材料力学(单辉组)第四章扭转
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T
ml
⊕
x
扭矩图
o Am B
Tn(x)
(l−x)
20
EX3
√
21
EX4
√
22
4.3-4.5 圆轴的扭转应力、 变形和强度、刚度分析
平面不规则高层建筑结构的扭转问题
加 拿 大 梦 露 大 厦
23
M
M
圆轴扭转切应力
讨论等直圆轴扭转时横截面上的应力 必须从以下三个方面综合分析
几何关系(位移---应变) 本构关系(应力---应变；胡克定理) 静力平衡
第四章 扭转
主 讲人： 张能辉
1
4.1 引言
2
工程实例
3
工程实例
4
工程实例
航空发动机最极端测试 叶片甩出试验，高达3000转每分钟
5
概念
受力特点 两个等值反向力偶矩 分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
变形特点 各横截面绕杆的轴线 发生相对转动
6
扭转变形是指在两端扭 力矩作用下杆件的变形， M 此时称杆件为轴
M
T
M
T
正扭矩
负扭矩
保证无论从哪段计算，扭矩大小和符号均相同
13
以水平轴作为杆件横截面位臵的坐标 垂直轴表示杆件横截面上扭矩的数值 所绘制的图形成为扭矩图 目的：确定最大扭矩Tmax截面所在位臵
对于等截面杆件，最大扭矩所在位臵即 为危险截面(最大切应力所在截面位臵)
14
EX1
传动轴转速n=300转/分， 主动轮输入功率PA=367kW，从动轮B、C及D 的输出功率分别为PB=PC=110kW，PD=147kW 试绘制该轴的扭矩图，
r
ad
D
(R4 r4)
24
回忆轴向拉压应力公式
实验观察-表
均匀变形-几何
理论假设-里
均匀变形-几何
理论推论
Hooke 均匀应力-本构
理论公式-平衡
FN F
AA
25
圆轴扭转切应力
M
几何关系
实验观察-画线-扭转
变形前
变形后
26
表面观察
圆周线大小、间距、形状不变 只是绕轴转动一个角度
并确定最大扭矩Tmax及其所在位臵
B
C
A
主动轮 D
15
解: 主动轮和从动轮的外力偶矩
MA
9549 PA n
11.68103
Nm
MB
MC
9549 PB n
3.50 103
Nm
MD
9549 PD n
4.68103
Nm
方向如图
MB
MC
MA
MD
16
各段扭矩
MB 1 MC 2
MA 3
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m MB T1
T3= −MD= −4.68103 N·m
若扭矩为正，表明与所设 方向相同(扭矩正方向)； 若扭矩为负，表明扭矩与 所设方向相反
MB MC T2
T3
MD
17
绘制扭矩图
MB 1 MC 2
MA 3
A dA T
G d 2dA T
dx A
G
d
dx
圆截面极惯性矩
Ip
2dA
A
d T ----圆轴扭转变形公式
dx GIp
35
切应力公式
G
d
dx
变形公式
d T
dx GIp
T Ip
最大切应力
maxBaidu Nhomakorabea
T Ip /
R
抗扭截面模量
MD
1
2
3
T
7.0103 N·m
最大扭矩
3.5103 N·m
⊕
产生在CA段上
Tmax=7103 (N ·m)
⊖x
4.68103 N·m
18
EX2
水平圆轴AB，长度l
承受均布力偶矩m作用 o
(单位长度的外力偶矩)
Am B
计算轴内扭矩并作图
19
解: 取坐标系如图 截面为x处的扭矩 Tn(x)= m(l −x)
Wp Ip / R
max
T
Wp
36
附录A-2 极惯性矩
37
极惯性矩定义
Ip
2dA,
A
Wp
Ip R
实心圆轴
Ip
2dA
A
R 2 2 d
0
R4 D4
2 32
Wp
Ip R
1
2
R3
D3
16
38
空心圆轴
Ip
R 2 2 d
角速度w 单位： arc/s (弧度/秒)
9
在工程中，功率常用千瓦 PkW (kW) 或 马力 P 给出，角速度用转速 n (转/分钟) 给出，则外力偶矩的计算公式为
M 9549 PkW (N m) n
M 7024 P (N m) n
