自由振动

cx kx 0 m x
其标准形式为
2 x 2 x 0 x 0
(1.9) (1.10) 图1.3
或 2 x
2 (1.11) 0 x 0 x 0
其中
k c c 1 0 , , m 2m 0 2m mk
1
0
0 x
) , t an (
2
0 x0
0 x
)
(1.5)
为了提高应用能力，应熟记公式（1.3）～（1.5)。
（1.3）或（1.4）式表明位移是时间的简谐函数，代 表位移在平衡位置附近、以简谐规律随时间作周期性变化， 称为简谐振动。因此，无阻尼线性系统的自由振动是简谐 振动，如图1.2所示。
1 2 1 3a m( x A x 3 )2 T mx （x3a 为 m 的绝对位移） 2 2 x2 x1 bx1 ax2 而： x A x1 a ab ab ab b 2 k3 a 2 k3 2 2 a b k1 a b k2
T 2 / 0 ,
f 1 / T 0 / 2
T 的标准单位为s，f 的标准单位为Hz，1Hz ＝ 1周/s。 简谐振动一旦开始，便会按等幅永远振动下去。
2．单自由度系统固有频率的求法
方法1：方程法 通过各种方法列写出系统的振动方程，再化成形如方程 （1.2）的标准形式，自然得到系统的固有频率。 方法2：能量法 因为无阻尼系统与外界无能量交换，也没有能量形式的 转变，因此系统的总能量不变，对于机械系统，则机械能守 恒或广义机械能守恒。即 T + V = const. 这可以对方程（1.1）积分，得到印证 1 2 1 2 kx const . mx 2 2 如果T = Tmax时，V = 0，则必有 Tmax Vmax （1.7）
A sin(0t )
0
0
2
3
0
0
图1.2
振动的大小和起始状态由振幅A和初相角 两个常数确定， 即由初始条件确定，它们与系统本身无关。
振动的波动特性（简谐特性），由参数 0 确定，
它只取决于系统本身的物理参数，同时它表征位移周期 性变化的快慢，再由于它的量纲为『角度/时间』，因此 参数 0 称为系统的固有角频率，简称固有频率或自然频率。 系统的振动周期T和振动频率为
• 定义：系统受到初始扰动的激发所产生 的振动称为自由振动。 • 自由振动系统与外界没有能量的交 换，振动的形成和演变机制，是通过将 初始激发能量在系统内传递和转换实现 的。 • 本章只研究单自由度系统的振动规律。
§1.1 线性系统的自由振动
1. 无阻尼自由振动
如图，质量—弹簧系统是最简单的单自由度无阻尼振动 系统，由Newton定律，其动力学方程为 (1.1) kx 0 m x 令
x
dx
m
l
O
x
x
其中 m1 l l 为弹簧质量，令弹簧的1/3质量为弹簧的等 效质量，则弹簧质量的系统总动能为：
l x x 2 1 1 m1 2 T1 l 0 ( ) dx ( )x 2 l 2 3
(a)
1 m1 2 T (m ) x 2 3
(b)
弹簧的势能与弹簧质量无关，仍利用能量平衡公式， 导出考虑弹簧的系统固有频率为
C2 由初始条件确定，设 常数 C1、
(0) x 0 t 0 : x(0) x0 , x
可得方程（1.1）的定解为 0 x x (t ) x0 cos 0t sin 0t
或 其中
0 x(t ) A sin( 0t )
A x (
2 0
(1.3) (1.4)
《振动力学》讲义
主讲人：何锃
华中科技大学土木工程与力学学院
力学系
使用教材： 刘延柱 等编著.《振动力学》.高等教育出版社，2002
第一章 自由振动
§1.1 线性系统的自由振动
§1.2 相轨迹与奇点
§1.3 保守自治系统的相平面方法
§1.4 耗散自治系统的相平面方法
§1.5 静态分岔
第一章 自由振动
0 k / m
2 x 0 x 0
方程（1.1)变成标准形式 (1.2) 图1.1
这是一个二阶、常系数、齐次的线性常微分方程，可以用 试凑法或特征值法求解。
t x e 令
代入（1.2)式，得到相应的特征值方程为
2 2 0 0
特征值为 ＝ i0， i 1 为虚数单位
xe
(C1 C2t )
x 仍随 t 衰减，系统作衰减运动，而不作往复运动，因此这 种情况系统也不作振动。＝１的情况称为临界阻尼。因 为它是区分系统是否作振动的阻尼临界值。 （3）<１。这时 为两个共轭复根，振动方程的通 解为 t
xe
