勾股定理与方程思想(推荐完整)
(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理
第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点:勾股定理及其逆定理的应用。
难点:勾股定理及其逆定理的应用。
二、知识要点梳理知识点一:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即:a2+b2=c2)要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释:用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则△ABC为锐角三角形)。
知识点三:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
知识点四:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
三、规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a,b,c有下列关系:a2+b2=c2,•那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解.第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系?(1) 角与角之间的关系:在△ABC 中,∠C=90°,有∠A+∠B=90°;(2) 边与边之间的关系:在△ABC 中,∠C=90°,有222c a b =+2.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ,那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学勾股定理论文
数学勾股定理论文勾股定理是数学史上一个伟大的定理,同时也是一个历史悠久的定理.下面店铺给你分享数学勾股定理论文,欢迎阅读。
数学勾股定理论文篇一数学思想是数学知识的精髓,又是把知识转化为能力的桥梁.灵活运用数学思想,能够有效地提高分析问题和解决问题的能力,增强应用数学知识的意识.在《勾股定理》这一章中,蕴含着许多重要的数学思想,现举例介绍如下.一、方程思想在含有直角三角形的图形中,求线段的长往往要使用勾股定理,如果无法直接用勾股定理来计算,则需要列方程解决.二、化归思想化归思想就是通过一定的方法或途径,把需要解决的问题变换形式,变化成另一类已经解决或易于解决的问题,从而使原来的问题得到解决.例3如图3,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm.点B 与点C的距离为5cm,一只蜗牛如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需爬行的最短路程是多少?分析:由于蜗牛是沿着长方体的表面爬行的,故需把长方体展开成平面图形.根据两点之间线段最短,蜗牛爬行的较短路程有两种可能,如图4、图5所示.利用勾股定理容易求出两种图中AB的长度,比较后即可求得蜗牛爬行的最短路程是25cm.说明:这里通过长方体的展开图,把立体图形转化为平面图形,把求蜗牛爬行的最短路程问题化归成利用勾股定理求两点间的距离问题.例4如图6,是一块四边形的草地ABCD,其中∠A = 60O,∠B =∠D = 90O,AB = 20m,CD = 10m,求AD、BC的长(精确到0.1m,≈1.732).(2004年天津市中考题)分析:图中无直角三角形,怎么办?联想到含30O角的直角三角形,因而延长AD、BC交于点E,则∠E = 30O,AE = 2AB = 40m,CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m,BE == m,所以AD = 40≈22.7m,BC = 20≈14.6m.说明:本题充分利用已知图形的特点,通过构造新图形,将四边形问题巧妙地转化成了直角三角形问题.三、数形结合思想数形结合,就是抓住数与形之间本质上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而达到迅速解题的目的.例5在一棵树的10m高处有两只猴子,其中一只爬下树直奔离树20m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?(2005年福建省龙岩市中考题)分析:依题意画出示意图7,D为树顶,AB = 10m,C为池塘,AC = 20m. 设BD = (m),则树高AD = ( +10)m.因为AC + AB = BD + DC,所以DC = (30)m. 在Rt△ACD中,由勾股定理可得方程202 + ( + 10)2 = (30)2,解得 = 5,所以 +10 = 15,即树高15m.说明:勾股定理本身就是数形结合的一个典范,它把直角三角形有一个直角的“形”的特点,转化为三边“数”的关系.利用勾股定理解决实际问题,关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型,再利用方程来解决.四、分类讨论思想在解题过程中,当条件或结论不确定或不惟一时,往往会产生几种可能的情况,这就需要依据一定的标准对问题进行分类,再针对各种不同的情况分别予以解决.最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学方法.例6 一直角三角形的两边长分别为3cm、4cm,则第三边的长为______.分析:此题中已知一个直角三角形的两边长,并没有指明是直角边还是斜边,因此要分类讨论,答案是5cm或cm.例7“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC,现可直接测量到∠A = 30O,AC = 40米,BC = 25米,请你求出这块花圃的面积. (2003年黑龙江省中考题)分析:由于题目中没有明确告诉我们△ABC的形状,故需分两种情况讨论.在图8中,S△ABC=10 (20 + 15)米2;在图9中,S△ABC= 10(2015)米2.说明:此类问题由于题目中没有图形,常需分类讨论,解答时极易因考虑不周而导致漏解,希望同学们用心体会.五、整体思想对于某些数学问题,如果拘泥常规,从局部着手,则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考,就能开阔思路,较快解答题目.例8已知一个直角三角形的周长为30cm,斜边长为13cm,那么这个三角形的面积为______.分析:设这个直角三角形的两条直角边长为,斜边为,则= 3013 = 17,于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289,由勾股定理知2 + 2 = 289,即132+ 2 = 289,所以 = 60,故所求三角形面积S == 30cm2.说明:我们要求的是面积,即,不一定要分别求出和的值,只要从整体上求出即可.例9 如图10所示,在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1 + S2 + S3 + S4 = ______.(2005年浙江省温州市中考题)分析:根据已知条件可知AC = EC,∠ABC = ∠CDE = 90O,由角的互余关系易证∠ACB =∠CED,这样可得△ABC ≌ △CDE,所以BC = ED,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2,S2 = DE2,AC2 = 1,有S1 + S2 = 1,同理可得S3 + S4 = 3,所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4.说明:本题不是直接求出S1,S2,S3,S4,而是借助勾股定理求得S1 + S2,S3 +S4,体现了整体思想在解决问题中的灵活应用.数学勾股定理论文篇二数学思想方法是以具体数学内容为载体,又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法.它能使人领悟到数学的真谛,并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用.日本数学教育家米山国藏认为,学生在进入社会以后,如果没有什么机会应用数学,那么作为知识的数学,通常在出校门后不到一两年就会忘掉,然而不管他们从事什么业务工作,那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法,会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用.灵活运用数学思想方法解决问题,往往可以化难为易、化腐朽为神奇,事半功倍.下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明.一、分类思想例1.(2013年贵州黔西南州)一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为( )点评:本题的易错点是受“勾三股四弦五”的影响,直接把边长为4的边当作直角边,从而误选A,犯了考虑问题不全面的错误.二、方程思想例2.(2013年山东济南)如图1,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m分析:观察图形,当绳子末端拉到距离旗杆8m处,可过绳子末端向旗杆作垂线,这样可以得到一个直角三角形,然后设旗杆的高度为未知数,进而运用勾股定理列方程求解.解:如图2,设旗杆的高度为x,则AC=AD=x,AB=x-2,BC=8.在Rt△ABC中,由勾股定理,得(x-2)2+82=x2.解得x=17m,即旗杆的高度为17m,答案选D.三、整体思想例3.(2013年江苏扬州)矩形的两邻边长的差为2,对角线长为4,则矩形的面积为____________.分析:设矩形的两邻边长分别为a、b(a>b),则依据题意有a-b=2,a2+b2=16.而矩形的面积等于ab,关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子.解:设矩形的两邻边长分别为a、b (a>b),则a-b=2.五、数形结合思想例5.(2013年湖南张家界)如图4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0)、(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为________.分析:易知OD=5,要使△ODP为腰长为5的等腰三角形,可以点O为圆心,OD为半径作圆;也可以点D为圆心,OD为半径作圆.解:由C(10,0)可知OD=5.(1)以点O为圆心,OD为半径作圆交边六、构造思想例6.同例3分析:根据已知条件,联想到证明勾股定理的弦图,本例便有如下巧妙解法.数学勾股定理论文篇三正确的数学思想是成功解题的关键所在.在运用勾股定理解题时,若能正确把握数学思想,则可使思路开阔,方法简便快捷.下面列举在应用勾股定理时经常用到的数学思想,供同学们参考.一、方程思想◆例1如图1,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上且点C落到E点,则CD等于( ).A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm分析:由题意可知,ΔACD 和ΔAED关于直线AD对称,因而有ΔACD ≌ΔAED .进一步则有AE=AC=6cm,CD=ED,DE⊥AB.设CD=ED=xcm,则在ΔDEB中,由勾股定理可得DE2+BE2=BD2.又因在ΔABC中,AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10.所以有x2+(10- 6) 2=(8- x)2,解得x=3.故选B.二、转化思想◆例2如图2,长方体的高为3cm,底面是正方形,边长为2cm.现有一小虫从A出发,沿长方体表面爬行,到达C处,问小虫走的路程最短为多少厘米?分析:求几何体表面最短距离问题,通常可将几何体表面展开,把立体图形转化为平面图形.对于此题,可将该长方体的右表面翻折至前表面,使A、C两点共面,连结AC,线段AC的长度即为最短路程(如图3).由勾股定理可知AC2=32+42=52,即小虫所走的最短路程为5cm.三、分类讨论思想◆例3在ΔABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC的长.分析:三角形中某边上的高既可在三角形内部,也可在三角形的外部,故此题应分两种情况来考虑.当BC边上的高AD在ΔABC的内部时,如图4,由勾股定理得BD2=AB2-AD2,得BD=9;CD2=AC2-AD2,得CD=16,则BC=BD+CD=9+16=25;当BC上的高AD在ΔABC的外部时,如图5,同样由勾股定理可求得CD=16,BD=9,这时,BC=CD-BD=16- 9=7,故BC的长为25或7.四、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理,它的验证和应用,都体现了数形结合的思想.这里不再举例,请同学们在平时的练习中仔细体会.。
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】:数学思想是数学的灵魂,任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果,因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。
今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。
本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨,并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。
