§5-5 一阶电路的零输入响应
一阶电路的响应测试实验报告
一阶电路的响应测试实验报告一、实验目的本次实验的主要目的是深入理解一阶电路的响应特性，包括零输入响应、零状态响应和全响应，并通过实际测量和数据分析来验证相关理论知识。
二、实验原理一阶电路是指只含有一个储能元件（电感或电容）的线性电路。
在一阶电路中，根据电路的初始状态和外加激励的不同，可以产生不同的响应。
零输入响应是指在没有外加激励的情况下，仅由电路的初始储能所引起的响应。
对于由电阻和电容组成的一阶 RC 电路，当电容初始电压为＼（U_0\），放电过程中电容电压＼（u_C(t)＼）随时间的变化规律为＼（u_C(t) ＝ U_0 e^｛＼frac{t}｛RC}｝＼）。
零状态响应是指在电路初始储能为零的情况下，仅由外加激励所引起的响应。
对于一阶 RC 电路，在充电过程中，电容电压＼（u_C(t)＼）随时间的变化规律为＼（u_C(t) ＝ U(1 e^｛＼frac{t}｛RC}｝）＼），其中＼（U\）为外加电源的电压。
全响应则是电路的初始储能和外加激励共同作用所产生的响应，可以看作零输入响应和零状态响应的叠加。
三、实验设备与器材1、示波器2、信号发生器3、电阻、电容4、实验面包板5、导线若干四、实验步骤1、按照实验电路图在面包板上搭建一阶 RC 电路，选择合适的电阻值＼（R\）和电容值＼（C\）。
2、首先进行零输入响应测试。
给电容充电至一定电压＼（U_0\），然后断开电源，用示波器观察并记录电容电压＼（u_C(t)＼）随时间的变化曲线。
3、接着进行零状态响应测试。
将电容放电至零初始状态，然后接通电源，用示波器观察并记录电容电压＼（u_C(t)＼）随时间的上升曲线。
4、最后进行全响应测试。
给电容充电至某一初始电压，然后接通电源，观察并记录电容电压＼（u_C(t)＼）的变化曲线。
五、实验数据记录与处理1、零输入响应记录的电容电压下降曲线显示，在初始时刻电容电压为＼（U_0 ＝ 5V\），经过一段时间后，电压逐渐下降。
一阶电路的零输入响应
dt
50 1 e1500t 0.05 1500 e1500t
50 25e1500tV
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§10.4 一阶电路的全响应 一、全响应的分解
全响应：电路中输入激励和储能元件的储能共同产生的响应。
R
+
+ uR – i
–US
C
uC 0 U0
电路方程
ui US
+u US-U0 C
一、RC电路的零输入响应
12 i
uC i
特征根
p
1
+ U0
—
R0
+ C uC
—
+ R uR
—
U0
U0
R
uC
i
0
RC
t
uC Ae RC t 0
确定积分常数
t
uC 0 U0
uC 0 U0
电路方程
uR uC 0
电压与电流的关系
u R iR
电路方程
RC
duC dt
uC
0
t＞0
通解
uC Aept
二、全响应的分解
1.全响应可分解为稳态分量和瞬态分量。
t
uC = uC′+ uC″ = US + （U0 - US）e
τ
稳态分量 瞬态分量
强制分量 自由分量
2.全响应可分解为零输入响应和零状态响应。
t
t
uc = uc1 + uc2 = U0e τ + US（1-e τ ）
零输入响应 零状态响应
uC US
+ uR –
uR uC i
+
R+i
(电路分析)一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
电路 正弦激励下一阶电路的响应
f 2 (t ) y f 2 (t )
时不变电路的延时不变性
f (t t 0 ) y f (t t 0 )
杜阿密尔积分(叠加积分): 适用于f(t)为解析表示式时计算电路的零 t 状态响应。
y f (t ) f (0) g (t ) f ( )g (t )d
arctan RC
Um US 1 (RC )
2
4
uC (t ) Ke st Um sin( t )
s 1 1 RC
uS
K U0 U m sin
arctan RC
Um US 1 (RC )
2
求得全响应
uC (t ) (U 0 U m sin )e
duc 1 1 uc U s sin t dt RC RC
uS
则
齐次解: 特解: 完全解:
uCh (t ) Ke uCp (t ) Um sin( t )
st
uC (t ) uCh (t ) uCp (t )
Ke st Um sin( t )
s 1 1 RC
(t )
C
uC
–
uC (0-)=0
线性电路的线性性质
1 RC i(t ) e (t ) R
t
如果
则 如果
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 y f 1 (t ) a2 y f 2 (t )
f (t ) y f (t )
则
f1 (t ) y f 1 (t )
iL
U (1 e R
S
Rt L
)
(t0)
16
实验五RC一阶电路的零输入响应和零状态响应ppt
实验操作流程
3. 打开电源，使电路正常工作，观察并记录电压表和电流表的读数，直到电容充电完毕。
