自控理论第四章
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自控原理(第四章)
根轨迹方程实质上是一个向量方程，直接使用很不方 便。考虑到：
1 1e j ( 2k 1) ; k 0, 1, 2,
因此，根轨迹方程 (4-8) 可用如下两个方程描述：
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
m
n
k 0, 1, 2,
i 1
（4-9）
和
K*
s pi s zj
j 1 i 1 m
n
（4-10）
方程 (4-9) 和 (4-10) 是根轨迹上的点应该同时满足 的两个条件；前者称为相角条件；后者叫做模值条件。 根据这两个条件，可以完全确定 s 平面上的根轨迹 和根轨迹上对应的 K* 值。应当指出，相角条件是确定 s 平面上根轨迹的充分必要条件。这就是说，绘制根轨 迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各 点的K* 值时，才使用模值条件。
3）闭环极点与开环零点、开环极点以及开环根轨迹增 益 K * 均有关。
根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、 极点的分布及开环根轨迹增益，通过图解的方法找出闭 环极点。 一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难 确定，因为闭环零点可由式(4-6)直接得到。在已知闭环 传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反 变换的方法求出。
(s z j )
1
（4-8）
( s pi )
式中， z j 为已知的开环零点； pi 为已知的开环极点， K *从 零变到无穷大。我们把式 (4-8) 称为根轨迹方程。
根据式 (4-8)，可以画出当 K * 从零变到无穷时，系 统的连续根轨迹。应当指出，只要闭环特征方程可以化 成式(4-8)形式，都可以绘制根轨迹，其中处于变动地位 的实参数，不限定是根轨迹增益 K * ，也可以是系统其它 变化参数。
自动控制原理课后习题第四章答案
G(s)H(s)=
Kr s(s+1)(s+3)
σ根 s=3-K+ω轨r4-3-迹+p4s132ω1-3的+~3ω32分p===s2-离+001K点.p-3r=3：KK~0θrr===012+ωω6021,o=3,=0+±1810.7o
8
jω
1.7
s1
A(s)B'系(s)统=根A'轨(s迹)B(s)
s3 p3
s=sK2±r没=j24有.8.6位×于2K.r根6=×4轨80.迹6=上7，. 舍去。
2
第四章习题课 (4-9)
4-9 已知系统的开环传递函数，(1) 试绘制出
根轨迹图。
G(s)H与(s虚)=轴s交(0点.01s+1K)(系0.统02根s+轨1迹)
jω
70.7
解: GKK(rr=s=)10H5(0s)=ωω2s1,(3=s=0+±17000K.7)r(s+50)
s1
A(s)B'(系s)统=A根'(轨s)迹B(s)
s3 p3
p2
p1
-4
-2
0
((24))ζ阻=尼03.振5s2荡+1响2应s+s的81==K-r0值0.7范+围j1.2
s=s-s10=3=.-80-56.8+50K.7r×=20=s.82-=54×-.631..1155×3.15=3.1
-2.8
450
1080
360
0σ
0σ
第四章习题课 (4-2)
4-2 已知开环传递函数，试用解析法绘制出系
统的根轨迹，并判断点(-2+j0),(0+j1),
自动控制理论第四章
若用一个复数G（jω）来表示，则有 指数表示法: G（jω）=∣G（jω）∣· j∠G（jω）=A（ω）· j e e 幅角表示法: G（jω）=A(ω)∠ (ω) G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个 向量去表示 G （ jω）。向量的长度为 A(ω)，向量与 正实轴之间的夹角为 (ω)，并规定逆时针方向为正， 即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。 可由图4.3表示。
对输出求拉氏反变换可得
c(t ) ( K1e
p1t
K 2e
p2t
Kne
pn t
) (K c e
jt
K c e )
jt
系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量， 对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量， 它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统 所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋 于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳 态分量为：