1 PkW (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
纵线 直线，倾角为g，矩形
平行四边形
基本假设
圆轴横截面始终保持平面，只是绕轴转动一个角度 ——圆轴扭转的平截面假设
27
推论 无轴向变形
Ee (本构关系)
e0
0; 横截面上只有切应力
推论 只有横截面内的变形
T
28
从受扭圆轴中取出楔形体
1
M
29
变形分析- 切应变
1
d
dx 单位长度扭转角/ 扭转变形程度
G
d
dx
在离圆心等远的各点处 切应力均相同---等应力线
d
dx UNKNOWN
32
圆轴扭转切应力
T
T
分力与合力方向一致
33
静力平衡关系
横截面上分布的切应力合力 (主矢)等于零; 切应力关于点O的合力偶 等于该截面上的扭矩T
A dA T
T
T O dA
34
Mn
10
扭转时的内力——扭矩和扭矩图 杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形
在轴内产生反抗扭转变形的内力偶矩T 称为扭矩 扭矩T 的计算仍采用截面法
11
假想截面m-m 将杆件分为两部分 由平衡关系，有
T=M
m
M
M
m
M T
M T
12
扭矩符号的规定
采用右手螺旋法则，四指表示扭矩的转向， 大拇指指向与截面外法线n的方向相同时， 该扭矩为正；反之，规定扭矩为负
d
const dx xx0
圆柱表面角度变化与圆截面上角度变化关系
30
本构关系
由剪切胡克定律
=Gg
考虑
g
d
dx
横截面上半径为 处切应力
Gg
G
d
dx
31
切应力分布特征
方向垂直于半径
(剪切变形在垂直于半径平面内)
大小与 成正比---线性分布
且在圆轴边缘达到最大
任意两横截面间相对转 过的角度称为扭转角
力偶矩称为扭力矩
(扭力偶矩---M)
M
7
4.2 外力偶矩和扭矩
8
外力偶矩计算
工程中传动轴，通常不直接给外力偶矩 数值，而是给出传动轴的功率和转速
设外力偶矩为M，传动轴的功率为P，角
速度为w，则有(理论力学)
MP
w
外力偶矩M 单位：N·m (牛顿〃米) 功率为P 单位： W (瓦)
ml
⊕
x
扭矩图
o Am B
Tn(x)
(l−x)
20
EX3
√
21
EX4
√
22
4.3-4.5 圆轴的扭转应力、 变形和强度、刚度分析
平面不规则高层建筑结构的扭转问题
加 拿 大 梦 露 大 厦
23
M
M
圆轴扭转切应力
讨论等直圆轴扭转时横截面上的应力 必须从以下三个方面综合分析
几何关系(位移---应变) 本构关系(应力---应变；胡克定理) 静力平衡
第四章 扭转
主 讲人： 张能辉
1
4.1 引言
2
工程实例
3
工程实例
4
工程实例
航空发动机最极端测试 叶片甩出试验，高达3000转每分钟
5
概念
受力特点 两个等值反向力偶矩 分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
变形特点 各横截面绕杆的轴线 发生相对转动
6
扭转变形是指在两端扭 力矩作用下杆件的变形， M 此时称杆件为轴
M
T
M
T
正扭矩
负扭矩
保证无论从哪段计算，扭矩大小和符号均相同
13
以水平轴作为杆件横截面位臵的坐标 垂直轴表示杆件横截面上扭矩的数值 所绘制的图形成为扭矩图 目的：确定最大扭矩Tmax截面所在位臵
对于等截面杆件，最大扭矩所在位臵即 为危险截面(最大切应力所在截面位臵)
14
EX1
传动轴转速n=300转/分， 主动轮输入功率PA=367kW，从动轮B、C及D 的输出功率分别为PB=PC=110kW，PD=147kW 试绘制该轴的扭矩图，
r
ad
D
(R4 r4)
24
回忆轴向拉压应力公式
实验观察-表
均匀变形-几何
理论假设-里
均匀变形-几何
理论推论
Hooke 均匀应力-本构
理论公式-平衡
FN F
AA
25
圆轴扭转切应力
M
几何关系
实验观察-画线-扭转
变形前
变形后
26
表面观察
圆周线大小、间距、形状不变 只是绕轴转动一个角度
并确定最大扭矩Tmax及其所在位臵
B
C
A
主动轮 D
15
解: 主动轮和从动轮的外力偶矩
MA
9549 PA n
