y 在圆221x y +=上及其内部.()()222i 2i 2z x y x y -=+-=+-表示点(),x y 与点()0,2间的距离.即求圆221x y +=上及其内部的点与点()0,2间的距离的最大值.圆心与点()0,2间的距离为2所以圆221x y +=上及其内部的点与点()0,2间的距离的最大值为213+=故选：B19．B【解析】【分析】根据复数的定义、复数的分类判断．【详解】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．因此只有B 正确．故选：B ．20．B【解析】【分析】结合复数概念直接判断即可.【详解】12z i =-的虚部是2-.故选：B 21．B【解析】【分析】根据共轭复数的概念可求出z ，从而根据复数模的公式可求出答案.【详解】因为3i z =+，所以3i z =-，所以()()22312z =+-=．故选：B.22．D【解析】【分析】根据复数的定义和几何意义即可解答.【详解】A ：()()i i 2i a b a b b +--=，当0b =时,2i b 不是纯虚数，故A 错误；B ：如果a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a 、b 、c 、d ∈R 时，a ＝c ，b ＝d ，故B 错误；C ：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C 错误；D ：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D 正确.故选：D.23．D【解析】【分析】先等价转化各个命题，再逐一验证哪一个命题为假命题.【详解】1z =等价于：221a b +=，i z a b =+的虚部为12等价于：12b =，复数z 对应的点位于第二象限等价于：00a b <⎧⎨>⎩，1z z +=等价于：12a =，显然命题丙与丁矛盾，两者一定有一个假命题；若丙为假命题，则12a b ==，但不符合221a b +=（舍）；若丁为假命题，则由221012a b a b ⎧⎪+=⎪<⎨⎪⎪=⎩，得：32a =-（符合题意）；终上所述，丁为假命题.故选：D.24．B【解析】【分析】根据已知条件结合复数的几何意义确定12,z z 所对应点的轨迹方程，然后确定3z ，结合复数几何意义及圆的切割线定理即可求出结果.【详解】设cos sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩（R θ∈），则()2211x y +-=，即12,z z 所对应点在以()0,1为圆心，1为半径的圆上，设该圆与y 轴交点()0,2A ，因为模为1的纯虚数3z 对应复平面内的点为3Z ，即3i z =±，若313212Z Z Z Z =，则1Z 为23,Z Z 的中点，故3i z =对应的点()0,1不合题意，舍去，因此3i z =-，由圆的切割线定理可得132333Z Z Z O A Z Z Z ⋅=⋅，设3312,2Z m Z Z Z m ==，则132m m ⨯=⋅，则62=m ，则1262z z -=.故选：B.25．B【解析】【分析】根据复数的几何意义求出复数z 的模，结合二次函数的性质即可求出模的最小值.【详解】由题意得，(2)iz x x =+-所以222(2)2(1)2z x x x =+-=-+，令22(1)2y x =-+，1[]2x ∈-，，当1x =时，函数y 有最小值，且min 2y =，所以min 2z =.故选：B26．C【解析】【分析】利用复数相等列方程组，由此求得b .【详解】由于1i 32i a a b -+=+，所以13422a a a b b -==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩.故选：C27．A【解析】利用复数和模的定义，即可求解【详解】设1z n mi =+，且0m ≠，22222221()n mi n m z n mi n mi n m i n mi n m n m m n -=++=++=++-++++，2z 为实数，则22221(1)0m m m m n m n -=-=++，得221+=m n 则2222122222()n m n m n m i n mi i z n m m n m z n m n ++----==+++-+，则21z z -的值为()22222221n m n m n m +=+=+故选：A28．C【解析】【分析】由复数的运算化简0z ，由0z 为纯虚数可求得a 的值，从而可求得0z ，0Z ，设(),Z x y 且221x y +=，11y -≤≤，由两点间的距离公式即可求解点Z 与0Z 之间的最大距离.【详解】由()()()()()02i 1i 22i 2i 1i 1i 1i 2a a a a z +-++-+===++-，因为复数02i 1ia z +=+（i 是虚数单位，a ∈R ）是纯虚数，所以20a +=，解得2a =-，所以02i z =，则()00,2Z ，由于1z =，故设(),Z x y 且221x y +=，11y -≤≤，所以()2222024454543ZZ x y x y y y =+-=++-=-≤+=，故点Z 与0Z 之间的最大距离为3.故选：C.29．B【解析】【分析】结合复数在平面内所对应的点的特征，得到不等式组234020m m m ⎧+-<⎨+<⎩，解之即可求出结果.因为()()2342i =+-++z m m m 在复平面内对应的点在第三象限，所以24134042220m m m m m m ⎧-<<+-<⎧⇒⇒-<<-⎨⎨<-+<⎩⎩，则实数m 的取值范围是()4,2--，故选：B.30．