材料力学(单辉组)第四章扭转
材料力学第四章扭转
⊕
○ 1kN.m条件
l1
B l C 2
2kN.m
T 180 ( /m) max GI
⊕
○ 1kN.m
T max180 I d P 32 G
2m
4kN .m
2m
1m
3m
6kN .m
扭矩图
⊕
⊕
_ ○
2kN .m
×
§4–3 薄壁筒扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10
一、实验： 1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②两端施加一对外力偶 m。
×
2.实验后： ①圆周线不变；
②纵向线变成螺旋线。
3.结果： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变， 只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此 结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面
×
例1 画图示杆的扭矩图 3kN.m 1 5kN.m 2 2kN.m A C 1 3kN.m 2 B 2kN.m T2 扭矩图 3kN.m ⊕ 2kN.m
○ -
解： AC段：
m0 m0
T 3 0 ;T 3 kN . m 1 1
BC段：
T1
T 2 0 ;T 2 kN . m 2 2
1. 横截面变形后仍为平面，满足平面假设； 2. 轴向无伸缩，横截面上没有正应力； 3. 纵向线变形后仍为平行。
×
二、等直圆杆扭转横截面上的切应力
a b
o1
o2
A
B
o1
C’
o2
材料力学第四章-扭转
T Ip
最大切应力在截面边缘 其中
2013-9-10
Wt
Ip r
Tmax Tmax Tmax max r I p I p / r Wt
23
max [ ]
注意
1、对阶段轴，要选大的 2、对塑性材料
max
Tmax Wt
max
不是看 Tmax
[ ] (0.5 0.6)[ t ]
T G GI p
最后得 扭转角
0
l
T dx （rad) GI p
Tl *若为等扭矩、等截面 GI p l Ti li *若为阶梯扭矩、阶梯截面 2013-9-10 i 1 GI pi
27
•圆轴扭转的刚度条件
化为单位长度上的扭转角（rad/m)
为保证刚度，要求 ——
T l GI p
单位扭转角的最大值小于许用值
max [ ]
许用值根据重要性确定
见[P102]
2013-9-10 28
例题提示
•例4.4 [P102] 分别按强度、刚度设计直径，然后呢？ •例4.5 [P103] 1、变截面：直径函数 —— 极惯性矩函数 2、扭矩函数 3、变截面、变扭矩，怎么求转角？ 在微分长度上 —— 视它们为常数 然后 —— 积分 4、怎么 积分 ？ —— 变量变换 • 例4.6 [P104] 1、共同工作，变形相同
N H .P . ( H .P .) 0.7355 N H .P . ( kW ) 0.7355 N H .P . T 9549 代入第1式，得 n N H .P . 7024 例4.1[P90] （1）算出外力偶矩 n
所以 （2）外力偶矩要平衡
材料力学第4章扭转
材料力学
出版社 理工分社
下面分析圆轴内任意点的应变。为此，用相邻的两个横截面p—p和q—q从圆 轴上取出微段dx，并放大为如图4.10(a)所示。根据平面假设，q—q截面相 对于p—p截面的扭转角为dφ，半径Oa转到了Oa′。于是，表面方格abcd的ab 边相对于cd边发生了微小的错动，错动的距离为
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(2)圆轴扭转时斜截面上的应力 在圆轴的扭转试验中，可以发现这样一种现象：低碳钢试件的破坏是沿构件 的横截面断开的，断口比较平整、光滑，如图4.14(a)所示；而铸铁试件的 破坏则是沿着与轴线约成45°角的螺旋形曲面断开的，断口呈细小颗粒状， 如图4.14(b)所示。为了解释这种现象，有必要研究圆轴扭转时斜截面上的 应力。
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材料力学
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图4.7
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材料力学
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(3)剪切胡克定律 通过薄壁圆筒的扭转实验可以得到材料在纯剪切应力状态下应力与应变之间 的关系。 试验结果表明，当切应力低于材料的剪切比例极限时，相对扭转角φ与扭矩 T之间成正比。而由图4.6(b)所示的几何关系可求得薄壁圆筒表面上的切应 变γ和相距为l的两端面之间的相对扭转角φ之间的关系为
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图4.11
