定积分存在的条件

§7.2定积分存在的条件

一 定积分存在的充分必要条件

定义1 设函数()f x 在[],a b 有界，在[],a b 插入分点

b x x x x x a n n =<<<<<=-1210

把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i x x -()1,2,...,i n =，记

()[]{

}()[]{}111

sup ,inf ,i i i i i i i i i M f x x x x m f x x x x x x x ---=∈=∈∆=-

作和式

1

n

i i i S M x -==∆∑

1

n i i i S m x -==∆∑ 分别成为对于这一分法的达布上和达布下和。

要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。

定理1（定积分存在的第一充分必要条件） 函数)(x f 在],[b a 上可积的充分必要条件是00lim lim S S λλ-

→→-

=。 注：定理1也可叙述为函数)(x f 在],[b a 上可积的充分必要条件是0lim 0S S λ-→-⎛⎫-= ⎪⎝⎭。 例：证明

()1,1x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数，，为无理数

在[]11-，不可积，但()f x 可积。

定义2 记i i i m M -=ω，称之为)(x f 在i x ∆上的幅度，则有

1n

i i i S S x ω--=-=∆∑。

注：定理1也可叙述为函数)(x f 在],[b a 上可积的充分必要条件是01lim 0n i

i i x λω→=∆=∑。

定理2 （定积分存在的第二充分必要条件） 函数)(x f 在],[b a 上可积的充分必要条件是对任意的两个正数ε及0σ>，可找到0δ>，使当任一分法满足{}max i x λδ=∆<时，对应于幅度'i ωε≥的那些区间的

长度'i x ε∆≥之和''i i x

σ∆<∑。

注：定理揭示了可积函数的本质，表明可积函数不连续的范围不能太广。

二 可积函数类

定理3 若函数)(x f 为],[b a 上的连续函数，则)(x f 在],[b a 上可积。

定理4 若)(x f 是区间],[b a 上只有有限个第一类不连续点的有界函数，则)(x f 在],[b a 上可积。 定理5 若)(x f 是区间],[b a 上的单调函数，则)(x f 在],[b a 上可积。

注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。

例：试用两种方法证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<+== ,2,1,11

1,10,0)(n n x n n x x f 在区间]1,0[上可积。