B【解析】【分析】根据欧拉公式代入求解即可.【详解】解：根据欧拉公式i e cos isin x x x =+，得3πi 43π3π22e cos isin i 4422=+=-+，即它在复平面内对应的点为22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故位于第二象限.故选：B.31．AD【解析】【分析】由虚数的概念可判断ABC ，由复数的几何意义可判断D.【详解】对于A ，根据虚数的定义，A 正确；对于B ，虚数不能比较大小，B 错误；对于C ，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C 错误；对于D ，对应点的坐标为()231,22t t t -++，因为()2222110t t t ++=++>，所以点在x 轴上方，D 正确．故选：AD ．32．ABD【解析】【分析】根据题意先求出z ，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.【详解】实数x ，y 满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y )i =0，∴200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，，解得x=y=1，∴z=x+y i =1+i.对于A ，z 在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A 正确.对于B ，|z|=112+=，故B 正确.对于C ，z 的虚部是1，故C 错误.对于D ，z 的实部是1，故D 正确.故选：ABD.33．AC【解析】【分析】由()()3i 2i z m =+-+，得(32)(1)i z m m =-+-，然后逐个分析判断即可【详解】由()()3i 2i z m =+-+，得(32)(1)i z m m =-+-，对于A ，当213m <<时，0321m <-<，1103m -<-<，所以复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，所以A 正确，对于B ，若复数z 在复平面上对应的点位于直线210x y -+=上，则322(1)10m m ---+=，解得1m =-，所以B 错误，对于C ，若复数z 是纯虚数，则320m -=且10m -≠，解得23m =，所以C 正确，对于D ，由(32)(1)i z m m =-+-，得1(33)(1)i z m m -=-+-，则(33,1)Z m m '--，由10OZ '=，得22(33)(1)10m m -+-=，2(1)1m -=，得2m =或0m =，所以D 错误，故选：AC34．BC【解析】【分析】利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.【详解】对于A ，当π3α=-时，ππ33313cos sin i i 22z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⎣⎦-⎭=+，复平面内表示复数z 的点位于第四象限，故A 错误；对于B ，当π2α=时，ππcos sin i 3i 223z ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+=，为纯虚数，故B 正确；对于C ，222cos 3sin 12sin z ααα=+=+，最大值为3，故C 正确；对于D ，z 的共轭复数为()cos sin i 3z αα=-，故D 错误.故选：BC.35．BD【解析】【分析】A 举反例判断；B 根据复数代数形式证明判断；C 计算复数模判断；D 根据Z 点轨迹方程判断．【详解】解：对于A ，当i z =时，21z R =-∈，但i z =∉R ，所以A 错；对于B ，设i z a b =+，(,)a R b R ∈∈，因为z R ∈，所以0b =，于是i z a b a =-=∈R ，所以B 对；对于C ，因为2i 1iz =+，所以|2i |2||22|1i |2z ===≠+，所以C 错；对于D ，设i z x y =+，(,)x R y R ∈∈，由|i ||3i |z z +=-，所以()()222213x y x y ++=+-，整理得1y =，即|i ||3i |z z +=-的轨迹是直线1y =，所以||z 的最小值为点(0,0)到直线1y =的距离，即min ||1z =，所以D 对．故选：BD ．36．AC【解析】【分析】复数122z =-i 在复平面内对应的点为(2,2)P -，故选项A 正确；复数2z 在复平面内对应的点Q 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆，故21z z -在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B 错误；12||z z -的最大值为||1131PC +=+，故选项C 正确；12||z z +的最小值为||151P C '-=-，故选项D 错误．