考点08函数与方程(教师版)新课标.doc
人教课标版《函数与方程》ppt完美课件1
12
1
(2)a5,数列 a的通项公式为
12
n
a a (n 1)1 n 7.
n
1
2
b 1 1 1 1 .
n
a n
n7
2
函数f
(x)
1
x
1
7
在(,
7)和(7 ,)上是单调函数，
22
2
b b b 1;当n 4时，1 b b .
3
2
1
n
4
(3)由b 1 1,得b 1 1 .
n
a
n
na 1
n
的等差数列，它的前n项和为Sn，S42S24,bn （1）求公差d的值；
1an. an
（2）若 a 1 值；
5, 2
求数列{bn}中的最大项和最小项的
（3）若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取 值范围.
解 （1）∵S4=2S2+4，
4 a 4 3 d 2 (2 a d ) 4 .解 d 得 1 .
依题意，O为AB中点，所以 PAPB2PO,
( P P A ) • P B 2 C P • P O C 2 x ( 1 x )0 (x 1 ). 问题转化为求函数t=2x2-2x,x∈［0，1］的最小值 问题. t2x22x2(x1)21.
22
当x1时，t有最小值 1.为
2
2
故(PAPB )•PC 的最小值 1. 为
【例1】（2009·江苏调研）已知命题“在等差数列
{an}中，若3a3+a9+a( )=30，则S13=78”为真命题， 由于印刷问题，括号内的数模糊不清，可以推得
其中的数为 17 . 分析 由S13=78，可得关于a1与d的方程,设括号内 数为x,可得关于a1，d的方程，联立可解得x=17. 解析 设等差数列{an}公差为d,首项为a1,括号内 为x,依题意有：
人教A版数学必修一专题8 函数与方程.docx
专题8 函数与方程1．函数零点(1)概念对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．(2)意义函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根．(3)求法①(代数法)求方程f (x )＝0的实数根；②(几何法)求函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理．3．二分法(1)概念①中点：一般地，我们把a ＋b 2称为区间(a ，b )的中点； ②二分法．(2)用二分法求函数零点近似值的基本步骤．例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]；(2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．变式训练1 求下列函数的零点．(1)f (x )＝x 3＋1；(2)f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2.例2 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若ac ＜0，则函数f (x )的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定变式训练2 若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－12例3 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的两个零点都在(－2,4)内，求实数a 的取值范围．变式训练3 若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的值；A 级(第1,7题是考查偶函数的性质及零点的概念，解题关键是利用偶函数的对称性．)1．已知函数f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为( )A ．0B ．1C ．2D ．42．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(第3题考查的是函数图象与零点的关系，解题关键是将函数图象画出来，然后判断交点个数．)3．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(第4题考查的是零点存在性定理，解题方法是将答案一一验证．)4．设x 0是方程ln x ＋x －4＝0的解，则x 0属于区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(第5题考查的是零点的概念，求解方法是直接将零点求出来．)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x 2＋x ，x <0的零点的个数为________． 6．函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是________．7．函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫32－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．B 级8．若函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无关判断(第9,12题考查了零点的性质应用，求解方法是利用零点的性质，辅助图象解题．)9．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－235，1 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 10．方程2x ＝x 2的实数根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数多11．方程93x －1＋1＝3x 的实数解为________． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．13．不用求根公式，求函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1的零点的个数，并比较零点与3的大小．14．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．答案精析专题8函数与方程典型例题例1解(1)方法一∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．方法二令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．(2)方法一∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0，f(3)＝log25－3<log28－3＝0，∴f(1)·f(3)<0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．方法二设y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点，因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．变式训练1解(1)f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1，即函数f(x)＝x3＋1的零点为x＝－1；(2)令x3－2x2－x＋2＝0，化得(x＋1)(x－1)(x－2)＝0，解得x＝－1或x＝1或x＝2，所以函数y＝x3－2x2＋x－2的零点分别为x＝－1或x＝1或x＝2.例2C[因ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.]变式训练2 A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0，∴b ≠0，a b ＝－12. 