关键词:方程思想;勾股定理;折叠问题;方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢?从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组的数学模型,从而使问题得到解决的思维方法,这就是方程思想。
通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程,用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一,它也是直角三角形的一条重要性质,同时由勾股定理及其逆定理,能够把形的特征转化成数量关系,它把形与数密切地联系起来,因此,它在理论上也有重要地位。
方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法,方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系,架起沟通已知量和未知量的桥梁。
利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。
三、初中数学中的折叠问题折叠问题(对称问题)在三大图形变换中是比较重要的,折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°,使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠,其中“折”是过程,“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换,折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题,只要从中抽象出基本图形的基本规律,就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题(翻折变换)实质上就是轴对称变换,折叠重合部分一定全等。
2、折叠是一种对称变换,它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理(毕达哥拉斯定理)勾股定理是一个初等几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说,设直角三角形两直角边为a 和b ,斜边为c ,那么a ²+b ²=c ² ,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ,b ,c 满足,那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】(赵爽证明)以a 、b 为直角边(b>a ), 以c 为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º,∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º, ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形,它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形,它的面积等于.∴ ∴.【证法2】(课本的证明)做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等.即, 整理得 .【证法3】(1876年美国总统Garfield证明)以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于∴ .∴.【趣闻】:在1876年一个周末的傍晚,在美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,表示为a^2 + b^2 = c^2,其中a、b为直角三角形的两直角边,c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后,根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种:1.通过正方形的面积证明,即4ab + (b-a)^2 = c^2,化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积,即4ab + c^2 = 2ab + c^2,化简得证。
3.通过梯形的面积证明,即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2,化简得证。
勾股定理适用于直角三角形,因此在应用勾股定理时,必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算。
同时,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是:如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形,我们可以类比勾股定理,猜想$a+b$与$c$的关系,并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如,在图中,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2m,梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的(选项A)。
又如,在图中,一根24cm的筷子置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm(选项D)。
勾股定理中的方程思想和参数方法复制
在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只 猴子爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到 树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的 距离相等,试问这棵树有多高?
C
15米
D
10米
┏
20米
B
A
方程思想:
•方程的思想是分析问题中的变量间的等量关系,构建 方程或方程组,或利用方程的性质去分析、转换、解 决问题。
Δ ABC中,周长是24,∠C=90°,且AB=9,则三角 形的面积是多少? 解:设BC=a,AC=b,依题意得:
B
c
A b a C
如图,小颖同学折叠一个直角三角形的纸片,使A与 B重合,折痕为DE,若已知AC=10cm,BC=6cm, 你能求出CE的长吗?
B D
A E
C
如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄, DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知:DA=15km, CB=10km,现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购 站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在 离A站多少km 处?
B
x
8
D
C
如图,在正方形ABDC中,E是CD的中点,F为BD上一 点,且BF=3FD,试猜想线段AE,EF的位置关系并证明.
A C
解: ∠AEF=900,证明如下: 设FD=a,则BF=3a,BD=AB= AC=CD=4a, DE=CE=2a, 在RtΔ ABF中,AF2=AB2+BF2=25a2
E
B
F
D
在RtΔ DEF中,EF2=DF2+DE2=5a2
在RtΔ AEC,AE2=AC2+EC2=20 a2 ∴EF2+AE2=AF2 ∴∠AEF=900
人教版八年级下册数学-专题:第18章.勾股定理知识点与常见题型总结
, 4 ⨯ ab + (b - a )2 = c 2 ,化简可证.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S = 4 ⨯ ab + c 2 = 2ab + c 2= (a + b ) ⋅ (a + b ) , S = 2 ⋅ ab + c 2 ,化简得证 2 2 2八年级下册 .勾股定理知识点与常见题型总结1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为 c ,那么 a 2 + b 2 = c 2勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了 “勾 三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的 平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一: 4S + S ∆DHEF bAc方法二:b正方形EFGH= SCGaBa正方形ABCD 1 2accbbccaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.12大正方形面积为 S = (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2所以 a 2 + b 2 = c 2方法三: S 梯形1 1 1 = 2S + S梯形 ∆ADE ∆ABEA accB bD bE a C3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在∆ABC中,∠C=90︒,则c=a2+b2,b=c2-a2,a=c2-b2②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和a2+b2与较长边的平方c2作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若a2+b2<c2,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若a2+b2>c2,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c 满足a2+c2=b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2+b2=c2中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数:n2-1,2n,n2+1(n≥2,n为正整数);2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n为正整数)m2-n2,2mn,m2+n2(m>n,m,n为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:CC C30°A B A D B B DACB DA题型一:直接考查勾股定理例1.在∆ABC中,∠C=90︒.⑴已知AC=6,BC=8.求AB的长⑵已知AB=17,AC=15,求BC的长分析:直接应用勾股定理a2+b2=c2解:⑴AB=AC2+BC2=10⑵BC=AB2-AC2=8题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在∆ABC中,∠ACB=90︒,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于D,CD=⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm,斜边长为13cm,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:⑴AC=AB2-BC2=4,CD=ADB C AC⋅BCAB=2.4⑶设两直角边分别为a,b,则a+b=17,a2+b2=289,可得ab=60∴S=ab=30⑵设两直角边的长分别为3k,4k∴(3k)2+(4k)2=152,∴k=3,S=5412例3.如图∆ABC中,∠C=90︒,∠1=∠2,CD=1.5,BD=2.5,求AC的长CD1cm2A2E B分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解:作DE⊥AB于E,∠1=∠2,∠C=90︒∴DE=CD=1.5在∆BDE中∠BED=90︒,BE=BD2-DE2=2Rt∆ACD≅Rt∆AED∴AC=AE在Rt∆ABC中,∠C=90︒∴AB2=AC2+BC2,(A E+EB)2=AC2+42∴AC=3例4.(2014安徽省,第8题4分)如图,△Rt ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为()A.B.C.4D.5考点:翻折变换(折叠问题).分析:设BN=x,则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x,根据中点的定义可得BD=3,在△Rt ABC中,根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可求解.解答:解:设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x,∵D是BC的中点,∴BD=3,在△Rt ABC中,x2+32=(9﹣x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.故选:C.点评:考查了翻折变换(折叠问题),涉及折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想,综合性较强,但是难度不大.例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点△E,将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
期末复习(二) 勾股定理
解:根据题意,得 , .又 , .又 , .
