矩阵对角化(精选)
矩阵可以对角化的充分必要条件
矩阵可以对角化的充分必要条件矩阵的对角化是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在矩阵的对角化中，有一个非常重要的定理，即矩阵可对角化的充分必要条件。
本文将从理论和实际应用两个方面，详细介绍矩阵可对角化的充分必要条件。
一、理论介绍我们来介绍矩阵的对角化。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵D，即P^{-1}AP=D，那么我们称矩阵A可对角化，且D为A的一个对角化矩阵。
接下来，我们来介绍矩阵可对角化的充分必要条件。
对于一个n阶方阵A，A可对角化的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。
为了更好地理解这个条件，我们来解释一下特征向量和特征值。
对于一个n阶方阵A和一个非零向量v，如果满足Av=λv，其中λ为一个常数，那么我们称v为A的一个特征向量，λ为对应的特征值。
特征向量和特征值的概念在线性代数中非常重要，它们可以描述矩阵的性质和变换。
而矩阵可对角化的充分必要条件即存在n个线性无关的特征向量，也就是说，对于一个可对角化的矩阵A，存在n 个不同的特征值和对应的特征向量。
二、实际应用矩阵的对角化在实际应用中有着广泛的应用。
以下我们将介绍两个常见的实际应用场景。
1. 线性变换在线性代数中，矩阵可以表示线性变换。
对于一个可对角化的矩阵A，它可以通过对角化得到一个对角矩阵D。
这样，原来的线性变换就变成了对角矩阵的线性变换。
对角矩阵的线性变换非常简单，只需要对每个坐标轴进行伸缩即可。
这种对角矩阵的线性变换在计算机图形学中有着广泛的应用，可以实现图像的缩放、旋转和平移等操作。
2. 特征值问题矩阵的特征值和特征向量在特征值问题中有着重要的应用。
特征值问题是求解形如Ax=λx的问题，其中A为一个已知矩阵，x为未知向量，λ为未知常数。
矩阵可对角化的充分必要条件即存在n个线性无关的特征向量。
对于特征值问题，我们可以通过对矩阵A进行对角化，得到特征值和特征向量。
特征值问题在物理学、工程学和计算机科学等领域中有着广泛的应用。
矩阵可对角化的充要条件
矩阵可对角化的充要条件矩阵可对角化的充要条件矩阵是线性代数中的重要概念，它是由一组数排成的矩形阵列。
在线性代数中，对于一个给定的方阵，我们希望能够找到一个相似矩阵，使得这个方阵可以被对角化。
那么什么样的矩阵可以被对角化呢？下面我们将从多个方面来探讨这个问题。
一、基本概念1. 矩阵相似如果存在一个可逆矩阵P，使得A = PBP^-1，则称A和B相似。
其中B是一个任意的方阵。
2. 特征值与特征向量设A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x使得Ax = λx，则称λ是A的特征值，x是A对应于λ的特征向量。
3. 对角矩阵如果一个n×n方阵只有主对角线上有非零元素，则称其为对角矩阵。
常用符号为D。
二、必要条件如果一个n×n方阵可以被对角化，则其必须满足以下条件：1. 线性无关所有特征向量必须线性无关。
2. 完备所有特征向量必须完备。
3. 重根如果有重根的特征值，则其对应的特征向量必须线性无关。
三、充分条件如果一个n×n方阵满足以下条件，则其可以被对角化：1. 存在n个线性无关的特征向量如果一个n×n方阵A有n个线性无关的特征向量，那么可以将它们组成一个矩阵P，使得A = PDP^-1，其中D是由A的特征值构成的对角矩阵。
2. 所有特征向量都是完备的如果所有特征向量都是完备的，则可以将它们组成一个矩阵P，使得A = PDP^-1，其中D是由A的特征值构成的对角矩阵。
3. 每个特征值都有足够数量的线性无关的特征向量如果每个特征值都有足够数量（等于其重数）的线性无关的特征向量，则可以将它们组成一个矩阵P，使得A = PDP^-1，其中D是由A的特征值构成的对角矩阵。
四、结论综上所述，当一个n×n方阵满足以上充分条件之一时，则该方阵可被对角化。
而当一个n×n方阵不满足以上必要条件之一时，则该方阵不可被对角化。
因此，在实际问题中，我们可以通过计算矩阵的特征值和特征向量来判断其是否能被对角化，并进一步求出对角矩阵。
第二十讲 矩阵的对角化
20.1 矩阵可对角化的条件设矩阵有个线性无关的特征向量令则是一个对角矩阵其对角元素是的特征值：20.1 矩阵可对角化的条件事实上，于是因可逆，故20.1 矩阵可对角化的条件若存在可逆矩阵使为对角矩阵，则称矩阵是可对角化的(diagonalized).由上面的分析知，反之也成立. 故有定理：矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量.20.1 矩阵可对角化的条件例：的特征值为故只有个线性无关的特征向量，因此不能对角化.20.1 矩阵可对角化的条件定理：设是的互异特征值，是相应特征向量. 则线性无关.证明：设两边左乘得再左乘得不断左乘直到得故有20.1 矩阵可对角化的条件左边第二个矩阵的行列式行列式因此该矩阵可逆，故由于特征向量均为非零向量，故所以线性无关.20.1 矩阵可对角化的条件推论：具有个两两互异特征值的矩阵可以对角化.但若矩阵有相同特征值，其也可能对角化.例：有重特征值任何可逆矩阵都使是对角阵. 这反映了所有非零向量都是单位矩阵的特征向量.20.2 特征值的代数重数和几何重数定义：设其中称为特征值的代数重数(algebraicmultiplicity)，记作称为特征值的几何重数(geometric multiplicity)，记作例：20.2 特征值的代数重数和几何重数例：例：20.2 特征值的代数重数和几何重数一般地，命题：引理1：相似矩阵具有相同的特征多项式.事实上，设可逆，则我们有20.2 特征值的代数重数和几何重数引理2：任意复方阵相似于上三角阵，且其对角元为矩阵的特征值. 证明：对方阵的阶数用数学归纳法.时结论成立. 假设对阶复方阵结论成立.对任意阶复方阵设其有特征值及相应特征向量则可将其扩充得的一组基有记则有20.2 特征值的代数重数和几何重数对阶复方阵由归纳假设, 存在可逆阵使得为上三角阵.令为上三角阵.则结论第一部分得证.由引理1知上三角阵的对角元为的特征值.20.2 特征值的代数重数和几何重数命题的证明：由引理2，相似于上三角阵则和有相同特征值，且对任意特征值因此，不妨设是上三角阵，即于是故20.2 特征值的代数重数和几何重数定理：复方阵可对角化对任意特征值事实上，若则故有个线性无关的特征向量.从而可对角化.20.2 特征值的代数重数和几何重数例：判断是否可对角化，若可以求使为对角阵.解：于是又因此，可对角化.20.2 特征值的代数重数和几何重数对的基础解系为对的基础解系为20.2 特征值的代数重数和几何重数令则20.2 特征值的代数重数和几何重数注：可以看到，使对角化的矩阵不是唯一的. 一个特征向量乘以非零常数后仍是属于同一特征值的特征向量，所以若用任意非零常数乘以的各列，则得一个新的使对角化的矩阵. 而对于重特征值则有更大自由度. 上例中由的任意线性组合得到的两个线性无关的向量都可充当的前两列.20.2 特征值的代数重数和几何重数例：设其中为矩阵.的秩为的秩为故可对角化.20.3 矩阵可对角化的应用若矩阵可对角化，则可快速计算例：设求解：的特征值可对角化.20.3 矩阵可对角化的应用对的基础解系为对的基础解系为20.3 矩阵可对角化的应用令 则故20.3 矩阵可对角化的应用例（Markov过程）：每年海淀区以外人口的迁入海淀区，而海淀区人口的迁出. 这给出一个差分方程：设最初外部人口为内部人口为则一年以后外部人口内部人口即20.3 矩阵可对角化的应用这个虚构的人口迁移过程有两个特点：(1)人口总数保持不变；(2)海淀区外部和内部的人口数不是负的. 我们称之为Markov(马尔科夫)过程.由性质(1)，矩阵每一列元素之和为由性质(2)，矩阵元素非负. 同样等也非负.20.3 矩阵可对角化的应用记取则20.3 矩阵可对角化的应用于是我们可求和年之后的人口分布：20.3 矩阵可对角化的应用可以看出，经过很多年之后，会变得非常小，从而这个解达到一个极限状态：此时，总人口仍为与初始状态相同. 但在此极限状态下,总人口的在外部，在内部, 并且这个数据无论初始分布怎样总成立.20.3 矩阵可对角化的应用注意到即这个稳定状态是Markov矩阵关于的特征向量.20.3 矩阵可对角化的应用例（Fibonacci数列）：数列满足规律这是一个差分方程.怎样由出发，求出Fibonacci数列的通项公式呢？20.3 矩阵可对角化的应用令则即于是只需求20.3 矩阵可对角化的应用故20.3 矩阵可对角化的应用初始值给出于是Fibonacci数是这个乘积的第二个分量20.3 矩阵可对角化的应用我们希望研究由差分方程描述的离散动力系统的长期行为，即时解的性质.设可对角化，即存在可逆矩阵其中使为对角阵.则其中即可以看出，的增长由因子支配. 因此系统的稳定性依赖于的特征值.20.3 矩阵可对角化的应用对由一个差分方程定义的离散动力系统，当的所有特征值时，它是稳定的(stable)，且；当所有时，它是中性稳定的(neutrally stable)，且有界；而当至少有一个特征值时，它是不稳定的(unstable)，且是无界的.Markov过程是中性稳定的，Fibonacci数列是不稳定的.20.3 矩阵可对角化的应用例：考虑差分方程其中的特征值为其对角元和故该系统是稳定的.由任何一个初始向量出发，的解必定最终趋向于如：20.3 矩阵可对角化的应用可以看到从开始，而的实际作用是，若把分解成的两个特征向量的和：则把属于的特征向量化为零，而把属于的特征向量乘以20.4 同时对角化问题：给定两个阶矩阵是否存在可逆矩阵使得同时为对角阵，也即同时对角化？命题：若有相同特征向量矩阵使得为对角阵，则事实上，20.4 同时对角化重要的是，“逆”命题也成立. 我们不加证明地给出：定理：若均可对角化，且则可同时对角化.注意到，若则故和是的属于同一特征值的特征向量. 看简单的情况.假设的特征值两两互异，则其所有特征子空间都是一维的. 于是必是的倍数，也即是的特征向量. 从而有公共特征向量矩阵，可同时对角化.20.4 同时对角化定理：对阶复矩阵若矩阵的特征值两两互异，则可同时对角化.20.4 同时对角化小结：1. 矩阵可对角化，指存在可逆矩阵使为对角阵.2. 矩阵可对角化有个线性无关的特征向量.3. 若复矩阵有个互异特征值，则可对角化.4. 复矩阵可对角化任意特征值的几何重数等于代数重数.5. 设可对角化, 即存在可逆阵使则6. 差分方程的解为其中。
第十五次课 相似矩阵及矩阵的对角化【精选】
合并以后仍是线性无关的。
即设 l1,l2,,lt 是矩阵A的不同的特征值，
又设
l1
对应的无关特征向量为 1(1)
,2(1)
,,
(1) i1
l2 对应的无关特征向量为 1( 2) , 2( 2) ,, i(22)
lt
对应的无关特征向量为
1(t
)
,2(t
)
,,
(t it
)
则
若 方阵A与一个对角阵L相似，则称方阵A可对角化。 记为 A~ L，并称 L 是 A 的相似标准形。
问 n 阶方阵A与一个对角矩阵L相似的条件？
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思考题
(X1, X2, , Xn)
l1 0 0
0
l2
0
=?