4. 关闭电源，记录关闭时刻的电流和电压值，作为零输入响应的起始状态。
实验操作流程
零状态响应 1. 将电容放电至零电荷状态，确保电容两端的电压为零。
2. 将电源、电阻按照正确的极性连接在实验线路板上，确保连接牢固。
实验设备介绍
电阻
阻值为已知的定值 电阻，用于构成RC 电路。
电流表和电压表
用于测量电路中的 电流和电压。
电源
提供稳定的直流电 源，用于给RC电路 供电。
电容
已知容值的电解电 容，用于RC电路。
实验线路板
提供电路连接的接 口和固定装置。
实验操作流程
零输入响应
1. 将电源、电阻、电容按照正确的极性连接在实验线路板上，确保连接 牢固。
在RC一阶电路中，当电路的初始状态为零 时，输入信号引起的响应被称为零状态响应。 通过给电路施加不同频率和幅值的正弦波信 号，我们观察到随着频率的增加，响应的幅 值减小，相位滞后增大。这一结果表明， RC电路对于不同频率的输入信号具有不同 的响应特性。
结论总结
RC一阶电路的零输入响应表现 为电容的放电过程，电压随时间
03
在数字电路中，RC一阶 电路可以用于时钟信号 的生成和整形。
04
在控制系统中，RC一阶 电路可以用于控制系统 的稳定性分析和设计。
入信 号时，电路中由于储能元件（如电感 或电容）的能量交换所产生的响应。
在RC一阶电路中，零输入响应表现为 电容上的电压或电流的衰减过程。
RC电路在电子工程、电路分析 和控制系统等领域有广泛应用。
一阶电路的全响应与三要素
§5.4 一阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。
本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。
根据KVL ，此时电路方程可表示为：C u图 5-19 一阶RC 电路的全响应S C CU u tu RC=+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+令方程（5-9）的通解为 C CC u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则S CU u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τtCAe u -=''。
其中RC =τ为电路的时间常数，所以有τtS C AeU u -+=将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0所以电容电压最终可表示为τtS S c e U U U u --+=)(0 （5-20）电容充电电流为etS C R U U t u C i τ--==0d d这就是一阶RC 电路的全响应。
图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。
(a) (b)图5-20C u ，i 的波形图将式（5-20）重新调整后，得)1(0ττtS tC e U eU u ---+=从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。
显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
一阶电路的零状态响应
零状态响应是在动态元件零初始条件(即初始储能为零) 下，由外施激励产生的响应。
2006-1-1
！
2
1.1 RC串联零状态电路(1)
图11.17为RC串联电路，单刀双掷开关S原来在1处时，电路已 经处于稳定状态。此时，vC(0−) = 0。
当t = 0时，开关S由1掷向2处。此时直流电压源VS对电容进行 充电，其等效电路如图11.18所示。根据换路定理可知：vC(0+) = vC(0−) = 0。又根据基尔霍夫电压定律列写电压方程有
vC + Ri = VS(t > 0)
其中i是电容的充电电流，由于与电容电压vC关联，因此存在以
下关系
S t=0 R
R
2
1
i
+ + + +
VS −
vC −C
VS −
vC −C
图11.17 RC串联零输入电路图
图11.18 t > 0时的等效电路图
2006-1-1
！
3
1.1 RC串联零状态电路(2)
将得到
RC dvC dt
vC
VS
(t > 0)
(11.20)
这是一阶线性常系数非齐次微分方程。其全解分别由特解和通解组成，即
vC = vCp + vCh
若令该方程的特解为vCp = A (t > 0)。代入式(11.20)，知A = VS，则得到特解 为
若令该方程的通解为
vCp = VS (t > 0)
这一充电过程的速度仍然取决于时间常数τ = RC，τ越大，vC的指数项衰
减越慢，充电过程就越长。但正如上节所述，一般经过4τ的时间之后，电容电
5-5零输入响应与零状态响应的再理解
“零输入响应”和“零状态响应”分别是由什么原因产生的?一阶电路。
若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应，称为零输入响应。