(2) 的度数.
[答案] , , , , 为直角三角形, .由(1)得 为等腰直角三角形, , .
重难点3 勾股定理在实际生活中的应用
【例3】如图,高速公路的一侧有 , 两个村庄,它们到高速公路所在直线 的距离分别为
(1)你认为这个零件符合要求吗?为什么?
解:这个零件符合要求. , , . .又 , , . .
(2)求这个零件的面积.
[答案] 由(1)知 , ,∴这个零件的面积为 .
19.(12分)给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
A
A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
第5题图
5.如图,“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的.以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形,该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成,在一次游园活动中,数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”,其中
C
A. B. C. D.
第7题图
7.图1是由边长为1的六个小正方形组成的图形,它可以围成图2所示的正方体,则图1中正方形的顶点 , 在图2围成的正方体中的距离是( )
C
A. B. C. D.
8.如图,在 中, 于点 , , , ,则 的为( )
B
A. B. C. D.
3.图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯,其中底座的高 ,连杆 ,灯罩 .如图2,转动 , ,使得 成平角,且灯罩端点 离桌面 的高度 为 ,求 的距离.
解:过点 作 于点 . , ,∴四边形 为矩形. , . , ,
∴在 中, . 的距离为 .
勾股定理与方程思想
2.思想方法:
(1)方程思想 (2)数形结合思想
(3)转化思想 (4)建模思想
注意:
在总结本节课学习了哪些知识时,教师 可以引导学生总结,比如说,“如果题 目中出现了... ...,那么我们就考虑......”.
的结论.
(三)总结
1.本节课学习了哪些知识? 2.本节课涉及了哪些思想方法?
1.本节课学习了哪些知识?
(1)解决与勾股定理有关的实际问题时, 先要抽象出几何图形,从中找出直角三 角形,再设未知数,找出各边的数量关
系,最后根据勾股定理求解; (2)如果一道题目中有多个直角三角形, 要选择能够用一个未知数表示出三条边 的直角三角形(边也可为常数),在这 个三角形中利用勾股定理求解. “斜化直”
例3. 已知:如图,△ABC中,AB=16,AC=14, BC=6,求△ABC的面积. C
A
B
例3. 已知:如图,△ABC中,AB=16, AC=14,BC=6,求△ABC的面积.
C
小结:
A D B
1.题目中既没有直角三角形,也没有直角,可 考虑利用作垂线段,分割图形的方法,构造直
角三角形;
2. “斜化直”即:斜三角形化为直角三角形求解.
AC=6cm,BC=8cm, 现将直角边沿直线AD 折叠,使点C落在斜边AB上的点E,求CD
的长.
C
D
6
B
A
E6
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在
同一平面内C'处,B C'与AD交于点E,AD=8,
AB=4,求DE的长.
C'
A
E
D
B
C
【问题3】如果题目中既没有直角三角形,也没有 直角,怎么利用勾股定理求解?
许老师-勾股定理复习课件
在Rt△COD中, 2 2 2 2 2 CD OC 3 2 5 OD ____________________ ___,
B O OD-OB = 2.236 -1.658 ≈0.58 BD __________ __________ __________ .
5 __________ 2.236 ___ . OD __________
二、方程思想
1、小强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米 后,发现下端刚好接触地面,你能帮他算出来吗? A
x米
(X+1)米
C
5米
B
2、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题, 原文是:今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引 葭赴岸,适与岸齐,水深、葭长各几何?请用学过的 数学知识回答这个问题。
6 11.2
; ; ;
B
(3)若a=2,∠A=30° ,则 b =
3.5
(2)、(3)两题结果精确到0.1
a
C
c
b
A
a b c
2 2
2
小试身手 : ☞ 如图,学校有一块长方形花园,有极少 数人为了避开拐角走“捷径”,在花园内走 出了一条“路”,仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 (假设1米为2步)
勾股定理:如果直角三角形的两直角边分 别为a,b,斜边为c,则有
B
c
a
C
a b c
2 2
A
2
b
c
c
a a b c b b c b
a
b
大正方形的面积可以 c² 表示为 ——————————
a
(b-a)² + 1/2ab4 又可以表示为: ———————
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结
1.勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 斜边长为c,那么a2+b2=c2.
练习:
1.如图所示,用硬纸板做成的四个全等的直角三角形 (两直角边长分别是a,b,斜边长为c)和一个边长为 c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图 形。
(1)画出拼成的图形的示意图;
8
x
15
y
25
24
1.勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 斜边长为c,那么a2+b2=c2.
勾股定理的主要应用: (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直 角三角形的另两边;
练习:
1.若一个直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直 角边比斜边短1cm,则斜边的长是___2_5___cm.
么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其 中一个叫做另一个的逆定理.
练习:
1.下列说法,正确的是( D ) A.真命题的逆命题是真命题 B.原命题是假命题,它的逆命题也是假命题 C.定理一定有逆定理 D.命题一定有逆命题
练习:
2.下列定理,有逆定理的是( D ) A.对顶角相等 B.全等三角形的对应角相等 C.两个全等三角形的面积相等 D.平面内,线段的垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等
5.分类讨论思想
1.已知:直角三角形的边长分别是3,4, x,
则x2 ___2_5__或__7____.
解:情形一:当斜边为x时,则两直角边分别为3,4. 根据勾股定理
x2 32 42 9 16 25
解:情形二:当斜边为4时,则两直角边分别为x,3.