0 0 ln
(l1X1, l2X2, , ln Xn)
二、相似矩阵的性质
1. 如果方阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相 同的特征值。即 若A~B，则 |lE-A|=|lE-B|
证明：因为P-1AP=B， |lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|，
下面讨论对角化的问题
l1
l1
P -1AP
l2
AP
P
l2
ln
ln
记 P [1,2,,n ]
l1
A[1,2,,n]
[1,2,,n ]
l2
矩阵的对角化
Λ
0
1
0
，则有
A PΛP1
0 0 0
1 1 0
从而
An
(PΛP 1)n
PΛn P 1
2
2
0
4 2 1
23
(3) f ( A) A3 3A2 A 2I Pf ( Λ)P1
f (1)
Hale Waihona Puke P
22
(2) 解方程组 (I A)x 0 ，得对应于 1 的2个 线性无关的特征向量 p1 (1, 2, 0)T , p2 (0, 0,1)T
解方程组 (0I A)x 0 ，得对应于 0
的1个线性无关的特征向量 p3 (1,1, 2)T
1 0 0
令
P ( p1, p2 , p3 )及
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Ir
0
0 0
的对称阵.
幂零矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 Am 0 (ｍ为正整数），则称
*
2
L
M M L
*
*L
n
则 1, 2 ,L , n
是A的全部特征值。
4
3.2.2 矩阵的对角化 定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充
分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 充分性 设方阵A的n个线性无关的特征向量
第五章_矩阵的对角化
(2) A的迹 trA a11 a22
注： A可逆
A不可逆
A的n个特征值全不为零。 0是A的特征值。
20（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
性质2：假设 x 是A的对应于特征值 的特征向量. k是常数，m是正整数，则 (1) k , m 分别是kA, Am的特征值，且x 是
例5.6 假设A为n阶方阵，且 A2 I ，求A的特征值.
17（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
2. 特征值、特征向量的求法
1°数值矩阵特征值、特征向量的求法
第一步：求出特征方程 f ( ) | I A | 0 的全部根1,2, …,n，它们就是A的全部特征根; 第二步：求出相应的齐次线性方程组 ( A i I ) X 0 的全体非零解，即可得对应于特征值i的 全部特征向量.
2. 特征值、特征向量的求法
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第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
n阶方阵
非零向量
Ax = x (A－ I )x = 0
特征值
特征向量
特征多项式
|A－I| = 0
特征方程
a11– a21 |A– I | = … a n1
a12 … a1n a22– … a2n … … … an2 … ann–
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例5.8 已知3阶方阵A的特征值为：1 4, 2 3 1 求： (1) B A2 3 A 4 I 的特征值及|B|. (2) C A 3 A
1
的特征值.
矩阵对角化
引言在高等代数中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在线性空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.基本概念定义定义1 常以n m P ⨯表示数域P 上n m ⨯矩阵的全体，用E 表示单位矩阵.定义2 n 阶方阵A 与B 是相似的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异的方阵矩阵T n n P ⨯∈，使得AT T B 1−=或者BT T A 1−=.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：AE E A 1−=； ②对称性：若A 相似于B ，则B 相似于A ； ③传递性：如果A 相似于B ，B 相似于C ，那么A 相似于C . 定义3 n 阶方阵A 与B 是合同的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异方阵T n n P ⨯∈，使得B =T T AT 或者BT T A T =.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A =AE E T ；②对称性：由AT T B T =即有11)(−−=BT T A T ；③传递性：由111AT T A T=和2122T A T A T =有)()(21212T T A T T A T =.定义4 式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯m b b b 000000021的m 阶方阵叫对角矩阵，这里i b 是数（),2,1m i ⋯⋯=. 定义5 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A 1−=，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可相似对角化. 定义6 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A T =，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i 行(列)于j 行(列)； ⑵用非零数c P ∈乘以矩阵第i 行(列)；⑶把矩阵第j 行的t 倍加到第i 行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得),(j i P 且),(),(1j i P j i P =−；②单位矩阵经过初等变换⑵得))((t i P 且)/1(())((1t i P t i P =−；③单位矩阵经过初等变换⑶得))(,(t j i P 且))(,())(,(1t j i P t j i P −=− 定义9 设方阵n n P B ⨯∈，若E B =2，就称B 为对合矩阵。
矩阵的对角化
§6.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A为n阶方阵，若数和n维非零列向量x , 使
Ax x (1)
则称为A的特征值, x为A的对应于特征值 的. 特征向量.
(1)式改写：(A E)x 0
1 1
,
1
AE 0
E
1 0
0 1
,
1 (1 )2 ,
1
1
E E 0
0 (1 )2 ,
1
而与E相似的矩阵仍为E, [P1EP E]
但A E, 故A不可能与E相似.
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
O
n
相似，则 1, 2 ,L , n 即为A的n个特征值.
1
则称为A的特征值, x为A的对应于特征值 的. 特征向量.
(1)式改写：(A E)x 0
(2)
齐次线性方程组有非零解 A E 0 (3) 即：
(特征方程)
注： A的特征值即为A的特征方程的根，在复数范围内，
n阶方阵A有n个特征值（重根按重数计）.
二、特征值与特征向量的求法
(1) 求出Ann的特征多项式 A E (2) 求出特征方程 A E 0的全部根1, 2 , L n ,
证：" " 设有可逆矩阵P，使P1AP diag{1, 2 ,L , n}
P各列依次记为：p1, p2 ,L , pn ,
则：A( p1, p2,L , pn ) ( p1, p2 ,L , pn ) diag{1, 2 ,L , n} ( Ap1, Ap2 ,L , Apn) (1 p1,2 p2L, ,n pn) 即 Api i pi , (i 1, 2,L , n)
矩阵的对角化
第四章 矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例 4.1.1 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设，分别为某地区目前 x 0 y 0 的环境污染水平与经济发展水平，，分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济 x 1 y 1 发展水平，且有如下关系{ x 1 = 3x 0 +y 0 ，y 1 = 2x 0 +2y 0 .令， ， α0=( x 0 y 0 )α1=( x1 y 1 )A =(3 12 2)，则上述关系的矩阵形式为：α1=Aα0 .若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平，则若干年后的环境污染水α0=( x0 y 0)=(11)平与经济发展水平为，α1=Aα0=(3 12 2) ( x 0 y 0 )=(3 12 2) (11)= (44)=4 (11)=4α0即这里，4就是矩阵的一个特征值，是矩阵的对应于4的一个特征向量.Aα0=4α0 . A α0 A 定义 4.1.1 设为阶矩阵，若存在数 和维非零列向量，使得A n λ n α ；Aα=λα则称为矩阵的特征值，是矩阵一个特征值，称为的属于（或对应于）特征值 λ A α0 A α0 A λ的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得（1）若为的属于的特征向量，则对于非实数，也是的属于的特征向量. α A λk k α A λ （2）若为的属于的特征向量，则当时，也是的属于α1，α2 A λα1+α2 ≠0 α1+α2 A 的特征向量.λ （3）若为的互异特征值，分别为的属于的特征向量，则λ1， λ2 A α1，α2 A λ1， λ2 .α1≠α2 证 若，则，即，故.由于 α1≠α2 Aα1≠Aα2 λ1α1=λ2α2=λ2α1 (λ1-λ2)α1=0，所以，矛盾.因此.λ1≠λ2α1≠0 α1≠α2 例 4. 1. 2 求阶方阵的一个特征值与所对应的特征向量. n A =(a b b ⋯ bb a b ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮b b b ⋯ a )解 取维向量，则n α=(1，1，1)TAα=(a b b ⋯ bb a b ⋯ b⋮ ⋮ ⋮ ⋮b b b ⋯ a)(11⋮1)=(a +(n -1)b a +(n -1) b ⋮ a +(n -1) b)，故 是的一个特=[a +(n -1) b ](11⋮1)= [a +(n -1) b ] αλ=a +(n -1) b A 征值，是 属于特征值的一个特征向量.α A λ=a +(n -1) b 将（4.1.1）写成下面形式.(λE ‒A ) α=0根据定义，特征向量就是齐次线性方程组α. （4.1.2）(λE ‒A ) α=0的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知阶矩阵的 n A 特征值满足方程λ .|λE ‒A |=0为叙述方便，引入下面的概念.定义4. 1. 2 .，称A =(a ij )n ×n f (λ)=|λE ‒A |=|λ-a 11 a 12 ⋯ -a 1n -a 21 λ-a 22 ⋯ -a 2n⋮ ⋮ ⋮-a n1 -a n2 ⋯ λ- a nn|为矩阵 的特征多项式，称为的特殊矩阵，称为的特征方程.A λE ‒A A |λE ‒A |=0 A 二、特征值与特征向量的计算求阶矩阵的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：n A （1）计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，，，.A |λE ‒A | |λE ‒A |=0 λ1λ2⋯λn对每个特征值，求解齐次线性方程组.设它的一个基础λi (i =1，2，⋯，n )(λi E ‒A ) x =0解系为，，，，则的属于的全部特征向量为αi 1 αi 2 ⋯αini A λ i k 1αi 1+k 2αi 2+⋯+k n iαini其中为不全为零的任意常数.k 1，k 2，⋯，k ni 限于本教材适用范围，我们将不讨论的复特征值和特征向量.A 例 4.1.3 求矩阵A =(2 -2 0- 2 1 -20 -2 0)的特征值与特征向量.解 矩阵的特征多项式A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-2 2 02 λ-1 20 2 λ|=λ(λ-1)(λ-8)-8(λ-1)=(λ+2)(λ-1)(λ-4)由，得的特征值为，，.