【详解】复数122z =-i 在复平面内对应的点为P ，则(2,2)P -，所以点P 在第四象限，故选项A 正确；复数2z 满足2|z -i|=1，则2z 在复平面内对应的点Q 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆，故21z z -在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B 错误；12||z z -表示点P ，Q 之间的距离，所以12||z z -的最大值为||1131PC +=+，故选项C 正确；12||z z +表示点Q 与点(2,2)P '-之间的距离，所以12||z z +的最小值为||151P C '-=-，故选项故选：AC37．1-或6【解析】【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为2(56m m --，2)m m +，若点在虚轴上，则2560m m --=，解得1m =-或6m =．故答案为：1-或6.38．2【解析】【分析】根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】()22cos 1sin 22cos z θθθ=++=+，当cos 1θ=时，max 2z =，故答案为：239．1-【解析】【分析】由20z <知z 一定为纯虚数,可得2210,320a a a ⎧-=⎨-+≠⎩，即可得到答案；【详解】由20z <知z 一定为纯虚数,所以得2210,320a a a ⎧-=⎨-+≠⎩解得 1.a =-故答案为：1-40．2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．由题意2222222sin i 2cos sin i 2cos sin 2cos 2sin 311sin 1sin 2sin i cos 2sin icos 2sin cos z ααααααααααααααα+++-=====-+++++，20sin 1α≤≤，233321sin α≤≤+，所以222z ≤≤．故答案为：2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．41．（1）m ＝6；（2）m ≠﹣3且m ≠6；（3）m ＝1或m 32=-．【解析】【分析】（1）根据复数是实数，得虚部为零即可．（2）根据复数是虚数，则虚部不为零即可．（3）根据复数是纯虚数，得实部为零，虚部不为0．【详解】解：（1）若复数是实数，则2318030m m m ⎧--=⎨+≠⎩，即363m m m =-=⎧⎨≠-⎩或，得m ＝6；（2）如复数是虚数，则2318030m m m ⎧--≠⎨+≠⎩，即363m m m ≠-≠⎧⎨≠-⎩且，则m ≠﹣3且m ≠6；（3）如复数是纯虚数，则22230303180m m m m m ⎧+-=⎪+≠⎨⎪--≠⎩，则312336m m m m m ⎧==-⎪⎪≠-⎨⎪≠-≠⎪⎩或且，即m ＝1或m 32=-．42．（1）1262z =；（2）13a >【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解.【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-.（1）13251122i z i i -+==---，∴1262z =；（2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-，又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >．【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．43．（1）3a b ==；（2）2．【解析】（1）复数方程有实根，方程化简为0(a bi a +=、)b R ∈，利用复数相等，即00a b =⎧⎨=⎩解方程组即可．（2）先把a 、b 代入方程，同时设复数z x yi =+，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出z ，得到||z ．【详解】解：（1）b 是方程2(6)90()x i x ai a R -+++=∈的实根，2(69)()0b b a b i ∴-++-=，∴2690b b a b ⎧-+=⎨=⎩解得3a b ==．（2）设(,)z x yi x y R =+∈，由|33|2||z i z --=，得2222(3)(3)4()x y x y -++=+，即22(1)(1)8x y ++-=，z ∴点的轨迹是以1(1,1)O -为圆心，22为半径的圆，如图所示，当z 点在1OO 的连线上时，||z 有最大值或最小值，1||2OO =，半径22r =，∴当1z i =-时．||z 有最小值且||2min z =．【点睛】本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．属于中档题．44．（1）3﹣4i ；（2）16.解：（1）依题点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为2+2i ，得A (-1，0)，AB =(2，2)，可得B (1，2).又BC 对应的复数为4-4i ，得BC =(4,-4)，可得C (5,-2).设D 点对应的复数为x +yi ，x ，y ∈R .得CD =(x -5，y +2)，BA =(-2，-2).∵ABCD 为平行四边形，∴BA =CD ，解得x =3，y =-4，故D 点对应的复数为3-4i .（2）AB =(2，2)，BC =(4,-4)，可得：0AB BC ⋅=，∴AB BC ⊥22AB =，42BC =故平行四边形ABCD 的面积为224216⋅=。