根据勾股定理
x2 32 42
专题 方程思想在勾股定理中的应用(四大题型)(解析版)
(苏科版)八年级上册数学《第3章 勾股定理》专题 方程思想在勾股定理中的应用【例题1】(2022春•赣州月考)在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知a :b =5:12,c =26,则△ABC 的面积为( )A .96B .98C .108D .120【分析】根据勾股定理和三角形的面积求解即可.【解答】解:∵c=26,a:b=5:12,∴设a=5x,则b=12x,∵a2+b2=c2,即(5x)2+(12x)2=262,解得x=2,∴a=10,b=24.∴12ab=12×10×24=120,故选:D.【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.【变式1-1】在Rt△ABC中,∠C=90°,已知a:b=3:4,c=10,其中a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则a的长为( )A.3B.6C.8D.12【分析】由a与b的比值,设a=3k,b=4k,再由c的长,利用勾股定理列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,即可确定出a的长.【解答】解:由a:b=3:4,设a=3k,b=4k,在Rt△ABC中,a=3k,b=4k,c=10,根据勾股定理得:a2+b2=c2,即9k2+16k2=100,解得:k=2或k=﹣2(舍去),则a=3k=6.故选:B.【点评】此题考查了勾股定理,以及比例的性质,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.【变式1-2】直角三角形的斜边为20cm,两直角边之比为3:4,那么这个直角三角形的周长为( )A.27cm B.30cm C.40cm D.48cm【分析】根据两直角边之比,设出两直角边,再由已知的斜边,利用勾股定理求出两直角边,即可得到三角形的周长.【解答】解:根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm,由斜边为20cm,根据勾股定理得:(3x)2+(4x)2=202,整理得:x2=16,解得:x=4,∴两直角边分别为12cm,16cm,则这个直角三角形的周长为12+16+20=48cm.故选:D.【点评】此题考查了勾股定理,利用了方程的思想,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.【变式1-3】在△ABC中,∠C=90°,a+c=32,a:c=3:5,则△ABC的周长为 .【分析】根据a+c=32和a:c=3:5可以准确计算a、c的长度,根据a、c的长度计算b的长度,即可求得a+b+c.【解答】解:△ABC中,∠C=90°,∴△ABC为直角三角形,即c2=b2+a2,∵a+c=32 a:c=3:5,∴a=12,c=20,∵c2=b2+a2,∴b=16.∴a+b+c=12+16=20=48.故答案为:48.【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用,本题中根据a、c的两个等量关系式计算a、c的长度是解题的关键.【变式1-4】(2022春•天门校级月考)一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则该三角形的面积为( )A.8B.10C.24D.48【分析】设另一直角边长为x,根据勾股定理列出方程,解方程求出x,根据三角形的面积公式计算,得到答案.【解答】解:设另一直角边长为x,则斜边长为(x+2),由勾股定理得,x 2+62=(x +2)2,解得,x =8,∴该三角形的面积=12×6×8=24,故选:C .【点评】本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.【变式1-5】已知直角三角形的斜边为2,周长为2A .12B .1CD .2【分析】根据已知可得到两直角边的和,根据完全平方公式即可求得两直角边的乘积,从而不难求得其面积.【解答】解:设两直角边分别为:a ,b ,斜边为c ,∵直角三角形的斜边为2,周长为2+∴a +b ∵(a +b )2=a 2+b 2+2ab =c 2+2ab =4+2ab =6,∴ab =1,∵三角形有面积=12ab =12,故选:A .【点评】此题主要考查学生对勾股定理及完全平方和公式的运用.【变式1-6】(2021秋•重庆期中)如图,Rt △ABC 中,∠CAB =90°,△ABD 是等腰三角形,AB =BD =4,CB ⊥BD ,交AD 于E ,BE =1,则AC = .【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAE =∠BDE ,根据等式的性质得到∠CAE =∠DEB ,求得AC =EC ,根据勾股定理列方程即可得到结论.【解答】解:∵AB=BD=4,∴∠BAE=∠BDE,∵CB⊥BD,∴∠DBE=∠CAB=90°,∴∠DEB=90°﹣∠D,∠CAE=90°﹣∠BAD,∴∠CAE=∠DEB,∵∠AEC=∠DEB,∴∠CAE=∠CEA,∴AC=EC,∵BE=1,∴BC=AC+1,∵AC2+AB2=BC2,∴AC2+42=(AC+1)2,∴AC=15 2,故答案为:15 2.【点评】本题考查了直角三角形的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,证得AC=CE是解题的关键.【变式1-7】(2021春•盘龙区期末)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则DE的长是( )A.3B.5C.2.4D.2.5【分析】连接CE,由矩形的性质可得∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,由OE⊥AC,AO=OC,可知OE垂直平分AC,则可得AE=CE;设DE=x,则AE=CE=8﹣x,在Rt△CDE中,由勾股定理得关于x的方程,求解即可.【解答】解:连接CE,如图:在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,设DE=x,则AE=CE=8﹣x,在Rt△CDE中,由勾股定理得:DE2+DC2=CE2,∴x2+42=(8﹣x)2,解得x=3.∴DE的长为3.故选:A.【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点,数形结合、熟练掌握相相关性质及定理是解题的关键.【变式1-8】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)若a:b=3:4,c=15,求b;(2)若a=6,b=8,求c的长及斜边上的高.【分析】(1)根据已知的比用x表示边长,然后利用勾股定理列出方程求解即可;(2)根据勾股定理求出斜边,并用三角形的面积公式求斜边上的高即可.【解答】解:(1)∵a:b=3:4,∴设b=4x,a=3x,∴c=5x,又∵c=15,∴5x=15,∴x=3,∴b=4×3=12.(2)∵b=8,a=6,∴c=10,由三角形的面积公式得,ab=c•CD,∴CD=abc=6×810=4.8.【点评】本题考查的是勾股定理即三角形的面积公式,解题关键是掌握勾股定理并灵活应用.【变式1-9】(2023春•荔城区期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.求AE的长.【分析】由勾股定理先求出BC=6,连接BE,根据中垂线的性质设AE=BE=x,知CE=8﹣x,在Rt△BCE 中由BC2+CE2=BE2列出关于x的方程,解之可得答案.【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,∴BC==6,连接BE,∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,设AE=BE=x,则CE=8﹣x,在Rt△BCE中,∵BC2+CE2=BE2,∴62+(8﹣x)2=x2,解得x=25 4,∴AE=25 4.【点评】本题主要考查勾股定理,解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质.【变式1-10】(2022秋•建湖县期末)如图,在△ABC中;AB=AC,BC=13,D是AB上一点,BD=5,CD=12.(1)求证:CD⊥AB;(2)求AC长.【分析】(1)根据勾股定理的逆定理即可得到结论;(2)根据勾股定理列方程即可得到结论.【解答】(1)证明:∵BC=13,BD=5,CD=12,∴BD2+CD2=52+122=132=BC2,∴△CDB是直角三角形,∠CDB=90°,∴CD⊥AB;(2)解:∵AB=AC,∴AC=AB=AD+BD=AD+5,∵∠ADC=90°,∴AC2=AD2+CD2,∴(AD+5)2=AD2+122,∴AD=119 10,∴AC=11910+5=16910.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,勾股定理,正确的识别图形是解题的关键.关性质及定理是解题的关键.【变式1-11】(2023春•沂水县期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以B为圆心,BC为半径画弧,交线段AB于点D,以A为圆心,AD为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD.(1)若∠A=25°,求∠ACD的度数;(2)若BC=4,CE=3,求AD的长.【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠B,根据等腰三角形的性质求出∠BCD,计算即可;(2)根据线段的和差以及勾股定理可得结论.【解答】解:(1)根据作图可知BD=BC.∵∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠B=65°.∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=180°65°2=57.5°,∴∠ACD=90°﹣∠BCD=90°﹣57.5°=32.5°;(2)根据作图可知AD=AE,BD=BC.