r（t）
sint 线 性 定 Asin（ωt+）
Css（t） t
常系统
图4-2，线性系统及频率响应示意图
4.1.2频率特性
一、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出 的幅值比A与相位差 只与系统的结构、参数及输入正 弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下， 幅值比 A与相位差 仅是ω的函数，可以分别表示为A （ω）与（ω）。 若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则 系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的 变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同 性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
自控-第四章
ìïa - 4w
í îï
jw
(1
-
2=
4w
0 2)
=
0®ຫໍສະໝຸດ ìïwí îïa=± =1
1 2
4-17 已知单位反馈系统的开环传递函数为：
G K
(s)
=
K(1- s) s(s + 2)
（1）绘制K由0→∞变化的根轨迹。
（2）求产生重根和虚根时的K值。
K(s - 1) - 1 = 0 ® 0°根轨迹 s(s + 2)
i=1 n
= -1
Õ(s - pj)
j=1
模值条件
相角条件
对照比较这两组方 程，可以发现：
模值条件相同，但 相角条件不同。
m
Õ 同理，由根轨迹方程二可推知： K * (s - zi )
i=1 n
= -1
Õ(s - pj)
j=1
模值条件
相角条件
180°根轨迹 0°根轨迹
4-2 根轨迹绘制的基本法则
ì í îï
K -w2 jw (2 -
= K
0 )=
0
®
ìï K
íîïw
= =
2 ±
2
ìï í îï
jw (10 K -11w
w2
2=
)= 0
0
®
ìïw
í îï K
= =
± 10 110
4-11 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为：
GK (s) =
K(s + a) s2(s + 1)
求K
=
1 当时，以a为参变量的根轨迹。
4
1+ GK
=
0
®
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
自动控制原理第四章
ts = 3.5
×
• • • •
Im
[s]
σ % < σ 0% → ζ > ζ 0 ωd < ωd 0 开环增益 (4) 稳态性能 积分环节个数
α β = cos−1 ζ < cos−1 ζ 0
-2
-1 • • •
•
•
×
0
Re
4
开环零、极点与闭环零、 4-1-3 开环零、极点与闭环零、极点
K M ( s) 设：G ( s ) = 1 1 N 1 ( s)
1） 前向通路传函的零点+反馈传函的极点 无关）； 结论： 闭环零点=前向通路传函的零点 反馈传函的极点（ 结论： ）闭环零点 前向通路传函的零点 反馈传函的极点（与K*无关）； 2）闭环极点——不仅与开环零、极点有关，还与 *有关。 ）闭环极点 不仅与开环零、 不仅与开环零 极点有关，还与K 有关。
1 n Π ( s − z i ) + * Π ( s − p i） 0 = i =1 K i =1
m
K*→∞
Π ( s − zi ) = 0
i =1
m
开环零点z 即K*→∞时，闭环极点 si＝开环零点 i 时 当 m ≤ n n时，有n-m 条的终点在无穷远点 n Π s − pi Π s − pi * * i =1 K = lim i =1 = lim s n − m → ∞ K = m s→∞ m s→∞ Π s − zi Π s − zi
K Π ( s − zi ) + Π ( s − pi） 0 =
* i =1 i =1
m
n
闭环根的个数 = 特征方程阶次 = max{n,m} 2) 连续性 闭环特征方程中的某些系数是K ∵闭环特征方程中的某些系数是 *的函数 连续变化时， ∴K*从0→∞连续变化时，那些系数也随之连续变化 连续变化时 特征根的变化也是连续的。 ∴特征根的变化也是连续的。 3) 对称性 实根——位于实轴 实根 位于实轴 特征根 复根——对称于实轴 复根 对称于实轴 根轨迹是特征根的集合——对称于实轴。 对称于实轴。 根轨迹是特征根的集合 对称于实轴