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材料力学
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3)静力关系
式(4.8)中， 尚未确定，所以需进一步考虑静力关系，才能求出圆轴扭转
时横截面上一点的切应力。
如图4.12所示，在横截面上距圆心O为ρ的地方取微面积dA，其上的微内
力
对圆心O的力矩为
。显然， 遍及整个横截面的积分，
结合式(4.2)和式(4.4)可以看出，切应力与T成正比，而切应变γ又与φ成 正比。所以，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力成 正比(见图4.8)，即
中国民航大学 2024 年研究生招生考试大纲 804材料力学
材料力学 804一、参考教材：《材料力学I、II》，第四版，高等教育出版社，单辉祖编著。
二、课程内容的基本要求：第一章：绪论第二章：轴向拉压应力第三章：轴向拉压变形第四章：扭转第五章：弯曲内力第六章：弯曲应力第七章：弯曲变形第八章：应力分析和强度理论第九章：组合变形第十章：压杆稳定第十一章：能量方法第十二章：动载荷第十三章：应力分析的实验方法三、应该掌握的内容和重点内容第一章绪论材料力学的任务、基本概念，变形体的基本假设，杆件变形的基本形式。
第二章轴向拉压应力1、轴向拉（压）的概念、内力、截面法、轴力的计算和轴力图的画法。
2、轴向拉（压）杆件横截面及斜截面上的应力计算；许用应力；强度条件及应用。
3、材料在拉伸、压缩时的机械性能。
4、剪切面、挤压面的概念及其判定；剪应力和挤压的公式及其计算。
重点：1、轴力及轴力图的画法。
2、拉（压）应力及强度计算。
3、材料的主要性能。
第三章轴向拉压变形1、轴向拉（压）杆件的变形，纵向变形、弹性模量、抗拉刚度、横向变形、泊松比等概念；虎克定律及其应用。
2、桁架节点位移计算。
3、简单静不定问题的计算。
重点：1、轴向拉（压）变形计算。
2、静不定问题的分析和计算。
第四章扭转1、外力扭矩的计算，扭矩、扭矩图。
2、圆轴扭转时横截面上的应力分布和计算；强度条件及其应用。
3、圆轴扭转时变形和刚度计算；材料的扭转破坏实验。
4、扭转静不定问题的计算。
重点：1、圆轴扭转应力和强度计算。
2、圆轴扭转变形和刚度计算。
3、简单扭转静不定的计算。
第五章弯曲内力1、平面弯曲、剪力、弯矩的概念。
2、剪力方程、弯矩方程的列法；剪力图与弯矩图的画法。
3、利用微分关系画剪力图和弯矩图。
重点：剪力图与弯矩图的画法。
第六章弯曲应力1、纯弯曲的概念和平面假设；平面图形的几何性质。
2、弯曲正应力公式及应用；弯曲剪应力计算。
3、弯曲强度计算；提高梁的强度的主要措施。
重点：弯曲正应力分析与强度计算。
第七章弯曲变形1、挠度、转角及其关系；挠曲线微分方程式；积分法、叠加法求梁的变形。
单辉祖材力-4(第四章 扭转)
最大切应力发生在簧丝截 面内侧，其值为:
max max
d 8 FD 1 3 2D d
当D >> d 时, 略去 剪力的影响和簧圈 曲率的影响: 当D / d < 10 时, 或计 算精度要求较高时,须 考虑剪力和簧圈曲率 的影响:
max max
8 FD 3 d
8 FD 4 m 2 3 d 4 m 3
d
mD
§4-5 等直圆轴扭转时的变形•刚度条件
Ⅰ、扭转时的变形 ——两个横截面的相对扭转角 Me Me
a T O1 A b T O2 d b
a
D D' dx
扭转角沿杆长的变化率 d T d x GI p 相距d x 的微段两端截面间 相对扭转角为 T d dx GI p
即该轴满足强度条件。
14
例 实心圆截面轴Ⅰ和空心圆截面轴Ⅱ (= d2/D2 =0.8) 的材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在 两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1 之比以及两轴的重量比。 Me Me Ⅰ (a) l
d
Me D2 (b) l
d1
Ⅱ
Me
2
πd πD 4 W W 1 解 p1 p2 16 16 ： T1 M e 16 M e 1,max Wp1 Wp1 πd13 Me 16 M e T2 2,max 3 1 4 Wp 2 Wp 2 πD2
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩 解 ： M M M M4 1 3 2 1 2 3 A
1
B
3
2
C
3
D
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300 3 150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37 kN m 300
材料力学(全套课件)单辉祖
工程构件的强度、刚度和稳定问题 强 稳刚 度 定度
问 题
工程构件的强度、刚度和稳定问题
1999年1月4日，我国重庆市綦江县 彩虹桥发生垮塌，造成：