复数练习题(有答案)doc

一、复数选择题1．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --2．已知复数1=-iz i，其中i 为虚数单位，则||z =（） A ．12B．2CD ．23．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．若20212zi i =+，则z =（）A ．12i -+B ．12i --C ．12i -D ．12i +5．212ii+=-（） A ．1B ．−1C ．i -D ．i6．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（） A ．97-B ．7C ．97D ．7-7．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1C．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限8．))5511--+＝（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 9．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（）A ．3i -B ．3i --C ．3i +D ．3i -+10．已知复数()211i z i-=+，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i -11．已知复数z 满足22z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上C ．恒在直线y x =上D ．恒在直线y x=-上 12．复数2ii-的实部与虚部之和为（）A ．35B ．15-C ．15D ．3513．已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（） A ．75B ．75-C ．15D ．15-14．已知i 是虚数单位，设11iz i，则复数2z +对应的点位于复平面（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若复数11iz i，i 是虚数单位，则z =（） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为219．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =20．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12-21．若复数z 满足()1z i i +=，则（）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =22．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 23．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知复数122,2z i z i =-=则（） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =25．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为226．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（）A．若0m =，则共轭复数1z =- B ．若复数2z =，则m C ．若复数z 为纯虚数，则1m =± D ．若0m =，则2420z z ++= 27．以下为真命题的是（） A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 28．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -29．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（） A．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( )A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】解：， . 故选：D. 解析：D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】解：()2211122z i i i i =-=-+=-，()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.2．B 【分析】先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】由于，则. 故选：B【分析】先利用复数的除法运算将1=-iz i化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+，则||2z ===. 故选：B3．B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B4．C 【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】由已知可得，所以. 故选：C解析：C 【分析】根据复数单位i 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】由已知可得202150541222(2)21121i i i i i i z i i i i i i ⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i =-. 故选：C【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】，故选：D解析：D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i ii i i i i +++++====--+-，故选：D6．B 【分析】先求出，再解不等式组即得解. 【详解】依题意，，因为复数为纯虚数，故，解得. 故选：B 【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B 【分析】先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解.【详解】依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+，因为复数z 为纯虚数，故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =. 故选：B 【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.7．C 【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】，，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误；，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误. 故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项. 【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-，则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正；2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.8．D 【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故选：D.解析：D 【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.9．A 【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为，所以，复数的共扼复数是，故选：A解析：A 【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为313i z i ⋅=-，所以()13133iz i i i i-==-=+-，复数z 的共扼复数是3z i =-，故选：A10．B 【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意可得，则. 故答案为：B解析：B 【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意可得()()()()()212111111i i i z i i i ii i ---===--=--++-，则1z i =-+.故答案为：B11．A 【分析】先由题意得到，然后分别计算和，再根据得到关于，的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数在复平面内对应的点为得，则，，根据得，得，.所以复数在复平面内对应的点恒在实轴上，故解析：A 【分析】先由题意得到z x yi =+，然后分别计算2z 和2z ，再根据22z z =得到关于x ，y 的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数z 在复平面内对应的点为(),x y 得z x yi =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+，根据22z z =得222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，得0y =，x ∈R .所以复数z 在复平面内对应的点(),x y 恒在实轴上，故选：A ．12．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .13．D 【分析】先化简，求出的值即得解. 【详解】，所以. 故选：D解析：D 【分析】先化简345ia bi -+=，求出,ab 的值即得解. 【详解】22(2)342(2)(2)5i i ia bi i i i ---+===++-，所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D14．A 【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果. 【详解】由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果. 【详解】由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-，222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.15．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-，所以1z i =-=．故选：C ．二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈；当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-，所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 18．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确；易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 19．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.20．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.21．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)1(1)(1)2i i z i i i --====-+-，所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题22．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.24．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.25．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围26．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误；对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.27．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--，则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=，但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 28．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．29．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。