反之，电路的初始储能为零，仅由激励引起的响应为零状态响应。
动态电路，电源、电感或电容度的初始储能均能作问为电路的激励引起响应。
全响应可以看成是零输入与零状态的相加。
1、零输入响应,是研究没有激励源作用答下,但L,C一开始有能量储存,电路中LC,RC回路的版电路状态的时权间演化。
2、零状态响应,是研究电路中一开始L,C原件没有储存能量,然后在激励源作用下的电路参数的时间演化。
3、两个效应叠加起来,就可以处理L,C一开始有能量力储存,然后又有激励源作用下的电路参数的时间演化。
一阶电路。
若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应百，称为零输入响应。
反之，电路的初始储能为零，仅由激励引起的响应为零状态响应。
动态电路，电源、电感或电容度的初始储能均能作问为电路的激励引起响应。
全响应可以看成是零输入与零状态的相加。
1、零输入响应,是研究没有激励源作用答下,但L,C一开始有能量储存,电路中LC,RC回路的版电路状态的时权间演化。
2、零状态响应,是研究电路中一开始L,C原件没有储存能量,然后在激励源作用下的电路参数的时间演化。
3、两个效应叠加起来,就可以处理L,C一开始有能量力储存,然后又有激励源作用下的电路参数的时间演化。
一、零输入响应----没有外部激励源，电路的响应是由电路中的储能元件作为激励源而产生的响应当系统的输入为小于等于0时，即当输入端小于等于t=0时，输出端的响应叫做零输入响应【输入为0，输出不一定为0】。
零输入响应是指当系统的输入为0时系统的输出响应并不为0，这个响应叫做零输入响应【即输入为0时输出函数就是零状态响应】二、零状态响应----电路中的储能元件的储能为0，电路中的响应只由外部激励源的作用而产生的响应。
零状态响应非零初始条件下的零状态响应=系统在t=0时的输入时的输出响应- 初始条件下的输出响应，有输入信号时系统的输出响应，这个响应只与系统有关，与输入无关线性系统表达式的中不包括常数项，如果包括常数项，。
一阶电路的零输入响应
3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输 入响应的线性关系称为零线性。
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应，
其形式表示为：
f (t) f (0) et
t 0
式中 f (0) 为变量的初始值 uC (0 ) 或 iL (0 )
为时间常数 RC （电容）
L R
（电感）
一、RC电路的零输入响应
如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0 时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。
0
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程：
S 1 0
特征根
RC
1
S
RC
uc (t )
Ae st
1t
Ae RC (t
0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1t
uc (t ) U0e RC (t 0)
i(t ) C duc
U0
1t
e RC (t
0)
dt
R
i(t)
E
uL(t)的变化规律。
R0 K R
iL
+ L uL
-
(a) 分析：t<0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0
t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）
①
换路后（ t≧0），由KVL有：
L diL dt
RiL (t ) 0
即：
diL dt
R L
iL (t )
0
特征根：
5.5 一阶电路的全响应和三要素法
+
24V –
S(t=0)
4 iL 0.6H
解 （1）第一种方法 iL (0 ) iL (0- ) 24 / 4 6A L R 0.6 12 1 20s
零输入响应： iL (t) 6e-20tA
第8 页
8
+
24V –
S(t=0)
4 iL 0.6H
iL() 24 / 4+8 2A
全解为： uC(t) = uC' + uC"
特解 uC' = US t -
通解 uC Ae
由初始值定A uC (0-)=U0
uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US
-t
t
-
uC US Ae US (U0 - US)e t 0
= RC
第2 页
（3）全响应的两种分解方式
uC 2
0.667 0
t
第 16 页
例题 t=0时 ,开关闭合，求t >0后的iL 、 i1 、 i2
i1 +
10V –
5
5
iL
0.5H
i2 +
20V
–
解 iL 0 iL 0- 10 / 5 2A
iL 10 / 5 20 / 5 6A
L R 0.5 5 / /5 0.2s
i() 10 / 2 5A