11.68103
Nm
MB
MC
9549 PB n
3.50 103
Nm
MD
9549 PD n
4.68103
Nm
方向如图
MB
MC
MA
MD
16
各段扭矩
MB 1 MC 2
MA 3
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m MB T1
T3= −MD= −4.68103 N·m
若扭矩为正，表明与所设 方向相同(扭矩正方向)； 若扭矩为负，表明扭矩与 所设方向相反
MB MC T2
T3
MD
17
绘制扭矩图
MB 1 MC 2
MA 3
A dA T
G d 2dA T
dx A
G
d
dx
圆截面极惯性矩
Ip
2dA
A
d T ----圆轴扭转变形公式
dx GIp
35
切应力公式
G
d
dx
变形公式
d T
dx GIp
T Ip
最大切应力
maxBaidu Nhomakorabea
T Ip /
R
抗扭截面模量
MD
1
2
3
T
7.0103 N·m
最大扭矩
3.5103 N·m
⊕
产生在CA段上
Tmax=7103 (N ·m)
⊖x
4.68103 N·m
18
EX2
水平圆轴AB，长度l
承受均布力偶矩m作用 o
(单位长度的外力偶矩)
Am B
计算轴内扭矩并作图
19
解: 取坐标系如图 截面为x处的扭矩 Tn(x)= m(l −x)
Wp Ip / R
max
T
Wp
36
附录A-2 极惯性矩
37
极惯性矩定义
Ip
2dA,
A
Wp
Ip R
实心圆轴
Ip
2dA
A
R 2 2 d
0
R4 D4
2 32
Wp
Ip R
1
2
R3
D3
16
38
空心圆轴
Ip
R 2 2 d
角速度w 单位： arc/s (弧度/秒)
9
在工程中，功率常用千瓦 PkW (kW) 或 马力 P 给出，角速度用转速 n (转/分钟) 给出，则外力偶矩的计算公式为
M 9549 PkW (N m) n
M 7024 P (N m) n
1 PkW (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
纵线 直线，倾角为g，矩形
平行四边形
基本假设
圆轴横截面始终保持平面，只是绕轴转动一个角度 ——圆轴扭转的平截面假设
27
推论 无轴向变形
Ee (本构关系)
e0
0; 横截面上只有切应力
推论 只有横截面内的变形
T
28
从受扭圆轴中取出楔形体
1
M
29
变形分析- 切应变
1
d
dx 单位长度扭转角/ 扭转变形程度
G
d
dx
在离圆心等远的各点处 切应力均相同---等应力线
d
dx UNKNOWN
32
圆轴扭转切应力
T
T
分力与合力方向一致
33
静力平衡关系
横截面上分布的切应力合力 (主矢)等于零; 切应力关于点O的合力偶 等于该截面上的扭矩T
A dA T
T
T O dA
34
Mn
10
扭转时的内力——扭矩和扭矩图 杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形
在轴内产生反抗扭转变形的内力偶矩T 称为扭矩 扭矩T 的计算仍采用截面法
11
假想截面m-m 将杆件分为两部分 由平衡关系，有
T=M
m
M
M
m
M T
M T
12
扭矩符号的规定
采用右手螺旋法则，四指表示扭矩的转向， 大拇指指向与截面外法线n的方向相同时， 该扭矩为正；反之，规定扭矩为负
d
const dx xx0
圆柱表面角度变化与圆截面上角度变化关系
30
本构关系
由剪切胡克定律
=Gg
考虑
g
d
dx
横截面上半径为 处切应力
Gg
G
d
dx
31
切应力分布特征
方向垂直于半径
(剪切变形在垂直于半径平面内)
大小与 成正比---线性分布
且在圆轴边缘达到最大
任意两横截面间相对转 过的角度称为扭转角
力偶矩称为扭力矩
(扭力偶矩---M)
M
7
4.2 外力偶矩和扭矩
8
外力偶矩计算
工程中传动轴，通常不直接给外力偶矩 数值，而是给出传动轴的功率和转速
设外力偶矩为M，传动轴的功率为P，角
速度为w，则有(理论力学)
MP
w
外力偶矩M 单位：N·m (牛顿〃米) 功率为P 单位： W (瓦)