垂直平分线与角平分线的有关证明问题
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课题
垂直平分线、角平分线的有关证明问题
教学过程
一、主要知识点
1、线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点到这条Байду номын сангаас段两个端点的距离相等；
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
相应练习
1、如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AE= CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q。求证：BP=2PQ
（证角＝30度）
2、如图，△ABC中，AB= AC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。
求证：点Q在PR的垂直平分线上。
（证PQ与CR相等）
3、如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
二、重点例题分析
例1：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。（垂直平分线的性质）
例3：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。（用定义去证）
求证：∠B=∠CAF（垂直平分线与角平分线）
4、已知：如图，AB∥CD，∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E
求证：点M为EF的中点
（延长CM）
例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点， ，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。（连AE，AG）
例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。（证全等）
例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与
∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF
（角平分线性质、平行线间高处处一样）
例7、如图所示，AB>AC， 的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作 于E， ，求证：BE=CF。（角平分线与垂直平分线的性质的综合应用）
垂直平分线、角平分线的有关证明问题
教学过程
一、主要知识点
1、线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点到这条Байду номын сангаас段两个端点的距离相等；
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
相应练习
1、如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AE= CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q。求证：BP=2PQ
（证角＝30度）
2、如图，△ABC中，AB= AC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。
求证：点Q在PR的垂直平分线上。
（证PQ与CR相等）
3、如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
二、重点例题分析
例1：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。（垂直平分线的性质）
例3：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。（用定义去证）
求证：∠B=∠CAF（垂直平分线与角平分线）
4、已知：如图，AB∥CD，∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E
求证：点M为EF的中点
（延长CM）
例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点， ，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。（连AE，AG）
例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。（证全等）
例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与
∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF
（角平分线性质、平行线间高处处一样）
例7、如图所示，AB>AC， 的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作 于E， ，求证：BE=CF。（角平分线与垂直平分线的性质的综合应用）