|λE ‒A |=0 A λ1=-2λ2=1λ3=4对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1=-2(-2E ‒A )x =0,，(- 4 2 02 -3 20 2 -2)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于，的全部特征向量为（ξ1=(1，2，2)Tλ1=-2k 1ξ1）.k 1≠0对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ2=- 2 (E ‒A )x =0(- 1 2 02 0 20 2 1)(x 1x 2x 3)=(00)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为ξ2=(2，1，‒2)T λ2= 1 （）..k 2ξ2k 2≠0对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ3= 4 (4E ‒A )x =0，(2 2 023 20 2 4)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（ξ3=(2，-2，1)Tλ3= 4 k 3ξ3）..k 3≠0例4.1.4 求矩阵的特征值与特征向量 A =(3 2 42 0 24 2 3)解 矩阵的特征多项式为Af (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 - 2 -- 2 λ - -4 -2 λ |λ+1 0 -(λ+1)- 2 λ -2 -4 -2 λ-3|=,(λ+1)2(λ‒8)由，得的特征值为，.|λE ‒A |=0A λ1= λ2=-1 λ3=8对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1= λ2=-1(-E ‒A )x =0，(- 4 - 2 -4- 2 - 1 -2- 4 - 2 -4)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，，所以对应于的全ξ1=(-1，2，0)T ξ2=(2，1，‒2)Tλ1= λ2=-1部特征向量为不全为零）.k 1ξ1+k 2ξ2（k 1，k 2 对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ3=8(8E ‒A )x =0，(5 -2 -4- 2 8 -2- 4 - 2 5 )(x 1x 2x 3)=(00)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（）.ξ3=(-1，2，0)Tλ3=8 k 3ξ3k 3≠0例4.1.5求矩阵的特征值与特征向量 A =(3 2 42 0 24 2 3)解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 1 -- 2 λ - -1 1 λ-2||λ-2 1 -1λ-2 λ -1 0 1 λ-2|=,(λ-2)2(λ‒1)由，得的特征值为，.|λE ‒A |=0A λ1= λ2=2 λ3=1对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1= λ2=2(2E ‒A )x =0，(- 1 1 -1- 2 2 -1- 1 1 0)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为ξ1=(1，1，0)Tλ1= λ2= 2 （）.k 1ξ1k 1≠0对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ3=1(E ‒A )x =0，(- 2 1 -1- 2 1 -1- 1 1 -1)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（.ξ2=(0，1，1)Tλ3= 1 k 2ξ2k 2≠0）三、特征值与特征向量的性质定理4.1.1 阶矩阵与有相同的特征值.n A A T证 由，知与有相同的特征多项式，故有相同的特|λE ‒A T|=|(λE ‒A )T|=|λE ‒A | A A T 征值.定理4.1.2 设 ，，，，为方阵的个特征值，则有A =(a ij )n ×n λ1λ2⋯λn A n （1）λ1λ2⋯λn =|A |（2）λ1+λ2+⋯+λn =a 11+a 22+⋯+a nn 证 （1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有（4.1.3）|λE ‒A |=(λ-λ1)(λ-λ2)⋯(λ-λn )令，得，即λ=0|-A |=(-λ1)(-λ2)⋯(-λn )=(-1)nλ1λ2⋯λn |A |=λ1λ2⋯λn（2）比较（4.1.3）式两端的系数，右端为，而左端含λn -1-(λ1+λ2+⋯+λn )的项来自的主对角线元乘积项，其含的λn-1|λE ‒A |(λ-a 11)(λ-a 22)⋯(λ-a nn ) λn-1系数为，因此.-(a 11+a 22+⋯+a nn )λ1+λ2+⋯+λn =a 11+a 22+⋯+a nn 我们将阶矩阵的主对角线元之和称为矩阵的迹，记为，即n A A tr （A ）=tr （A ）a 11+a 22+⋯+a nn =∑=nk 1a kk推论4.1.1 阶矩阵可逆的充分条件是它的任一特征值不等于零.n A 定理4.1.3 若为的特征值，是对应的特征向量，则 λ A α （1）为的特征值（）；a λ a A a 为常数（2）为的特征值（）；λk A kk 为正整数（3）为的多项式，则为的特征值；若φ(x ) x φ( λ)φ(A )（4）若可逆，则为的特征值，为的特征值.A 1λA -11λ|A |A *证 由题意，对于，有.α≠0 Aα=λα（1）因为，故为的特征值.(a A )α=a (Aα)=(a λ)αa λ a A （2）由，得，假设Aα= λα A 2α=A ( Aα)=A ( λα)=λ( Aα)= λ2α，A k-1α=λk-1α于是，由数学归纳法知结论成立.A k α=A ( Ak-1α)=A ( λk -1α)=λk-1( Aα)= λk α（3）设，由（2）可得φ(x )=a 0x m +a 1x m-1+⋯+a m-1x+a mφ(A )α=(a 0A m +a 1A m -1+⋯+a m-1A+a m E ) α =a 0A m α+a 1A m-1α+⋯+a m -1Aα+a m α=a 0λm α+a 1λm-1α+⋯+a m-1λα+a m α=(a 0λm +a 1λm -1+⋯+a m-1λ+a m ) α=φ(λ)α(4) 由于可逆，故，从而，故 A λ≠0α= A -1(Aα)= A -1(λα)=λ A-1α，，即为的特征值，为的特征A-1α=1λαA*α=| A | A-1α=| A |λα 1λ A-11λ|A |A*值.下面给出方阵的特征向量的性质A 定理4.1.4 设，，，阶矩阵的个互异特征值，，，，分别是 λ1λ2⋯λm 为 n A m α1 α2 ⋯αm 的属于，，，的特征向量，则，，，线性无关. A λ1λ2⋯λm α1 α2 ⋯αm 证 设有常数，，，，使得k 1 k 2 ⋯k m k 1α1+k 2α2+⋯+k m αm =0（4.1.4）上式两边左乘，并注意到，有A Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，m ).k 1λ1α1+k 2λ2α2+k m λm αm =0 按这种方法再依次用左乘（4.1.4），并应用定理4.1.3（2）的结论，A 2， A 3， A m ‒1得{k 1α1+k 2α2+k m αm =0 ，k 1λ1α1+k 2λ2α2+k m λm αm =0，k 1λ21α1+k 2λ22α2+k m λ2m αm =0， ⋯⋯⋯⋯k 1λm ‒11α1+k 2λm ‒12α2+k m λm ‒1m αm =0.上式的矩阵形式为，( k 1α1，k 2α2，⋯，k m αm )(1 λ1 ⋯ λm ‒111λ2 ⋯ λm ‒12⋮ ⋮ ⋮1 λm ⋯ λm ‒1m)=（0，0，⋯，0）上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，因为，，，互不相同，λ1λ2⋯λm 所以该行列式的值不为零，从而该矩阵可逆.用该矩阵的逆右乘上述等式两边，得( k 1α1，k 2α2，⋯，k m αm )=（0，0，⋯，0）于是，由于特征向量非零，因此只有k i αi =0(i =1，2，⋯，m )αi (i =1，2，⋯，m )上式才能成立，故，，，为线性无关.k i =0(i =1，2，⋯，m )α1 α2 ⋯αm 定理4.1.5 设，，，阶矩阵的个互异特征值，，，，分别λ1λ2⋯λm 为 n A m α1 α2 ⋯αm是的属于的线性无关的特征向量，则向量组A λi (i =1，2，⋯，m )，，，， ，，，， ，，，线性无关.α11 α12 ⋯α1s 1α21 α22 ⋯α2s 2αm 1 αm 2 ⋯αms m 证明略.关于对应同一个特征值的特征向量间的关系，有定理4.1.6 设阶矩阵的重特征值，则对应于的线性无关特征向量个数 λ0是 n A k λ0不超过个.k 显然，依据定理4.1.6，当特征值为单根时，对应的线性无关特征向量个数只能是一个.根据上述定理，对于阶矩阵的每一个不同的特征值，求出齐次线性方程组n A λi 的基础解系，就得到的属于的线性无关的特征向量.然后，把它们合成一(λi E ‒A )=0 A λi 起所得的向量组仍然线性无关.阶矩阵的线性无关特征向量个数不大于.n A n 例4.1.6 设三阶矩阵的特征值为，，求A λ1= λ2=3 λ3=3（1）的特征值.A -1（2）的特征值.A *（3）的特征值及.B =12(A-1)2‒A *+2E |B |解 （1）由于，因此可逆，由定理4.1.3知，的特征值为，| A |= λ1λ2λ3=12≠0A A-112，.1213（2）由定理4.1.3知，的特征值为6,6,4.A *（3）因为，所以）.A *|A |A-1=12A -1B =12(A -1)2‒A*+2E 设，由定理4.1.3知，的特征值为，1,2,3.f (x )=12x 2-12x +2B =f (A-1)f(1λi )i =由此得的特征值为，.B -1，-1，-23|B |=-23例4.1.7 设为正交矩阵，若，则有特征值A |A |=-1A -1证 ，则f (λ)=|λE ‒A |.f (-1)=|-E ‒A |=|(-E ‒A )T|=|-E ‒A T|另一方面，由于及，则AA T=E |A |=1f (-1)=|-E ‒A |=|AA T -A |=|A || ‒A T-E |=-| -E ‒A T|=-f (-1)因此，即为的特征值.f (-1)=0-1 A §4.2 相似矩阵在矩阵的运算中，对角矩阵的运算最方便.我们自然要问，一个阶矩阵是否可化为n A 对角矩阵，且保持矩阵的一些重要性质不变.本节将讨论这个问题.A 一、相似矩阵定义4.2.1 设为阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵，使得A ，B n n P ，P -1AP =B 则称矩阵相似，也称是的相似矩阵，记作.可逆矩阵称为相似变换矩阵.A 和B B A A~B P例4.2.1 设，，，不难A =(4 6 0- 3 -5 0- 3 -6 1)B =(1 0 00 1 00 0 -2)P =(- 2 0 -11 0 10 1 1)验证可逆，且.由于P P-1=(- 1 - 1 0- 1 - 2 11 2 0),P-1AP =(- 1 - 1 0- 1 - 2 11 2 0)(4 6 0- 3 -5 0- 3 -6 1)(- 2 0 -11 0 10 1 1)=(1 0 00 1 00 0 -2)=B 因此.A~B 两个相似矩阵是等价矩阵，相似是方阵之间的一种关系，这种关系具有如下性质：（1）反身性：；A~A （2）对称性：若，则；A~B B~A （3）传递性：若，，则；A~B B~C A~C 此外，相似矩阵之间有许多共同的性质定理4.2.1 若阶矩阵相似，则n A 与B （1）；|A |=|B |（2）；R (A )=R (B )（3）有相同的特征值；A ，B （4）.tr (A )=tr (B )证 由于，故存在阶可逆矩阵，使得，从而A~B n P P-1AP =B （1）；|B |=|P-1AP |=|P-1||A ||P |=|A |（2）；R (B )=R (P -1AP )=R (AP )=R (A )（3）由于，|λE ‒B |=|λE ‒P-1AP |=|P-1(λE ‒A )P |=|λE ‒A |即有相同的特征多项式，于是有相同的特征值.A ，B A ，B （4）由（3）即得.推论4.2.1 若阶矩阵对角矩阵n A 与 =Λ(λ1λ2⋱λn)相似，则，，，是的个特征值. λ1λ2⋯λn A n 例4.2.2 若，求.A =(- 2 0 02 x 23 1 1)~(- 1 0 00 2 00 0 y )=B x ，y 解 对角矩阵的特征值为，，，由于，因此的特征值也为，，，再B -12y A~B A -12y 根据相似矩阵有相同的迹，可得{|2E ‒A |=0，tr (A )=tr (B )，解此方程组得， .x =0y =-2两个相似的矩阵还具有下面的性质（1）若，则，（为正整数）；A~B k A~kB A m ~B mm （2）若， 为多项式，则；A~B f (x )f (A )~f (B )（3）若，且均可逆，则；A~B A ，B A-1~B -1证 只证，故存在阶矩阵，使得，从而 A m ~B m n P P-1AP =B B m =(P-1AP )m =(P-1AP )(P-1AP )⋯(P-1AP )=P-1A mP即.A m ~B m 二、矩阵的对角化定义 4.2.2 若阶矩阵与对角矩阵相似，则称可对角化.n A A 相似矩阵有许多共同性质.在我们熟悉的矩阵中，形式最简单的一类是对角矩阵，若矩阵相似于对角矩阵，就可以借助对角矩阵来研究，如何求相应的可逆矩阵？下面我A A P 们就来讨论这个问题.定理4.2.3 阶矩阵相似于对角矩阵（可对角化）的充要条件是有个线性无n A A A n 关的特征向量.证 必要性.