强
40人死亡；
度
14人受伤；
问
直接经济损失631万元。
题
法庭以外的问题－力学素质的重要性
－从简单力学问题到高等力学问题。
工程构件的强度、刚度和稳定问题
§1-2 材料力学的基本假设
1. 连续性假设 材料是连续分布的。
2. 均匀性假设 材料是均匀分布的。
3. 各向同性假设 材料在各个方向的力学性能相同。
4. 小变形问题 1）材料力学要研究变形、计算变形，变形 与构件的原始尺寸相比很小。
2）受力分析按照构件的原始尺寸计算。
①
②
αα
A A’
F
F
FN1
亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
F
ac a' c'
F
b' d'
bd
F
m
F
m
F
m
FN
m
FN m
F
m
即
FNAdAA
等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式
FN A
适用条件：
⑴ 上述正应力计算公式对拉（压）杆的横截面 形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平面假设 不成立的某些特定截面, 原则上不宜用上式计算 横截面上的正应力。
材 料 力 学轴
折断 齿轮
齿轮 轴
p
裂纹
材 料 力 学
虽然不折断，但变形过大， 影响正常传动。
材
料 力
P
学
失去原来的直线平衡状态
材料力学(单辉祖)第四章扭转-上海大学2014版
4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
扭转时的内力——扭矩和扭矩图 杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形， 同时在轴内产生反抗扭转变形的内力偶 矩T，称为扭矩 扭矩T 的计算仍采用截面法
4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
假想截面m-m将杆件分 为两部分， 由平衡关系，有
M
m m
M
M T
T=M
T
M
4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
n=300转/分，主动轮输入 功率PA=367kW，从动轮B、C及D的输出 功率分别为PB=PC=110kW，PD=147kW， 试绘制该轴的扭矩图，并确定最大扭矩 Tmax及其所在位置。
B C
A
主动轮
D
4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为
扭转试验和破坏分析
破坏机理 塑性材料：受剪破坏 低钢的抗剪强度低于抗 拉强度
脆性材料：受拉破坏 脆性材料的抗剪强度大 于抗拉强度
45o
轴向拉伸和压缩 0 0 max 0 的破坏分析 0 45 / 2 0 max / 2 拉伸
T
A
dA T
T
O
dA
圆轴扭转的切应力
由于
d G dx
dA T
A
Mn
记
I p dA
2 A
则
d 2 G dA T dx A
称为圆截面的极惯性矩 则
d T dx GI p
----圆轴扭转变形公式
圆轴扭转的切应力
y dy
第4章-扭转
单辉祖:材料力学教程 13
扭转应力分析
几何方面
物理方面
dd' tan ad dd' d d
单辉祖:材料力学教程
G
d dx
dx
d / dx－扭转角变化率
14
G
T [ ] GI p max
圆轴扭转刚度条件
[ ]－单位长度的许用扭转角 一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1 ()/m
注意单位换算:
180 1 rad / m ( )/m π
单辉祖:材料力学教程 32
例
题
例 4-6 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。AC=? 校核轴的刚度
3
取： d 54 mm
单辉祖:材料力学教程 24
2. 确定空心圆轴内、外径
3 πdo Wp 14 16
3
16T π 3 do (1 4) 16
[ ]
16T do 76.3 mm 4 π (1 )[ ]
di do 68.7mm
取：do 76 mm， di 68 mm
解：
1,max
T1 Wp
2,max
T2 Wp
T1 M A
πd 3 Wp 16
16 M A 1,max 63.7MPa 3 πd
单辉祖:材料力学教程
3 d πd o T2 MC Wp 1 4 i do 16 16 M C 2,max 3 74.9MPa 4 πd0 (1 )
材料力学 第四章扭转
(r, ) Gf (r )
T (r, )dA M
A
截面上各点变形的规律：实验观测
合理假设
Page11
连续体的变形协调条件(数学公式)
第四章
扭转
一、试验与假设
1. 实验观测
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。 纵线：倾斜同一角度并保持直线。 2. 扭转平面假设 各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。