令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 例3 解 设函数的两个零点为x 1与x 2，且－2<x 1<x 2<4，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0f (4)>0Δ≥0－2<－－2a 2<4， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋4a ＋3>0a 2－8a ＋15>0Δ＝4≥0－2<a <4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－3或a >－1a <3或a >5－2<a <4， 所以实数a 的取值范围为－1<a <3.变式训练3 解 若a ＝0，则f (x )＝－x －1，令f (x )＝0，即－x －1＝0，得x ＝－1，故符合题意；若a ≠0，则f (x )＝ax 2－x －1是二次函数；故有且仅有一个零点等价于Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上所述a ＝0或a ＝－14. 强化提高1．A [因为函数f (x )是偶函数，所以其y 轴左右各两个点是关于y 轴对称的，则该函数的所有零点之和为0，选A.]2．C [Δ＝m 2－4>0，m >2或m <－2，应选C.]3．B [画出两个函数f (x )，g (x )的图象，由图知f (x )，g (x )的图象的交点个数为2.]4．C [令f (x )＝ln x ＋x －4，则f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3＋3－4>0，选C.]5．1解析 令f (x )＝0，当x ≥0时，x ＋1＝0，解得x ＝－1，不合适，舍去．当x <0时，x 2＋x ＝0，解得x ＝－1或x ＝0(不合适，舍去)．∴函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x 2＋x ，x <0的零点是－1，其个数为1. 6．(－∞，0]∪{1}解析 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然函数x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx 2－2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0.7.92解析 设方程f (x )＝0的三个实根分别为x 1，x 2，x 3，因为对称轴为x ＝32， 所以x 2＝32，且32－x 1＝x 3－32， 则x 1＋x 3＝3，所以x 1＋x 2＋x 3＝92. 8．B [依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f (x )有两个零点．]9．C [设f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (0)＝－2<0，∴由x 2＋ax －2＝0在区间[1, 5]上有解，只需f (1)≤0且f (5)≥0即可，解得－235≤a ≤1.] 10．C [画出函数y 1＝2x 与y 2＝x 2的图象可知x ＝2与x ＝4时，y 1＝y 2，当x <0时存在一个x 使y 1＝y 2；当x >4时，函数y 1＝2x 递增的速度明显比y 2＝x 2快，即x >4后，再没有交点，故选C.]11．log 34解析 令t ＝3x (t >0)，则原方程可化为：(t －1)2＝9(t >0)．∴t －1＝3，t ＝4，即x ＝log 34可满足条件，即方程93x －1＋1＝3x 的实数解为 log 34. 12．1<a <2解析 画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax y ＝－x 2－5x －4 得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)，则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点．故实数a 的取值范围是1<a <2.13．解 f (x )＝(x －2)(x －5)－1＝x 2－7x ＋9，令x 2－7x ＋9＝0，则x 2－7x ＋9＝0， Δ＝(－7)2－4×9＝13>0，所以方程x 2－7x ＋9＝0有两个不等实数根，即函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1有两个零点；又因为f (3)＝(3－2)(3－5)－1＝－3<0，且函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1为开口向上的抛物线，所以函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1的零点有一个大于3，另一个小于3.14．解 f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a .①当－12a ≤－1，即0≤a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤5，a ≥1，∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f (－12a )≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1， ∴a 的取值范围是[1，＋∞)．。
函数与方程课件
06
函数与方程的未来发展
函数与方程在其他学科中的应用
数学建模
函数与方程在数学建模中扮演着 重要的角色，通过建立数学模型 ，可以描述现实世界中的各种现 象，如物理、化学、生物等学科
中的问题。
计算机科学
在计算机科学中，函数与方程被 广泛应用于算法设计、数据结构 、离散概率论等领域，为计算机 科学的发展提供了重要的理论支
函数与方程ppt课件
• 函数的概念与性质 • 方程的种类与解法 • 函数与方程的关系 • 函数的应用 • 方程的应用 • 函数与方程的未来发展
01
函数的概念与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了两个集合之间的对应关系。具体来说，对于 给定的集合X中的每一个元素x，按照某种规则，总有集合Y中的唯一一个元素y与 之对应。这种关系通常用符号f表示，即f: X→Y。
03
函数与方程的关系
函数图像与方程解的关系
函数图像是方程解在坐标系中的 表现形式，通过观察函数图像可 以直观地了解方程的解的情况。
函数图像的交点表示方程的根， 函数图像的极值点也可能对应方
程的根。
通过函数图像的变化可以推测方 程解的变化趋势。
函数的最值与方程根的关系
函数的最值点可能是方程的根，因为函数在极值点附近的导数会发生变化，导致函 数值发生突变。
如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内函数的最大值或最小值可能对 应方程的一元一次根。
对于多元函数，最值问题可能转化为方程组问题，需要利用方程组的解来判断最值 的存在性和性质。
函数图像的变换与方程解的变换
函数图像的平移、伸缩、旋转 等变换会影响函数的值，从而 影响方程的解。
通过对方程进行变量替换或参 数调整，可以改变方程的形式 和结构，从而影响方程的解。
第八节 函数与方程 课件(共31张PPT)
答案：C
2．函数 f(x)＝4cos2 x2·cosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)| 的零点个数为________．
解析：f(x)＝2(1＋cos x)sin x－ 2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋ 1)|，x>－1，函数 f(x)的零点个数即为 函数 y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的 交点个数．分别作出两个函数的图象如图所示，可知有两 个交点，则 f(x)有两个零点．
x2－2x，x≤0， 1．已知函数 f(x)＝1＋1x，x>0， 则函数 y＝f(x)＋
3x 的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：令 f(x)＋3x＝0，
则xx≤2－02，x＋3x＝0或x1>＋01x，＋3x＝0，
解得 x＝0 或 x＝－1，
所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.