设存在可逆矩阵，使得P = =.P -1AP Λ(λ1λ2⋱λn)设，由 =，得 =，或P =( α1，α2，⋯，αn )P-1AP ΛAP P Λ.A ( α1，α2，⋯，αn )=( α1，α2，⋯，αn )(λ1λ2⋱ λn)即A ( α1，α2，⋯，αn )=( λ1α1，λ2α2，⋯，λm αm )因此，，由于可逆，因此，从而Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，n )P |P |≠0都是非零向量，故分别是的属于特征值αi (i =1，2，⋯，n )α1，α2，⋯，αn A 的特征向量，再由可逆知线性无关.λ1，λ2，⋯，λn P α1，α2，⋯，αn 充分性.设分别是的属于特征值的个线性无关的特征α1，α2，⋯，αn A λ1，λ2，⋯，λn n 向量，则有Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，n )取,因为线性无关，所以可逆，于是有P =( α1，α2，⋯，αn )α1，α2，⋯，αn P =.，AP P(λ1λ2⋱λn)即个m==P -1AP (λ1λ2⋱λn)Λ因此矩阵相似于对角矩阵.A A 因为特征向量不是唯一的，所以矩阵不具有唯一性.P 推论4.2.2 若阶矩阵有个互异的特征值，则必可对角化.n A n A 推论4.2.3 阶矩阵的充分必有条件是的每个重特征值个线性无n A 可对角化A t i λi 都有ti 关的特征向量.即.R （λi E ‒A ）=n ‒t i由上述结论可知，例4.1.3和例4.1.4给出的矩阵可对角化，而例4.1.5给出的矩阵不能对角化.根据上述结论，可以归纳出将矩阵对角化的具体计算步骤：A （1）求出阶矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为n A λ1λ2⋯λn ；t 1，t 2，⋯，t m (t 1+t 2+⋯+t m =n )（2）求的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对A λi (λi E ‒A ) x =0应的线性无关的特征向量，设为；ξi 1，ξi 2，⋯，ξis i (i =1，2，⋯，m )（3）判定是否可对角化.若对每一个特征值都有，则可对A s i =t i (i =1，2，⋯，m )A 角化，否则不可对角化；（4）当可对角化时，令A ，P =(ξ11，ξ12，⋯，ξ1s i，ξ21，ξ22，⋯，ξ2s i，ξm 1，ξm 2，⋯，ξmsm)，，，，，，，，，Λ=diag （λ1λ1⋯λ1，λ2λ2⋯λ2，⋯，λm λm ⋯λm ）且可逆，且有P =P-1AP Λ例4.2.3 判断下列矩阵能否对角化，若能，求出可逆矩阵，使得为对角矩阵.P P -1AP (1)；（2）A =(1 2 22 1 ‒2‒2 ‒2 1)B =(1 2 22 1 22 2 1)（1）矩阵的特征多项式为解A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-1 -2 -2- 2 λ- 1 22 2 λ-1||λ-1 λ-1 λ-1- 2 λ- 1 22 2 λ-1|= (λ+1)(λ-1)(λ-3)由，得的特征值为.由推论4.2.2知，矩阵可对|λE ‒A |=0A λ1=-1，λ2=1，λ3=3A 角化.下面求可逆矩阵.P 个1个2个s m r 1+r 2r 1+r 3对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1=-1(-E ‒A )x =0,，(- 2 - 2 -2- 2 - 2 22 2 -2)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，即为即为的属于特征值的一ξ1=(-1，-1，0)Tξ1 ξ2A λ1=-1个特征向量.对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ2= 1 (E ‒A )x =0(0 ‒2 ‒2‒2 0 22 2 0)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，即为的属于特征值的一个特征向量.ξ2=(1，-1，0)Tξ2A λ2=1对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ3= 3 (3E ‒A )x =0，(2 -2 -2- 2 2 22 2 2)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，即为的属于特征值的一个特征向量.ξ3=(0，1，-1)Tξ3A λ3=3取,则有P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(1 1 0- 1 - 1 10 1 -1)==P-1AP (- 1 0 00 1 00 0 3)Λ（2）矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-1 -2 -2- 2 λ- 1 22 2 λ-1|λ-1 λ-1 λ-1- 2λ- 1 22 2 λ-1|= (λ+1)2(λ-5)由，得的特征值为.|λE ‒B |=0B λ1=λ2=‒1，λ3=5当−1，即−1为的二重特征值时，λ1=λ2=B .(-E ‒B )=(‒2 ‒2 ‒2‒2 ‒2 ‒2‒2 ‒2 ‒2) 1 1 1)故，依据推论4.2.3知，矩阵可对角化，且−1对应的线R (-E ‒B )=1=3‒2B λ1=λ2=性无关的特征向量为，.ξ1=(-1，1，0)T ξ2=(-1，0，1)T对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值的一个特λ3= 5 (5E ‒A )x =0B λ3=5征向量.取ξ3=(1，1，1)T取,P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(- 1 - 1 11 0 1 0 1 1)则有==P-1BP (- 1 0 00 ‒1 00 0 5)Λ对于可对角化的矩阵，我们可应用来求方程的幂,例如，对上例的矩阵，A A m =P Λm P ‒1A 我们有(1 2 22 1 ‒2‒2 ‒2 1)m=( 1 1 0‒1 ‒1 10 1 ‒1)=((‒1)m 0 00 1 00 0 3m)=(0 ‒1 ‒11 1 11 1 0).=(1 1+(‒1)m +1 1+(‒1)m +13m ‒1 3m ‒1+(‒1)m (‒1)m ‒11‒3m 1‒3m 1)例4.2.4 设，求为何值时，A =(a 1 11 a ‒11 ‒1 a )A （1）可对角化，并求相似变换矩阵；A P （2）为可逆矩阵.A ‒E 解 （1）矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A ||λ-a -1 -1- 1 λ-a -1- 1 2 λ-a| |λ-a -1 -1 -1λ-a -1 λ-a 10 1 λ-a |=，(λ-a -1)2(λ-a +2)故的特征值为，.A λ1=λ2=a +1λ3=a ‒2对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值λ1=λ2=a +1((a +1)E ‒A )x =0A 的特征向量为，.λ1=λ2=a +1ξ1=(1，1，0)T ξ2=(-，0，1)T 对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值 λ3=a -2((a -2)E ‒A )x =0A 的特征向量为.依据推论4.2.3知，无论为何值，矩阵 λ3=a -2 ξ3=(-1，1，1)T a 均可对角化.令A ，P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(1 1 -11 0 10 1 1)则有==.P-1AP (a +1 0 00 a +1 00 0 a ‒2)Λ的特征值分别为，故当时，为可逆矩阵.（2）A ‒E a ，a ，a ‒3a ≠0且a ≠3A ‒E §4.3 实对称矩阵的对角化c 1+c 2我们已经知道，不是每个矩阵都能对角化.但本节讨论的实对称矩阵一定可以对角化，而且还能正交相似于对角矩阵,本节将讨论实对称矩阵的对角化.一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质,这些性质可以保证实对称矩阵一定可以对角化.定理4.3.1 实对称矩阵的特征值都是实数.证 设为实对称矩阵的特征值，为对应的特征向量，即λα.Aα=λα， α≠0用表示的共轭复数，用表示的共轭复向量.则λλαα，Aα=Aα=Aα=λα=λα于是有，αT Aα=αT (Aα)=λαT α及，αT Aα=(αT A T )α=(Aα)T α=(λα)T α=λαT α以上两式相减得，(λ-λ)αT α=0以为所以.因而，即为实数.α≠0αTα≠0λ=λλ由于实对称矩阵的特征值为实数，那么为实矩阵，则齐次线性方程组的解A λE ‒A 可取为实向量，亦即实对称矩阵的特征向量为实向量.(λE ‒A )x =0A 定理4.3.2 实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,证 设为实对称矩阵的两个不同的特征值，分别为它们对应的特征向量，则λ1，λ2A α1，α2，从而，因是对称矩阵，又有Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，α1，α2≠0αT 1(Aα2)=λ2∙αT1α2A ，于是αT 1(Aα2)=αT 1(A T α2)=( Aα1)T α2=( Aα1)T α2=( λ1α1)T α2=λ1α1T ∙α2，(λ1-λ2)α1Tα2=0因，故，即正交.λ1≠λ2α1Tα2=0α1与α2定理4.3.3 设为阶实对称矩阵，为的重特征根，则，从而特A n λA k R (λE ‒A )=n ‒k 征值恰好对应个线性无关的特征向量.λk 证明略.二、实对称矩阵的对角化由定理4.3.2和定理4.3.3可得定理4.3.4 设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得A n Q =Q-1AQ Q T AQ =Λ=(λ1λ2⋱λn)其中，，，为的全部特征值.λ1λ2⋯λn A （1）求出阶实对称矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为n A λ1λ2⋯λn ；t 1，t 2，⋯，t m (t 1+t 2+⋯+t m =n )（2）求实对称矩阵的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，A λi (λi E ‒A ) x =0即为的对应的线性无关的特征向量，设为；(i =1，2，⋯，m )（3）用施密特正交化方法，将特征向量正交αi1，αi 2，⋯，αis i(i =1，2，⋯，m )单位化，得到一个标准正交向量组αi 1，αi 2，⋯，αiti ；βi 1，βi 2，⋯，βit i(i =1，2，⋯，m )（4）令Q =(β11，β12，⋯，β1t i，β21，β22，⋯，β2t i，βm 1，βm 2，⋯，βmtm)，，，，，，，，，Λ=diag （λ1λ1⋯λ1，λ2λ2⋯λ2，⋯，λm λm ⋯λm ）且为正交矩阵，且有Q =Q-1AQ Q T AQ =Λ例4.3.1 设实对称矩阵，A = (3 -3 -3- 3 1 -1- 3 - 1 1)求正交矩阵，使得=为对角矩阵.Q Q-1AQ Q T AQ =Λ解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 3 33 λ-1 13 1 λ-1|λ+3 λ+3 λ+33 λ-1 13 1 λ-1|=，(λ+3)(λ-2)(λ-6)=0因此，矩阵的特征值为.A λ1=-3，λ2=2，λ3=6对于，解齐次线性方程组，得基础解系；λ1=-3(-3E ‒A )x =0α1=(1，1，1)T对于，解齐次线性方程组 ，得基础解系； λ2= 2 (2E ‒A )x =0 α2=(0，1，-1)T对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系.λ3= 6 (6E ‒A )x =0 α3=(-2，1，1)T将单位化，可得α1，α2，α3β1=1||α1||α1=13(1，1，1)T ，β2=1||α2||α2=12(0，1，‒1)T ，β3=1||α3||α3=16(-2，1，1)T令个s 1个2个s m,Q =( β1，β2，β3)=(130 2613 1216131216)且为正交矩阵，且有Q =Q-1AQ Q TAQ =(- 3 0 00 2 00 0 6)例4.3.2 设实对称矩阵，A = (1 -2 2- 2 - 2 42 4 -2)求正交矩阵，使得=为对角矩阵.Q Q-1AQ Q T AQ =Λ解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A ||λ-1 2 -22 λ+2 -4- 2 - 4 λ+2| |λ-1 2 -22 λ+2 -4- 2 λ- 2 λ-2|=，(λ-2)2(λ+7)=0因此，矩阵的特征值为.A λ1=λ2=2，λ3=7对于，解齐次线性方程组，得基础解系，λ1=λ2=2(2E ‒A )x =0α1=(-2，1，0)T；先将向量正交化，令α2=(2，0，1)T α1，α2，η1=α1=(-210)，η2=α2=-(α2，η1)(η1，η1)=(201)+45(-210)=(25451)再单位化，得β1=1||η1||η1=15(-210)，β2=1||η2||η2=135(245)，对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系，λ3=‒7 (‒7E ‒A )x =0 α3=(1，2，‒2)T将其单位化，得.