u =0
i t 5 - 3.74e-2t-0.2 A
S1(t=0) 2 i u
+ 10V
-
3
S2(t=0.2s)
1
u
t
0
7.48
-
0
-
e
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应仅含一个独立储能元件的电路称为一阶电路。
当电路中没有激励，仅由储能元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。
6.3.1 RC 电路的零输入响应如图 6.5所示电路，开关S 原在位置1，电路已达稳态，电压源电压为0U ，则0)0(U u C =-。
在0=t 时刻，S 由1切换至2，下面推求零输入响应)(t u C 、)(t i 。
C图6.5 RC 零输入响应电路当0>t ，S 切换至2后，由KVL 得：0=+C u Ri将dtdu Ci C=代入上式得： 0=+C Cu dtdu RC（6-8） （6-8）是一个一阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程为：01=+S RC 特征根为：RCs 1-= 齐次方程的通解为：RCt stC AeAe t u -==)( （6-9）（6-9）中的积分常数A 由初始条件确定。
由换路定则得： 0)0()0(U u u C C ==-+，代入（6-9），则有：0)0(U A u C ==+于是：RCtC eU t u -=0)( （6-10）， RC tC e RU dt du C t i --==0)(（6-11）（6-11）中的负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反。
i 还可以这样求，即：RC tC e RU R u i --=-=0图6.6绘出了)(t u C 、)(t i 的曲线图，它们都按指数规律衰减。
图6.6 )(t u C 、)(t i 的曲线图在（6-10）和（6-11）中，含RC =τ， τ具有时间的量纲，因而称为电路的时间常数。
当C 为1法拉(F )，R 为1欧姆)(Ω时， τ为1秒 (s )。
时间常数τ的大小反映了过渡过程进展的快慢。
τ越大，过渡过程维持的时间越长、过渡过程进行得越慢；τ越小，过渡过程维持的时间越短、过渡过程进行得越快。
下面以电容电压C u 的衰减曲线为例，介绍求时间常数τ的图解法。
在图6.7中，从衰减曲线上任一点P 作切线，它与t 轴的交点为Q ，从P 点作t 轴的垂直线，与t 轴的交点为P ’，则：τταττ==-='='--t tC C e U eU dt du u tg P P Q P 001通过实验得出C u 或i 的衰减曲线，再由图解法求出τ，这在实际工作中是一种有用的方法。
一阶电路的零输入响应
202J
5000μJ
电阻耗能
WR
∞Ri2dt
0
t 250103 (80et )2dt 800μJ
0
(5800 5000) μJ
返回 上页 下页
2. RL电路的零输入响应
iL (0 )
iL (0 )
US R1
R
I0
L diL dt
RiL
0
t 0
+ R1 US
-
特征方程 Lp+R=0
0
∞
0 (I0e
t L/R
)2
Rdt
I
2 0
R
∞
e
2t
L/ Rdt
0
I
2 0
R(
L/R 2
e
2t RC
∞
)
0
1 2
LI02
返回 上页 下页
例2-3 t=0时,打开开关S，求uV 。电压表量程：50V。
S(t=0)
R=10 解
+ uV 10VVFra bibliotekRViL
L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
等效电路 5F + i1
t >0
－uC 4
解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有
t
uC U0e RC t 0
U0 24 V RC 5 4s 20 s
返回 上页 下页
S
i1
5F + 2
i2
－uC
3 6 i3
5F + i1 －uC 4
t
uC 24e V 20
t
i1 uC 4 6e A 20
一阶电路的零输入响应和零状态响应
一阶电路的零输入响应和零状态响应下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
阶电路的零输入响应
u C ( 0 _) R 3 i3 ( 0 _) 4 2 8 V
由换路定律，得
u Cx ( 0 ) u C ( 0 ) 8 V
画出0+时刻等效电路如图(b)所示，由欧姆定律可得 8 8 i1 x ( 0 ) 1 .6 A R1 R 2 3 2
i3 x ( 0 )
图 4.3-3 例 4.3-1 图
解 (1) t＜0时电路已处于直流稳态， 电容C可视为开路， 故有
R ' R1 //( R 2 R 3 ) 3 //( 2 4 ) 2 i3 ( 0 _) R1 R1 ( R 2 R 3 ) Us Rs R2 ' 3 9 30 3 2 2A
t t
8e
t 10 t 10