T
2M x a
M
A B
2M
x
T
可能危险截面A、B
Page36
第四章 2、总扭转角 T
m 2M a
扭转
(分4段计算)
A B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
2M T x a
2M x a 2 Ma Ma Ma T a 4 dx 0 D D4 D4 D4 d 4 G G G G 32 32 32 32
Page 6
第四章
扭转
扭矩图：扭矩 (T) 随轴线位置(x)变化的图线。 例：画扭矩图。 在AB和BC段分别切开，分别 考察左与右段平衡（设正）
2M
2M
B
M
A
3M
C
AB段： T1 2 M BC段： T2 M
T2 M
T1 2M
M
A
C
T
M
画扭矩图。
注意：扭矩图与受扭轴对齐， 标注正负号。
轴：
以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
材料力学：第4章 扭转
例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮 输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴 的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？
A
B
C
D
I
II
III
I
II
III
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
解： 经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为
mA
9.549
PA n
9.549
10 300
318.3(N
m)
mB
9.549
PB n
9549 2 300
63.7(N m)
mC 95.5(N m),
M D 159.2(N m),
A
B
C
D
I
II
III
I
II
III
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
mB
I
I M n1
mB
MC
III
mn3
m2
9550 120
557 N .M
,m3ຫໍສະໝຸດ 9550360185.7
max(E)= m1
Wp1
1114
d 3
1114
(0.07)3
16
16
= 16.54 MPa
m2
max(H)=
= 22.69 MPa
d
dx
G
G
d
dx
Mn
IP
dA M n
A
G
d
dx
A
2dA
M
n
d MT n
dx GIP
Ip 截面的极惯性矩
(3)受扭圆轴横截面上的剪 应力计算公式
材料力学：第四章 扭转
回顾: 极惯性矩、抗扭截面系数的计算
抗扭截面系数 极惯性矩
薄壁圆管 扭转切应力
回顾: 圆轴扭转强度条件 & 应力计算公式
薄壁圆管扭 转切应力
圆轴扭转 强度条件
max
[ ] u
n
扭转极限应力τu =
扭转屈服应力ts (塑性材料) 扭转强度极限tb (脆性材料)
§5 圆轴扭转变形与刚度计算
单辉祖：材料力学Ⅰ
14
例题
例 2-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图 解：用截断法,列力偶
矩平衡方程,和x轴正向 相同者取正 (1) 1-1截面
单辉祖：材料力学Ⅰ
(2) 2-2截面 T2 MC 115 N m
(3) 画扭矩图
15
§3 圆轴扭转横截面上的应力
单辉祖：材料力学Ⅰ
64
薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆
截面中心线
－截面壁厚平分线
薄壁杆
－壁厚<<截面中心线 长度的杆件
闭口薄壁杆
－截面中心线为封闭曲线的薄壁杆
开口薄壁杆
－截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
闭口薄壁杆扭转应力与变形
假设 切应力沿壁厚均匀分布, 并平行于中心线切线 应力公式
单辉祖：材料力学Ⅰ
62
例题
例 7-1 试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
2. 开口薄壁圆管
3. 抗扭性能比较
单辉祖：材料力闭学Ⅰ口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好
63
§8 薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆 闭口薄壁杆扭转应力与变形 开口薄壁杆扭转简介 薄壁杆合理截面形状 例题
材料力学课件-第14讲 第四章 扭转(4)
Navier (France)
对非圆截面杆是否正确？
St.Venant 研究了扭转，梁弯曲问题，提出了 St.Venant原理。
1855年，提出非圆截面问题的正确解法。
St.Venant (France)
错误分析：受扭矩形杆角点切应力问题
角点切应力为零
边缘切应力平行于周边
?
