最新17-153定积分的概念(1)汇总
定积分知识点总结数学
定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。
定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。
2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。
3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。
当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。
4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。
二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。
2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。
3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。
4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。
5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。
三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。
(完整版)定积分知识点汇总
(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。
我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。
一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。
1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。
2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。
三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。
对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。
2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。
常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。
分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。
5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。
1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。
利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。
定积分的概念【高等数学PPT课件】
4
2
ba , 24 4
2 4
2 4
sin xdx x
2 2, 4
1
2
2
4
sin xdx x
2. 2
性质7（定积分中值定理）
如果函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一点,
使
b
f ( x)dx
则 b a
f
(
x
)dx
0.
(a b)
例3 比较积分值 -2 e xdx和 2 xdx的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
f ()(b a)
(a b).
a
积分中值公式
证
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M(b
a)
m
1b
b a a
f ( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
dx x
的值.
解
f
(
x)
3
1 sin 3
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。
(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总在微积分学中，定积分是一个基本概念。
它是将一个区间上的函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。
在这篇文章中，我们将详细介绍定积分的相关知识点，包括定义、性质、计算方法以及一些重要的定理。
一、定积分的定义定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的面积或体积表示出来的过程。
这里我们主要探讨二维平面内的定积分。
在数学语言中，定积分的定义可以写作：$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$表示每份长度。
$x_i$是第$i$份区间的中间点，即$a+(i-\frac{1}{2})\Delta x$。
$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形的面积之和，$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于无穷大。
最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。
二、定积分的性质1. 线性性$\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$2. 区间可加性$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$3. 积分中值定理如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的，则存在一个$c\in[a, b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。
其中$c$称为积分中值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数（即$F'(x)=f(x)$）。
三、定积分的计算方法1. 分段函数对于分段函数$f(x)$，我们需要将其分段拆分并分别进行计算。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面就来对定积分的相关知识点进行一个全面的汇总。
一、定积分的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上连续，用分点＼（a ＝x_0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜＼cdots ＜ x_n ＝ b\）将区间＼（a,b\）等分成＼（n\）个小区间，在每个小区间＼（x_{i 1}， x_i\）上取一点＼（＼xi_i\）（＼（i ＝ 1, 2, ＼cdots, n\）），作和式＼（＼sum_{i ＝ 1}＾n f(＼xi_i) ＼Delta x\）（其中＼（＼Delta x ＝＼dfrac{b a}｛n}＼））。
当＼（n\）无限趋近于正无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的定积分，记作＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）。
二、定积分的几何意义1、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为正时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示由曲线＼（y ＝ f(x)＼），直线＼（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）和＼（x\）轴所围成的曲边梯形的面积。
2、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）的值为上述曲边梯形面积的相反数。
3、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上有正有负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴上方部分与＼（x\）轴所围成的面积减去曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴下方部分与＼（x\）轴所围成的面积。
三、定积分的性质1、＼（＼int_{a}＾｛a} f(x)dx ＝ 0\）2、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝＼int_{b}＾｛a} f(x)dx\）3、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x) ± g(x)dx ＝＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ±＼int_{a}＾｛b} g(x)dx\）4、＼（＼int_{a}＾｛b} kf(x)dx ＝ k ＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）（其中＼（k\）为常数）四、定积分的计算1、牛顿莱布尼茨公式如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。
定积分的概念 课件
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：
定积分的概念
似代替这小段时间内各时刻的速度，因此在 [ti 1 , ti ] 上可近似认为物体
作匀速直线运动，故有
si v( i )ti , i 1,2, , n ．
⑴ 分 割 ： 将 [T1 , T2 ] 任 意 分 成 n 个 小 时 间 段 [ti 1 , ti ] ， i 1, , n ， 其 中
t0 T1, tn T2 ．记 ti ti ti 1 ，在 [ti 1 , ti ] 内物体经过的路程为 si ，i 1,2, , n ．
x a,所
围成的曲边梯形的面积
A．
32-3
由于矩形的面积可直接计算，因此用平行
于 y 轴的直线将曲边梯形分成许多小曲边梯形，
并且因为 y f ( x ) 在 [a, b] 上连续，使得每一个
小曲边梯形上对应曲线的纵坐标 f ( x) 变化较
间间隔 [T1 , T2 ] 上的连续函数，且 v(t ) 0 ，求在时间间隔
[T1 , T2 ] 上物体所运动的路程 s ．
由于 v (t ) 是随时间 t 的变化而变化的，因而不能简单地利用匀
速直线运动的公式：
路程=速度×时间
来计算变速直线运动的路程．
32-8
下面也分四个步骤，求出在时间间隔 [T1 , T2 ] 内物体所运动的路程 s ．
② 当 b a 时，
① 当 b a 时，
a
将 [a, b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ], i 1,2, , n ，
记 xi xi xi 1 ， i 1,2, , n ， max{xi } ．
最新定积分的概念讲义
定积分的概念讲义定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，区间[x i －1，x i ] 的长度«Skip Record If...»。
② 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．③ 求和 作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，④ 取极限 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .即：«Skip Record If...»注：在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数«Skip Record If...»连续且恒有«Skip Record If...»。
那么定积分«Skip Record If...»表示由直线«Skip RecordIf...»（«Skip Record If...»），«Skip Record If...»和曲线«Skip Record If...»所围成的曲边梯形的面积。
(3 )定积分的性质① «Skip Record If...»②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）③⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x . （定积分的线性性质）④⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )． （定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：«Skip Record If...» ②推广:«Skip Record If...» ③性质解释：【例题精讲】例1．计算定积分«Skip Record If...»分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为«Skip Record If...»。
定积分的概念 课件
，求下列定积分的值：
① 0e(2x+x2)dx；
② 0e(2x2-x+1)dx.