V A
t≥0
t≥0 t≥0
t
1 .6 e 2e
i3 x ( t ) i3 x ( 0 ) e
t 10
A
(2) 电容元件初始储能wC（0＋）、电阻元件R1和R2上耗能 ω1,2、R3上耗能ω3分别为
wC ( 0 ) w1, 2 w3 1 2 Cu ( 0 )
1
换路后，电容储能通过电阻R放电，在电路中产生零输入响应。
随着放电过程的进行，电容初始储能逐渐被电阻消耗， 电路 零输入响应则从初始值开始逐渐衰减为零。
2
图 4.3 – 1 一阶RC电路的零输入响应
按图4.3-1(a)中设定的电流、电压参考方向，写换路后电 路的KVL方程为
Ri+uC=0
将电容元件伏安关系
8 R3
8 4
一阶电路的零输入响应和零状态响应
(t )
uc(t)的微分方程及其求解 R duc RC uc U s + 由KVL dt US uc ( 0) 0
非齐次一阶微分方程的解为：
2.
ic C + uc -
uc ( t ) uch ( t ) ucp ( t )
st t Ke RC
t0
R0
t=0 i + + R uR C uc -
+ -
U0
R0
t=0 i + + R uR C uc C + uc -
i + R uR -
+ -
U0
1、换路前后，电路的物理过程
t 0, uc (0) U 0
t 0 时，uc ( 0 ) U0，i ( 0 ) 0，uR ( 0 ) 0
可写成
并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳 态值，例如 ic(t) 是从其初始值按指数规律衰减到 零。这是上图电路中 ic 本身性质所确定的。
uc ( t ) uc ( )(1 e
t
)
。
例 图示电路，2A电流源在t=0时加于电路， u(0)=0，求i1(t)，t>0，并画出其波形。 4 i2
2. 电路的微分方程及其求解
i
设响应为 uc(t) + + uc uR 0 C uc R uR duc uR Ri RC t 0, uc (0) U 0 dt duc RC uc 0，t （齐次微分方程） 0 dt 及uc ( 0) U 0 一阶齐次微分方程的解为 uc ( t ) Ke 式中K是由初始条件确定的待定常数，S 是特征方程的特征根。
电路一阶电路的零输入响应-精品文档
d i L Ri 0 t 0 d t
pt i(t) Ae
特征方程 Lp+R=0
R 特征根 p = L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
A= i(0+)= I0
pt 得 i ( t ) I e I e 0 0
1 CU 2
2 0
-
C
电容放出能量
电阻吸收（消耗）能量
W R
0
t 2t 2 U U 2 RC ( 0e RC)2 Rdt 0 i Rdt e dt 0 0 R R
U RC ( e R 2
2 0
2 t RC 0
)|
1 2 CU 0 2
二. RL电路的零输入响应
解 （ 1） t≥0 电路如图（ b）所示 ,为一 RL 电路。
L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
例:L=0.4H, R=1Ω, US=12V, RV=10kΩ, 量程为50V。 L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
S(t ＝ 0) i C ＋ － uC
du C u Ri , i C R dt
一.RC电路的零输入响应
＋ R uR －
设
du C RC u 0 C dt
pt u A e C
( t 0 )
一阶微分方程
特征方程 1 p RC
RCp 1 0
uC Ae
1 RC
S(t ＝ 0) i C ＋ － uC
uC (t1 ) t 2 t1 tan t uC (t1 ) U 0e t1 duC (t ) 1 t t1 U e 0 dt
5-4、5一阶电路的零状态响应和三要素法1(new)(乙)
−
t
τ
u
C (0 )=U0
uC (= t ) U S + Ae
τ
τ =RC
− t
由起始值定A
uC (0+)=A+US=U0
uC = U S + (U 0 − U S )e
∴ A=U0 - US
t≥0
τ
(1). 全响应 = 强制分量(特解、稳态解)+自由分量(齐次解、暂态解)
uC (t ) =U S + (U 0 − U S )e
(0 < t ≤ 0.2)
i (A) 5 2 0.2 1.26 t(s)
i (t )= 5 − 3.74e −2(t −0.2) A ( t ≥ 0.2)
)A 例：某一阶电路在阶跃函数US 1(t) 激励下响应 i (t ) = (4 − 3 e 若将其初始状态量增加为二倍，此响应变为？ 若将激励增加为三倍，此响应变为？ 若将其初始状态量增加为二倍，同时将激励增加为三倍， 此响应变为？ i (t ) = 2 × i (t ) + i (t )
零状态响应
−
τ
(t ≥ 0)
零输入响应
uC
US U0 0
全响应
零状态响应
t
零输入响应
二.