β3=1||α3||α3=13(12-2)令r 3+r 2,Q =( β1，β2，β3)=(‒25235 1315435 230 535 ‒23)且为正交矩阵，且有Q =.Q -1AQ Q TAQ = (2 0 00 2 00 0 ‒7)例4.3.3设三阶实对称矩阵的特征值为，且属于的特征矩阵A λ1=-1，λ2=λ3=1λ1为，求矩阵.α1=(0，1，1)TA 解 设的属于特征值的特征向量为，则与正交，即A λ2=λ3=1α=(x 1，x 2，x 3)Tαα1，α1T α=x 2+x 3=0解此齐次线性方程组，得基础解系，α2=(1，0，0)T ，α3=(0，1，‒1)T 易见，正交. 将单位化，可得α2，α3 α1，α2，α3β1=1||α1||α1=12(011)，β2=1||α2||α2=(100)，β3=1||α3||α3=12(01-1)令,则为正交矩阵，且有Q =( β1，β2，β3)=12(0 2 01 0 11 0 -1)Q =，Q-1AQ Q TAQ =B =(- 1 0 00 1 00 0 1)从而= A =Q-1BQ Q T BQ.=12(0 2 01 0 11 0 ‒1)(- 1 0 00 1 00 0 1)(0 1 12 0 00 1 ‒1)=(1 0 00 0 ‒10 ‒1 0)习题四（A ）一、填空题1.为阶矩阵，有非零解，则必有一个特征值__________.A n Ax =0A 2.若阶可逆方阵的每行元之和，则的一个特征值为__________.n A a 3A-1+E3.设为三阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为，则行列式 __________.A 12，13，14|E ‒A |=4.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为__________.λ=2(13A 2)-15.若为四阶实对称矩阵，，且2是的三重特征值，则的相似对角矩阵为A |A |=-8A A __________.6. 设为阶矩阵，有个互异特征值，，，，则有__________A n A n λ1λ2⋯λn R (λj E ‒A ) x =.(j =1，2，⋯，n )7. 设是三阶实对称矩阵，的特征值是，则有__________.A A λ1=λ2=1，λ3=-1A 2n =8.若四阶矩阵相似，矩阵的特征值为，则A 与B A 12，13，14，1513|(B -1)∗+E |=__________.9.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则A =(4 a2 6)a =__________.10.设，矩阵，为自然数，则行列式α=(2，1，‒1)T A =ααTn |a E -A*|=__________.11.已知三阶实对称矩阵的一个特征值为，对应的特征向量，且A λ=2α=(1，2，‒1)T的主对角线上的元全为零，则A A =__________.二、单选题1.设三阶矩阵，则的特征值是（）A =(1 1 01 0 10 1 1)A （A ）1,0,1（B ）1,1,2（C ）-1,1,2（D ）1,-1,12.若可对角化的阶矩阵只有一个特征值为零，则=（）n A R (A )（A ）n（B ）n -1（C ）1（D ）03.设是矩阵对应于特征值的特征向量，当线性组合满足αi (i =1，2，⋯，n )A A ∑=ni 1k i αi （）时，也是矩阵对应于特征值的特征向量.∑=ni 1k i αi A A （A ）其中不全为零k i （B ）其中全不为零k i （C ）是非零向量（D ）是任一向量4.当满足下列（）条件时，矩阵相似.A 与B （A ）|A |=|B |（B ）R (A )=R (B )（C ）有相同的特征多项式.A 与B （D ）阶矩阵有相同的特征值且个特征值不相同.n A 与B n 5.已知二阶实对称矩阵的特征向量为，且，则必为的特征向量的是（）A (-31)|A |<0A （A ）c (-31)（B ）c (13)，c ≠0（C ）c 1(-31)+c 2(13)，c 1≠0，c 2≠0（D ）c 1(-31)+c 2(13)，c 1，c 2不同时为零6.设是阶非零矩阵，，下列命题不正确的是（）.A n A k=O （A ）的特征值只有零A （B ）必不能对角化A （C ）必可逆E +A +⋯+A k ‒1（D ）只有一个线性无关的特征向量A 7.设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则λ1，λ2A α1，α2线性无关的充要条件是（）α1，A (α1+α2)（A ）λ1=0（B ）λ2=0（C ）λ1≠0（D ）λ2≠08.若，且，则以下结论错误的是（）.A 2≠A A ≠E ，O （A ）|A ‒E |≠0（B ）(A +E )‒1=‒12(A ‒2E )（C ）为不可逆矩阵A （D ）必有特征值A λ≠09.设，有特征值（二重），且有三个线性无关的特A =(1 -1 12 4 x- 3 - 3 5)A λ1=6，λ2=2A 征向量，则.x =( )（A ）4（B ）2（C ）‒4（D ）‒210.设为阶矩阵，且相似，则（）A ，B n A 与B （A ）λE ‒A =λE ‒B（B ）均相似于同一个对角矩阵.A 与B （C ）有相同的特征值与特征向量A 与B （D ）对任意常数，相似.a aE ‒A 与aE ‒B 三、综合题1.求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）； （2）；（3）；（4）.(- 3 2- 2 2)(0 0 10 1 01 0 0)(2 0 01 2 -11 0 1)(2 0 01 1 11 ‒1 3)2.判断下列矩阵是否相似：A 与B （1）；A =(3 1 00 3 10 0 3)，B =(3 0 00 3 00 0 3)（2）；A =(1 1 00 2 10 0 3)，B =(1 0 00 2 00 0 3)（3）；A =(1 1 00 2 10 0 3)，B =(1 0 00 2 00 0 3)（4）.A =(1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1)，B =(4 0 0 01 0 0 01 0 0 01 0 0 0)3.求下列矩阵的次幂:k （1）； （2）.A =(- 3 2- 2 2)A =(1 4 20 -3 40 4 3)4. 求正交矩阵，使得为对角矩阵.Q Q TAQ (1)；（2）.A =(0 -2 2- 2 - 3 42 4 - 3)A =(1 2 42 -2 24 2 1)5.设是阶方阵的一个特征值，且的伴随矩阵为，试证：λ0n A (λ0E ‒A )(λ0E ‒A )*的非零列向量是的属于的特征向量.(λ0E ‒A )*A λ06.考察栖息地在同一地区的兔子和狐狸的生态模型，对两种动物的数量的相互依存的关系可用以下模型描述：{x n = 1.1x n -1-0.15y n -1，y n =0.1x n -1-0.85y n -1，n =1，2，⋯，其中分别表示第年时兔子和狐狸的数量，而分别表示基年时兔子和狐x n ，y n x 0，y 0(n =0)狸的数量，记，αn =(x ny n )n =1，2，⋯，（1）写出该模型的矩阵形式；（2）如果,求.α0=(x0y 0)=(108)αn （3）求lim n→∞αn7.设相似，求：（1），的值；（2）求正交矩阵A =(1 0 00 a 10 1 0)，B =( 1 0 00 b 00 0 -1)a b ，使得.Q Q-1AQ =B8.设向量，，且记α=(a 1，a 2，⋯，a n )T ≠0β=(b 1，b 2，⋯，b n )T≠0αT β=0，，求的所有特征值及特征向量.A =αβTA 9.设为三维单位列向量，且，令，证明与相似.α，βαT β=0A =αT β+αβTA (1-1 0)10.设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3，矩阵的属于特征值1,2,3的特征向量分别是A A ，.(1)求的属于特征值3的特征向量；（2）α1=(-1，-1，1)T α2=(1，‒2，‒1)T A 求矩阵.A 11.设，若为的一个特征值，求；（2）求.A =(2 0 01 2 -11 0 k ) λ=1A k An(-142)12.若存在正交矩阵，使矩阵同时相似于对角矩阵，则必有.Q A ，B AB =BA 13.设为三阶实对称矩阵，且满足条件，的秩.求的全部特征值.A A 2+2A =O A R (A )=2A 14.设，求实对称矩阵，使.A =(8 -2 -2- 2 5 4- 2 - 4 5)B A =B 215.设矩阵，求.(1 4 20 -3 40 4 3)A 201316.已知三阶矩阵相似，是的两个特征值，，计算A 与B λ1=1，λ2=2A |B |=2,其中是的伴随矩阵.|(A +E )‒1 OO ( 2B )∗|( 2B )∗2B （B ）1.设矩阵相似，相似，试证：与相似.A 与B C 与D (A O O C )(B O O D )2.已知与对角矩阵相似，求.A =(0 0 1x 1 2x -31 0 0)x 3.设是阶实幂等矩阵（即），且.A n A =A 2R (A )=r ，0<r ≤n （1）设，试证.R (A ‒E )=s ，0<s ≤n r +s =n （2）试证：；A~( 1 ⋱ 10 ⋱0)（3）求|2E -A |4.设为阶矩阵，，证明A ，B n R (A )+R (B )<n （1）是的相同特征值；λ=0A 与B （2）与的基础解系线性相关.Ax =0Bx =05.设是阶矩阵，且任一非零维向量都是的特征向量，试证：A n n A （即为数量矩阵）A =(λλ⋱λ)A 6.已知三阶非零矩阵满足，，，证明：A ，B A =A 2B 2=B AB =BA =O （1）0和1必是的特征值；A 与B （2）若的特征向量，的个特征值两两互异，若的特征向量总是的特α是A 关于λ=1A n A B 征向量，证明.AB =BA 8.设均为阶非零矩阵，且满足，，证明：A ，B n A +A 2=O B +B 2=O （1）是的特征值.-1A ，B （2）若，分别是对应于的特征向量，则线AB =BA =O ξ1，ξ2A ，B λ=-1ξ1，ξ2性无关.答案：一、填空题1.02.3a+13.-64.345.. (2 22-1)6. n -17.E8.14 7639.-1210.a 2(a -6n )11.A =(0 2 22 0 -22 -2 0)二、单选题1-5 CBCDB 6-10 DDADD 三、综合题1.（1），，的属于的特征向量；的属于λ1=1λ2=-2A λ1=1c 1(12)，c 1≠0A的特征向量.λ2=-2c 2(21)，c 2≠0（2），；的属于的特征向量为λ1=λ2=1λ3=-1A λ1=λ2=1不全为零；的属于的特征向量为c 1(101)+c 2(010)，c 1，c 2A λ3=-1c 3(-101)，c 3≠0（3），；的属于的特征向量为不λ1=λ2=2λ3=1A λ1=λ2=2c 1(101)+c 2(010)，c 1，c 2全为零；的属于的特征向量为.A λ3=1c 3(011)，c 3≠0（4）（三重）；的属于的特征向量为不全为零；λ=2A λ=2c 1(110)+c 2(-101)，c 1，c 22.（1）不相似；（2）相似；（3）相似.3.(1)；A k=13((-1)k 2k +2- 1 (-1)k +12k +1+2(-1)k 2k +1- 2 (-1)k +12k +4)（2）当为偶数时，；当为奇数时，k A k =(1 0 -1+5k0 5k 00 0 5k )k .A k =(1 4×5k -1 -1+3×5k -10 - 3×5k -1 4×5k -10 4×5k -1 3×5k -1 )。
矩阵对角化
定理3 定理 数域 P上 n 维线性空间 上线 上 维线性空间V上线 性变换 A 若在 P 中互异特征值的全体
λ1 , λ2 ,⋯, λs 且
dimVλ i = r i =1,2,⋯, s
则 A 关于 V 的某组基的矩阵为对角形
可知。 证：由定理2可知。 由定理 可知
重特征根,则 重特征根 命题1 命题 设 λ0 是线性变换A的k重特征根 则 dim Vλ ≤ k
∴ diag [5 , − 1, − 1] 即为A 在基 ξ1,ξ2 ,ξ3 下的矩阵。 下的矩阵。
（2）能 ）
∵ [ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ] = [ε1 + ε 2 + ε 3 , ε1 − ε 3 , ε 2 − ε 3 ]
1 1 0 = [ε1 , ε 2 , ε 3 ] 1 0 1 1 − 1 − 1
于是（2）-（3）得： 得 于是 k1 (λs − λ1 )ξ1 + k 2 (λs − λ2 )ξ 2 + ⋯ + k s −1 (λs − λs −1 )ξ s −1 = 0 由假设可知 k1 − k 2 = ⋯ = k s − 1 = 0 代入（1）有 ksξs = 0 ∴ks = 0 有 代入 推论1: 个不同的特征值， 推论 若 A 有 n 个不同的特征值， 在某组基下的矩阵是对角阵。 则 A 在某组基下的矩阵是对角阵。
0
记 证:设 dim Vλ = t ,记 Vλ 的一组基为 设 ξ1 , ξ 2 , ⋯ξ t , 将它扩充成 V 的一组基 ξ1 ,
0
0
⋯, ξ t , ξ t +1 , ⋯, ξ n , 则 A 关于此基的矩阵为
λ0 Et B = O
C D
对角矩阵(精)
为 V0 的基, A (i ) ii .扩充基: 1, ,m ,m1, ,n 则
A (1,
故
,m ,m1,
,n ) (1,
,m ,m1,
0
,
n
)
*
0
0
*
fA( ) ( 0 )m g( ), m 0 的重数.