(C1 cos d t C2 sin d t ) sin( d t )
sin d t )
(1.12)
x(t ) Ae t sin( d t ) A x (
2 0
(1.13)
1
0 x0 x
பைடு நூலகம்
d
d x0 ) , t an ( ) 0 x0 x
2
(1.14)
x～t 曲线如图1.5，x 随 t 衰减，但系统作幅值衰减的往复周 期运动，因此这种情况系统作振动，称衰减振动。 由此， <１的系统称为欠阻尼系统。系统的振动周期为 2 T
方程复数形式的特解为 et ei0t cos 0t i sin 0t 和 e t e i0t cos 0t i sin 0t 和 sin 0t 实数形式的特解为 cos 0t
方程的通解为 x(t ) C1 cos0t C2 sin 0t
k1 x1 (a b) k3 x3b k2 x2 (a b) k3 x3a
k3b k3a x3， x2 x3 得： x1 k1 a b k2 a b
1 2 1 1 2 2 V k1 x1 k2 x2 k3 x3 2 2 2 b 2 k3 a 2 k3 1 2 k3[1 ]x3 2 2 2 ( a b ) k3 ( a b ) k 2
2 0
2

T
0
cos2 (0t )dt c0 A2
课本中给出了三种阻尼的等效粘性阻尼系数： （1）干摩擦阻尼 摩擦力 Fd FN sgn x
4FN 等效粘性阻尼 c 0 A
（2）速度平方阻尼
2 sgn x 摩擦力 Fd cd x 8 等效粘性阻尼 c cd 0 A 3 （3）结构阻尼 阻尼耗能 E A2
2 2 0 2
Ae
其中
t
d 0 1
称为有阻尼固有频率。
(0) x 0 当初始条件为 t 0 : x(0) x0 , x
可得方程（1.9）的定解为
x(t ) e 或 其中
t
( x0 cos d t
0 x0 x
d
0
k m m1 / 3
例1.2 如图所示的系统中，已知ki（i =1，2，3），m, a 和 b，横杆质量不计，求固有频率。
k1
a
m
例1.2图
k2
b
x1
k1 x1
k2 x2
A
k3 x3
x2
k3
解：本题为三自由度系统，但是由于中间横担的质量不 计，因此可利用横担的静力平衡条件消去两个自由度，最终 变为单度系统。设三个弹簧的伸长量为x1、x2、x3，由静力 平衡有：
自由振动为：
x(t ) m1
m1 g sin a 2 gh k k sin t cos t k (m1 m2 ) m1 m2 k m1 m2
3. 阻尼系统的自由振动 实际振动系统在振动过程中，与外界总是有能量交换的， 其中由于摩擦、阻力等会使系统的能量损耗，这些耗能因素 称为阻尼。阻尼对系统的振幅变化有很大的影响，因此不能 忽略。 最简单的阻尼模型为粘性阻尼，它对振系的阻力大小与 振动速度成正比，方向与振动速度相反，如图1.3。应用 Newton定律，系统的振动方程为
4. 等效粘性阻尼
当其它阻尼类型的系统作周期振动时，对阻尼的一种近 似处理方法是，将其化为等效粘性阻尼。 等效原则：令两种阻尼系统作相同的无阻尼简谐振动， 使两者在一个周期内损耗的功相等。 粘性阻尼在一周内损耗的功为
dx cx 2 dt E cx
0
T
c A
应用特征值法，设
x e ，可得对应的特征方程为 2 2 20 0 0
2 2
t
特征值为
1, 2 0 0 1 0 1
为一个无量纲参数，它决定特征值、进而也决定解的
的性态，分别讨论如下：
（1）＞１。这时 为两个实根，振动方程的通解为
解：碰撞后系统的总质量为m1+ m2，设其 偏离平衡位置的振动位移为x (x 斜向上为正)， 则系统的振动方程为：
kx 0 (m1 m2 ) x
再来确定初始条件:
设碰撞完成瞬时为时间零点， 因为碰撞过程中系统位置不变， 所以
x
m1
k
m2
h
a
m1 g sin a x0 k
由冲量定理得： m1v1
d
当 <<１时，阻 尼对振动频率和周期 影响很小，与无阻尼 系统接近，但对幅值 的变化影响却很大。 相邻两次振动的振幅 比值为
A sin
图1.5
xi xi Ae ti T (ti T ) e , 或 T ln xi 1 Ae xi 1
可见，振幅按几何级数缩减。比如， ＝0.05， T0.1＝ 0.314，经过10个周期，振幅将减小到初值得4.3%。