根据 ，角点切应力最大，但是根据切应力互等定理，我们发现：
对非圆截面杆，平截面假设不再适用。
二、矩形截面轴的扭转（弹性理论解）
边缘处的切应力平行于周边,角点处的切应力为零。 在长边中点，短边中点 也相当大。
max
1
h
b
max
1
（ 见表4－1）
狭长矩形截面轴:
接近1／３
h－中心线总长
三、椭圆等非圆截面轴扭转
的计算公式见附录D。
例1：试比较材料相同，长度与扭矩T相等的圆形与正方形截面轴的最大扭转切应力与扭转变形：(1)两轴横截面积相等， (2)圆刚好内切于正方形。
解：1、变形 协调条件
2、装配扭力 偶矩
6、螺栓的切应力
3、 关系
4、装配扭力 偶矩解答
5、轴最大切应力
例3: 管和轴两端由刚性圆盘连接，求管和轴的内力。
问题：
＊对应拉压静不定问题是什么？
＊取什么为未知量（几个未知量）？
＊变形协调方程怎么列？
第四章 扭转(4)
第十四讲知识点 简单扭转静不定问题 一类拉压与扭转静不定问题的对应关系 非圆截面杆件的扭转 自由扭转与限制扭转 矩形截面杆件的扭转 椭圆形截面杆件的扭转
某些拉压与扭转静不定问题对比
力电磁热等各类自然现象内部及它们之间在支配方程方面都存在许多惊人的一致，认识这些数学本质规律的一致，对科学研究和工程实践有重要意义。
材料力学答案单辉祖版全部答案
第二章轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。
题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。
图2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。
图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。
题2-2图(a)解：由图2-2a(1)可知，qxqaxF-=2)(N轴力图如图2-2a(2)所示，qaF2m ax,N=图2-2a(b)解：由图2-2b(2)可知，qaF=RqaFxF==R1N)(22R2N2)()(qxqaaxqFxF-=--=轴力图如图2-2b(2)所示，qa F =m ax N,图2-2b2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A =500mm 2，载荷F =50kN 。
试求图示斜截面m -m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。
题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为100MPa Pa 1000.1m10500N10508263=⨯=⨯⨯==－A F σ 斜截面m -m 的方位角，50-=α故有MPa 3.41)50(cos MPa 100cos 22=-⋅==ασσαMPa 2.49)100sin(MPa 502sin 2-=-⋅== αστα杆内的最大正应力与最大切应力分别为MPa 100max ==σσMPa 502max ==στ 2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。
试确定材料的弹性模量E 、比例极限p σ、屈服极限s σ、强度极限b σ与伸长率δ，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。
题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。
220GPa Pa 102200.001Pa10220ΔΔ96=⨯=⨯≈=εσEMPa 220p ≈σ, MPa 240s ≈σMPa 440b ≈σ, %7.29≈δ该材料属于塑性材料。
2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。
若杆径d =10mm ，杆长 l =200mm ，杆端承受轴向拉力F = 20kN 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。
材料力学课件 第四章扭转
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
材料力学-第4章 扭转
低炭钢：抗压>抗拉>抗剪强度
脆性材料：受拉破坏
铸铁：抗压>抗剪>抗拉强度
45o
38
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转破坏与强度条件
从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸 铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力
因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力 进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和 横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯 上仍按最大剪应力进行强度计算