×
• • • •
Im
[s]
σ % < σ 0% → ζ > ζ 0 ωd < ωd 0 开环增益 (4) 稳态性能 积分环节个数
α β = cos−1 ζ < cos−1 ζ 0
-2
-1 • • •
•
•
×
0
Re
4
开环零、极点与闭环零、 4-1-3 开环零、极点与闭环零、极点
K M ( s) 设：G ( s ) = 1 1 N 1 ( s)
1） 前向通路传函的零点+反馈传函的极点 无关）； 结论： 闭环零点=前向通路传函的零点 反馈传函的极点（ 结论： ）闭环零点 前向通路传函的零点 反馈传函的极点（与K*无关）； 2）闭环极点——不仅与开环零、极点有关，还与 *有关。 ）闭环极点 不仅与开环零、 不仅与开环零 极点有关，还与K 有关。
1 n Π ( s − z i ) + * Π ( s − p i） 0 = i =1 K i =1
m
K*→∞
Π ( s − zi ) = 0
i =1
m
开环零点z 即K*→∞时，闭环极点 si＝开环零点 i 时 当 m ≤ n n时，有n-m 条的终点在无穷远点 n Π s − pi Π s − pi * * i =1 K = lim i =1 = lim s n − m → ∞ K = m s→∞ m s→∞ Π s − zi Π s − zi
K Π ( s − zi ) + Π ( s − pi） 0 =
* i =1 i =1
m
n
闭环根的个数 = 特征方程阶次 = max{n,m} 2) 连续性 闭环特征方程中的某些系数是K ∵闭环特征方程中的某些系数是 *的函数 连续变化时， ∴K*从0→∞连续变化时，那些系数也随之连续变化 连续变化时 特征根的变化也是连续的。 ∴特征根的变化也是连续的。 3) 对称性 实根——位于实轴 实根 位于实轴 特征根 复根——对称于实轴 复根 对称于实轴 根轨迹是特征根的集合——对称于实轴。 对称于实轴。 根轨迹是特征根的集合 对称于实轴
自动控制原理第四章答案
自动控制原理第四章答案在自动控制原理的学习中，掌握第四章的知识是非常重要的。
本章主要介绍了控制系统的稳定性分析，包括了稳定性的概念、稳定性的判据以及稳定性的研究方法。
下面将对第四章的习题答案进行详细解析，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分的内容。
1. 试述控制系统的稳定性概念及其重要性。
控制系统的稳定性是指在一定的工作条件下，系统的输出能够有限地保持在某个范围内，不会发散或者不会无限增大。
稳定性是控制系统正常工作的基础，一个稳定的控制系统才能够实现预期的控制效果，否则就会出现失控的情况，甚至导致系统崩溃。
因此，稳定性是控制系统设计和分析中非常重要的一个指标。
2. 什么是控制系统的稳定性判据？试述Routh-Hurwitz准则的基本思想。
控制系统的稳定性判据是用来判断系统的稳定性的方法和标准。
Routh-Hurwitz准则是一种常用的稳定性判据，其基本思想是通过构造一个特殊的矩阵，来判断系统的特征方程的根的实部是否都小于零，从而确定系统的稳定性。
通过计算特征方程的系数，可以得到一个关于这些系数的表达式，通过这个表达式的符号来判断系统的稳定性。
3. 试述根轨迹法的基本原理及应用条件。
根轨迹法是一种图解法，通过绘制系统的特征方程在复平面上的根轨迹图来判断系统的稳定性。
其基本原理是根据系统的传递函数，找出特征方程的根，并根据这些根在复平面上的分布情况来判断系统的稳定性。
根轨迹法的应用条件是系统的传递函数必须是一个真分式，即分子次数小于分母次数，且分母的所有根必须是实数或者成对共轭的复数。
4. 试述Nyquist稳定性判据的基本原理及应用条件。
Nyquist稳定性判据是一种基于系统的开环频率特性曲线（Nyquist曲线）来判断系统稳定性的方法。
其基本原理是通过绘制系统的开环频率特性曲线，然后根据曲线的形状和特征来判断系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据的应用条件是系统必须是线性时不变系统，并且系统的传递函数必须是一个真分式。
《自动控制理论(第版)》邹伯敏课件第4章
i1
n
n
s n pl s n1
pl
l 1
l 1
3、用分子除以分母得
GsH s
K0
s nm
n l 1
pl
m i 1
zi s nm1
2020/5/4
第四章 根轨迹法
14
自动控制理论
当s 时,
令某系统的开环传递函数为W s
s
K0
A
nm
K0
snm
n
m
s nm1
A
1 W s 0,有n m条根轨迹分支,它们是由实轴上s σA点出发的射线,
图4-4 一阶系统
2020/5/4
图4-5 图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹
第四章 根轨迹法
6
自动控制理论
结论：
根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹 的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：
➢找出s 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线 ➢根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值
例4-4
已知GsH s
ss
K0
4s 2
4s
20
求根的分离点
图4-12 例4-4的根轨迹
解：1）有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0，-4，-2±j4
2） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , 3 , 5 , 7 , k 0,1,2,3
4
44 4 4
渐近线与实轴的交点为
2020/5/4
-A
422 4 第四章
规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点
闭环特征方程：
n
m
s pl K 0 s zi 0
l 1
自动控制原理第四章答案
自动控制原理第四章答案在自动控制原理的学习中，第四章是一个重要的环节，本章主要讲解了控制系统的稳定性。
在这一章节中，我们将学习如何分析控制系统的稳定性，并且掌握相应的解决方法。
接下来，我将为大家详细介绍第四章的内容及答案。
1. 什么是控制系统的稳定性？控制系统的稳定性是指当系统受到干扰时，系统能够保持平衡状态或者在一定的范围内回到平衡状态的能力。
在控制系统中，稳定性是一个非常重要的指标，它直接关系到系统的可靠性和性能。
2. 如何分析控制系统的稳定性？要分析控制系统的稳定性，我们通常采用的方法是利用系统的传递函数进行分析。
通过传递函数的极点和零点，我们可以判断系统的稳定性。
另外，我们还可以利用根轨迹法、Nyquist法、Bode图等方法进行分析。
3. 控制系统的稳定性解决方法有哪些？针对不同的稳定性问题，我们可以采取不同的解决方法。
比如，对于系统的根轨迹出现在右半平面的情况，我们可以采取根轨迹设计法进行修正；对于系统的相位裕度不足的情况，我们可以采取相位裕度补偿的方法进行调整。
4. 控制系统的稳定性分析在工程中的应用。
控制系统的稳定性分析在工程中有着广泛的应用，比如在飞行器、汽车、机器人等自动控制系统中，稳定性分析是至关重要的。
只有保证了系统的稳定性，才能确保系统的可靠性和安全性。
5. 总结。
通过本章的学习，我们对控制系统的稳定性有了更深入的了解。
掌握了稳定性分析的方法和解决方案，我们可以更好地应用于工程实践中，提高系统的性能和可靠性。
希望本文的内容能够帮助大家更好地理解自动控制原理第四章的内容，并且在学习和工程实践中取得更好的成绩。
自动控制原理第四章
σ
-0.5 0
k' WK ( s ) = s ( s + 2)( s + 4)
jω
σ
-4 -2 0
0−2−4 = −2 σ= 3 2k + 1 π 5π θ= π = ,π , 3 3 3
k' WK ( s ) = s ( s + 1)( s + 2)( s + 5)
jω
-5 -2 -1 0
σ = −2 π θ =±
kN ( s ) Wk ( s ) = D(s)
F ( s ) = D( s ) + kN ( s )
k =0 k →∞
F ( s) = D( s) F (s) = N (s)
n > m时，有（n－m) 条分支趋于无穷。 条分支趋于无穷。 时
根轨迹的渐近线：共有（ 3、根轨迹的渐近线：共有（n－m）条渐近线 与实轴交点 与实轴夹角
Wk ( s ) = 1 ∠Wk ( s ) = (2k + 1)π
幅值条件 相角条件
Wk (s) =
k ∏ (Ti s + 1) s N ∏ (τ j s + 1)
j =1 i =1 r
m
时间常数表达式
N＋ r = n > m
零极点表达式 K’为根轨迹增益 为根轨迹增益
=
k ' ∏ ( s + zi ) s N ∏ (s + p j )
dk' = −3s 2 − 12 s − 8 = 0 ds
k' = − s 3 − 6 s 2 − 8 sσ来自-4-20
s1,2
2 3 2 3 = −2 ± 舍去 − 2 − 3 3 k' = 3.08
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
自动控制原理第四章
东北大学《自动控制原理》课程组 6
4.1 根轨迹法的基本概念
幅值条件： 幅值条件：
N (s) = D (s)
∏ (s + z ) ∏ (s + p )
