高数练习题及答案

高等数学（下）模拟试卷一

一、 填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

11z x y x y =+

+-的定义域为 （2）已知函数

arctan

y z x =，则z

x ∂=

∂

（3）交换积分次序，

2

220

(,)y y dy f x y dx

⎰⎰

＝

（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则

()L

x y ds +=⎰

（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为

二、选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨

--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交

（2）设

是由方程2222xyz x y z +

++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =

（ ）

A.dx dy +

B.2dx dy +

C.22dx dy +

D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面2

2

2

425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω

+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.

225

30

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ B.

245

30

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ C.

22

5

3

50

2r

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ D. 22

5

2

d r dr dz

π

θ⎰

⎰⎰

（4）已知幂级数

，则其收敛半径

（ ）

A. 2

B. 1

C. 1

2 D. 2

（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *

=（ ）

A.

B.()x ax b xe +

C.()x

ax b ce ++

D.()x

ax b cxe ++

三、计算题（每题8分，共48分）

1、 求过直线1L :1231

01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z

+-==的平面方程 2、 已知

22

(,)z f xy x y =，求z

x ∂∂， z y ∂∂ 3、 设

22

{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求

2

D

x dxdy ⎰⎰

得分

阅卷人

4、 求函数22

(,)(2)x

f x y e x y y =++的极值

5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点

(0,0)O 到(,2)A π的一段弧

6、求微分方程 x

xy y xe '+=满足 1

1x y ==的特解

四.解答题（共22分）

1、利用高斯公式计算

2

2xzdydz yzdzdx z dxdy ∑

+-⎰⎰，其中∑由圆锥面22

z x y =+与上

半球面22

2z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)'

2、（1）判别级数11

1(1)3n n n n ∞

--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）

（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1n

n nx

∞

=∑的和函数（6'）

高等数学（下）模拟试卷二

一．填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

2

4x y z -=的定义域为 ； （2）已知函数xy

z e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；

（3）交换积分次序，

ln 1

(,)e x dx f x y dy

⎰

⎰

＝ ；

（4）已知L 是抛物线2

y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则

L

yds =

⎰

；

（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .

二．选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨

--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；

A. 0

B. 2π

C. 3π

D. 4π

（2）设是由方程33

3z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；

A. 2yz xy z -

B. 2yz z xy -

C. 2xz xy z -

D. 2

xy z xy -

（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *

=（ ）；