复数练习题(有答案)doc

一、复数选择题1．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（）A ．1i -B ．1i +C ．1122i + D ．1122i - 2．若20212zi i =+，则z =（） A ．12i -+ B ．12i --C ．12i -D ．12i +3．212ii+=-（） A ．1 B ．−1 C ．i - D ．i 4．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（）A ．－1B ．1C ．－iD ．i5．已知i 为虚数单位，复数12i1iz +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若复数z 满足421iz i+=+，则z =（） A ．13i + B ．13i -C ．3i +D ．3i -7．设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．若1i iz ，则2z z i ⋅-=（）A ．B ．4C ．D ．89．复数2ii -的实部与虚部之和为（） A ．35 B ．15- C ．15D ．3510．31-（）A ．i -B ．iC ．iD ．i - 11．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --12．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（） A ．3B ．5C ．6D ．813．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（）A ．-1B ．1C ．i -D ．i14．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（）A ．15B C D ．515．题目文件丢失！二、多选题16．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是（）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-17．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 18．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点19．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 21．下列说法正确的是（） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件22．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（） A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>23．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nnnz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数24．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限25．以下为真命题的是（） A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数26．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =27．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( ) A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y == B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于1 28．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限29．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为，所以其共轭复数为. 故选：D. 解析：D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+，所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.2．C 【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】由已知可得，所以. 故选：C解析：C 【分析】根据复数单位i 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】由已知可得202150541222(2)21121i i i i i i z i i i i i i ⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i =-. 故选：C3．D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】，故选：D解析：D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i ii i i i i +++++====--+-，故选：D4．B 【分析】，然后算出即可. 【详解】由题意，则复数的虚部为1 故选：B解析：B 【分析】1iz i -+=，然后算出即可. 【详解】由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B5．C 【分析】利用复数的除法法则化简，再求的共轭复数，即可得出结果. 【详解】因为，所以，所以复数在复平面上的对应点位于第三象限，故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果. 【详解】因为212(12)(1)11i i i z i i +++==-- 1322i =-+，所以1322z i =--，所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限，故选：C.6．C 【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出. 【详解】，故. 故选：C.解析：C 【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z . 【详解】()()()()421426231112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.7．D 【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D解析：D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点【详解】因为211i z i i==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限.故选：D8．A 【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得．【详解】因为，所以，所以故选：A解析：A 【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --．【详解】因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-= 故选：A9．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .10．B首先，再利用复数的除法运算，计算结果. 【详解】复数.故选：B解析：B【分析】首先3i i=-，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】3133i ii+====.故选：B11．A【分析】采用待定系数法，设，由复数运算和复数相等可求得，从而得到结果.【详解】设，则，，，解得：，.故选：A.解析：A【分析】采用待定系数法，设(),z a bi a b R=+∈，由复数运算和复数相等可求得,a b，从而得到结果.【详解】设(),z a bi a b R=+∈，则z a bi=-，()()22313z z a bi a bi a bi i∴-=+--=+=+，133ab=⎧∴⎨=⎩，解得：11ab=⎧⎨=⎩，1z i∴=+.故选：A.12．D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b值即可求解【详解】，故则故选：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D13．B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【详解】由，得，，则的虚部是1．故选：．解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求．【详解】由(12)43i z i +=+，得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i iz i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+，则z 的虚部是1．故选：B ．14．B 【分析】利用复数除法运算求得，再求得. 【详解】依题意，所以. 故选：B解析：B 【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z . 【详解】依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==故选：B15．无二、多选题16．ABCD 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD 【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项. 【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.17．ACD 【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.19．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.20．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.21．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.22．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴213142422ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．23．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则122z =-，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+，取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.24．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；22111122212ω---====-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.25．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--，则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=，但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 26．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．27．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确；对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 28．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.29．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。