j =1 j i =1 n i
m
∏l = ∏L
i =1 j =1
i
j
开环有限零点到s点的矢量长度之积 1 = = 开环极点到s点的矢量长度之积 Kg
东北大学《自动控制原理》课程组
l
1 ，即把它等效成为 1+τ s
25
4.2 根轨迹的绘制法则
例4-7 试绘制下图示系统的根轨迹。 试绘制下图示系统的根轨迹。
解
− （1）二个开环极点：p0 = 0 ， p1 = − 二个开环极点： 二个开环极点
− 一个有限零点： 一个有限零点： z1 = −
1 Ta
把以上诸值代入辐角条件，即得起点（ 把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为 ）
β 4 = −26.6
东北大学《自动控制原理》课程组 15
4.2 根轨迹的绘制法则
通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为 通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为 出射角
m n −1 β sc = 180 − ∑ β j − ∑ α i i =1 j =1
s3
s
2
1
3
2
2K K
s
1
2K K 2− 3
2K K
19
s0
东北大学《自动控制原理》课程组
4.2 根轨迹的绘制法则
在第一列中， 行等于零， 在第一列中，令 s1 行等于零，则得临界放大系数 K K = Kl = 3 根轨迹与虚轴的交点可根据 s 2 行的辅助方程求得，即 行的辅助方程求得，
4.1 根轨迹法的基本概念
幅值条件： 幅值条件：
N (s) = D (s)
∏ (s + z ) ∏ (s + p )
j =1 j i =1 n i
m
∏l = ∏L
i =1 j =1
i
j
开环有限零点到s点的矢量长度之积 1 = = 开环极点到s点的矢量长度之积 Kg
东北大学《自动控制原理》课程组
l
1 ，即把它等效成为 1+τ s
25
4.2 根轨迹的绘制法则
例4-7 试绘制下图示系统的根轨迹。 试绘制下图示系统的根轨迹。
解
− （1）二个开环极点：p0 = 0 ， p1 = − 二个开环极点： 二个开环极点
− 一个有限零点： 一个有限零点： z1 = −
1 Ta
把以上诸值代入辐角条件，即得起点（ 把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为 ）
β 4 = −26.6
东北大学《自动控制原理》课程组 15
4.2 根轨迹的绘制法则
通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为 通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为 出射角
m n −1 β sc = 180 − ∑ β j − ∑ α i i =1 j =1
s3
s
2
1
3
2
2K K
s
1
2K K 2− 3
2K K
19
s0
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4.2 根轨迹的绘制法则
在第一列中， 行等于零， 在第一列中，令 s1 行等于零，则得临界放大系数 K K = Kl = 3 根轨迹与虚轴的交点可根据 s 2 行的辅助方程求得，即 行的辅助方程求得，
自动控制理论(邹伯敏)第四章答案
由图知主导极点为07ko7176题461p3pi无zj日二处止丄竺渐近线与实轴交点为等效开环传递函数gists125由等效开环传递函数容易得到n因此有1条根轨迹趋于无穷远其渐近线倾角为5432112345匚05arccosp0560与实轴负方向夹角为60作射线与根轨迹的1s3jco交点即为主导极点
题4-1
(a)(b) (c)
(d)(e) (f)
题4-2
解：
由开环传递函数容易得到 ，三个极点分别为 ，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为 ，渐近线与实轴交点为 。
下面确定根轨迹的分离点和汇合点
计算根轨迹的出射角与入射角
确定根轨迹与虚轴的交点
题4-5
解：
由开环传递函数容易得到 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个极点分别为 ，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为 ，渐近线与实轴交点为 。
下面确定根轨迹的分离点和汇合点
(2) 过s平面原点，与实轴负方向夹角为 作射线，与根轨迹的交点即为主导极点。由图知，主导极点为 。又 ,所以
题4-9
解：
系统的闭环传递函数 ，等效开环传递函数为 。