扭转圆轴不同平面上的应力分布
切应变：
d
dx
切应力： ()
G
G
d
dx
O
dx
O’
A
B
C
D
max
25
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
G
d
dx
• 切应力方向垂直于半径（由于剪切变形发生 在垂直于半径的平面内）
• 圆轴截面上的切应力与 成正比
max
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功 率和转速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度 为w，则有（理论力学）
P
Me w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
角速度w 单位：arc/s (弧度/秒)
9
材料力学－第4章 扭转
T WP
R
其中：
WP
d3
16
称为抗扭截面系数
30
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
实心圆轴好？空心圆轴好？
实心圆轴，靠近圆心部分面积上切应 力极小。单位面积上承载的扭矩远小于 离圆心较远处。因此，工程上受扭圆轴 多采用空心圆轴
《材料力学》第4章 扭转
第4章 扭转§4-1 概述工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。
扭转有如下特点：1．受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶——扭转力偶。
其相应内力分量称为扭矩。
2．变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。
若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量，则这种受力形式称为纯扭转。
§4-2 外力偶矩与扭矩的计算 扭矩图1．外力偶矩 m如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率mN和转速n 由下列关系计算得到的。
nN m 9550= (4-1a) 如轴在m 作用下匀速转动φ角，则力偶做功为φm A =，由功率定义ωφm dtd m dt dA N =⋅==。
角速度ω与转速n （单位为转/分，即r/min ）。
关系为60/2n πω=（单位为弧度/秒，rad/s ）。
由于1kW=1000N ·m/s ，N 千瓦的功率相当于每秒钟作功N W ×=1000，单位为N ·m ；而外力偶在1秒钟内所作的功为m n 2m W ⋅=⋅=πω/60 （N ·m ）由于二者作的功应该相等，则有m n N ⋅=×π21000/60由此便得（4-1）式。
式中：N —传递功率（千瓦，kW ） —转速（r/min ）n 如果传递功率单位是马力(PS)，由于1PS=735.5 N ·m/s ，则有nN m 7024=（N ·m ） (4-1b) 式中：N —传递功率（马力，PS ）n —转速（r/min ）2．扭矩T求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转内力——扭矩。
如图4-4所示圆轴，由m 0=∑x m ，从而可得A —A截面上扭矩T−m T ， m T =0=T 称为截面A —A 上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，T 矢量离开截面为正，指向截面为负。
《材料力学》第四章-扭转精选全文完整版
精选全文完整版第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
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9
在工程中，功率常用千瓦 PkW (kW) 或 马力 P 给出，角速度用转速 n (转/分钟) 给出，则外力偶矩的计算公式为
M 9549 PkW (N m) n
M 7024 P (N m) n
1 PkW (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
第四章 扭转
主 讲人： 张能辉
1
4.1 引言
2
工程实例
3
工程实例
4
工程实例
航空发动机最极端测试 叶片甩出试验，高达3000转每分钟
5
概念
受力特点 两个等值反向力偶矩 分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
变形特点 各横截面绕杆的轴线 发生相对转动
6
扭转变形是指在两端扭 力矩作用下杆件的变形， M 此时称杆件为轴
M
T
M
T
正扭矩
负扭矩
保证无论从哪段计算，扭矩大小和符号均相同
13