∵∠ACB=90°,BC=4,CE=3,∴BD=BC=4∵AE=AD,∴AC=AD+3,AB=AD+4.在Rt△ACB中,由勾股定理得:AB2=AC2+BC2.即(AD+4)2=(AD+3)2+42.解得:AD=4.5.【点评】本题考查的是勾股定理,三角形的内角和定理,掌握勾股定理是解题的关键.【例题2】(2022秋•南京期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC,交BC于点D,AB=17,AC=10.(1)若CD=6,则AD= ,BD= ;(2)若BC=20,求CD的长.【分析】(1)由勾股定理可得出答案;(2)设CD=x,则BD=20﹣x,由勾股定理可得出102﹣x2=172﹣(20﹣x)2,则可得出答案.【解答】解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵AB=17,AC=10,CD=6,∴AD==8,∴BD=15.故答案为:8,15;(2)设CD=x,则BD=20﹣x,∵AC2﹣CD2=AD2,AB2﹣BD2=AD2,∴AC2﹣CD2=AB2﹣BD2,∴102﹣x2=172﹣(20﹣x)2,解得x=211 40,∴CD=211 40.【点评】本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题关键.【变式2-1】如图,在锐角△ABC中,已知AB=15,BC=14,AC=13,AD⊥BC于D点,求AD的长.【分析】设BD=x,则CD=14﹣x,根据勾股定理得出方程,解方程求出x的值,再由勾股定理即可求出AD的长.【解答】解:设BD=x,则CD=14﹣x,∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵△ADB与△ACD均为直角三角形,∴AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,即152﹣x2=132﹣(14﹣x)2,解得x=9,∴BD=9,∴AD==12.【点评】本题考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理,由勾股定理得出方程求出BD是解决问题的关键.【变式2-2】已知在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且BE2﹣AE2=AC2.(1)求∠A的度数;(2)若DE=3,BD=4,求AE的长.【分析】(1)连接CE,根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中,利用勾股定理的逆定理可求∠A度数;(2)设AE=x,则AC可用x表示,在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值.【解答】解:(1)连接CE,∵D是BC的中点,DE⊥BC,∴CE=BE.∵BE2﹣AE2=AC2,∴AE2+AC2=CE2.∴△AEC是直角三角形,∠A=90°;(2)在Rt△BDE中,BE=5.所以CE=BE=5.设AE=x,则在Rt△AEC中,AC2=CE2﹣AE2,所以AC2=25﹣x2.∵BD=4,∴BC=2BD=8.在Rt△ABC中,根据BC2=AB2+AC2,即64=(5+x)2+25﹣x2,解得x=1.4.即AE=1.4.【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理,解题的关键是利用勾股定理求解线段长度,选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法.【变式2-3】如图,在△ABC中,AC BC=13,AD、CE分别是△ABC的高线与中线,点F是线段CE的中点,连接DF,若DF⊥CE,则AB=( )A.10B.11C.12D.13【分析】连接DE,根据直角三角形的性质得到AB=2DE,根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC,得到AB=2CD,根据勾股定理列式计算得到得到答案.【解答】解:连接DE,∵AD⊥BC,点E是AB的中点,∴AB=2DE,∵DF⊥CE,点F是线段CE的中点,∴DE=DC,∴AB=2CD,在Rt△ABD中,AD2=AB2﹣BD2,在Rt△ACD中,AD2=AC2﹣DC2,∴AB2﹣BD2=AC2﹣DC2,即(2CD)2﹣(13﹣CD)22﹣DC2,解得,CD=5,∴AB=2CD=10,故选:A.【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.【变式2-4】如图,∠ABC=90°,AB=6cm,AD=24cm,BC+CD=34cm,C是直线l上一动点,请你探索当C离B多远时,△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形?【分析】设BC=xcm,则CD=(34﹣x)cm,再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程,求出x的值即可.【解答】解:设BC=xcm时,三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形,∵BC+CD=34,∴CD=34﹣x,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=36+x2,在Rt△ACD中,AC2=CD2﹣AD2=(34﹣x)2﹣576,∴36+x2=(34﹣x)2﹣576,解得x=8.∴当C离点B8cm时,△ACD是以DC为斜边的直角三角形.【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理,熟知如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.【变式2-5】(2022秋•南海区期末)如图,在△ABC中,AB=BC=10,AC=AD⊥BC,垂足为D.(1)求证:∠B=2∠CAD.(2)求BD的长度;(3)点P是边BC上一点,且点P到边AB和AC的距离相等,求点P到边AB距离.【分析】(1)由等腰三角形的性质,三角形内角和定理,即可证明;(2)设CD =x (x >0),由勾股定理得到AB 2﹣BD 2=AC 2﹣DC 2,列出关于x 的方程,求出x 的值,即可得到答案;(3)由三角形面积公式得到12BC •AD =12AB •PM +12AC •PN ,即可解决问题.【解答】(1)证明:∵AB =AC ,∴∠BAC =∠C ,∵∠BAC +∠C +∠B =180°,∴∠B +2∠C =180°,∵AD ⊥BC ,∴∠CAD +∠C =90°,∴2∠C +2∠CAD =180°,∴∠B =2∠CAD ,(2)解:设CD =x (x >0),在Rt △ABD 和Rt △ACD 中,∵AB 2﹣BD 2=AC 2﹣DC 2=AD 2,∴102﹣(10﹣x )2=―x 2,∴x =2,∴BD =BC ﹣CD =10﹣2=8;(3)解:作PM ⊥AB 于M ,PN ⊥AC 于N ,且PM =PN ,连接AP ,在Rt △ABD 中,AD 6,∵△ABC 的面积=△PAB 的面积+△PAC 的面积,∴12BC •AD =12AB •PM +12AC •PN ,∴10×6=(PM ,∴PM =10﹣∴P到AB的距离是10﹣【点评】本题考查等腰三角形的性质,勾股定理,三角形的面积,关键是掌握由勾股定理列出关于CD的方程;由三角形面积公式得到12BC•AD=12AB•PM+12AC•PN.【变式2-6】(2023春•金安区校级期末)如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路,完成解答过程.(1)作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD,则CD= ;(2)请根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”建立方程,并求出x的值;(3)利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积.【分析】(1)直接利用BC的长表示出DC的长;(2)直接利用勾股定理进而得出x的值;(3)利用三角形面积求法得出答案.【解答】解:(1)∵BC=14,BD=x,∴DC=14﹣x,故答案为:14﹣x;(2)∵AD⊥BC,∴AD2=AC2﹣CD2,AD2=AB2﹣BD2,∴132﹣(14﹣x)2=152﹣x2,解得:x=9;(3)由(2)得:AD==12,∴S△ABC =12•BC•AD=12×14×12=84.【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法,正确得出AD的长是解题关键.【例题3】(2022秋•卧龙区校级月考)如图,在长方形ABCD 中,BC =4,CD =3,现将该长方形沿对角线BD 折叠,使点C 落在对点C '处,BC '交AD 于点E .(1)试说明DE =BE ;(2)求AE 的长.【分析】(1)利用等角对等边解决问题即可;(2)设BE =DE =x ,在Rt △ABE 中,利用勾股定理构建方程求解,再根据AE =AD ﹣DE 即可解决问题.【解答】解:(1)∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,∴∠ADB =∠DBC ,由翻折的性质可知∠DBE =∠DBC ,∴∠DBE =∠ADB ,∴DE =BE .(2)设BE =DE =x ,在Rt △ABE 中,∵∠A =90°,∴BE2=AB2+AE2,∴32+(4﹣x)2=x2,解得x=25 8,∴BE=DE=25 8,∴AE=AD―DE=4―258=78.【点评】本题考查翻折变换,矩形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,解题的关键是熟练掌握翻折的性质.【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠,使点B 与点A重合,折痕为DE,则CD的长为( )A.154cm B.254cm C.74cm D.无法确定【分析】设CD=xcm,则BD=BC﹣CD=(8﹣x)cm,再根据折叠的性质得AD=BD=8﹣x,然后在△ACD中根据勾股定理得到(8﹣x)2=62+x2,再解方程即可.