高中数学人教版必修平面向量的正交分解及坐标表示课件(系列四)
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(3)若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝_____(_λ_x_，__λ_y_)____，即实数与向量的积的
坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(4)向量坐标的几何意义： 在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则O→A＝__(x_，__y_)，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝_(_x_2_－__x_1_，__y_2_－__y_1_)__．如图 2－3－14 所示．
所以点 B 的坐标为(－1，8)． (2)如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1，1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以O→B＝(1，－1)， 同理O→D＝(－1，1)．
【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1，1) (－1，1) (3)由题意知 B, D 分别是 30°，120°角的终边与以点 O 为圆心的单位圆的 交点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得 x1＝cos30°＝ 23，y1＝sin30°＝12， 所以 B 23，12.
再练一练
1．已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上，C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量A→B，A→C，B→C，B→D的坐标. 【解】 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，
则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， ∴C(1， 3)，D12， 23， ∴A→B＝(2，0)，A→C＝(1， 3)， B→C＝(1－2， 3－0)＝(－1， 3)， B→D＝12－2， 23－0＝－32， 23.
人教版 必修4
第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2、3 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
1．掌握平面向量的坐标表示及其坐标运算．(重点) 2．理解平面向量坐标的概念．(难点) 3．向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)
知识梳理
1.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相__垂___直____的向量，叫做把向量正交分解．
图 2－3－14
微体验
已知向量 a＝(x＋3，x2－3x－4)与A→B相等，其中 A(1，2)，B(3，2)，则 x＝________. 【解析】 易得A→B＝(2，0)， 由 a＝(x＋3，x2－3x－4)与A→B相等得 xx＋ 2－33＝x－2，4＝0，解得 x＝－1. 【答案】 －1
合作探究
(2)平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向__相__同__的两个_单__位___向量 i、 j 作为__基__底__．对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，__有__且__只__有____ 一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，我们把有序数对(_x_，__y_)_叫做向量 a 的坐标，记
2.平面向量的坐标运算 (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝__(_x_1_＋__x_2_，__y_1_＋__y，2)即两个向量和 的坐标等于这两个向量相应坐标的和． (2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝_(_x_1_－__x_2_，__y_1_－__y_2，) 即两个向量差 的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
1.平面向量的坐标表示
例题 1 (1)已知A→B＝(1，3)，且点 A(－2，5)，则点 B 的坐标为( )
A．(1，．(－3，2)
(2)如图 2－3－15，在正方形 ABCD 中，O 为中心，且O→A＝(1，
－1)，则O→B＝________；O→C＝________；O→D________.
【解析】 (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样． (2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终 点坐标． (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
作 a＝(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a＝(x， y)叫做向量的坐标表示．显然，i＝__(1_，__0_)，j＝_(_0_，__1_)，0＝_(_0_，__0_)．
微体验
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
图 2－3－15
(3)如图 2－3－16，已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角，求 点 B 和点 D 的坐标和A→B与A→D的坐标．
图 2－3－16 【精彩点拨】 表示出各点的坐标 → 用终点坐标减去起点坐标 → 得相应向量的坐标
【自主解答】 (1)设 B 的坐标为(x，y)，A→B＝(x，y)－(－2，5)＝(x＋2，y －5)＝(1，3)，所以xy＋ －25＝ ＝13， ，解得yx＝＝8－，1，
x2＝cos120°＝－12， y2＝sin120°＝ 23， 所以 D－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
名师指津
求点、向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的 坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减 去始点坐标即得该向量的坐标．
2.平面向量的坐标运算
(1)设A→B＝(2，3)，B→C＝(m，n)，C→D＝(－1，4)，则D→A等于( )
A．(1＋m，7＋n)
B．(－1－m，－7－n)
C．(1－m，7－n)
D．(－1＋m ，－7＋n)
(2)已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的坐标是( )
坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(4)向量坐标的几何意义： 在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则O→A＝__(x_，__y_)，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝_(_x_2_－__x_1_，__y_2_－__y_1_)__．如图 2－3－14 所示．
所以点 B 的坐标为(－1，8)． (2)如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1，1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以O→B＝(1，－1)， 同理O→D＝(－1，1)．
【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1，1) (－1，1) (3)由题意知 B, D 分别是 30°，120°角的终边与以点 O 为圆心的单位圆的 交点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得 x1＝cos30°＝ 23，y1＝sin30°＝12， 所以 B 23，12.
再练一练
1．已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上，C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量A→B，A→C，B→C，B→D的坐标. 【解】 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，
则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， ∴C(1， 3)，D12， 23， ∴A→B＝(2，0)，A→C＝(1， 3)， B→C＝(1－2， 3－0)＝(－1， 3)， B→D＝12－2， 23－0＝－32， 23.
人教版 必修4
第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2、3 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
1．掌握平面向量的坐标表示及其坐标运算．(重点) 2．理解平面向量坐标的概念．(难点) 3．向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)
知识梳理
1.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相__垂___直____的向量，叫做把向量正交分解．
图 2－3－14
微体验
已知向量 a＝(x＋3，x2－3x－4)与A→B相等，其中 A(1，2)，B(3，2)，则 x＝________. 【解析】 易得A→B＝(2，0)， 由 a＝(x＋3，x2－3x－4)与A→B相等得 xx＋ 2－33＝x－2，4＝0，解得 x＝－1. 【答案】 －1
合作探究
(2)平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向__相__同__的两个_单__位___向量 i、 j 作为__基__底__．对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，__有__且__只__有____ 一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，我们把有序数对(_x_，__y_)_叫做向量 a 的坐标，记
2.平面向量的坐标运算 (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝__(_x_1_＋__x_2_，__y_1_＋__y，2)即两个向量和 的坐标等于这两个向量相应坐标的和． (2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝_(_x_1_－__x_2_，__y_1_－__y_2，) 即两个向量差 的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
1.平面向量的坐标表示
例题 1 (1)已知A→B＝(1，3)，且点 A(－2，5)，则点 B 的坐标为( )
A．(1，．(－3，2)
(2)如图 2－3－15，在正方形 ABCD 中，O 为中心，且O→A＝(1，
－1)，则O→B＝________；O→C＝________；O→D________.
【解析】 (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样． (2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终 点坐标． (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
作 a＝(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a＝(x， y)叫做向量的坐标表示．显然，i＝__(1_，__0_)，j＝_(_0_，__1_)，0＝_(_0_，__0_)．
微体验
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
图 2－3－15
(3)如图 2－3－16，已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角，求 点 B 和点 D 的坐标和A→B与A→D的坐标．
图 2－3－16 【精彩点拨】 表示出各点的坐标 → 用终点坐标减去起点坐标 → 得相应向量的坐标
【自主解答】 (1)设 B 的坐标为(x，y)，A→B＝(x，y)－(－2，5)＝(x＋2，y －5)＝(1，3)，所以xy＋ －25＝ ＝13， ，解得yx＝＝8－，1，
x2＝cos120°＝－12， y2＝sin120°＝ 23， 所以 D－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
名师指津
求点、向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的 坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减 去始点坐标即得该向量的坐标．
2.平面向量的坐标运算
(1)设A→B＝(2，3)，B→C＝(m，n)，C→D＝(－1，4)，则D→A等于( )
A．(1＋m，7＋n)
B．(－1－m，－7－n)
C．(1－m，7－n)
D．(－1＋m ，－7＋n)
(2)已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的坐标是( )