df (t ) + bf (t ) = u (t ) 一阶电路的数学模型是一阶微分方程：a dt
其解答一般形式为： 令 t = 0+
三要素法分析一阶电路
= f (t )
f (0+ = )
f P (t ) + A e
t ≥ t1
§5-5
一阶电路的全响应和三要素法
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t 0 : 根据换路定则： uC (0 ) uC (0 ) 60 V
3 uC (0 ) 100 60 V 2 3
S( t 0) 2 i(t ) 1 3 100 V 1 uC ( t ) F
2
i(t )
X
例题2 如图所示电路中，已知 us (t ) 140V, t <0；
电路中各量的零输入响应符合如下标准形式：
R 1 s ——RL电路的固有频率 L
伏特 秒 安培 秒 安培 伏特
y t y(0 ) e , t 0
t
线性非时变电路的零输入响应满足齐次性，即如果 初始值增加或减小K倍，则响应也增加或减小K倍。 返回
us (t ) 0, t 0 。求 t 0 时的 iC ( t ) 和 u(t )。 70 iC (t ) 20 解： t 0 时，电容开路
us uC (0 ) 420 70 420 140 420 120V 490
us
420
i(t )
+
0.02μF
——一阶常系数线性齐次微分方程
X
2.一阶RC电路的零输入响应
特征方程: RCs 1 0 1 特征根: s RC 1 t st RC uC ( t ) Ae Ae , t 0 u (0 ) u (0 ) U0 根据换路定则: C C 得: A uC (0 ) U 0
X
4.时间常数
RC电路: RC
L RL电路: R
y t y(0 ) e , t 0
y( ) y(0 ) e1 y(0 ) 36.8% y(4 ) y(0 ) 1.83%
t
uC (0 )
0.368uC(0 )
O
uC ( t )
时间常数(time constant)： RC 时间常数的单位：秒(s)欧姆()法拉(F)
伏特 库仑 伏特 安培 秒 秒 安培 伏特 安培 伏特
1 1 s ——RC电路的固有频率 RC (natural frequency)
零输入响应的标准形式：
y t y(0 ) e , t 0
3 2 120 36V 4 5
u( t ) u(0 )e
t
36e
5105 t
V
X
例题3 如图所示电路中，电感元件已有初始储能，
解： 先求AB左端网络的等效电阻。 i uAB 1 ( i 5i iAB )
u
iL (0 ) 1.2A。求 t 0 时的 uAB (t ) ?
