第二章 数学基础

• 模8的加法和乘法运算与普通运算一样,只是 将所得的值是去模8后的余数
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模8乘法运算的例子
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模8的加法逆元和乘法逆元
• 对每一个x都有一个 对应的y，使得x+y≡ 0 mod 8，则y是x的加 法逆元。如对2，有6， 使得2+6≡0 mod 8，那 么6是2的加法逆元 • 如果对x，存在y，使 得x×y ≡1 mod 8，则y 为x的乘法逆元。如 3×3≡1 mod 8， 因此3 的乘法逆元是3。
1 2 i
1 (n) n(1 p )(1
1
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1 p2
)...(1
1 pi
)
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费马小定理和欧拉定理（续）
(2)欧拉定理
设m>1，如果gcd(a, n) = 1,则:aϕ(n) ≡ 1mod n.
eg: 求7803的后三位数字
解： 7803（mod 1000）的结果 ϕ(1000) = 1000(1-1/2)(1-1/5) = 400， 有7803 ≡ (7400)273 ≡ 343 (mod 1000)
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欧拉定理
• 定理2.14(欧拉定理) 对于任何互素的两个整数a 和n，有 aφ(n) ≡ 1 mod n
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欧拉函数性质
• 求(41) ， (27)， (440) • (1) (41) =41-1=40 • (2) (27) = (3 3 )= 3 3 - 3 2 =18 • (3) (440) = (5*8*11)= (5)* (8)*(11)
• =4*10*(23-22) =160
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费马小定理和欧拉定理
1.定义（欧拉函数）
欧拉函数ϕ(n)是一个定义在正整数上的函数， ϕ(n) 的 值等于序列0，1，2，…，n－1中与n互素的数的个数。
欧拉函数的求法：
（1）如果n是素数，则ϕ(n)=n-1 （2）n＝pq，其中p，q为素数，则ϕ(n)=(p-1)(q-1) 如果n＝p1q p2q ...piq 1，p2 ...，pi为素数），则： （p （3）
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• 定理2.1 （带余除法）设a, b ∈Z，b≥1，则 存在唯一的整数q和r，使得a = qb + r，0≤r < b。q称a除以b所得的商，r称为a除以b所得 的最小非负剩余。 2013-9-12 • 。
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最大公因子
• 定义2.2 设a, b ∈Z，a，b不全为0，如果c | a且 c | b，则称c为a和b的公因子。特别地，我们 把a和b的所有公因子中最大的，称为a和b的 最大公因子，记为gcd ( a, b) 或者 (a, b).
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模运算
• 求余运算称为模运算, 下面是模运算的一些 性质。 (1) (a+b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m (2) (a-b) mod m = ((a mod m) - (b mod m)) mod m (3) (a×b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m (4) (a×(b+c) ) mod m = ((a×b) mod m) + ((a×c) mod m)) mod m
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快速求me mod n算法一
(1) ae, bm, c1, 其中a, b, c为三大整数寄 存器。 (2) 如果a=0，则输出结果c即为所求的模n的大 整数次幂。 (3) 如果a是奇数，转第(5)步。 (4) a(a÷2), b(b×b) mod n, 转第(3)步。 (5) a(a-1), c(c×b) mod n, 转第(2)步。
• 计算两个数的最大公因子的最容易的方法是
用欧几里德(Euclid)算法 (辗转相除法）。
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欧几里德算法
• 定理2.3 （欧几里德算法）给定整数a和b，且b>0， 重复使用带余除法，即每次的余数为除数去除上 一次的除数，直到余数为0，这样可以得到下面一 组方程： a = bq1+r1, 0 < r1 <b, b = r1q2+r2, 0 < r2 < r1, 欧几里德算法欧几里德算法 r1 = r2q3+r3, 0 < r3 < r2, …… rj-1 = rjqj+1 +0 最后一个不为0的余数rj就是a和b的最大公因子
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指数模运算举例
• 例如：计算117mod 13，可以按照下面的 思路： 112=121≡4 mod 13 114= (112)2≡42mod 13 ≡3 mod 13 117=11×112×114≡ 11×4×3 mod 13 ≡ 132 mod 13 ≡2 mod 13
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扩展的欧几里德算法
• • • • • • • • • 求 a=97,m=1001 ,求a在模 1001 时的乘法逆元。 1001=97*10+31 97=31*3+4 31=4*7+3 4=3*1+1 3=3*1+0 gcd(97,1001)=1 逐项回代即得到 ������ 1= sa+tm s即为a的模 1001 时的乘法逆元
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费马定理应用举例
• 求3 201 mod 11 • P=11 为素数，gcd(3,11)=1 互素 • 则根据费马定理 • 3 10 ≡1 mod 11 • 3201 = 3 10 * 3 10 * 3 10 * …. *3 10 *31 • 3 201 mod 11 ≡ 1*1*1*….*1*3 (mod 11) • ≡ 3 (mod 11)
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计算3037 mod 77
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费马定理
• 费马定理和欧拉定理在公钥密码体制中占 非常重要的地位 • 定理2.13 (费马定理Format) 若p是素数, 且a是 正整数，且gcd(a, p) = 1，则： ap-1 1(mod p) 举例 ： a=7,p=19 ,gcd(7,19)=1 ap-1 =a18 mod 19 ≡1 mod 19 ( 可验证）
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费马小定理和欧拉定理（续 ） Fermat小定理）: 推论（
p素数,a是整数且不能被p整除,则:a p-1 ≡ 1 mod p.