【解题探究】1.题(1)中求
2
0
f(x)dx时需分几段?
2.在题(2)中
2
0
[f(x)-2x]dx与
02f(x)dx，02(-2x)dx有何等量关
系?
3.在题(3)②中如何用已知定积分来表示所求积分值?
【探究提示】1.需分两段求解，一是 (0x1 +1)dx，另一个是
知识点1 定积分的概念与几何意义 1.对定积分概念与几何意义的三点说明 (1)定积分的概念是对“分割、近似代替、求和、取极限”这 四个步骤的高度概括，其中包含着重要的数学思想方法—— “以直代曲”，只有理解了定积分的定义过程，才能掌握定积 分的计算与应用.
(2)定积分
b
a
f(x)dx
是一个常数——实数，一般情况下，被积
因 为n13 Δin1xi=2 12，当16 (n1→ n1∞)(时2 ，n1 Δ) x2→. 0，
n
所以
(1x2+2)dx=lim
0
n
n i1
f
i
x
lim[1 (1 1 )(2 1 ) 2] 1 2 7 .
n 6
n
n
33
【延伸探究】若题(2)的积分区间变为［-1，1］，其余不变，
a g(x)dx= a
2 0ag(x)dx.
【微思考】
(1)定积分
02(x2+x+1)dx与
2
0
x2dx，
2
0
(x+1)dx有什么关系?
提示：02(x2+x+1)dx=02
定积分的概念 课件
定积分的概念
1．定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0＜x1 ＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小 区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1，2，…， n)，作和 sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…f(xn)Δ x，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在 时，如图③所示，则∫baf(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下， 则∫baf(x)dx＝0．
温馨提示 在利用定积分的几何意义求定积分时， 要特别注意曲边梯形所在的位置，以此为依据确定积分 值的符号．
4．定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx＝_k_∫__ba_f(_x_)_d_x_ (k 为常数)； (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝_∫__baf_1_(x_)_d_x_±__∫__ba_f2_(_x_)d_x__； (3)∫baf(x)dx＝∫__caf_(_x_)d__x_＋__∫__bcf_(_x_)d_x_，其中 a＜c＜b.
(2)∫21xdx 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面 积，由于这个梯形的面积为32，所以∫21xdx＝32.
(3)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形 为以原点为圆心，以 3 为半径的上半圆，如图 ③所示，其面积 S＝12·π·32＝92π.
由定积分的几何意义，知∫3－3 9－x2dx＝92π.
