本节讨论几个向量组之间的线性关系.

解
线
1 1 1 1 0 4 性 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 代 0 4 0 0 5 2 数 3 1 0 2 0 1 5 2
=
5 3 5 所以， 1 2 3 . 2 2 2
=
例13 设A, B分别为m×r, r ×n矩阵，证明 R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
= =
证法2 : 要证Bmn的列向量组线性无关 ,即相当于要证 r ( B) n.由已知的AB I , n r ( I n ) r ( AB) r ( Bmn ) n, r ( B) n.
线 性 代 数
= =
1 2 3 2 3 7 由A 3 4 1 4 8 0 3 1 2 0 1 1 0 0 12 0 0 12
代 数
= =
例3.11 : 求下列向量组的一个极大无关组及向量组的秩
1 (1,1, 2, 2,1)T , 2 (0, 2,1,5, 1)T , 3 (2, 0,3, 1,3)T , 4 (1,1, 0, 4, 1) .
无关组, 并称向量组( A)的秩为1.
= =
例 :向量组( B) : 1 (1, 2,3) , 2 (2,3, 4) ,
T T
3 (1,1,1) 中最多有2个向量线性无关, 例
T
线 性 代
如1 , 2 , 称 1 , 2 为( B)的一个极大无关 组, 并称( B)的秩为2.
线 性 代 数
3 1 7
3 1 7
= =
2
1 1 0 a 3b
1 1 0
又由 3可由(I)线性表示 3可由(I)的极大无关组1 , 2线性表示 1 , 2 , 3线性相关 行列式1 2 b 5 a 15 1 3 2 3 b 0 1 0
线 性 代 数
3 1 0
= =
下面讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系. 矩阵A的行(列)向量组的秩称为A的行(列)秩. 定理6 r ( A) A的行秩 A的列秩, (证明从略) 命题(1)若矩阵A经有限次初等行变换 化为矩阵 B, 则A的任意k 个列向量与B中相应的k 个列向量 具有相同的线性相关性. (2)若矩阵A经有限次初等列变换化为矩阵B, 则A的任意k 个行向量与B中相应的k 个行向量具 有相同的线性相关性
(AB)的列向量组可由A的列向量组线性表出，
故 R(AB)≤R(A). 又，R(C) = R(CT)=R(BTAT)≤R(BT)=R(B). 所以 R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
= =
例14 设矩阵Anm、Bmn满足AB I n , 其中I n为n阶 单位矩阵，且n m.证明：B的列向量组线性无关. 证法1: 设B按列分块为B 1 设有一组数x1 , x2 , x11 x2 2 , xn , 使得 xn n 0
线 性 代 数
= =
例10 求下列向量组的秩 : 1 (1, 2Βιβλιοθήκη Baidu3, 4)T
2 (2,3, 4,8) , 3 (3, 7, 1, 0) 4 (0,1, 2, 0) .
T T T
线 性
解 : 所求秩等于下列矩阵A的秩 : A 1 2 3 4
0 1 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 10 2 0 12 0 2 3 0 1 1 1 所求秩为3. 0 1 0 0 0 0 2 1 3 1
性质2
若向量组1 ,2 , ,m可由向量组1 , 2 , 线性表示, 则r(1,2 , ,m ) r ( 1, 2 , , t ) 推论 等价向量组必有相同的秩
性质3 若r ( , , 1 2
, t
线 性 代 数
,m )=r, 则该向量组中任意r个
线性无关向量就是它的一个极大线性无关组. 例 设1 , 2线性无关, 试求向量组1 1 2 , 2 1 2的秩. 解 :由已知, 1 , 2可由1 , 2线性表示,
§3.3
向量组的秩
线 性 代 数
本节讨论几个向量组之间的线性关系,并由 此引出向量组的极大无关组与向量组的秩的概 念,进而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系.
例 :向量组( A) : 1 (1, 2,3), 2 (2, 4, 6),
3 (3, 6,9), 其中线性无关的向量只有1个, 例如1. 我们称1为向量组( A)的一个极大
= =
问题:如果(A)的极大无关组不唯一,问其任意
两个极大无关组所含向量个数是否唯一?