的取值范围是( )
A．a<－1
B．a>1
C．－1<a<1 D．0≤a<1 解析：令 f(x)＝2ax2－x－1， ①当 a＝0 时，－x－1＝0，x＝－1 不合适． ②a≠0 时，f(0)·f(1)<0，a>1.验证若 f(0)＝0，此式不成立； 当 f(1)＝0 时，2a－1－1＝0.
a＝1，方程另一根为－12(不合题意)，故 a>1，选 B. 答案：B
考点 2 判断函数零点个数
[例 1] (1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数
为( )
A．3
B．2
C．7
D．0
(2)已知函数 y＝f(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x∈
高考数学总复习教案新课程改革考点高分专用word版函数与方程
函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)f(b)＜0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法(1)对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(Ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(Ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(Ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系1．(教材改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(B)A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)[解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点，故选B．2．(教材改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为(C)A ．1.32B ．1.39C ．1.4D ．1.3[解析] 通过上述表格得知函数唯一的零点x 0在区间(1.375,1.4375)内，故选C ． 3．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( C ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12[解析] 2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝0，得x ＝0或－12，故选C ．4．(教材改编)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ln x ＝0解得x ＝1，－x (x ＋2)＝0解得x ＝0或－2，∴g (x )有三个零点． 5．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的大致区间是( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] 因为y ＝ln x 与y ＝2x －6在(0，＋∞)上都是增函数，所以f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝－4，f (2)＝ln2－2<lne －2<0，f (3)＝ln3>0.所以零点在区间(2,3)上，故选C ．6．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( C )[解析] A ，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选C ．考点1 确定函数零点所在区间——自主练透例1 (1)若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列命题正确的是( D )A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1,2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0,2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0,4)内有零点(2)(2018·河南天一大联考)函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点位于区间( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(3)(2018·全国名校联考，3)若函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝21－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( B ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)[分析] 利用零点存在定理进行判断或用数形结合法画图求解．[解析] (1)因为f (1)·f (2)·f (4)<0，所以f (1)、f (2)、f (4)中至少有一个小于0. 若f (1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f (2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f (4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D ． (2)∵f (1)＝1＋ln1－3＝－2<0， f (2)＝2＋ln2－3＝ln2－1<0， f (3)＝3＋ln3－3＝ln3>0，∴f (2)·f (3)<0，∴f (x )在区间(2,3)内有零点，故选C ．另解：f (x )的零点即为y ＝ln x 与y ＝3－x 图象交点的横坐标，由图可知零点位于区间(2,3)内，故选C ．(3)设f (x )＝ln(x ＋1)－21－x 可以判断f (x )为增函数，又f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln3－12>0，故选B ．名师点拨 ☞确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．考点2 函数零点个数的确定——师生共研例2 (1)(2018·课标Ⅲ，15)函数f (x )＝cos(3x ＋π6)在[0，π]的零点个数为__3__.(2)(文)(2018·云南昆明一中摸底)若函数f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )－log 12|x |的零点个数是( D ) A ．5个 B ．4个 C ．3个D ．2个(理)(2018·江淮十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5|x －1|－1，x ≥0x 2＋4x ＋4，x <0，则关于x 的方程f 2(x )－5f (x )＋4＝0的实数根的个数为( D ) A ．2 B ．3 C ．6D ．7[分析] 画出函数图象，结合图象确定零点的个数，若方程f (x )＝0可解，也可直接解方程求解．[解析] (1)本题考查函数与方程．令f (x )＝0，得cos(3x ＋π6)＝0，解得x ＝k π3＋π9(k ∈Z )．当k＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，又x ∈[0，π]，所以满足要求的零点有3个．(2)(文)在同一坐标系中作出f (x )＝|x |、g (x )＝log 12|x |的图象，由图可知选D ．(理)解法一：由f 2(x )－5f (x )＋4＝0得f (x )＝1或4.若f (x )＝1，当x ≥0时，即5|x －1|－1＝1， 5|x －1|＝2解得x ＝1±log 52，当x <0时，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－1或－3.若f (x )＝4，当x ≥0时，5|x －1|－1＝4，|x －1|＝1解得x ＝0或2， 当x <0时即x 2＋4x ＝0，解得x ＝－4. 故所求实根个数共有7个．解法二：由f 2(x )－5f (x )＋4＝0得f (x )＝1或4.由f (x )图象可知：f (x )＝1有4个根，f (x )＝4有3个根．∴方程f 2(x ) －5f (x )＋4＝0有7个根． 名师点拨 ☞函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 〔变式训练1〕(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是__2__.