证明.
二、几个引理
3.(Th.9) 设A 为线性空间V的一个线性变换，
1,2 , k是 A 的不同特征值，而 i1,i2 , iri 是属于 特征值 i 的线性无关的特征向量，i 1,2, ,k, 则向量 11, ,1r1 , ,k1, ,krk 线性无关.
证明.
三、可对角化的条件
故 11, ,1r1 , ,k1, ,krk 线性无关.
6. 设A 为n维线性空间V的一个线性变换，
若A 在某组基下的矩阵为对角矩阵
1
D
2
n
则 1）A 的特征多项式就是
f ( ) 1 2 n
2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一
i E A X 0, i 1.2. k
的一个基础解系（此即A 的属于i 的全部线性无关 的特征向量在基 1, 2 , , n下的坐标）.
3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n ，则
A 有n个线性无关的特征向量 1,2 , ,n , 从而 A
（或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个 n阶方阵T，则T可逆， T 1AT 是对角矩阵. 而且
①
以 k 乘①式的两端，得பைடு நூலகம்
a1k1 a2k2 akkk 0.
矩阵对角化问题
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2 (2) A E
3
1 3 0
2 3 2
5 1
2 1 2 A 5 3 3 1 0 2
1 0
3 A E 5 1
1 2 3 1.
2
2 4 2
(1) A E 2
2 7 0
得 1 2 2, 3 7
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当 1 2 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
1 2 2 1 2 2 A 2 E 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 2 2 p1 1 , p2 0 . 得基础解系 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 1 0 8 2 2 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
(1)求出A的所有特征值 1 , 2 ,, t , 其重数分别为 n1 , n2 ,, nt , (2)对每一个 i , 求出 (i E A) x 0的基础解系 i 1 , i 2 ,, i ,
ni
从而得对应 i 的 ni 个线性无关的特征向量
i1 , i 2 ,, i , 其中i 1,2,, t.
第五章 矩阵对角化问题
1. 方阵对角化的概念 对n 阶矩阵 A ， 寻找相似变换矩阵 P ，使
P 1 AP (为对角阵)
这就称为把方阵 A 对角化. 说明 如果能找到可逆矩阵 P ，使 P 1 AP ，则 A可对角化；
线性代数 矩阵的对角化
−1
则有
−1 1 1 −2 0 P −1 AP = 0 1 0 0
−2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
则有
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． ． 要相互对应
故
Ak = Pdiag(λ1k ,⋯ , λnk ) P −1
λ1k = P P −1 (6(6-11′) ⋱ k λn
λ2k
λ −4 λI − A = 3
3
−6 λ +5 6
0 0
= (λ − 1) (λ + 2)
2
λ −1
所以A的全部特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2.
− 2 ξ1 = 1 , 0
0 ξ2 = 0 . 1
将 λ3 = −2代入 (λI − A ) x = 0, 得方程组的基础 解系
例3 试将矩阵
解 特征多项式为
k (λ ) = 3− λ 2 2
3 − 1 − 2 对角化. A= 2 0 − 2 2 − 1 − 1
故特征方程 有根
λ (λ − 1) 2 = 0
λ1 = 0, λ 2 = λ3 = 1
为
对于λ1=0, (6(6-1′)
−1 −2 3− λ 1 2 −λ −2 = 2 2 λ −1 −1− λ 2 1 1+ λ
ρλ = mλ
（证略） 证略）
例５ 考察矩阵 A =
1 1 是否可对角化. 0 1
可求出对应于特征值λ=1的特征向量. 由于方程组的 系数矩阵之秩为1，故对应的特征子空间是1维的， 维的， 即
矩阵的对角化
矩阵的对角化学生姓名：马莉莹 指导老师：朱广俊数学科学学院，2008级，数学与应用数学（师范）我们知道属于特征值i λ的特征向量i X 满足()0i i A I X λ-=，1,2,,,i n = 即它们满足如下条件：,1,2,,.i i i AX X i n λ== 其中 （4-9） 若将矩阵A 的特征向量i X 作为列向量所组成的n 阶方阵记为X ，则等式（4-9）可以表示为AX X =Λ （4-10） 其中Λ是一个对角矩阵，且主对角线上的元素为A 特征值；即，12000000n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭（4-11） 已经证明了属于不同特征值的特征向量是线性无关的（定理4-1）.所以，当i λ互不相同时，矩阵X 是非奇异的.当在等式 （4-10）两边同时乘以1X -，可得到1X AX -=Λ （4-12） 因此，通过特征向量所组成的矩阵和它的逆，我们能将特征值互异的矩阵A 变成一个主对角线上的元素为其特征值的对角矩阵.等式（4-12）所表示的变换称为矩阵A 的对角变换.如果矩阵A 的特征值不是互异的，那么A 未必可对角化.例如，矩阵3103A ⎛⎫= ⎪⎝⎭不能如（4-12）那样对角化.对于等式（4-12）中的矩阵A ，称为与对角矩阵相似.一般地，对任意两个同阶方阵A 和B ，如果存在一个非奇异的矩阵C ，使得1C AC B -=，则称方阵A 和B 是相似的，称由A 到B 的变换为相似变换.特别地，若矩阵B 是一个对角矩阵，且主对角线上的元素均是A 的特征值，则称矩阵B 是矩阵A 的标准形.除了主对角线上的元素的顺序外，该标准形是唯一的.在等式（4-12）中，我们称由矩阵A 的特征向量i X 构成的矩阵X 为矩阵A 的模态矩阵.矩阵的特征向量乘以任意非零常数后仍是该矩阵的特征向量.因此,矩阵A 的模态矩阵并非是唯一的.例1 试判断矩阵6221A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭和8631B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭是否是相似的. 解：若A 和B 相似，则存在一个2阶的可逆矩阵C 使得1C AC B -=；即AC CB =.令0.a b C ad bc c d ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭且则 6286=-2131a b a b c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6262836.22836a c a d a b a b a c b d c d c d ++--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭利用矩阵相等可得下面的齐次线性方程组2320273067202620a b c a c d a b d b c d --=⎧⎪+-=⎪⎨--=⎪⎪+-=⎩37,26,2,2a t s b t s c s d t =-=-==，其中s t 和是任意实数，为该齐次线性方程组的解.因此，存在一个可逆矩阵372622t s t s C s t --⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中s t 和是任意实数. 由0C ≠可得22618120t st s -+≠()()6120,t s t s --≠ 2.t s t s ≠≠且因此矩阵A 和B 是相似的.令0, 1.s t == 则1113233,,02102C C -⎛⎫- ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭且有11162328633.210231102C AC B -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭故A 与B 相似.例2 证明相似矩阵具有相同的行列式和相同的特征值.解：设A 和B 是相似矩阵，则存在一个与A 和B 同阶的可逆矩阵C ，使得1C AC B -=.由性质矩阵乘积的行列式等于行列式之积，可得111B C A C C C AC C A I A A---=====则()()111A I C A I CC AC C IC B I λλλλ----=-=-=-即A 和B 有相同的特征多项式,由此易知:矩阵A 和B 有相同的特征方程和特征值.值得注意的是：例2的逆命题不成立.例如矩阵10120101A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和有相同的特征值12==1λλ且A B =，但对于任意2阶可逆矩阵1C C AC I -=有,但.I B ≠,所以矩阵A 和B 不是相似的.例3 证明对所有自然数n 有n n i i i A X X λ=.解： 可用数学归纳法来证明该等式：由（4-9） 知 i i i AX X λ= i i i AX X λ=假设对任意正整数k 有k k i i i A X X λ=.由（4-9）得11k k k k i i i i i i i A X A X AX X λλλ++===即对所有自然数n 有n n i i i A X X λ= （4-13）若A 是具有n 个不同实特征值的n 阶实对称矩阵，则与n 个不同实特征值对应的特征向量是相互正交的（定理4-5）.若将每一个特征向量通过适当的乘法进行正规化，则由其作为列向量组成的矩阵是一个正交矩阵.我们称用正交模态矩阵作用的变换为正交变换；即矩阵A 的正交变换为变换T C AC ，其中C 是一个正交矩阵.若一个n 阶实对称矩阵有多个特征值，则我们总能得到n 个彼此正交的单位向量.我们也能得到与其它特征向量正交的r 个线性无关的特征向量是一个r 重特征值对应的特征向量.此外，可取这些特征向量两两正交.我们假定实对称矩阵的这些性质均是成立的，而它的有关证明则将留在更有深度的线性代数文本中去讨论.定理4-6 每一个实对称矩阵均可通过正交变换化为标准型.定理4-6有时也称为主轴定理.我们将在本章的后段部分讨论该定理在解析几何中的应用.例4 设3113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭.试求将矩阵A 变换为标准形的正交矩阵.解：A 的特征方程是2680λλ-+=；由此可得A 的特征值12λ=，24λ=.与特征值12λ=对应的特征向量为11.22T-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 与特征值24λ=对应的特征向量为11.22T ⎛⎫ ⎪⎝⎭因此将矩阵A 变换为标准形的正交矩阵为 1122;1122⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭即 111131202222111311042222-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
矩阵的对角化