以水平轴作为杆件横截面位臵的坐标 垂直轴表示杆件横截面上扭矩的数值 所绘制的图形成为扭矩图 目的：确定最大扭矩Tmax截面所在位臵
对于等截面杆件，最大扭矩所在位臵即 为危险截面(最大切应力所在截面位臵)
14
EX1
传动轴转速n=300转/分， 主动轮输入功率PA=367kW，从动轮B、C及D 的输出功率分别为PB=PC=110kW，PD=147kW 试绘制该轴的扭矩图，
G
d
dx
在离圆心等远的各点处 切应力均相同---等应力线
d
dx UNKNOWN
32
圆轴扭转切应力
T
T
分力与合力方向一致
33
静力平衡关系
横截面上分布的切应力合力 (主矢)等于零; 切应力关于点O的合力偶 等于该截面上的扭矩T
A dA T
T
T O dA
34
Mn
T
ml
⊕
x
扭矩图
o Am B
Tn(x)
(l−x)
20
EX3
√
21
EX4
√
22
4.3-4.5 圆轴的扭转应力、 变形和强度、刚度分析
平面不规则高层建筑结构的扭转问题
加 拿 大 梦 露 大 厦
23
M
M
圆轴扭转切应力
讨论等直圆轴扭转时横截面上的应力 必须从以下三个方面综合分析
几何关系(位移---应变) 本构关系(应力---应变；胡克定理) 静力平衡
10
扭转时的内力——扭矩和扭矩图 杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形
在轴内产生反抗扭转变形的内力偶矩T 称为扭矩 扭矩T 的计算仍采用截面法
11
假想截面m-m 将杆件分为两部分 由平衡关系，有
T=M
m
M
M
m
M T
M T
12
扭矩符号的规定
采用右手螺旋法则，四指表示扭矩的转向， 大拇指指向与截面外法线n的方向相同时， 该扭矩为正；反之，规定扭矩为负
24
回忆轴向拉压应力公式
实验观察-表
均匀变形-几何
理论假设-里
均匀变形-几何
理论推论
Hooke 均匀应力-本构
理论公式-平衡
FN F
AA
25
圆轴扭转切应力
M
几何关系
实验观察-画线-扭转
变形前
变形后
26
表面观察
圆周线大小、间距、形状不变 只是绕轴转动一个角度
r
ad
D
(R4 r4)
MA 3
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m MB T1
T3= −MD= −4.68103 N·m
若扭矩为正，表明与所设 方向相同(扭矩正方向)； 若扭矩为负，表明扭矩与 所设方向相反
MB MC T2
T3
MD
17
绘制扭矩图
Hale Waihona Puke MB 1 MC 2MA 3
并确定最大扭矩Tmax及其所在位臵
B
C
A
主动轮 D
15
解: 主动轮和从动轮的外力偶矩
MA
9549 PA n
11.68103
Nm
MB
MC
9549 PB n
3.50 103
Nm
MD
9549 PD n
4.68103
Nm
方向如图
MB
MC
MA
MD
16
各段扭矩
MB 1 MC 2
A dA T
G d 2dA T
dx A
G
d
dx
圆截面极惯性矩
Ip
2dA
A
d T ----圆轴扭转变形公式
dx GIp
35
切应力公式
G
d
dx
变形公式
d T
dx GIp
T Ip
最大切应力
max
T Ip /
R
抗扭截面模量
d
const dx xx0
圆柱表面角度变化与圆截面上角度变化关系
30
本构关系
由剪切胡克定律
=Gg
考虑
g
d
dx
横截面上半径为 处切应力
Gg
G
d
dx
31
切应力分布特征
方向垂直于半径
(剪切变形在垂直于半径平面内)
大小与 成正比---线性分布
且在圆轴边缘达到最大
Wp Ip / R
max
T
Wp
36
附录A-2 极惯性矩
37
极惯性矩定义
Ip
2dA,
A
Wp
Ip R
实心圆轴
Ip
2dA
A
R 2 2 d
0
R4 D4
2 32
Wp
Ip R
1
2
R3
D3
16
38
空心圆轴
Ip
R 2 2 d
任意两横截面间相对转 过的角度称为扭转角
力偶矩称为扭力矩
(扭力偶矩---M)
M
7
4.2 外力偶矩和扭矩
8
外力偶矩计算
工程中传动轴，通常不直接给外力偶矩 数值，而是给出传动轴的功率和转速
设外力偶矩为M，传动轴的功率为P，角
速度为w，则有(理论力学)
MP
w
外力偶矩M 单位：N·m (牛顿〃米) 功率为P 单位： W (瓦)
纵线 直线，倾角为g，矩形
平行四边形
基本假设
圆轴横截面始终保持平面，只是绕轴转动一个角度 ——圆轴扭转的平截面假设
27
推论 无轴向变形
Ee (本构关系)
e0
0; 横截面上只有切应力
推论 只有横截面内的变形
T
28
从受扭圆轴中取出楔形体
1
M
29
变形分析- 切应变
1
d
dx 单位长度扭转角/ 扭转变形程度
MD
1
2
3
T
7.0103 N·m
最大扭矩
3.5103 N·m
⊕
产生在CA段上
Tmax=7103 (N ·m)
⊖x
4.68103 N·m
18
EX2
水平圆轴AB，长度l
承受均布力偶矩m作用 o
(单位长度的外力偶矩)
Am B
计算轴内扭矩并作图
19
解: 取坐标系如图 截面为x处的扭矩 Tn(x)= m(l −x)