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复数的概念（1）一、选择题1、若 z1与 z2互为共轭虚数，则满足条件|z-z1| 2 -|z-z2 | 2 =|z 1-z 2| 2的复数 z 在平面上表示的图形是(A)双曲线 (B)平行于 x 轴的直线(C) 平面于 y 轴的直线(D)一个点翰林汇2、设 z 是纯虚数，则()(A)|z| 2 =z2(B)|z|2=-z 2(C)=-z 2(D)z 2 =-z 2翰林汇3、已知全集 C={复数 } ， Q={有理数 } ， S={无理数 } ， R={实数 } ，P={ 虚数 } ，那么∪ 为()(A)S(B)C(C)R(D)Q 翰林汇4、已知 M={1， 2， m2-3m-1 ＋(m2-5m-6)i}， N={-1 ， 3} ，M∩N＝ {3} ，则实数 m 为(A)-1或 6(B)-1 或 4(C)-1(D)4翰林 5、若 (m2-3m-4) ＋(m2-5m-6)i 是纯虚数，则实数m的值为()(A)-1(B)4(C)-1或 4(D) 不存在翰林汇6、设集合 C={复数 } ，R={实数 } ， M={纯虚数 } ，其中 C 为全集，则 ()(A)M∪R=C(B)R∪=C(C)M∩R={0}(D)C∩=M翰林汇7、在复平面内，与复数z=-1-i 的共轭复数对应的点位于()(A)第一象限(B) 第二角限(C)第三象限(D) 第四象限翰林汇8、如果用 C、 R 和 I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中 C 为全集，则(A)=C∩I(B)R∩I={0}(C)R∩I=?(D)C=R∪I翰林汇9、复数 (i-) 3的虚部是(A) -8(B)-8i(C)8(D) 0 翰林汇10、设 z 为复数 ,且(z-1)2=|z-1|2那么 z 是( )(A) 纯虚数(B) 实数(C) 虚数(D)1翰林汇 11、在复平面内，复数z 满足 1<|z|<2，则 z 所对应的点 P 的集合构成的图形是(A)圆(B)直线(C)线段(D)圆环翰林汇12、下列命题中正确的是()(A)每个复数都有唯一的模和唯一的辐角主值(B)复数与复平面内的点是一一对应的(C)共轭虚数的 n 次方仍是共轭复数(D)任何两个复数都不能比较大小翰林汇13、设复数 z=sin500-icos500则 arg等于(A)10 0(B)800(C)2600(D)3500翰林汇 14、已知π＜θ＜, 复数 z=|cos θ |+ i |sinθ|的辐角主值是() (A) π－θ(B) π +θ(C) θ－π(D) θ翰林汇15、已知π＜θ＜, 复数 z=|cos θ|+ i |sinθ|的辐角主值是()(A) π－θ(B) π+θ(C) θ －π(D) θ翰林汇16、设 z 为虚数 , 则 z2一定是()(A) 非负实数或虚数(B) 负数或虚数(C) 虚数(D) 有可能是正数翰林汇17、下列命题正确的是()(A)|z| ＜1－1＜z＜1(B) 共轭复数的差一定是纯虚数(C)|z|=1(D) 共轭复数的辐角之和为零翰林汇18、复数 z 1=(a ＋ bi)n,z 2 =(a － bi)n (a,b R且 b≠0,n N), 则 z1与 z2的关系是 ()(A) 共轭复数(B)共轭复数或相等实数(C) 相等的实数(D)以上都不对翰林汇19、设复数 z 1、 z 2, 则 z1 =的一个必要不充分条件是(A)|z 1－|=0(B)=z2(C)z 1 =z2(D)|z1|=|z2|翰林汇数 z=2i-3的共轭复数是()(A)-3＋2i(B)2i＋3(C)-2i＋3(D)-2i-3翰林汇二、填空题1、已知 x，y是纯虚数，且满足(2x-1) ＋ i=y-(3-y)i，则x=___，y=___。

翰林汇2、复数 z=(a 2-2a)+(a 2-a-2)i的对应点在虚轴上，则实数 a 的值是＿＿＿＿＿＿。

翰林汇3、若 a?R， z=1 ＋ai ，则 z ＋?R 的充要条件是 _________。

翰林汇4、 z 为复数，由复数 z，所组成的集合，最多含 __个元素。

翰林汇5、设 x 是实数， y 是纯虚数且满足 (2x-1)+i=y-(3-i)i则 x=_____,y=________. 翰林汇6、 |z 1 |=10,z 2=6+8i, 且 z 1·为纯虚数，则 z1=________. 翰林汇7、已知 (2x-1)+i=y-(3-y)i, x , y则 x=________,y=________. 翰林汇8、设 m R 复数 z=(m2 -m-2)+(m 2-1)i对应的点在第二象限，则 m____;而当 m=________时 , z为实数；当 m=＿＿＿＿＿＿时 , z为纯虚数。

翰林汇9、如果 x-1+yi,与 i-3x是共轭复数则实数x 与 y 分别是＿＿＿＿＿＿。

翰林汇10、已知复数 z 的模为 2，虚部为 -1 ，它在复平面上的对应点位于第三象限，则z 的共轭复数是 _____。

翰林汇三、判断题1、判断下列命题是否正确：(1)若 z 1 , z 2 ∈C,且 | z 1| = | z 2| ,则 z1= ±z2()(2)若 a, b ∈R,且 a ＞b ,则 ai ＞ bi()(3)与自身共轭的复数一定是实数()翰林汇2、判断下列各命题是否正确：(1)22= 0 ,则 z 1= 0且 z2= 0()若 z 1 + z2(2)若 z 1－z 2＞0 , 则 z 1＞ z2()翰林汇3、判断下列各命题是否正确：(1)若 z∈C,则 z2≥0()(2)若 z 1·z = 0 ,则 z 1 = 0或 z2= 0() 翰林汇24、判断命题的真假：任意两个复数都不能比较大小。