第四章矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例 4.1.1 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设，分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，，分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平，且有如下关系，令，，，则上述关系的矩阵形式为：若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平，则若干年后的环境污染水平与经济发展水平为，即这里，4就是矩阵的一个特征值，是矩阵的对应于4的一个特征向量.定义 4.1.1 设为阶矩阵，若存在数和维非零列向量，使得；则称为矩阵的特征值，是矩阵一个特征值，称为的属于（或对应于）特征值的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得（1）若为的属于的特征向量，则对于非实数，也是的属于的特征向量. （2）若，为的属于的特征向量，则当时，也是的属于的特征向量.（3）若，为的互异特征值，，分别为的属于，的特征向量，则.证若，则，即，故.由于，所以，矛盾.因此.例 4. 1. 2 求阶方阵的一个特征值与所对应的特征向量.解取维向量，，，则，故是的一个特征值，是属于特征值的一个特征向量.将（4.1.1）写成下面形式.根据定义，特征向量就是齐次线性方程组. （4.1.2）的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知阶矩阵的特征值满足方程.为叙述方便，引入下面的概念.定义4. 1. 2 .，称为矩阵的特征多项式，称为的特殊矩阵，称为的特征方程.二、特征值与特征向量的计算求阶矩阵的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：（1）计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，，，. 对每个特征值，，，，求解齐次线性方程组.设它的一个基础解系为，，，，则的属于的全部特征向量为其中，，，为不全为零的任意常数.限于本教材适用范围，我们将不讨论的复特征值和特征向量.例 4.1.3 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式=由，得的特征值为，，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于，的全部特征向量为（）.对于，解齐次线性方程组，即解方程组得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）..对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）..例4.1.4 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式为=,由，得的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，，，，所以对应于的全部特征向量为（，不全为零）.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）.例4.1.5 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式为=,由，得的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）. 对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）. 三、特征值与特征向量的性质定理4.1.1 阶矩阵与有相同的特征值.证由，知与有相同的特征多项式，故有相同的特征值.定理4.1.2 设，，，，为方阵的个特征值，则有（1）（2）证（1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有（4.1.3）令，得，即（2）比较（4.1.3）式两端的系数，右端为，而左端含的项来自的主对角线元乘积项，其含的系数为，因此.我们将阶矩阵的主对角线元之和称为矩阵的迹，记为（），即（ ）= ∑=n k 1推论4.1.1 阶矩阵 可逆的充分条件是它的任一特征值不等于零.定理4.1.3 若 为 的特征值， 是对应的特征向量，则（1） 为 的特征值（ 为常数）；（2） 为 的特征值（ 为正整数）；（3） 若 为 的多项式，则 为 的特征值；（4） 若 可逆，则 为 的特征值， 为 的特征值.证 由题意，对于 ，有 .（1） 因为 ，故 为 的特征值.（2） 由 ，得 ，假设 ， 于是 ，由数学归纳法知结论成立.（3） 设 ，由（2）可得(4) 由于 可逆，故 ，从而 ，故， ，即 为 的特征值， 为 的特征值.下面给出方阵 的特征向量的性质定理4.1.4 设 ， ， ， 为 阶矩阵 的 个互异特征值， ， ， ， 分别是 的属于 ， ， ， 的特征向量，则 ， ， ， 线性无关.证 设有常数 ， ， ， ，使得（4.1.4） 上式两边左乘 ，并注意到 ， ， ， ，有.按这种方法再依次用 ， ， 左乘（4.1.4），并应用定理4.1.3（2）的结论，得，，，上式的矩阵形式为，，，（，，，），上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，因为，，，互不相同，所以该行列式的值不为零，从而该矩阵可逆.用该矩阵的逆右乘上述等式两边，得，，，（，，，）于是，，，，由于特征向量，，，非零，因此只有，，，上式才能成立，故，，，为线性无关.定理4.1.5设，，，为阶矩阵的个互异特征值，，，，分别是的属于，，，的线性无关的特征向量，则向量组，，，，，，，，，，，线性无关.证明略.关于对应同一个特征值的特征向量间的关系，有定理4.1.6 设是阶矩阵的重特征值，则对应于的线性无关特征向量个数不超过个.显然，依据定理4.1.6，当特征值为单根时，对应的线性无关特征向量个数只能是一个.根据上述定理，对于阶矩阵的每一个不同的特征值，求出齐次线性方程组的基础解系，就得到的属于的线性无关的特征向量.然后，把它们合成一起所得的向量组仍然线性无关.阶矩阵的线性无关特征向量个数不大于.例4.1.6设三阶矩阵的特征值为，，求（1）的特征值.（2）的特征值.（3）的特征值及.解（1）由于，因此可逆，由定理4.1.3知，的特征值为，，.（2）由定理4.1.3知，的特征值为6,6,4.（3）因为，所以）.设，由定理4.1.3知，的特征值为，1,2,3.由此得的特征值为，，，.例4.1.7 设为正交矩阵，若，则有特征值证，则.另一方面，由于及，则因此，即为的特征值.§4.2 相似矩阵在矩阵的运算中，对角矩阵的运算最方便.我们自然要问，一个阶矩阵是否可化为对角矩阵，且保持矩阵的一些重要性质不变.本节将讨论这个问题.一、相似矩阵定义4.2.1 设，为阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵，使得，则称矩阵和相似，也称是的相似矩阵，记作.可逆矩阵称为相似变换矩阵. 例 4.2.1 设，，，不难验证可逆，且.由于,因此.两个相似矩阵是等价矩阵，相似是方阵之间的一种关系，这种关系具有如下性质：（1）反身性：；（2）对称性：若，则；（3）传递性：若，，则；此外，相似矩阵之间有许多共同的性质定理4.2.1 若阶矩阵与相似，则（1）；（2）；（3），有相同的特征值；（4）.证由于，故存在阶可逆矩阵，使得，从而（1）；（2）；（3）由于，即，有相同的特征多项式，于是，有相同的特征值.（4）由（3）即得.推论4.2.1 若阶矩阵与对角矩阵=相似，则，，，是的个特征值.例4.2.2 若，求，.解对角矩阵的特征值为，，，由于，因此的特征值也为，，，再根据相似矩阵有相同的迹，可得，，解此方程组得，.两个相似的矩阵还具有下面的性质（1）若，则，（为正整数）；（2）若，为多项式，则；（3）若，且，均可逆，则；证只证，故存在阶矩阵，使得，从而个即.二、矩阵的对角化定义 4.2.2 若阶矩阵与对角矩阵相似，则称可对角化.相似矩阵有许多共同性质.在我们熟悉的矩阵中，形式最简单的一类是对角矩阵，若矩阵相似于对角矩阵，就可以借助对角矩阵来研究，如何求相应的可逆矩阵？下面我们就来讨论这个问题.定理4.2.3 阶矩阵相似于对角矩阵（可对角化）的充要条件是有个线性无关的特征向量.证必要性.设存在可逆矩阵，使得==.设，，，，由=，得=，或，，，，，，.即，，，，，，因此，，，，，由于可逆，因此，从而，，，都是非零向量，故，，，分别是的属于特征值，，，的特征向量，再由可逆知，，，线性无关.充分性.设，，，分别是的属于特征值，，，的个线性无关的特征向量，则有，，，取，，，,因为，，，线性无关，所以可逆，于是有=.，即==因此矩阵相似于对角矩阵.因为特征向量不是唯一的，所以矩阵不具有唯一性.推论4.2.2若阶矩阵有个互异的特征值，则必可对角化.推论4.2.3阶矩阵可对角化的充分必有条件是的每个重特征值都有个线性无关的特征向量.即.由上述结论可知，例4.1.3和例4.1.4给出的矩阵可对角化，而例4.1.5给出的矩阵不能对角化.根据上述结论，可以归纳出将矩阵对角化的具体计算步骤：（1）求出阶矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为，，，；（2）求的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对应的线性无关的特征向量，设为，，，，，，；（3）判定是否可对角化.若对每一个特征值都有，，，，则可对角化，否则不可对角化；（4）当可对角化时，令，，，，，，，，，，，，）个个个且可逆，且有=例4.2.3判断下列矩阵能否对角化，若能，求出可逆矩阵，使得为对角矩阵.(1)；（2）解（1）矩阵的特征多项式为=由，得的特征值为，，.由推论4.2.2知，矩阵可对角化.下面求可逆矩阵.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，即为即为的属于特征值的一个特征向量.对于，解齐次线性方程组，即解方程组得基础解系，，，即为的属于特征值的一个特征向量.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，即为的属于特征值的一个特征向量.取，，,则有==（2）矩阵的特征多项式为=由，得的特征值为，.当，即为的二重特征值时，.故，依据推论4.2.3知，矩阵可对角化，且对应的线性无关的特征向量为，，，，，.对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的一个特征向量，，.取取，，,则有==对于可对角化的矩阵，我们可应用来求方程的幂,例如，对上例的矩阵，我们有.例4.2.4 设，求为何值时，（1）可对角化，并求相似变换矩阵；（2）为可逆矩阵.解（1）矩阵的特征多项式为=，故的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的特征向量为，，，，，.对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的特征向量为，，.依据推论4.2.3知，无论为何值，矩阵均可对角化.令，，，则有==.（）的特征值分别为，，，故当且时，为可逆矩阵.§4.3 实对称矩阵的对角化我们已经知道，不是每个矩阵都能对角化.但本节讨论的实对称矩阵一定可以对角化，而且还能正交相似于对角矩阵,本节将讨论实对称矩阵的对角化.一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质,这些性质可以保证实对称矩阵一定可以对角化.定理4.3.1 实对称矩阵的特征值都是实数.证设为实对称矩阵的特征值，为对应的特征向量，即，.用表示的共轭复数，用表示的共轭复向量.则，于是有，及，以上两式相减得，以为所以.因而，即为实数.由于实对称矩阵的特征值为实数，那么为实矩阵，则齐次线性方程组的解可取为实向量，亦即实对称矩阵的特征向量为实向量.定理4.3.2实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,证设，为实对称矩阵的两个不同的特征值，，分别为它们对应的特征向量，则，，，，从而，因是对称矩阵，又有，于是，因，故，即与正交.定理4.3.3 设为阶实对称矩阵，为的重特征根，则，从而特征值恰好对应个线性无关的特征向量.证明略.二、实对称矩阵的对角化由定理4.3.2和定理4.3.3可得定理4.3.4 设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得=其中，，，为的全部特征值.（1）求出阶实对称矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为，，，；（2）求实对称矩阵的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对应的线性无关的特征向量，设为，，，；（3）用施密特正交化方法，将特征向量，，，，，，正交，，，单位化，得到一个标准正交向量组，，，，，，；（4）令，，，，，，，，，，，（，，，，，，，，，，，，）个个个且为正交矩阵，且有=例4.3.1 设实对称矩阵，求正交矩阵，使得=为对角矩阵.解矩阵的特征多项式为=，因此，矩阵的特征值为，，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，；对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，；对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，.将，，单位化，可得，，，，，，，，令，，,且为正交矩阵，且有=例4.3.2 设实对称矩阵，求正交矩阵，使得=为对角矩阵.解矩阵的特征多项式为=，因此，矩阵的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，，，，；先将向量，正交化，令，，，，再单位化，得，，对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，，将其单位化，得.