温馨提示 注意积分结果的符号问题．因为定积分∫
baf(x)dx 是介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x＝a，x＝ b 之间的各部分面积的代数和，在 x 轴上方的取正号，在 x 轴下方的取负号．
定积分的概念和性质公式
定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。
本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。
一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。
定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。
设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。
我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。
二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。
4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。
5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。
数学：153《定积分的概念》课件新人教A版选修
定积分在现代数学中的应用
物理中的应用
定积分在解决物理问题中发挥着重要作用，如计算变速直线运动 的位移、变力做功等问题。
工程中的应用
在工程领域，定积分被广泛应用于材料力学、流体力学、电路分析 等领域。
金融和经济中的应用
在金融和经济模型中，定积分常被用于描述连续变化的量，如利率 、汇率、股票价格等。
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极限思想
定积分是通过求黎曼和的 极限来定义的，体现了极 限的思想。
定积分的几何意义
曲边梯形面积
定积分可以用来计算曲边梯形的 面积，其中曲边梯形的一边是曲
线。
近似计算
通过将曲边梯形分割成若干个小矩 形，然后求和来近似计算面积。
精确结果
随着分割的越来越细，近似值会越 来越接近真实值，极限就是精确结 果。
详细描述
微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼茨公式）表明，对于连续函数在一个闭区 间上的定积分，可以转化为该区间上不定积分的原函数在区间端点处的值之差 。这为计算定积分提供了一种有效的方法。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法、分部积分法等。
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定积分的方法，适用于被积函数和积分区间都比较简单的情况。换元法是 通过改变积分变量来简化定积分的计算，适用于被积函数和积分区间比较复杂的情况。分部积分法是通过将两个 函数的乘积进行分部积分来计算定积分的方法，适用于被积函数是两个函数的乘积的情况。
数学153《定积分的 概念》课件新人教a版 选修
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 定积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的概念发展
01
定积分的概念与性质(new)
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a,b]: 积分区间
9
说明：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t
)dt
b
a
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时，
y
oa
b xo a
bx
（三个小矩形）
（六个小矩形）
想法：用多个矩形面积的和近似取代曲边梯形面积！
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边 梯形面积．
3
求曲边梯形面积的步骤： y
1、分割（任意方式）
2、近似
n
A Ai i 1
Ai f (i )xi
o a x1
i
b xi1 xi xn1
（定积分对于积分区间具有可加性）
19
性质 4
b
b
1 dx dx b a
a
a
性质5 若在[a, b]上 f (x) 0,
则 b f (x) dx 0， (a b). a
推论1 若 f (x) g(x)，x [a,b]
则
b
g(x)dx
b
f (x)dx.
2
2 4
sin x
xdx
2. 2
25
性质7（定积分中值定理）
若 f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
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17-153定积分的概念(1)1.6.1定积分的概念教材分析本节的主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质.教材在对两类典型问题——求曲边梯形的面积和求变速运动物体的位移进行详细讨论的基础上，抽象、概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质.在本节的开头，提出了如何计算平面“曲边梯形”的面积，如何求变速直线运动物体的位移、如何求变力做工等问题，并猜测解决它们的基本思想方法，即讲求“曲边图形”的面积转化为求“直边图形”的面积，利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题，从而引发学生学习定积分知识的兴趣.在教材的处理上，要大胆创新，明确求曲边梯形面积的步骤方法，结合学生的认知能力和思维习惯进行引导.，让学生充分体验“分割--—近似代替—--求和----取极限”的过程．针对课本题目较少的特点，例题和练习的选择要遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点，多角度，多层次地认识曲边梯形的面积，多梯度地进行求面积的训练.课时分配本课时是定积分部分的第一课时，主要解决的是定积分的概念问题.教学目标重点: 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义.难点：定积分的概念、定积分的几何意义.知识点：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景.能力点：能用定积分的定义求简单的定积分.教育点：特殊到一般的探究路程，享受从复杂到简单的和谐之美.自主探究点：图形的面积与定积分之间的关系.考试点：了解定积分的几何意义.易错易混点：在横轴下方部分图形的面积与定积分关系.拓展点：链接高考.教具准备实物投影机和粉笔.课堂模式基于问题驱动的诱思探究.一、创设情境复习回顾：从求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程的过程可以发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限.许多函数(例如«Skip Record If...»等)的图象都在某一区间«Skip Record If...»上的图像是一条连续不断的曲线.如图1.一般地,如果函数«Skip Record If...»在某一区间«Skip Record If...»上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数«Skip Record If...»称为区间«Skip Record If...»上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）如图1如图2如图3«Skip Record If...»；如图2.«Skip Record If...»；如图3.