(2)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)x 2－2＝0，解得x ＝±2，∵x <0，∴x ＝－2，2x －6＋ln x ＝0，设y ＝ln x ，y ＝6－2x ，分别画函数图象(图略)可得一个交点，故原函数有两个零点．(2)f (x )＝e x ＋x －3在(0，＋∞)上为增函数，f (12)＝e 12－52<0，f (1)＝e －2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f (x )在(－∞，0)上也有一个零点，又f (0)＝0，所以f (x )有三个零点，故选C ．考点3 函数零点的应用——多维探究角度1 与零点有关的比较大小例3 已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －log 12x ，h (x )＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( D ) A ．x 1>x 2>x 3 B ．x 2>x 1>x 3 C ．x 1>x 3>x 2D ．x 3>x 2>x 1[解析] 由f (x )＝2x ＋x ＝0，g (x )＝x －log 12x ＝0，h (x )＝log 2x －x ＝0，得2x ＝－x ，x ＝log 12，log 2x ＝x ，在平面直角坐标系中分别作出y ＝2x 与y ＝－x 的图象；y ＝x 与y ＝log 12x 的图象；y ＝log 2x 与y ＝x 的图象，由图可知：－1<x 1<0,0<x 2<1，x 3>1.所以x 3>x 2>x 1.角度2 已知函数的零点或方程的根求参数例4 (2018·课标Ⅰ，9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则实数a 的取值范围是( C ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 本题主要考查函数的零点及函数的图象．g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点等价于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0与h (x )＝－x －a 的图象存在2个交点，如图，当x ＝0时，h (0)＝－a ，由图可知要满足y ＝f (x )与y ＝h (x )的图象存在2个交点，需要－a ≤1，即a ≥－1.故选C ．名师点拨 ☞1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小； (2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．〔变式训练2〕(1)(角度1)(文)(2018·安徽蚌埠月考)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( B ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．a >b >cD ．c >a >b(理)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则f (a )，f (1)，f (b )的大小关系为__f (a )<f (1)<f (b )__.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，x ＋2，x ≤0，方程|f (x )|＝a 有三个零点，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，0)B ．[0，e)C ．(0,2)D ．(2，＋∞)[分析] 解法一：依据零点存在定理，确定a ，b ，c 所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y ＝3x 、y ＝log 3x 、y ＝x 3与y ＝－x 的图象，比较其交点横坐标的大小即可． [解析] (1)(文)解法一：∵f (－1)＝3－1－1＝－23，f (0)＝1，∴a ∈(－23，0)，又g (13)＝log 313＋13＝－23，g (1)＝1，∴b ∈(13，1)，显然c ＝0，∴a <c <b ，故选B ．解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y ＝3x 、y ＝log 2x 、y ＝－x 的图象，结合图象及c ＝0可知a <c <b ，故选B ．(理)因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝－1>0，所以f (x )的零点a ∈(0,1)，又g (1)＝ln1＋－2＝－1<0，g (2)＝ln2＋2－2＝ln2>0，所以g (x )的零点b ∈(1,2)，又f (x )＝e x ＋x －2为单调增函数，且e x <a <1<b <2，所以f (a )<f (1)<f (b )．(2)当a ＝0时，|f (x )|＝0，由y ＝|f (x )|的图象与x 轴有两个交点，即函数y ＝|f (x )|－a 有两个零点1与－2，舍去；当a <0时，因为y ＝|f (x )|的图象都在x 轴上或x 轴的上方，所以y ＝|f (x )|的图象与函数y ＝a 没有交点，即函数y ＝|f (x )|－a 没有零点，舍去；当a >0时，在平面直角坐标系中，画出y ＝|f (x )|的图象，观察图象可知，当a >2时，y ＝|f (x )|与y ＝a 才有三个交点．考点4 二分法及其应用——自主练透例5 (1)用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈__(0,0.5)__，第二次应计算__f (0.25)__.(2)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为 (32，2) .(3)在用二分法求方程x 2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__7__.[解析] (1)因为f (0)<0，f (0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0,0.5)；第二次应计算f (0＋0.52)＝f (0.25)．(2)区间(1,2)的中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，f (32)＝278－4<0，f (2)＝8－4－1>0，则根所在区间为(32，2)．(3)设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n >100.由26＝64,27＝128，知n ＝7. 名师点拨 ☞1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断． 2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f (a )，f (b )的值比较容易计算且f (a )·f (b )<0； (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的． (3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．函数零点的综合问题例6 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >02|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是__5__.(2)(2018·山西五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤0－x 2＋x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－a 恰有三个互不相同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( A ) A ．(－132，0)B ．(－116，0)C ．(0，132)D ．(0，116)[解析] (1)解法一：由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝1或f (x )＝12.当x >0时|lg x |＝1得lg x ＝±1，解得x ＝10或110；|lg x |＝12得lg x ＝±12，解得x ＝10或1010；当x ≤0时，2|x |＝1得x ＝0,2|x |＝12无解故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1有5个零点．解法二：由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝1或f (x )＝12.在坐标系中分别作出y 1＝f (x )、y 2＝1、y 3＝12的图象，如图可知它们共有5个交点，故y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1共有5个零点．