九年级数学 【学案】比例线段

九年级数学比例线段
学习目标：
1.学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用.
2.掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值.
3.了解黄金分割的意义.
学习重点：比例线段的概念及性质.
学习难点：黄金分割的运用.
一、知识链接
1 .已知线段AB和CD的长度分别是2cm,6cm,则AB和CD的比是_______,表示为_______.
2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？
二、新知预习
3.观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？
如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是a、b，则可得
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例.
可知图中____，____，____，____是成比例线段，____，____，____，____不是成比例线段.
三、自学自测
1.已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？
(1) a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.
四、我的疑惑
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一、要点探究
探究点1：成比例线段
例1：下列四组线段中，是成比例线段的是（）
A.3cm，4cm，5cm，6cm
B.4cm，8cm，3cm，5c m
C.5cm，15cm，2cm，6cm
D.8cm，4cm，1cm，3cm
【归纳总结】判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.
【针对训练】
1.已知：四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm. （1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；
（2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.
2.在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是 m.
思路分析：根据比例尺=图上距离/实际距离，列方程求解.
探究点2：比例的性质
（一）比例的基本性质
问题1：如果a,b,c,d四个数满足,那么ad和bc相等吗？并说明理由答：________. 理由如下：
∵b≠0，d≠0，∴bd_______0.
∴在等式两边同时乘以bd，得____________.
即若，则ad=bc.
问题2：试说出问题1中结论的逆命题，它是真命题吗？如何证明？逆命题是：如果ad=bc,那么_______.
请仿照问题1证明：
【归纳】比例的基本性质：
如果ad=bc,那么________(b,d≠0).
例2：已知a＋3b2b＝72，求ab的值.
解：解法1：由比例的基本性质，
_________.
∴a＝____b，∴ab＝____.
解法2：(倒数法)由a＋3b2b＝72，得________＝7，
∴____________，∴ab＝_______.
【归纳总结】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.
（二）等比的性质
（1）我们知道，由（2）试猜想：
并证明你的猜想.
【针对训练】
1.已知a：b：c＝3：4：5，求2a－3b＋ca＋b的值.
2.已知ab＝cd＝ef＝2，且b＋d＋f≠0，求a－2c＋3eb－2d＋3f的值.
3.若a，b，c都是不等于零的数，且a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k，求k
的值.
探究点3：黄金分割
问题：
1.如图，在五角星图案中，用刻度尺分别测量线段AC、BC的程度，然后计算，它们的值相等吗？
2.已知线段AB的长度为1个单位，在线段AB上找一点C，使较短的线段BC与较长的线段AC的比等于AC与原线段的比，即使成立，求此时线段AC的长.
3.你能在线段上画出点C的大概位置吗？这样的点有几个？
【归纳】在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，AC/AB称为黄金分割点.
例3：已知M是线段AB的黄金分割点，MA是被分线段AB中较长的线段，且MA＝5－1，求原线段AB的长.
【归纳总结】把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.
【针对训练】
1.已知线段AB＝6，点C为线段AB的黄金分割点，求下列各式的值：（1）AC－BC；（2）AC·BC.
2.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为
0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
二、课堂小结
比例线段内容运用策略
线段的比在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，判断四条线段是否成比例，
首先要将线段的单位同一，然后按照从小到大的顺序排列，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.
比例的性
质①如果，那么________; ②如果ad=bc，那么________; ③等比的性质：____________. 把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.
黄金分割①一条线段的的黄金分割点有___个；②黄金分割比为
__________. 如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则
AC=______AB，BC=_______AB.
1.下列各组数中一定成比例的是( )
A.2，3，4，5.
B.-1，2，-2，4.
C.-2, 1, 2，0.
D.a，2b，c，2d.
2.已知一个比例式的比例外项为m，n，比例内项为p，q，则下面所给的比例式正确的是( )
A. m：n=p：q
B.m：p=n：q.
C.m：q=n：p
D.m：p=q：n.
3.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则AC＝ ( )
A．5－1 B．3－5 C．5－12 D．5－1或3－5
4.已知线段x＝12cm，y＝4cm.线段x和y的比例中项为a，则a＝
________cm.
5.已知三条线段的长度分别为1cm，2c m，2cm，请你再给出一条线段，使得这四条线段能够组成一个比例式．
6.已知a3＝b4＝c5≠0. (1)若a＋b＋c＝24，求a，b，c的值；(2)求2a－3b＋ca的值．
7..如图，已知线段AB.
(1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝12AB.
(2)连结AD，在DA上截取DE＝DB.
(3)在AB上截取AC＝AE.
请你根据以上作法，证明点C是线段AB的黄金分割点．
当堂检测参考答案：
1.B
2.D
3.D
4.43
5.所给的线段长为x cm，则有
①x1＝22，x＝22；②1x＝22，x＝2；
③12＝2x，x＝22故再给出的一条线段长应为22cm或2cm或22cm.
6. (1)设a3＝b4＝c5＝k(k≠0)，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
所以a＋b＋c＝3k＋4k＋5k＝12k＝24，
解得k＝2.
所以a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10.
(2)由(1)得a＝3k，b＝4k，c＝5k，
所以2a－3b＋ca＝－k3k＝－13.
7.设AB＝2x，则BD＝DE＝x，根据勾股定理，得AD＝AB2＋BD2＝（2x）2＋x2＝5x，则AC＝AE＝5x－x＝(5－1)x.
∵ACAB＝5－12，
∴点C是线段AB的黄金分割点．。