服从玻尔兹曼分布

px2

p
2 y

pz2
能量准连续
Z1
e
d
hr

V
(
2m h2
)3
2
h0
内能和物态方程与h无关 能均分定理成立 经典统计与量子统计结果相同
3、对双原子理想气体
经典统计：
1 2m
px2

p
2 y

pz2

1 2I

p2

p2
sin2


pr2
元内 l 的粒子数为：
al

N Z1
l
h0r
el
体积V内，动量在px ~ px dpx , py ~ py dpy , pz ~ pz dpz
范围内，所占据的相体积： l Vdpxdpydpz
体积V内，动量在dpxdpydpz 范围内的分子数：
体积V内，速度在 dvxdvydvz 范围内的分子数：
h0r



e 2m
px2 p2y pz2
dxdydzdpxdpydpz
h03
1
h03
V
dxdydz

e 2m
px2
dpx
3



V
(
2m h02
)3
2
一、单原子理想气体的基本热力学函数
Z1

V
2m ( h02
)3
2
物态方程
p

l
e
l
M－B分布
1. 内能
U all
l
U N ln Z1

2. 压强（广义力）
dU l dal al dl dQ Ydy
l
Y
al
l
y
N

y ln Z1
p N ln Z1
V
3. 熵
S

Nk

ln
Z1

Z1——有效状态和 一个粒子所有可能达到的有效状态的总和。
fs e l 能量为εl的一个量子态s上的平均粒子数
p
3.粒子配分函数的经典表达式
l
处于能层 l 内，运动状态处于相体积
元内 l 的粒子数为： x
al

l
h0r
fs

l h0r
e l
N Z1
？
Z1
el l

e t v r ( t v r ) Z1t Z1v Z1r
l
t ,v,r
Z e t 1
l
t h3l
l 1 h3

e

2m
(
px2

p
2 y

pz2
)
dxdydzdpx
dp
y
dp
z
量子 相格

V
(
2m h2
)3
2
e Z1 Z1t NN

V N
(
2m kT
h2
)3
2
1
§7.3 量子统计的经典极限
1、一般气体的非简并条件
e

V N
2m kT
( h2
)3 2
1
温度愈高，密度愈低，分子质量 愈大，非简并性条件愈易满足。
一般气体满足非简并性条件，服从玻尔兹曼分布。
2、对单原子理想气体 1 2m
a

N( m )3
2k T
e dv dv dv 2

m 2kT
(v
2 x
v
2 y

vz2
)
xyz
三、能均分定理
对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒
子能量中每一平方项的平均值为 1 kT
单原子分子


1 2m
(
px2

p
2 y

pz2 )
2
3 kT
2
U 3 NkT 2
3 CV 2 Nk
2

1 2
2r 2
t
v
r
CV

7 2
Nk
实验结果：常温下，
CV

5 2
Nk
量子统计：
平动和转动能量准连续， CVt

3 2
Nk
但振动能量不连续
n
(n 1)
2
常温下， kT
CVr ~ 0
CVv Nk
配分函数必须用求和计算
CV

5 Nk 2
§7.4 固体热容量
一、经典统计的困难
第七章 玻尔兹曼统计
§7.1 热力学量的统计表达式 §7.2玻尔兹曼分布的应用——理想气体
§7.3 量子统计的经典极限 §7.4 固体热容量
§7.1 热力学量的统计表达式
一、粒子配分函数
al
e l l
1、确定α、β
aall
e
e e ll ll


ln Z1


k ln M .B.
§7.2 玻尔兹曼分布的应用-理想气体
假设单原子气体分子是无相互作用力的经典粒子 服从玻尔兹曼分布
一、单原子理想气体的基本热力学函数


1 2m
( px2

p
2 y

pz2 )
u(x,
y,
z)
无外场时
Z1
el d
实验结果与理论结果相符
双原子分子
1 2m
px2

p
2 y

pz2

1 2I

p2

p2
sin2


pr2
2

1 2
2r 2
t
v
r
U 7 NkT 2
7
CV

Nk 2
实验结果：常温下
CV

5 Nk 2
§7.3 量子统计的经典极限
一般气体满足非简并性条件， 且其平动能量是准连续的。
N

V
ln
Z1

kTN V
pV nRT
R kN0
k=1.38×10-23JK-1
内能
U

N


ln
Z1

3 2
NkT
玻尔兹曼常数
CV
dU dT
3 Nk 2
熵
S

Nk

ln

Z1


ln Z1


Z1

V
2m ( h02
)3
2
二、麦克斯韦速度分布
处于能层 l 内，运动状态处于相体积
NN
ll
ll
al
ห้องสมุดไป่ตู้
N Z1
el l
Z1
el l
l
粒子 配分 函数
1
kT
e N Z1
2、粒子配分函数的物理意义
粒子处在该能 级的几率
有效状 态数
al

N Z1
l
el
al

el l

N
Z1
el l el l
玻尔兹
曼因子 粒子总是优先占据较低能级；温度升高，占据该能 级的几率增大。
理想固体模型： 3N个频率相等的独立的一维谐振子。
一维经典谐振子


1 2m
px2

1 2
m2 x2
Z1
e
d
h0r
1 h0
e dxdp


1 2m
px2

1 2
m
2
x2

x

2 h
U


3NN
ln Z1
l
h0r
el
Z1
l
el
l
h0r
al

N Z1
l
h0r
el
取 l 足够小，求和可化为积分：
Z1
el d
h0r


e ( p,q)
dq1dq2
dqrdp1dp2 h0r
dpr
二 热力学量的统计表达式
al

N Z1