例如： 求 253 (mod 11) = ?
由Fermat小定理: 210 = 1024 ≡ 1 (mod 11) 253 = (210)523 ≡ 1523 ≡8 (mod 11)
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• 1 =4-3*1 • =4-(31-4*7) 回代 • =4*8-31 • =(97-31*3)*8-31 回代 • =97*8-31*25 • =97*8-(1001-97*10)*25 回代 • =97*258+1001*(-25) • 则 258 是97 在模1001下的乘法逆元。
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• 主要知识点： --数论 --代数基础 --计算复杂性理论 --单向函数
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因子
• 设Z表示全体整数所构成的集合。
• 定义2.1 设a, b ∈Z，a≠0，c∈Z，使得b = ac， 则称a整除b，并称a是b的因子或者约数，b 是a的倍数，记为a | b。
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模运算 举例
• 例如 11 mod 8 = 3; 15 mod 8 =7, 那么 (11 mod 8 )+ (15 mod 8) mod 8 = (3+7) mod 8 = 2 (11+15) mod 8 = 26 mod 8 =2 • 在模运算中，加法单位元是0，(0+a) mod m = a mod m • 乘法单位元是1，(1×a) mod m = a mod m
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快速指数模运算
• 在非对称密码体制（公钥密码体制）中常常 涉及指数模运算，如计算73327 mod 37 • 一种方法是利用前面介绍的模运算性质 (a×b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m， 将指数模运算可以看做是多次重复乘法，并 且在计算中间结果时就取模
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等价关系的性质
同余关系是一种等价关系，具有以下性质： (1) 自反性 a ≡a (mod m) (2) 对称性 若a ≡ b (mod m), 则 b ≡ a (mod m) (3) 传递性 若a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m),则 a ≡ c (mod m)
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加法逆元和乘法逆元定义
• 定义2.13 对a∈Zm，存在b∈Zm，使得 a+b ≡ 0 (mod m)，则b是a的加法逆元， 记b= - a。 • 定义2.14 对a∈Zm，存在b∈Zm，使得 a×b ≡1 (mod m)，则称b为a的乘法逆元。 • 加法一定存在逆元，乘法不一定存在 逆元。
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素数
• 定义2.4 设p ∈Z，p≥2，如果p的正因子只有1和p， 则称p 为素数，否则为合数 • 若正整数a有一因子b，而b又是素数，则称b为a的 素因子 • 如果整数a与整数b的最大公因子是1，即gcd (a, b) = 1，则称a与b互为素数，简称互素
• 设(m)为小于或等于m且与m互素的正整数个数， 则称其为欧拉(Euler)函数。
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同余
• 定义2.8 两个整数a, b分别被m除，如果所得的余数 相同，则称a与b对模m是同余的，记为a ≡ b (mod m)，正整数m称为模数 • 同余具有下面的性质： (1) 若a ≡ b (mod m)，则则m|(b-a)。反过来，若m|(b-a)， 则a ≡ b (mod m) (2) 如果a=km+b (k为整数)， 则a ≡ b (mod m) (3) 每个整数恰与0,1,…，m-1这m个整数中的某一个 对模m同余 (4) a ≡ b (mod m)当且仅当a mod m = b mod m
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欧拉定理的应用
eg: 计算243210 （mod 101）
解：
（1）由费尔马定理2100（mod 101）＝1（mod 101） （2）243210 ≡(2100) 432210 ≡210 ≡1024 (mod 101)=14
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一次同余式
7.一次同余式
(1)定义: 设m∈Z+, a, b∈Z, a≠0, 我们把 ax+b≡0 (mod m) 称为模数m的一次同余式. 如果x0∈Z满足: ax0+b≡0 (mod m) 则称x≡x0 (mod m)是同余式的解.
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• 定理2.8 (乘法消去律)对于ab ≡ ac（mod m） 来说，若gcd(a, m)＝1则b ≡ c(mod m)。 • 定理2.9 (加法消去律)如果a+b ≡ a+c（mod m），则b ≡ c(mod m) • 加法消去律是没有条件，但乘法消去律的条 件是gcd(a, m)＝1，即a和m互素 • 例如 6×3≡6×7≡2 mod 8，但3≡7 mod 8不成立 • Gcd(5,8)=1, 5*3 ≡5*11mod 8 ,则3 ≡11mod 8 成立
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例2.1 求gcd (1970，1066)
• • • • • • • • • • • 用欧几里德算法的计算过程如下： 1970＝1×1066+904 1066＝1×904+162 904＝5×162+94 162=1×94+68 94＝1×68+26 68＝2×26+16 26＝1×16+10 16＝1×10+6 10＝1×6+4 6=1×4+2 • 4＝2×2+0 • 因此gcd (1970，1066) = 2
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乘法逆元 • 在密码学特别是非对称密码体制中， 常常需要求模逆元，求模逆元就是 求乘法逆元。 • 即寻找一个x，使得a×x ≡1 mod m成 立 • 求模逆元问题很困难，有时有结果， 有时没有结果 • 利用扩展欧几里德算法能够计算出 模逆元
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模8运算的例子