() 翰林汇5、判断命题的真假：若x,y ∈R,且 x=y, 则(x-y)+(x+y)是纯虚数() 翰林汇6、判断命题的真假：的充要条件是 x1=x2, 且 y 1=y2 .()翰林汇7、若 z 是复数，判断下面命题的真假：(1)|z2 |=|z| 2() ；(2)|z| ≤1- 1≤z≤1 ()翰林汇8、若 z 是复数，判断下面命题的真假：(1)|z|2=z2() ；(2)|z|2z 2() 翰林汇9、若 z,z 1 ,z 2都是复数，判断下面命题的真假：(1)() ；(2) 若|z 1|=|z 2 |, 则 z 1= z2() 翰林汇10、若 z 是复数，判断下面命题的真假：(1) 11、若是实数（）；（2）z 是复数，判断下面命题的真假：是纯虚数（）翰林汇(1)z 2≥0() ；(2)若|z|=1,则() 翰林汇12、若 z,z 1,z 2都是复数，判断下面命题的真假：(1)() ；(2)若，则 z1=z2 =0() 翰林汇四、解答题1、设复数 z 满足 |z|=2, 且 (z － a) 2 =a, 求实数 a 的值 .翰林汇2、z , z是复数 , z·z≠0, A=z1+z , B=z1+z2, 问A, B可不可比较大小 ?若不可以比说明原因, 若可12122以比说明大小关系并证明之 .翰林汇3、已知复数 z1、 z2满足 10z12＋5z22 =2z1z2，且 z1＋2z2为纯虚数，求证 3z1－z 2为实数 .翰林汇4、满足 z+ 是实数，且 z+3 的辐角主值是的虚数 z 是否存在？若存在，求出虚数 z ；若不存在，说明理由。

翰林汇5、已知复数当实数k和分别为何值时，是纯虚数？翰林汇复数的概念（ 1）〈答案〉一、选择题1、 B 翰林汇2、 B 翰林汇3、 B 翰林汇4、 C 翰林汇5、 B 翰林汇6、 B 翰林汇7、 B 翰林汇8、 C 翰林汇9、 A 翰林汇10、 B翰林汇11、 D翰林汇12、 B翰林汇13、 D翰林汇14、 C翰林汇15、 C翰林汇16、 B翰林汇17、 C翰林汇18、 B翰林汇19、 D翰林汇D翰林汇二、填空题1、-翰林汇2、翰林汇3、a=±1或 a=0翰林汇4、4翰林汇5、0， 4i翰林汇6、翰林汇7、翰林汇8、(1,2),翰林汇9、翰林汇10、-翰林汇三、判断题1、(1)╳(2)╳(3)√.翰林汇2、(1)╳ (2) ╳.翰林汇3、(1)╳(2) √.翰林汇4、╳翰林汇5、╳翰林汇6、╳翰林汇7、(1 ) √;(2) ╳翰林汇8、（ 1）╳；（ 2）╳.翰林汇9、(1)√;(2) ╳翰林汇10、(1)√;(2) ╳.翰林汇11、(1)╳;(2) √.翰林汇12、(1)√;(2) ╳.翰林汇四、解答题1、解： (1) 若实数 a≥0, 则z 必为实数 , 此时 z=2 或 z=－ 2,当 z=2 时,a 2－ 5a+4=0 解得 a 1=1, a 2 =4.当 z=－2 时 ,a 2 +3a+4=0 此方程无实数解 .(2) 若实数 a＜0, 则 z 必为虚数 , 且,2∵|z|=2,∴a －a－4=0,解得.注意到 a＜ 0, 故有，∴所求实数 a 的值为 1, 4,翰林汇2、A≤ B。

翰林汇3、由 10z22，得 10z122∴（ 3z122=0.1 ＋5z2=2z1 z2＋ 5z2－2z1z 2=0.－z2）＋（ z 1＋ 2z2）又∵z1＋2z2为纯虚数，∴假设z 1＋ 2z2 =bi(b ∈R，b≠0) ，则（ 3z1－ z 2）2 =- （ bi ）2 =b2. ∴3z 1－ z2 =±|b|∈R.故3z1－ z2为实数 .翰林汇4、不存在翰林汇5、当 k=-1 且或当且时，为纯虚数 . 翰。

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