【解答】解:设CD=xcm,则BD=BC﹣CD=(8﹣x)cm,∵△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,∴AD=BD=8﹣x,在△ACD中,∠C=90°,∴AD2=AC2+CD2,∴(8﹣x)2=62+x2,解得x=7 4,即CD的长为74 cm.故选:C.【点评】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.【变式3-2】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,延长BC至E,使得CE=BC,将△ABC 沿AC翻折,使点B落点D处,连接DE,则DE的长为( )A.95B.125C.165D.185【分析】连接BD交AC于点F,由折叠的性质得出AB=AD,∠BAC=∠DAC,由勾股定理求出CF的长,则可由中位线定理求出DE的长.【解答】解:连接BD交AC于点F,∵将△ABC沿AC翻折,使点B落点D处,∴AB=AD,∠BAC=∠DAC,∴BF=DF,∠BFC=90°,∵AB=4,BC=3,∴AC=5,设CF=x,则AF=5﹣x,∵AB2﹣AF2=BF2,BC2﹣CF2=BF2,∴42﹣(5﹣x)2=32﹣x2,∴x=9 5,∴CF=9 5,∵CE=BC,∴CF=12 DE,∴DE=18 5.故选:D.【点评】本题考查了折叠的性质,勾股定理,中位线定理,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.【变式3-3】(2023春•米东区期末)如图,将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠,点C落在同一平面内,落点记为F,BF与AD交于点E,若BC=2AB=8,求DE的长.【分析】设DE=x,则AE=8﹣x,依据∠EBD=∠EDB,即可得到ED=BE=x.Rt△ABE中,利用勾股定理即可得到DE的长.【解答】解:∵BC=2AB=8,∴AB=4,设DE=x,则AE=8﹣x,由题可得,∠CBD=∠EBD,∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB,∴ED=BE=x,Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,即42+(8﹣x)2=x2,解得x=5,∴DE=5.【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理的运用,解题时,常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.【变式3-4】(2022秋•沙坪坝区期末)如图,△AB'C是将长方形ABCD沿着AC折叠得到的.若AB=4,BC=6,则OD的长为 .【分析】由矩形的性质可得AB=CD=4,AD=BC=6,AD∥BC,根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC=∠ACE=∠ACB,即AE=EC,根据勾股定理可求AE的长.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=4,AD=BC=8,AD∥BC,∴∠OAC=∠ACB,由折叠可得∠ACO=∠ACB,∴∠OAC=∠ACO,∴AO=CO,在Rt△DOC中,CO2=DO2+CD2,即(6﹣OD)2=DO2+16,解得OD=5 3,故答案为:5 3.【点评】本题考查了翻折变换,解题时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.【变式3-5】(2023春•东莞市校级月考)如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且BE=3.(1)求CF的长;(2)求AB的长.【分析】(1)根据题意可得CE=5,根据折叠的性质可得,∠B=∠AFE=90°,BE=EF=3,AB=AF,在Rt△CEF中,利用勾股定理即可求出CF;(2)设AB =AF =x ,则AC =x +4,在Rt △ABC 中,利用勾股定理建立方程求解即可.【解答】解:(1)∵四边形ABCD 为矩形,AD =8,∴∠B =90°,AD =BC =8,∵BE =3,∴CE =BC ﹣BE =8﹣3=5,根据折叠的性质可得,∠B =∠AFE =90°,BE =EF =3,AB =AF ,∴∠CFE =90°,在Rt △CEF 中,CF ==4;(2)设AB =AF =x ,则AC =AF +CF =x +4,在Rt △ABC 中,AB 2+BC 2=AC 2,∴x 2+82=(x +4)2,解得:x =6,∴AB =6.【点评】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理,熟练掌握折叠的性质,利用勾股定理解决问题是解题关键.【变式3-6】(2022秋•卧龙区校级月考)将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上的F 点处,若AD =10cm ,AB =8cm ,求图中阴影部分的面积.【分析】由折叠的性质得AF =AD =10cm ,EF =DE ,由勾股定理求出BF =6cm ,则CF =4cm ,设CE =x ,则DE =EF =8﹣x ,由勾股定理得CE 2+FC 2=EF 2,代入求出x =3cm ,由S 阴影=S △ABF +S △CEF =12AB •BF +12CF •CE 即可得出结果.【解答】解:∵四边形ABCD 为矩形,∴AD =BC =10cm ,AB =CD =8cm ,∠B =∠C =90°,∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,∴AF=AD=10cm,EF=DE,在Rt△ABF中,由勾股定理得:BF==6(cm),∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4(cm),设CE=xcm,则DE=EF=(8﹣x)cm,在Rt△ECF中,由勾股定理得:CE2+FC2=EF2,即:x2+42=(8﹣x)2,解得:x=3,∴CE=3cm,∴S阴影=S△ABF+S△CEF=12AB•BF+12CF•CE=12×8×6+12×4×3=30(cm2).【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识;熟练掌握折叠的性质是解题的关键.【变式3-7】(2022春•平邑县校级期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D,E分别是AB和CB上的点,把△ABC沿着直线DE折叠,顶点B的对应点是点B'.(1)如图1,如果点B'恰好与顶点A重合,求CE的长;(2)如图2,如果点B'恰好落在直角边AC的中点上,求CE的长.【分析】(1)利用勾股定理求出AB的长,再利用翻折得到AE=BE,在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的长;(2)点B'是直角边AC的中点,可以得到B'C的长度,再利用翻折得到B′E=BE,在Rt△B'CE中利用勾股定理即可求出CE的长.【解答】解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=10,根据折叠的性质,∴△ADE ≌△BDE ,∴AE =BE ,设CE 为x ,则:AE =BE =8﹣x ,在Rt △ACE 中:x 2+62=(8﹣x )2,解得:x =74,即CE 的长为:74;(2)∵点B '是直角边AC 的中点,∴B 'C =12AC =3,根据折叠的性质,∴△B 'DE ≌△BDE ,∴B ′E =BE ,设CE 为x ,则:B ′E =BE =8﹣x ,在Rt △B 'CE 中:x 2+32=(8﹣x )2,解得:x =5516,即CE 的长为:5516.【点评】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题.在折叠过程中,对应角和对应边相等是解题的关键;在直角三角形中,知道一条边长以及另外两条边的关系时,通常采用方程思想来解题.【例题4】(2023秋•文山市月考)如图,有一个池塘,其底边长为10尺,一根芦苇AB 生长在它的中央,高出水面部分BC 为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '.请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少?【分析】设池塘水的深度是x尺,则这根芦苇的长度是(x+1)尺,在Rt△CAB′中,由勾股定理得得出方程,解方程即可.【解答】解:设池塘水的深度是x尺,则这根芦苇的长度是(x+1)尺,由题意得:∠ACB'=90°,B'C=102=5(尺),在Rt△CAB′中,由勾股定理得:AC2+B′C2=AB′2,即x2+52=(x+1)2,解得:x=12,∴x+1=12+1=13,答:池塘水的深度是12尺,这根芦苇的长度是13尺.【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,由勾股定理得出方程是解题的关键.【变式4-1】(2023春•余干县期中)如图是某小区为迎接十四运,方便群众活动健身设计的秋千示意图,秋千AB在静止位置时,下端B离地面0.6m,当秋千到AB′的位置时,下端B′距静止位置的水平距离DB′等于1.2m,距地面1m,求秋千AB的长.【分析】利用已知表示出AD的长,再利用勾股定理得出即可.【解答】解:设AB=xm,则AB′=xm,由题意可得出:DB=1﹣0.6=0.4(m),则AD=AB﹣DB=(x﹣0.4)m,在Rt△AB′D中,AD2+B′D2=AB′2,则(x﹣0.4)2+1.22=x2,解得:x=2.答:秋千AB的长为2m.【点评】本题考查了勾股定理的应用,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.【变式4-2】(2022秋•运城期末)如图,∠AOB=90°,OA=18cm,OB=6cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC 是多少?