令，，,且为正交矩阵，且有=.例 4.3.3 设三阶实对称矩阵的特征值为，，且属于的特征矩阵为，，，求矩阵.解设的属于特征值的特征向量为，，，则与正交，即，解此齐次线性方程组，得基础解系，，，，，，易见，，正交.将，，单位化，可得，，令，，,则为正交矩阵，且有=，从而=.习题四 （A ）一、填空题1. 为 阶矩阵， 有非零解，则 必有一个特征值__________.2.若 阶可逆方阵 的每行元之和 ，则 的一个特征值为__________.3.设 为三阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为，，，则行列式 __________.4.设 是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为__________.5.若 为四阶实对称矩阵， ，且2是 的三重特征值，则 的相似对角矩阵为__________.6. 设 为 阶矩阵， 有 个互异特征值 ， ， ， ，则有 __________ ， ， ， .7. 设 是三阶实对称矩阵， 的特征值是 ， ，则有 __________. 8.若四阶矩阵 与 相似，矩阵 的特征值为，，，，则9.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则10.设 ， ，，矩阵 ， 为自然数，则行列式 11.已知三阶实对称矩阵 的一个特征值为 ，对应的特征向量 ， ，，且 的主对角线上的元全为零，则 二、单选题1.设三阶矩阵，则 的特征值是（）（A ）1,0,1 （B ）1,1,2 （C ）-1,1,2 （D ）1,-1,12.若可对角化的 阶矩阵 只有一个特征值为零，则 =（） （A ） （B ） （C ）1 （D ）03.设 ， ， ， 是矩阵 对应于特征值 的特征向量，当线性组合∑=ni 1满足（）时，∑=ni 1也是矩阵 对应于特征值 的特征向量.（A）其中不全为零（B）其中全不为零（C）是非零向量（D）是任一向量4.当满足下列（）条件时，矩阵与相似.（A）（B）（C）与有相同的特征多项式.（D）阶矩阵与有相同的特征值且个特征值不相同.5.已知二阶实对称矩阵的特征向量为，且，则必为的特征向量的是（）（A）（B），（C），，（D），，不同时为零6.设是阶非零矩阵，，下列命题不正确的是（）.（A）的特征值只有零（B）必不能对角化（C）必可逆（D）只有一个线性无关的特征向量7.设，是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，，则，线性无关的充要条件是（）（A）（B）（C）（D）8.若，且，，则以下结论错误的是（）.（A）（B）（C）为不可逆矩阵（D）必有特征值9.设，有特征值，（二重），且有三个线性无关的特征向量，则.（A）4（B）（C）（D）10.设，为阶矩阵，且与相似，则（）（A）（B）与均相似于同一个对角矩阵.（C）与有相同的特征值与特征向量（D）对任意常数，与相似.三、综合题1.求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）；（2）；（3）；（4）.2.判断下列矩阵与是否相似：（1），；（2），；（3），；（4），.3.求下列矩阵的次幂:（1）；（2）.4.求正交矩阵，使得为对角矩阵.(1)；（2）.5.设是阶方阵的一个特征值，且的伴随矩阵为，试证：的非零列向量是的属于的特征向量.6.考察栖息地在同一地区的兔子和狐狸的生态模型，对两种动物的数量的相互依存的关系可用以下模型描述：，，，，，其中，分别表示第年时兔子和狐狸的数量，而，分别表示基年时兔子和狐狸的数量，记，，，，（1）写出该模型的矩阵形式；（2）如果,求.（3）求7.设，相似，求：（1），的值；（2）求正交矩阵，使得.8.设向量，，，，，，，，且，记，求的所有特征值及特征向量.9.设，为三维单位列向量，且，令，证明与相似.10.设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3，矩阵的属于特征值1,2,3的特征向量分别是，，，，，.(1)求的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵.11.设，若为的一个特征值，求；（2）求.12.若存在正交矩阵，使矩阵，同时相似于对角矩阵，则必有.13.设为三阶实对称矩阵，且满足条件，的秩.求的全部特征值.14.设，求实对称矩阵，使.15.设矩阵，求.16.已知三阶矩阵与相似，，是的两个特征值，，计算,其中是的伴随矩阵.（B）1.设矩阵与相似，与相似，试证：与相似.2.已知与对角矩阵相似，求.3.设是阶实幂等矩阵（即），且，.（1）设，，试证.（2）试证：；（3）求4.设，为阶矩阵，，证明（1）是与的相同特征值；（2）与的基础解系线性相关.5.设是阶矩阵，且任一非零维向量都是的特征向量，试证：（即为数量矩阵）6.已知三阶非零矩阵，满足，，，证明：（1）0和1必是与的特征值；（2）若是关于的特征向量，的个特征值两两互异，若的特征向量总是的特征向量，证明.8.设，均为阶非零矩阵，且满足，，证明：（1）是，的特征值.（2）若，，分别是，对应于的特征向量，则，线性无关.答案：一、填空题1.02.3.-64.5..6.7.8.14 7639.10.11.二、单选题1-5 CBCDB6-10 DDADD三、综合题1.（1），，的属于的特征向量，；的属于的特征向量，.（2），；的属于的特征向量为，，不全为零；的属于的特征向量为，（3），；的属于的特征向量为，，不全为零；的属于的特征向量为，.（4）（三重）；的属于的特征向量为，，不全为零；2.（1）不相似；（2）相似；（3）相似.3.(1)；（2）当为偶数时，；当为奇数时，.。
矩阵的对角化
实施单位化
e1
1
1
1
1 (1, 0, 1) 2
e3
1
3
3
1 3
(2,1, 2)
e2
1
2
2
1 32
(1, 4,1)
通常称 Rn 的正交基为完备正交组，
R 称 n 的标准正交基为标准完备正交组。
定理 设A为n阶对称矩阵，则恒存在由A的特征 向量构成的标准完备正交组,即恒存在由A
1
n )
2
n
AP P P1AP
必要性
设A相似于对角矩阵
d1
D
dn
即存在可逆矩阵B，使得 B1AB D
记：
B (1, , n )
B1AB D AB BD A(1, , n ) (d11, , dnn )
3 1
2
1
0 6
P1
1 1 0
例 矩阵A = 为什么？
4 1
3 0
0 能否相似于对角阵？ 2
1 1
0
解 | λ E – A | = 4 3 0 =(λ - 2)(λ -1)2
1
0
2
所以 A的特征值为 λ 1 = 2 λ 2 =λ 3 = 1
AT A
则称A为对称矩阵.
(4.16)
显然，若 A = (a i j ) 为对称阵，则 a i j = a j i
性质：
定理1:实对称矩阵的特征值必为实数。
A A A A A A
第五章矩阵的对角化
所以1 , 2 , 3线性无关.
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
所以A的特征值为1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 T (1,1,1) ,
0 1 2 5 100 2 3 1 1 5 52
100
5 2101
2. 求行列式
例5：设 A 是 n 阶方阵，2,4, 计算 A 3 E .
,2n 是A 的 n个特征值，
解：
已知 A 有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
即存在可逆矩阵 P , 使得 2 P 1 AP 1
说明 如果 A 的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
可逆矩阵 P就 是 以 这 n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 作为列向量而成的。
定 理3、 设 0 是n阶 方 阵 A的 一 个 k重 特征值，则 A的 属 于 特 征 值 0的 特 征 向 量 中 ， 极 大 线 性 无 关 组含 包的 向 量 个 数 不 多 于k个 。 即 齐 次 线 性 方 程 组 （ 0 E A）x 0 的 基 础 解 系 包 含 的 向个 量数 最 多 有 k个 。
定理2、设λ 1，λ2， λm 是方阵A的m个互不相 同的特征值，α i1 , α , α i2 , isi 是A的属于特征值λ i (i 1,2,,m)的线性无关的特征 向量，则有所有 这些特征向量组成的向 量组 α ，α1s1, α21 , α22 , , α2s2 , , αm1 , 11，α 12， αm2 , , αms m 是线性无关的。
5.2矩阵的对角化
则
P 1 AP diag{1 , 2 ,, n}
例3
0 0 1 A 1 1 1 1 0 0
1 2 3 B 0 1 2 0 0 1
问A
B
是否可对角化?若可以,求
则 1 , 2 ,, n 两两正交。
继续令
n 1 2 1 , 2 , , n 1 2 n
则 1 , 2 ,, n 为一组单位正交向量。
向量组
施密特正交化 单位化
单位 正交向量组
5 正交阵 T A A n 设 是 阶方阵,如果满足 A I , 则称 A 为正交阵. (证明正交阵常用方法)
定理5.2.4 属于实对称阵的不同特征值 的特征向量彼此正交. 即 1 2 , p1 , p2 分别是属于1和 2 的特征向量, 则 p1 , p2 0.
2 实对称阵可对角化 定理5.2.5 设 A 是 n 阶实对称阵,则必有正交阵 Q, 1 使 Q AQ diag(1 , 2 ,, n ). 3 求正交阵 Q ? 正交阵 Q 可逆阵 P ( p11 , p1r ,, ps1 , psr )
求正交阵 Q, 使 Q AQ 为对角阵.
1
作业 T 1.设 为n 维实列向量, 且 2, T A I 求证 为正交矩阵. 习题5.2, 3(3)
B 的属于 2 4的特征向量
注2 特征值相同的矩阵未必相似
2)若f x 为多项式，则 f ( A)与 f (B) 相似. 1 1 A B A B 3)若 与 均可逆，则 与 相似. 例1
1 1 设矩阵 A 与 0 1 0 0 * 2 1 A , A 2 A I . 求 a b 2
第三章矩阵对角化、若当标准型
第三章 矩阵的对角化、若当标准型§ 矩阵对角化线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。
一、特征值、特征向量性质定义1 设n n A ⨯∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。
下面定理1是显然的。
定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。
由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。
定理2 设n n A ⨯∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。
定义2设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为iλ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。
由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关特征向量的个数。
定理3 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则rank()i i n n I A αλ=--证明 特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以dim dim ()ii i n V N I A λαλ==-dim ()i n n R I A λ=-- rank()i n n I A λ=--例1 求123323001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。
解 123det()32301I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+-所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。
1λ的几何重复度113rank()I A αλ=--2233rank 3331000---⎡⎤⎢⎥=----=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2λ的几何重复度223rank()I A αλ=--3233rank 3231005--⎡⎤⎢⎥=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定理4 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何重复度，则i i m α≤。