(2)解法一：显然x ≤0时，－2x ＝a ，有一根不妨记为x 1，则x 1＝－a2(a ≥0)，当x >0时－x 2＋x ＝a 即x 2－x ＋a ＝0有两个不等正根，不妨记为x 2，x 3，则Δ＝1－4a >0，即a <14，从而－a 2∈(－116，0)且x 2x 3＝a .∴x 1x 2x 3＝－a 22∈(－132，0)，故选A ．解法二：作出y ＝f (x )及y ＝a 的图象，显然0<a <14，不妨设x 1<x 2<x 3显然x 1<0，x 2>0，x 3>0，∴x 1x 2x 3<0排除C 、D ，又当x 2趋近x 3时，x 2x 3趋近14，x 1趋近－18，故x 1x 2x 3趋近－132.故选A ．名师点拨 ☞以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题． 〔变式训练3〕(1)(2019·哈师大附中开学考)设方程2x ＝|log 2(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( B ) A ．x 1x 2<0 B ．0<x 1x 2<1 C ．x 1x 2＝1D ．x 1x 2>1(2)(2018·安徽淮南第一次模拟)已知函数f (x )的图象，若函数g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，则实数k 的取值范围是( B )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(4e 2＋e 24，＋∞)C ．(8e2，2)D ．(2，4e 2＋e 24)[解析] (1)作出y ＝2x 及y ＝|log 2(－x )|的图象，不妨设x 1<x 2则2x 1＝log 2(－x 1)，2x 2＝－log 2(－x 2)．由y ＝2x 是增函数知2x 1－2x 2<0(x 1<0，x 2<0) ∴log 2(－x 1)＋log 2(－x 2)<0，即log 2(x 1x 2)<0 ∴0<x 1x 2<1，故选B ．(2)∵g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在(0，4e 2)上有1个解，在(4e 2，＋∞)∪{0}上有1解，显然t ＝0不是方程t 2－kt ＋1＝0的解，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在(0，4e 2)和(4e 2，＋∞)上各有1个解，∴16e 4－4k e 2＋1<0，解得k >4e 2＋e 24.故选B ．。
第8讲 函数与方程(解析版)
1. 函数y = ln x − 6 + 2x的零点一定位于区间()． A. (1, 2) B. (2, 3) C. (3, 4) D. (5, 6)
考点：函数零点的判定定理、确定函数零点所在的区间 知识点：函数的零点、函数零点具有的性质 答案：B 解析：∵f(2) = ln2 − 2<0，f(3) = ln3>0，
奇函数的序号是 ．
考点：函数奇偶性的判断方法、求函数的零点 知识点：函数的奇偶性判定、函数的零点 答案：④ 解析：函数①y = 2x不存在零点且为非奇非偶函数，故不满足条件；
函数②y = 2 − 2x存在零点1，但为非奇非偶函数，故不满足条件； 函数③f(x) = x + x−1不存在零点，为奇函数，故不满足条件； 函数④f(x) = x − x−3存在零点1且为奇函数，故满足条件； 故答案为：④．
知识点：函数零点具有的性质、二次函数根的分布
答案：C
解析：函数f
(x)
=
x2
+
x
+
a的图象的对称轴方程为x
=
−
1 2
,
故函数在区间(0, 1)上单调递增,
又函数f 在 (x) (0, 1)上有零点,
可得 , {
f (0) = a<0 f(1) = 2 + a>0
得−2<a<0,
故选C.
较难 已测：2152次 正确率：40.1%
考点：函数零点的判定定理、确定函数零点所在的区间 知识点：函数的零点、函数零点存在性定理 答案：B 解析：函数f (x) = −x3 − 3x + 5是连续函数，
因为 ， f (1) = 1>0, f (2) = −8 − 6 + 5<0 可知f (1) f (2) <0， 由零点判定定理可知，函数的零点x0所在的一个区间是(1, 2)． 故选：B．
第八节 函数与方程课件
又fn23＝－1＋23＋k∑＝n 2
23k k2
≤－13＋14k∑＝n2 23k
＝－13＋14·23211－－2323n－1
＝－13·23n－1<0，
所以存在唯一的xn∈23，1，满足fn(xn)＝0.
角度Ⅱ.通过解方程判断零点个数 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．[2018全国卷Ⅲ]函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为___3_____． [解析] 由题意可知，当3x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)＝cos3x＋π6＝0. ∵x∈[0，π]，
可设lg x＝mn ，m，n∈N*，m≥2且m，n互质，
因此10mn ＝qp，则10n＝qpm， 此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x∉Q，
因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，
只需考虑lg x与每个周期x∉D部分的交点．
画出函数草图．图中交点除(1,0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周
4．[2021广东广州模拟]函数f(x)＝x－lg1x－2的零点所在区间为( B )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3，＋∞)
[解析] 解法一：令f(x)＝x－lg 1x－2＝0， 可得lg x＝2－x. 令g(x)＝lg x，h(x)＝2－x， 在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)，h(x)的图象，如图所示，
∴3x＋π6∈π6，196π， ∴当3x＋π6取值为π2，32π，52π时，f(x)＝0， 即函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为3.
3．[多选]函数f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00， 的零点为( AC )
函数函数与方程课件pptx
03
方程的种类与求解方法
线性方程
定义与形式
线性方程是一类基本的数学方程，其形式通常为 ax+by+c=0，其中a、b、c为常数。
求解方法
对于线性方程，可以使用高斯消元法或逆矩阵法求解。
非线性方程
定义与形式
非线性方程是指方程中未知数的最高次数大于1的方程，如x^2+y^2=1。
求解方法
非线性方程的求解方法比较复杂，常见的有牛顿法、二分法、迭代法等。
可导性
函数在某一点上可以求导，即可以 求得该点上的切线斜率。
函数的分类
• 常数函数：输出值与输入值无关的函数，如f(x)=5。 • 一次函数：输出值与输入值成一次关系的函数，如f(x)=2x+3。 • 二次函数：输出值与输入值的二次方成正比的函数，如f(x)=x^2。 • 幂函数：输出值与输入值的某次幂成正比的函数，如f(x)=x^3。 • 指数函数：输出值与输入值的指数成正比的函数，如f(x)=2^x。 • 对数函数：输出值与输入值的对数成正比的函数，如f(x)=log(x)。 • 三角函数：输出值与输入值的三角函数成正比的函数，如f(x)=sin(x)。
利用函数的性质解方程
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，这些性质可以帮助我们解决一 些与方程有关的问题。例如，利用函数的单调性判断方程根的存在性或比较 根的大小。
利用方程求解函数
利用方程求函数的表达式
通过已知的变量和关系式，利用方程求解出函数的表达式。例如，在知道一些点 对距离的情况下，通过解方程组得到函数的表达式。
利用方程判断函数的性质
通过已知的方程和函数的表达式，利用方程可以判断出一些函数的性质。例如， 通过解出函数的极值点或零点来判断函数的单调性或奇偶性。
2024届新高考一轮复习北师大版 第三章 第八节 函数与方程 课件(36张)
常用结论
1.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
2.若f(x)=g(x)-h(x),则函数f(x)零点的个数就是函数g(x),h(x)图象交点的个数.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.函数f(x)=4-x2的两个零点是(-2,0)和(2,0).( × )
强基础 固本增分
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
使得
f(x0)=0
的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数y=f(x)的零点.