X
3.一阶RL电路的零输入响应
iL ( t ) I 0e , t 0 R t t diL R R uL ( t ) L L I 0 ( )e L I 0 Re L , t 0 dt L
uR ( t ) uL ( t ) I 0 Re
电流、电压曲线
duC RC uC 0, t 0 dt
uC ( t ) U 0e
1 t RC
uC (0 )e
1 t RC
, t 0
X
2.一阶RC电路的零输入响应
uC ( t ) uC (0 )e U 0e , t 0 1 1 t t duC U 0 RC 1 RC i (t ) C C U 0 ( )e e , t 0 dt RC R
只要知道了某量的初始值和电路的时间常数，就 能够得到该量在过渡过程中的变化规律。 返回
X
t
3.一阶RL电路的零输入响应
开关S打开前电路已处于稳态， iL uL ( t )、 求开关打开后的 iL ( t )、 uR ( t )。 + Us uL iL (0 ) I0 R0 开关打开后的KVL方程: uR (t ) uL (t ) 0 diL L uR ( t ) RiL (t ), uL ( t ) L dt
X
例题1 已知 t 0时电路处于稳态， t 0时开关打开。
解： t 0:
求 t 0时的 i ( t ) 。
1 1 3 RC 1 3 2 s 1 u ( t ) C F t 2 t 2 2 uC ( t ) uC (0 ) e 60e V, t 0 t t duC 1 1 i ( t ) C 60e 2 15e 2 A, t 0 dt 2 2
I0
R t L
R t L
, t0
L
uL ( t ) iL ( t )
R
uR ( t )
iL ( t )
O
uL ( t )
t
O
t
I0 R
一阶RL电路的零输入响应是一个放电过程。
X
3.一阶RL电路的零输入响应
L 时间常数(time constant)： R
时间常数的单位：秒(s)亨利(H)/欧姆()
，
A i 2 1 + 5i 1
iL (0 ) iL (0 ) 1.2A
t
uAB
B
iL
5H
iL ( t ) iL (0 )e
1.2e
0.25 t
A
diL ( t ) uAB 1 iL ( t ) L dt 1.2e0.25 t 5 1.2 ( 0.25)e 0.25 t 0.3e 0.25 t V
S( t = 0)
+ L uR R -
R0
Us
uR ( t )
uL ( t )
diL L RiL 0, t 0 dt
iL ( t )
R
——一阶常系数线性齐次微分方程
X
3.一阶RL电路的零输入响应
diL L RiL 0, t 0 dt 特征方程: Ls R 0
80
60
u (t )
-
t 0 时，根据换路定则：
uC (0 ) uC (0 ) 120V
70 iC (t ) 420
20 60
i(t )
+
与电容连接的等效电阻为： Req 70 / /420 (20 60) / /80
0.02μF
80
u (t )
-
70 420 40 60 40 100 490
返回
X
2.一阶RC电路的零输入响应
u (0 S(t 0) 已知 C ) U 0， t 0 时发生换路，开关S闭合。 + 求 t 0 时的 uC ( t )、i ( t )、uR ( t )。R uR (t ) KVL方程:
i(t )
+ C
uC (t )
-
uR uC 0 duC uR Ri , i C dt duC RC uC 0, t 0 dt
X
解（续）
ReqC 100 0.02 106 2 106 s
uC ( t ) uC (0 )e 120e V duC ( t ) iC ( t ) C 0.2 106 120 ( 5 105 ) dt
t
5105 t
1.2e A 1 5105 t i ( t ) iC ( t ) 0.6e A 2 5105 t u(t ) i (t ) 60 36e V
返回
X
§5-5 一阶电路的零输入响应
北京邮电大学电子工程学院
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内容提要
基本概念
一阶RC电路的零输入响应 一阶RL电路的零输入响应 时间常数
X
1.基本概念
动态电路(dynamic circuit):至少含有一个动态元 件的电路。 一阶动态电路(one-order circuit):用一阶微分方程 描述的动态电路。 二阶动态电路(two-order circuit):用二阶微分方程 描述的动态电路。 高阶动态电路:二阶以上的动态电路。 状态变量(state variable):如果已知该量在初始时刻 的值，则根据该时刻的输入就能确定电路中任何量 在随后时刻的值，称具有这种性质的量为状态变量。 电容电压，电感电流
1 t RC 1 t RC
uR ( t ) uC ( t ) U 0e 电压、电流曲线:
U0 uC ( t )
1 t RC
, t0
S(t 0)
+
i(t )
+ C
R uR (t )
uC (t )
-
i(t )
U0 R
O
-
t
一阶RC电路的零输入响应是一个放电过程。
X
O
t
2.一阶RC电路的零输入响应
X
1.基本概念
S( t 0)
+
i(t)
us (t )
-
R
C
+
uC (t ) ＝
-
uC (0 ) U0 iz.i.r (t )
R
C
+
iz.s.r (t )
+ -
uCz.i.r (t ) ＋ us (t )
-
R
C
+
uCz.s.r (t )
-
uC (0 ) U 0 , u s ( t ) 0 零输入响应
t
工程上常取t = (4 ~ 5 ) 作为放电完毕所需时间。 电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小， 越大，衰减越慢，反之则越快。