线 性 代 数
定理5
设有两个向量组: ( A) : 1 , 2 , s ; ( B ) : 1 , 2 ,
r ;
且( B)可由( A)线性表示,则 (1) 当r s时, ( B)线性相关; (2) 当(B)线性无关时, 必有r s. (证明从略)
代 数
, r 满足 :
线 性
(2) ( A), 均有1 , 2 , 或 均可由1 , 2 ,
, r 线性表示, 则称
1 , 2 ,
, r为(A)的一个极大(最大)无关组
( A)的极大无关组必与(A)等价 : 最本质的性质.
注: (1)向量组的极大无关组不是唯一的.
(2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的;
T
线 性
解 : A 1 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 2 1 5 1 0 1 0 0 0
2 3 4
2 0 3 1 3 2 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 4 0 1 0 1 1 0 0 2 0 2 0 2 0 1 1 0 2 2 0 1 1 2 0 5 5 2 0 1 1 2 0 0 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2
例 :向量组(C ):1 (1, 2,3) , 2 (2,3, 4) ,
T T
数
3 (0, 0,1) 线性无关, 称(C )是它自身的
T
极大无关组, 并称(C )的秩为3.
= =
定义8
如果向量组(A)有一个部分组1 , 2 , (1) 1 , 2 , , r 线性无关; , r , 线性相关,
1 1 1 1 又因 1 1 2 , 2 1 2 2 2 2 2 故两向量组等价, r ( 1 , 2 ) r (1 , 2 ) 2.
= =
例9
设有两个向量组: 1 3 9 (I) : 1 2 , 2 0 , 3 6 ; 3 1 7 0 a b (II):1 1 , 2 2 , 3 1 . 1 1 0
b11 b21 c1 ,, cn ( 1 ,, r ) br 1
证 设Cm×n = AB，
线 性 代 数
b1n b2 n brn
ck b1k 1 b2 k 2 brk r , ( k 1,..., n)
2
n
线 性 代 数
x1 x 2 即 1 2 n 0 xn 亦即Bx 0, 其中x ( x1 , x2 , , xn )T , 两端左乘A, 得 ABx 0.因为AB I , 得x 0, 即 x1 x2 xn 0, 1 , 2 , , n 线性无关.
线 性 代 数
因为1 2
且有 3 21 2
这是因为1 2 4
= =
例12 将 = (1,0,-4)T 用1 =(0,1,1)T, 2 =(1,0,1)T,3 =(1,1,0)T 线性表出.
0 1 T T T A ( 1 , 2 , 3 , ) 1 0 1 1 1 1 0 4 1 0 1 1 1 0 5 0 0 1 0 2
1 1 1 0 代 1 1 2 5 5 2 数 1 1 2 2 0 = 1 0 0 1 = 0 0 0 0
可见r (1 , 2 , 3 , 4 ) 3, 1 , 2 , 4可作为一个极大无关组, 1 0 4 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
= =
推论1 推论2 注
任意n+1个n维向量组必线性相关 两个等价的线性无关组所含向量个数相同.
线 性 代 数
向量组的两个极大无关组所含向量的个 数相同 向量组的极大线性无关组所含向量 的个数称为向量组的秩.
定义9 注
性质1
规定,由零向量组成的向量组的秩为0
=
向量组1,2 , ,m线性无关 r (1,2 , ,m ) m = 向量组1,2 , ,m线性相关 r (1,2 , ,m ) m
线 性 代 数
(1) 求(I)的秩; (2) 如果(I)、 (II)有相同的秩, 且 3可由(I)线性 表示, 试求常数a、b的值.
= =
解 : (1)由于1与 2线性无关, 而 3 31 2 2 , 1与 2为(I)的极大无关组 (I)的秩为2. 或由1与 2线性无关, 而1 , 2 , 3线性相关, 由行列式1 2 即知, r ( I ) 2 (2)由条件知r ( II ) r ( I ) 2 ( II )线性相关 1 0 3 1 a b 0 2 1 0 a b 3 1 (a 3b) 0 1 3 2 3 0 9 10 0 6 2 0 30 6 0