(2)几个等价关系
数形结合方法的依据
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
微点拨 函数的零点是一个实数,是使函数值等于0的自变量的值,它不是函
ln(-), < 0,
D.4
)
答案 (1)B
题组(1)函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为(
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
)
D.(3,4)
(2)(2023·四川攀枝花诊断测试)已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间
(k,k+1)(k∈Z)内,则k=(
A.1
B.2
答案 (1)B
C.3
(2)C
D.4
)
解析 (1)(方法1)函数f(x)=log3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上
2024
第三章
第八节 函数与方程
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结一、函数的基本概念及性质1.什么是函数函数是一种特殊的关系，它将一个数集的每个元素对应到另一个数集的唯一元素上。
通常用f(x)表示函数，表示自变量x经过函数f(x)的映射后得到的因变量。
2.定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的输出值。
3.函数的图像函数的图像是函数的自变量和因变量的关系在坐标系中的几何表示。
4.常用函数的特点常用函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数：函数的图像是一条直线。
二次函数：函数的图像是抛物线。
指数函数：函数的图像呈现上升或下降的曲线。
对数函数：函数的图像也是上升或下降的曲线。
三角函数：函数的图像是周期性的波形。
5.奇偶性函数的奇偶性是指函数在自变量为x和-x时的对称性。
奇函数：f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。
偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称。
6.函数的单调性单调递增：对于自变量x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
单调递减：对于自变量x1<x2，有f(x1)>f(x2)。
7.函数的周期性如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T称为函数的周期。
二、方程的基本概念及性质1.什么是方程方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数，并且要求找出未知数满足等式的关系。
2.方程的解方程的解就是使方程成立的未知数的取值。
3.一元一次方程一元一次方程是未知数的最高次数为 1 的代数方程，通常采用ax+b=0 的形式。
4.一元二次方程一元二次方程是未知数的最高次数为 2 的代数方程，通常采用ax^2+bx+c=0 的形式。
它的解可以通过求根公式来求得。
5.二元一次方程组二元一次方程组是包含两个未知数的一次方程的集合，通常采用ax+by=c 和 dx+ey=f 的形式。
6.三元一次方程组三元一次方程组是包含三个未知数的一次方程的集合，通常采用ax+by+cz=d、ex+fy+gz=h 和 ix+jy+kz=l 的形式。
【新教材】新人教A版必修一 考点09 函数与方程 教案
【考纲要求】1．结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 【命题规律】函数与方程是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查，在解答题中也会出现与零点有关的问题。
【典型高考试题变式】 (一）判断零点所在的区间例1。
【2014北京卷】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ) A.()0,1 B.()1,2 C 。
()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【名师点睛】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键。
判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断;当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．【变式1】【改变例题中的函数式】函数的零点位于下列哪个区间（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵函数，∴f （1)=1，f （2）=,∴f(1）f （2）＜0，再根据函数零点的判定定理可得函数的零点一定位于区间(1，2），故选B.【变式2】【改变例题中的结论】已知函数()26log f x x x=-的零点的区间是(,1)(Z)k k k +∈，则k 的值为__________。
【答案】3【解析】作图可知函数()f x 的零点所在的区间是(3,4)，所以3k =.(二)判断函数零点的个数例2.【2014福建卷】函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是__________。
【答案】2【解析】令220x -=得，2x =±，只有2x =-符合题意；令26ln 0x x -+=得，62ln x x -=，在同一坐标系内，画出62,ln y x y x =-=的图象,观察知交点有1个，所以零点个数是2.学&科网【名师点睛】对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 【变式1】【改变例题中的函数式】函数则方程的根的个数是A ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个 【答案】B【变式2】【改变例题的结论】函数22,0()1ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩的零点之和为__________。
函数与方程知识点
函数与方程知识点随着数学的不断发展，函数与方程成为中学数学学习中重要的知识点之一。
在解决实际问题时，我们常常需要运用函数与方程知识点进行分析和计算。
本文将从函数和方程的定义、基本性质以及应用等方面进行探讨。
一、函数的定义与基本性质函数是数学中的基本概念之一。
简单来说，函数就是一种数值之间的对应关系。
数学家高斯曾经说过：“数学在本质上，是为了研究变化的。
”函数的定义就是反映这种变化规律的重要工具。
函数的定义通常用公式表示，形如：$y=f(x)$。
其中，$y$是函数的值，$x$是自变量，$f(x)$表示函数。
函数可以是一次函数、二次函数、指数函数等。
它们的表达式和图像形状各不相同，但都遵循函数的定义原则。
函数具有以下重要性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能的取值范围，值域是函数可能的输出值范围。
对于一次函数来说，定义域和值域往往是整个实数集；而对于指数函数来说，定义域通常是无穷大至零之间。