事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限.【设计意图】通过复习回顾求解步骤及结果的形式，使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知，逐渐过渡到对定积分的学习情境.二、探究新知1．定积分的概念一般地，设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续，用分点«Skip Record If...»将区间«Skip Record If...»等分成«Skip Record If...»个小区间，每个小区间长度为«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），在每个小区间«Skip Record If...»上取一点«Skip Record If...»，作和式：«Skip Record If...»如果«Skip Record If...»无限接近于«Skip Record If...»（亦即«Skip Record If...»）时，上述和式«Skip Record If...»无限趋近于常数«Skip Record If...»，那么称该常数«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的定积分.记为：«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»成为被积函数，«Skip Record If...»叫做积分变量，«Skip Record If...»为积分区间，«Skip Record If...»积分上限，«Skip Record If...»积分下限.说明：⑴定积分«Skip Record If...»是一个常数，即«Skip Record If...»无限趋近的常数«Skip Record If...»（«Skip Record If...»时）称为«Skip Record If...»，而不是«Skip Record If...»．⑵用定义求定积分的一般方法是：①分割：«Skip Record If...»等分区间«Skip Record If...»；②近似代替：取点«Skip RecordIf...»；③求和：«Skip Record If...»；④取极限：«Skip Record If...».⑶曲边图形面积：«Skip Record If...»；变速运动路程«Skip Record If...»；变力做功«Skip Record If...».⑷易得«Skip Record If...»，«Skip Record If...».2．定积分的几何意义如果在区间«Skip Record If...»上函数连续且恒有«Skip Record If...»，那么定积分«Skip Record If...»表示由直线«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），«Skip Record If...»和曲线«Skip Record If...»所围成的曲边梯形的面积.«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»如果在区间«Skip Record If...»上函数连续且恒有«Skip Record If...»，那么定积分«Skip Record If...»表示由直线«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），«Skip Record If...»和曲线«Skip Record If...»所围成的曲边梯形的面积.说明：一般情况下，定积分«Skip Record If...»的几何意义是介于«Skip Record If...»轴、函数«Skip Record If...»的图形以及直线«Skip Record If...»之间各部分面积的代数和，在«Skip Record If...»轴上方的面积取正号，在«Skip Record If...»轴下方的面积取负号．分析：一般的，设被积函数«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可取负值.考察和式«Skip Record If...»，不妨设«Skip Record If...»于是和式即为«Skip Record If...»«Skip Record If...»阴影«Skip Record If...»的面积—阴影«Skip Record If...»的面积（即«Skip Record If...»轴上方面积减«Skip Record If...»轴下方的面积）如图3．定积分的性质性质1 «Skip Record If...» （其中«Skip Record If...»是不为«Skip RecordIf...»的常数） （定积分的线性性质）性质2 «Skip Record If...» （定积分的线性性质）性质3 «Skip Record If...»【设计意图】使学生通过动手操作，实践体验的方法，切身感受到曲边图形的面积与定积分之间的关系.三、理解新知定积分«Skip Record If...»的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示，«Skip Record If...».«Skip Record If...»«Skip Record If...»，曲边梯形的面积.«Skip Record If...»«Skip Record If...»，曲边梯形的面积的负值.«Skip Record If...»阴影«Skip Record If...»的面积—阴影«Skip Record If...»的面积（即«Skip Record If...»轴上方面积减«Skip Record If...»轴下方的面积）.【设计意图】利用流程图帮助总结求曲边梯形面积的步骤，让学生进一步熟悉其操作步骤，做到烂熟于心.四、应用新知例1．利用定积分定义计算定积分«SkipRecord If...»的值解：令«Skip Record If...»，如图⑴．分割在区间«Skip Record If...»上等间隔地插入«Skip Record If...»个点，将区间«Skip Record If...»等分成«Skip Record If...»个小区间«Skip Record If...»，每个小区间的长度为«Skip Record If...»⑵．近似代替、作和取«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»⑶．取极限«Skip Record If...»例2．计算定积分«Skip Record If...»分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为«Skip Record If...».即：«Skip Record If...»思考：若改为计算定积分«Skip Record If...»呢？改变了积分上、下限，被积函数在«Skip Record If...»上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）【设计意图】由学生通过具体的问题进行自学、探究，分组讨论、交流，进一步让学生感受这种以直代曲、化曲为直的极限法求定积分.五、课堂小结定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义.六、布置作业1、必做题：«Skip Record If...»2、选做题：计算下列定积分1．«Skip Record If...»；解：«Skip Record If...».2．«Skip Record If...». 解：«Skip Record If...».七、反思提升1.本节课内容较主要是定积分的概念与几何意义和性质，定义由老师引领学生逐步理解和接受«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»选取的任意性，本节课的亮点是对几何意义的总结与归纳由学生自行总结，课件制作精良．2.本节课的不足之处是定义法求定积分练习题少，性质的应用有待下一步的进一步训练.八、板书设计。