【分析】由题意可知,若设BC=xcm,则AC=xcm,OC=OA﹣AC=(18﹣x)cm,这样在Rt△BOC中,利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程,解方程即可求得结果.【解答】解:小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,运动时间相等,即BC=CA,设BC=xcm,则AC=xcm,OC=OA﹣AC=(18﹣x)cm,∵∠AOB=90°,∴由勾股定理可知OB2+OC2=BC2,又∵OC=(18﹣x)cm,OB=6cm,∴62+(18﹣x)2=x2,解方程得出x=10(cm).答:机器人行走的路程BC是10cm.【点评】本题考查了勾股定理,解题的关键是,抓住“机器人与小球同时出发,速度相等”这两个条件,得到BC=AC,从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中,就可利用勾股定理建立方程来求解.【变式4-3】(2021春•绥宁县期末)如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上C处有一筐水果,一只猴子从D处向上爬到树顶A处,然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D处先滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经过的路程都是15m,求树高AB.【分析】Rt△ABC中,∠B=90°,则满足AB2+BC2=AC2,BC=a(m),AC=b(m),AD=x(m),根据两只猴子经过的路程一样可得10+a=x+b=15解方程组可以求x的值,即可计算树高=10+x.【解答】解:Rt△ABC中,∠B=90°,设BC=a(m),AC=b(m),AD=x(m)则10+a=x+b=15(m).∴a=5(m),b=15﹣x(m)又在Rt△ABC中,由勾股定理得:(10+x)2+a2=b2,∴(10+x)2+52=(15﹣x)2,解得,x=2,即AD=2(米)∴AB=AD+DB=2+10=12(米)答:树高AB为12米.【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用,本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系,并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键.【变式4-4】(2023•湘乡市校级开学)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的直线距离是10米,求两树相隔的距离.【分析】由题意知,AB=10米,CD=4米,AD=10米,在Rt△AED中,利用勾股定理求出DE的长即可.【解答】解:如图,由题意知,AB=10米,CD=4米,AD=10米,∴AE=10﹣4=6(米),在Rt△AED中,由勾股定理得,DE==8(米),∴BC=DE=8米,即两树相隔的距离为8米.【点评】本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键.【变式4-5】(2022秋•双塔区校级期中)如图所示的是一个拉箱的示意图,箱体长AB=65cm,拉杆最大伸长距离BC=35cm,在箱体的底端装有一圆形滚轮,其直径为6cm.当拉杆拉到最长时,滚轮的圆心在图中的A处,当拉杆全部缩进箱体时,滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处.请求点C离地面的距离(假设点C的位置保持不变)【分析】过C作CE⊥DN于E,延长AA'交CE于F,根据勾股定理即可得到方程652﹣x2=1002﹣(55+x)2,求得A'F的长,即可利用勾股定理得到CF的长,进而得出CE的长.【解答】解:如图所示,过点C作CE⊥DN于点E,延长AA′交CE于F,则∠AFC=90°.设A′F=xcm,则AF=(55+x)cm,由题可得,AC=AB+BC=65+35=100(cm),A′C=65cm.∵Rt△A′CF中,CF2=652﹣x2,Rt△ACF中,CF2=1002﹣(55+x)2,∴652﹣x2=1002﹣(55+x)2,解得x=25,∴A'F=25(cm),∴CF=60(cm).又∵EF=AD=3cm,∴CE=60+3=63(cm),∴点C离地面的距离为63cm.【点评】本题主要考查了勾股定理的应用,在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.【变式4-6】(2023春•德州期末)如图1,同学们想测量旗杆的高度.他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下:小明:①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米,如图1;②把绳子拉直,绳子末端在地面上离旗杆底部6米,如图2.小亮:先在旗杆底端的绳子上打了一个结,然后举起绳结拉到如图3点D处.(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度;(2)已知小亮举起绳结离旗杆6.75米远,此时绳结离地面多高?【分析】(1)由题可知,旗杆,绳子与地面构成直角三角形,根据题中数据,用勾股定理即可解答;(2)由题可知,BD=BC=11.25米,DE=6.75米.在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程BE2+6.752=11.252,求出BE=9,进而求解即可.【解答】解:(1)如图2,设旗杆的长度为x米,则绳子的长度为(x+1.5)米,在Rt△ABC中,由勾股定理得:x2+62=(x+1.5)2,解得:x=11.25,故旗杆的高度为11.25米;(2)由题可知,BD=BC=11.25米,DE=6.75米.在Rt△BDE中,由勾股定理得:BE2+6.752=11.252,解得:BE=9,∴EC=BC﹣BE=11.25﹣9=2.25(米),∴DF=EC=2.25米.故绳结离地面2.25米高.【点评】本题考查的是勾股定理的应用,根据题意得出直角三角形是解答此题的关键.【变式4-7】(2022秋•抚州期末)长清的园博园广场视野开阔,阻挡物少,成为不少市民放风筝的最佳场所,某校七年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作:①测得水平距离BD的长为15米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.(1)求风筝的垂直高度CE;(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米,则他应该往回收线多少米?【分析】(1)利用勾股定理求出CD的长,再加上DE的长度,即可求出CE的高度;(2)根据勾股定理即可得到结论.【解答】解:(1)在Rt△CDB中,由勾股定理得,CD2=BC2﹣BD2=252﹣152=400,所以,CD=20(负值舍去),所以,CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米),答:风筝的高度CE为21.6米;(2)由题意得,CM=12米,∴DM=8米,∴BM=17(米),∴BC﹣BM=25﹣17=8(米),∴他应该往回收线8米.【点评】本题考查了勾股定理的应用,熟悉勾股定理,能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键.【变式4-8】(2022秋•佛山校级期末)铁路上A,B两站(视为直线上的两点)相距25km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B(如图),已知DA=10km,CB=15km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等,请求出收购站E到A站的距离.【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求,即在直角三角形DAE和直角三角形CBE 中,DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2,得出AD2+AE2=BE2+BC2,设AE为xkm,则BE=(25﹣x)km,将BC=10代入关系式即可求得.【解答】解:∵C、D两村到E站距离相等,∴CE=DE,在Rt△DAE和Rt△CBE中,DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2,∴AD2+AE2=BE2+BC2.设AE为xkm,则BE=(25﹣x)km,将BC=10,DA=15代入关系式为x2+102=(25﹣x)2+152,解得x=15,∴E站应建在距A站15km处.【点评】此题考查勾股定理的应用,基础知识要熟练掌握.【变式4-9】(2022秋•叙州区期末)“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程,如图,A,B,C三个村都分别修建了一条互通公路,其中AB=BC,现要在公路BC边修建一个景点M(B,C,M在同一条直线上),为方便A村村民到达景点M,又修建了一条公路AM,测得AC=13千米,CM=5千米,AM=12千米.(1)判断△ACM的形状,并说明理由;(2)求公路AB的长.【分析】(1)由勾股定理的逆定理即可得出结论;(2)设AB=BC=x千米,则BM=(x﹣5)千米,在Rt△ABM中,由勾股定理得出方程,解方程即可.【解答】解:(1)△ACM是直角三角形,理由如下:∵AC=13千米,CM=5千米,AM=12千米,∴CM2+AM2=AC2,∴△ACM是直角三角形,∠AMC=90°;(2)设AB=BC=x千米,则BM=(x﹣5)千米,由(1)可知,∠AMC=90°,∴∠AMB=180°﹣∠AMC=90°,在Rt△ABM中,由勾股定理得:122+(x﹣5)2=x2,解得:x=16.9,答:公路AB的长为16.9千米.【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识,熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键.【变式4-10】(2022春•江津区期中)中菲黄岩岛争端持续,我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度.