2. 奇偶性：函数的奇偶性用于描述函数在坐标系中的对称性。
若函数满足$f(-x)=-f(x)$，则称该函数为奇函数；若函数满足$f(-x)=f(x)$，则称该函数为偶函数。
3. 单调性：函数的单调性用于描述函数的增减规律。
若对于定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数为递增函数；若对于定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称函数为递减函数。
函数的单调性在研究函数的最值以及问题求解等方面具有重要的意义。
二、方程的定义与基本性质方程是数学中另一个重要的概念。
简单来说，方程就是具有等号的等式。
通过方程可以求解未知数的值，解方程是数学中的重要问题。
方程有多种形式。
常见的方程有一元一次方程、一元二次方程、直线方程等。
每种方程都有自己的解法和应用。
方程具有以下重要性质：1. 方程的解：解就是使得方程成立的未知数的值。
函数与方程.doc
第4讲 函数与方程 一、函数的零点方程0)(=x f 的实数根又叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点； ②如果函数()y f x =在区间(,)a b 上的图像是连续不断的，且有()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点。
考点1 零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点.[例1] 求函数2223+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根 [解析]令 32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---=∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或即函数2223+--=x x x y 的零点为-1，1，2。
[名师指引] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
题型2：确定函数零点的个数.[例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数.[解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ⋅<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。
方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y x y x =⎧⎨=-⎩的交点的个数。
画图可知只有一个。
[名师指引]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。
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2013年新课标数学40个考点总动员考点08函数与方程(教师版)【高考再现】热点一函数的零点A. 0B. 1C. 2D. 31 . (2012年髙考(天津理))函数/(X)=2V4-X3-2在区间(0,1)内的零点个数是( ) 【答案】B【解析一】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念,零点存在定理以及作图与用图的数学能力•因为/(0)=1+0-2=-1,/(1)=2+23-2=8 ,即且函数/(x)在(0,1)內连续不断，故/(x)在(0,1)內的零点个数是1.【解析二】设^=2\比=2-”,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知B正确.2.(2012年高考(北京文))函数= 的零点个数为2A.0B. 1 C・ 2 D・ 3【答案】B【解析】本小题表面上考查的是零点间题，实质上考查的是函数图像间题，该题涉及到图像幕1 1 1 1 函数和指数函数•函数/(x)=壬-(即的零晟即令/(x)= 0,根据此题可得总=(『，I 乙 2 在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故: 选答案B.3.(2012年高考(湖北理))函数/(x) = xcosx2在区间［0,4］上的零点个数为 ( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】/(%) = 0,则兀=0或cos/ = 0, x2=k7r + —,k eZ, Xx G［0,4］, k =0丄2,3,4所以共有6个解.选C.4.(2012年高考(湖北文))函数f(x) = xcos2x在区间［0,2龙］上的零点个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】由f(x) = x cos 2x = 0 ,得兀=0或cos 2兀=0 ;英中，由cos 2兀=0 ,得2x = k7r +—(k G Z),故x =——+—(RwZ).又因为x e[0,2n],所2 2 4TT 35TI7JT% = — , — , —•所以零点的个数为1 + 4 = 5个.故选D.4 4 4 4【方法总结】函数零点的判断方法⑴直接求零点：令心)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2谭点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间［g b］上爰连续不断的曲线，且如)呎力<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有參少个零点；(3诩|用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看英交点的个数，英中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.热点二函数与方程的综合问题5.(2012年高考(湖南文))•设定义在7?上的函数/(兀)是最小正周期为2兀的偶函数,广(x)是 /(%)的导函数，当xe［0,^］时，0v /(x) < 1 ;当XG(0,TT)且x^-JT时，(尤一亍)广⑴〉0,则函数y = /(x)-sinx在［-2龙,2龙］上的零点个数为( )A. 2B. 4C. 5 D・ 8【答案】B7T 7T【解析】由当xG(0r7U)且X二一时，(x-—)/'0) > 0 ：知2 2胡0,织时』3 <oj(R为减函数；L 2)xw —,开时JQ) >0,/(x)为増函数\2・又x e［0,^r］时r0</tx)<l;在R上的函数7U)杲最小正周期为h的偶函数:在同一坐标系中作出y = sinx和尹=/(x)草图像如下:由图知y = /(x) - sm xiS［-2/r,2TT］±的零点6.(2012 年高考(辽宁理))设函数f{x) (x e R)满足f(-x) = A%), f\x)=fX2-x)y h当1 3时,f(x)=x.又函数g(x) = |xcos(”兀)I,则函数力(0二g(x)-f(x)在[-一,一]上的零点个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】因为当x w [0,1]时金)=垃所以当xe [1,2]时，(2-x) e [0,1] v/(x)=/(2-x)=(2-x)5!1 1 3 、，当x 已［0,-］时;g(x)=xcos(7Tx);当x 已［-，-］时圧(x)= -XCOS(TTX):注意到函数金)、都2 2 2是偶函数:且貞0)= §(0)忍1)= g(l)：g(£) = g(；) = 0：作出函数贝x)、炎)的大致图象:匪数力(x)1 1 1 3除了0、1这两个零点之外，分别在区间［--,0｝［0,-］，［-, 1M1,-］上各有一个零点:共有6个<i* 乙 2 2零点:故选B.【方法总结】1•数形结介是重要的思想方法z—,也是高考考查的热点问题，利用函数图象判断方程是否有解，有多少个解是常见常考的题型，数形结合法是求函数零点个数的有效方法，其基木思路是把函数分成两个函数的差，分析的基本思想是分析后的函数图彖比鮫容易做出，则函数零点个数就是两两数图象交点的个数.2.利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但冇时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了，当不是求零点，而是利用零点的个数, 或冇零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解.【考点剖析】一.明确要求1.考查具体函数的零点的取值范围和零点个数.2.利用函数零点求解参数的取值范围.3・利用二分法求方程的近似解.二.命题方向1•函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点.2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范韩I问题是重点，也是难点.3.题型以选择题和填空题为主，常M函数的图象为性质交汇命题.三.规律总结一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看•同号去，异号算, 零点落在异号间.周而复始怎么办？精确度上来判断.两个防范⑴函M y=f（x）的零点即方程夬工）=0的实根，是数不是点.（2）若函数丁=./（工佐闭区间[a, b]上的图象是连埃不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即..心）：.心）<0,满足这些条件一定有零点，不满足迖些条件也不能说就没有零点.如图，加）：.心）>0,金）4区间（g b）上照样存在零点，而且有两个.所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要.三种方法函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令.心）=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2谬点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a, b]上是连埃不断的曲线，且.心）呎方）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.【基础练习】1.（教材习题改编）在以下区间中，存在函数/U）=/+3^-3的零点的是（）A. [-1,0]B. [1,2]C. [0, 1]D. [2,3]答案：C解析：注意到尸（一1）=一7<0, f（0）=_3<0, f（l）=l>0, f（2）=ll〉0, f（3）=33>0,结合各选项知，选C.2.（经典习题）若函数£3 =站+方有一个零点是2,那么函数g{x） =bx— ax的零点是（）A. 0,2答案:C解析：T2臼+方=0,・•・&（/） =—2山一臼x= —&x（2x+l）,所以零点为0和一*.3.（经典习题）方程|”=cosx在（一8, +8）内（）A.没有根C.有且仅有两个根B.有且仅有一个根0.有无穷多个根答真：c解析：求解方程X = COSX在(一8, +8)內根的个数问题，可转化为求解函数./U)=X和g(x)=cosx在(一8, +8)內的交点个数问题.由Rx)= X和g(x)=COS X的图象易知有两交点,即原方程有且仅有两个根.4.(人教A版教材习题改编)已知函数f{x)=^+x+a在区间(0,1)上有零点，则实数目的取值范围是 ______ •答案(-2., 0)解析函数f{x)=x+x+a在(0,1)上递增.由已知条件AO) A1X0,即血+2)<0,解得-2<a<0.5.(经典习题)函数f3 = (/〃一1)#+2(刃+1)/—1的图彖与x轴只冇一个交点，贝IJ实数m的取值的集合是—答奚{-301}解析：当曲=1吋，兀r)=Mx—l,其图象和x轴只有一个交点扌，0).当？《工1时,依题意得J=4(?M+ l)2+4(m-1)=0,即沖+3w=0,解得m=-3或加=0. ・•・”?的职■值的集合为{-3,0,1}.【名校模拟】—•基础扎实1.(山西省2012年高考考前适应性训练文)方程2x=4-x的实数解所在的区间为()A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (3, 4)【答案】B・【解析】记/(x) = 2v-(4-x),则有/(O)/(l) = -3x(-l)>O , /（l）/（2）= （-l）x2<0, /（2）/（3）= 2x7>0, /（3）/（4）= 7x16>0 ,因此该方程的实数解所在的区间是(1,2),选B.x + 22.(中•原六校联谊2012年高三第一次联考理)设西数/(x) = log3 ------------- 。
在区间(1, 2)x内有零点，则实数a的取值范围是A. (-l,-log3 2)B. (0, logs 2)C. (10助2,1) D・(1, logs 4)【答案】C__ v 4- 2 . __ _【解析】解：因为/(x) = log3——-么在区间(1, 2)內有零点，因此说明了x/ (1)/(2) = (log33-a)(log32-a)<0:.log3 2 <L2t <1故选c i3.(2012届郑州市第二次质量预测理)已知函数/(工)=(寺尸一log",若去是函数了 =于(工)的零点，且OVdVs,则/(X,)的值A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0【答案】A【解析】注意到函x I = g] -log3 x在(0,+oo i上是减函数，因此当0<丙<忌时，有八和> /( X。
)；又坷是函数川X)的零点，SlttS/( ^)=0, /( x L) > 0 ,即此时/ (x」的值恒为正值,选A.4.(浙江省温州中学2012届高三10月月考理)已知函数f(x) = log a x + x-b(a > O,J@La 1),当2<a<3<b < 4 时,函数兀)的零点x0 e +1), n G TV *,.则〃=( )A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：因为a>2,所以lo g</ 2 < 1,所以log“2 + 2v3,又b>3即—b<-3则/⑵=log© 2 + 2・E <0, log^ 3 > L 所以log^3 + 3>4,又&<4 即-b>-4 则/⑶= log a3+3-i >0所以零点％w(2,3j故力=25.(湖北八校文2012届高三第二次联考)已知函数f(x)的定义域为】一1,4],部分对应值如下表，f (x)的导函数y = f\x)的图彖如上右图所示。