如图,OA⊥OB,OA=36海里,OB=12海里,黄岩岛位于O点,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船,自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O,我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C处截住了渔船.(1)请用直尺和圆规作出C处的位置;(2)求我国海监船行驶的航程BC的长.【分析】(1)由题意得,我海监船与不明渔船行驶距离相等,即在OA上找到一点,使其到A点与B点的距离相等,所以连接AB,作AB的垂直平分线即可.(2)连接BC,利用第(1)题中作图,可得BC=AC.在直角三角形BOC中,利用勾股定理列出方程122+(36﹣BC)2=BC2,解方程即可.【解答】解:(1)作AB的垂直平分线与OA交于点C;(2)连接BC,由作图可得:CD为AB的中垂线,则CB=CA.由题意可得:OC=36﹣CA=36﹣CB.∵OA⊥OB,∴在Rt△BOC中,BO2+OC2=BC2,即:122+(36﹣BC)2=BC2,解得BC=20.答:我国海监船行驶的航程BC的长为20海里.【点评】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质,利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长,而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系.【变式4-11】(2022秋•广陵区校级期末)如图,有一架秋千,当它静止在AD的位置时,踏板离地的垂直高度为0.6m,将秋千AD往前推送3m,到达AB的位置,此时,秋千的踏板离地的垂直高度为。
勾股定理及方程思想的综合应用
典型问题分析与解决策略
典型问题一
已知直角三角形两条直角边,求 斜边。
解决策略
直接应用勾股定理,建立方程并 求解。
典型问题二
已知直角三角形一条直角边和斜 边,求另一条直角边。
解决策略
验证三边是否满足勾股定理条件 。
典型问题三
判断一个三角形是否为直角三角 形。
解决策略
通过勾股定理建立方程,并化简 求解。
XX
PART 02
方程思想在勾股定理中应 用
REPORTING
方程建模与求解过程
勾股定理描述
求解过程
在直角三角形中,直角边的平方和等 于斜边的平方,即$a^2 + b^2 = c^2$。
通过代入已知数值,解三角形两条边时,可建立 方程求解第三边。例如,已知直角边 $a$和$b$,求斜边$c$,则方程为 $a^2 + b^2 = c^2$。
• 方程思想在复杂问题中的应用:对于更复杂的数学问题,如多元函数、微分方 程等,方程思想仍然具有重要的应用价值。通过建立适当的方程或方程组,可 以将复杂问题转化为相对简单的求解问题。
• 勾股定理与方程思想的跨学科应用:除了在数学领域中的应用外,勾股定理和 方程思想还可以在其他学科中找到广泛的应用。例如,在物理学中,勾股定理 可以用于计算物体的位移、速度等;在化学中,方程思想可以用于解决化学反 应中的平衡问题;在经济学中,方程思想可以用于分析市场供需关系等。因此 ,掌握勾股定理和方程思想对于提高跨学科解决问题的能力具有重要意义。
结合勾股定理和方程思想,可以建立化学反应中物质质量、 物质的量和反应速率等物理量之间的关系式,进而进行化学 计算。
经济问题中价格、数量和总收入关系分析
价格与数量关系
初中数学勾股定理(精选课件)
初中数学勾股定理聚智堂学科教师辅导讲义年级:课时数:学科教师:学员姓名:辅导科目:数学辅导时间:课题勾股定理教学目的1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即:a2+b2=c2)2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
3、满足的三个正整数,称为勾股数。
教学内容一、日校回顾二、知识回顾1。
勾股定理如图所示,在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形,通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系:即C的面积=B的面积+A的面积,现将面积问题转化为直角三角形边的问题,于是得到直角三角形三边之间的重要关系,即勾股定理。
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明:(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用,如果不是直角三角形,那么三条边之间就没有这种关系了。
(2)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦。
在没有特殊说明的情况下,直角三角形中,a,b是直角边,c是斜边,但有时也要考虑特殊情况。
(3)除了利用a,b,c表示三边的关系外,还应会利用AB,BC,CA表示三边的关系,在△ABC中,∠B=90°,利用勾股定理有。
2. 利用勾股定理的变式进行计算ﻩ由,可推出如下变形公式:(1);(2)(3)(4)(5)(平方根将在下一章学到)说明:上述几个公式用哪一个,取决于已知条件给了哪些边,求哪条边,要判断准确。
三、知识梳理1、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形(1)先确定最大边(如c)(2)验证与是否具有相等关系(3)若=,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形;若≠则△ABC不是直角三角形。
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1.本节课学习了哪些知识?
(3)解决折叠问题的关键:在动、静的转 化中找出不变量;
(4)题目中既没有直角三角形,也没有直 角,可考虑利用作垂线段,分割图形的方法, 构造直角三角形;
(5)题目中没有直角三角形,但存在直角, 可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上, 或者利用分割图形的方法,构造直角三角形.
C
D
6
B
E6
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在
同一平面内C'处,B C'与AD交于点E,AD=8,
AB=4,求DE的长.
C'
A
E
D
B
C
【问题3】如果题目中既没有直角三角形,也没有 直角,怎么利用勾股定理求解?
例3. 已知:如图,△ABC中,AB=16,AC=14,
BC=6,求△ABC的面积.
A
C DB
本题也可以过A或B作对边的高.
E C
A
BA
CF B
【问题4】如果题目中没有直角三角形,但存在直角, 怎么利用勾股定理求解?
例4.一块四边形的土地,其中ABC 120,AB AD, BC CD,AB 3 3,CD 5 3,求这块土地的面积.
A
B
D
C
E
A2 1 B
D
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
A
c
b
C
a
B
a2 b2 c2
勾股定理的常见表达式和变形式
在直角三角中,如果已知两边的长, 利用勾股定理就可以求第三边的长; 那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系,能否求各边长呢?
感受新知1
感受新知2
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=1, BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD, 则AD的长为——.
2.思想方法:
(1)方程思想 (2)数形结合思想 (3)转化思想 (4)建模思想
注意:
在总结本节课学习了哪些知识时,教师 可以引导学生总结,比如说,“如果题 目中出现了... ...,那么我们就考虑......”.
的结论.
(三)总结
1.本节课学习了哪些知识? 2.本节课涉及了哪些思想方法?
1.本节课学习了哪些知识?
(1)解决与勾股定理有关的实际问题 时,先要抽象出几何图形,从中找出直 角三角形,再设未知数,找出各边的数 量关系,最后根据勾股定理求解;
(2)如果一道题目中有多个直角三角 形,要选择能够用一个未知数表示出三 条边的直角三角形(边也可为常数), 在这个三角形中利用勾股定理求解. “斜 化直”即:斜三角形化为直角三角形求 解.
A
AB的中垂线DE交BC于点D
Ex
B
AD=BD
D 3-x C
在直角三角形 中(已知两边 的数量关系)
设其中 一边为x
求各边长
解
利用勾股定理
方
列方程
程
【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形,我们如 何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢?
例 1如图,有一张直角三角形纸片,两直角边
AC=6cm,BC=8cm, 现将直角边沿直线AD 折叠,使点C落在斜边AB上的点E,求CD 的长.
C
A
B
例3. 已知:如图,△ABC中,AB=16,
C
AC=14,BC=6,求△ABC的面积.
小结:
A
DB
1.题目中既没有直角三角形,也没有直角,可 考虑利用作垂线段,分割图形的方法,构造直 角三角形;
2. “斜化直”即:斜三角形化为直角三角形求解.
例3. 已知:如图,△ABC中,AB=16, AC=14,BC=6,求△ABC的面积.
C
A B
GA
H
B
D
C
E
D
C
小结: 题目中没有直角三角形,但存在直角,
可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上,
本题利用“割”也有多种做法.
A
A
E
B
E
B
DF
C
DF
C
【问题5】如果将勾股定理中“直角三角形”改
为“斜三角形a”2 ,b2与c2
的关系会是怎样呢?
思考题:在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若 ∠C=90°,如图①,根据勾股定理,则 a2 b2 =c2 , 若△ABC不是直角三角形,如图②和图③,请你类 比勾股定理,试猜想 a2 b2与c2 的关系,并证明你