由等效开环传递函数容易得到 ，两个极点和一个零点分别为 ，因此，有1条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为 。
下面确定根轨迹的分离点和汇合点
确定根轨迹与虚轴的交点
(2)要产生阻尼振荡，需要 。当 ，所以，当 系统呈阻尼振荡。
(3)当 ，系统产生持续等幅振荡，振荡频率为
(4) 过s平面原点，与实轴负方向夹角为 作射线，与根轨迹的交点即为主导极点。由图知，主导极点为 。又
所以
题4-6
解：
(1)由开环传递函数容易得到 ，三个极点和一个零点分别为 ，因此，有2条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为 ，渐近线与实轴交点为 。
题4-1
(a)(b) (c)
(d)(e) (f)
题4-2
解：
由开环传递函数容易得到 ，三个极点分别为 ，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为 ，渐近线与实轴交点为 。
下面确定根轨迹的分离点和汇合点
计算根轨迹的出射角与入射角
确定根轨迹与虚轴的交点
题4-5
解：
由开环传递函数容易得到 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个极点分别为 ，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为 ，渐近线与实轴交点为 。
下面确定根轨迹的分离点和汇合点
(2) 过s平面原点，与实轴负方向夹角为 作射线，与根轨迹的交点即为主导极点。由图知，主导极点为 。又 ,所以
题4-9
解：
系统的闭环传递函数 ，等效开环传递函数为 。
由等效开环传递函数容易得到 ，两个极点和一个零点分别为 ，因此，有1条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为 。
下面确定根轨迹的分离点和汇合点
确定根轨迹与虚轴的交点
(2)要产生阻尼振荡，需要 。当 ，所以，当 系统呈阻尼振荡。
(3)当 ，系统产生持续等幅振荡，振荡频率为
(4) 过s平面原点，与实轴负方向夹角为 作射线，与根轨迹的交点即为主导极点。由图知，主导极点为 。又
所以
题4-6
解：
(1)由开环传递函数容易得到 ，三个极点和一个零点分别为 ，因此，有2条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为 ，渐近线与实轴交点为 。
自动控制原理-4-3
对于开环频率特性曲线包围-1点的情形。 对于开环频率特性曲线包围 点的情形。不能使用增益稳定裕 点的情形 量或相角稳定裕量的概念。不稳定的系统谈不上稳定裕度， 量或相角稳定裕量的概念。不稳定的系统谈不上稳定裕度，也 就没有增益或相角稳定裕量。 就没有增益或相角稳定裕量。
上述关于增益和相角稳定裕量的定义对同一系统的稳定 裕量存在不唯一。例如图4.75的系统的稳定裕量，既可认 的系统的稳定裕量， 裕量存在不唯一。例如图 的系统的稳定裕量 为是K 也可认为是K 为是 g1和γ1，也可认为是 g2和γ2。
4.13 从开环频率特性研究闭环系统的动态性能
4.11.1 从开环对数幅频特性研究闭环系统的稳定 性及静态特性 对于最小相位系统可以根据开环对数幅频特性曲 线各段的斜率把相频特性曲线粗略地勾画出来。 线各段的斜率把相频特性曲线粗略地勾画出来。 以 图 4.81(a)的对数幅频特性曲线为例 ， 在 L=0dB点， 的对数幅频特性曲线为例， 的对数幅频特性曲线为例 点 附近相当宽的频率段内(ω从 到 ， 有ωc=0.5。在ωc附近相当宽的频率段内 从0.2到1.5， 。 两端频率之比为7.5)斜率都为 ，直到距 c相当远的 斜率都为-1，直到距ω 两端频率之比为 斜率都为 频率段上L的斜率才是 的斜率才是-2和 。但这些距ω 频率段上 的斜率才是 和-3。但这些距 c较远的频 率段上L的斜率对 点的相角影响已不太大。 的斜率对ω 率段上 的斜率对 c 点的相角影响已不太大 。 因此 可以判断， 点的相角虽小于-90° 但不会达到 ° 但不会达到可以判断 ， ωc 点的相角虽小于 180° ， 系统应是稳定的 。 事实上此系统有 ° 系统应是稳定的。 事实上此系统有θ(ωc)=139°，相角裕量是 °。 ° 相角裕量是41°
自动控制原理第四章
3
基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练
运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。 3.正确理解根轨迹法则，对法则的证明只需一般了解，熟
练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变
化到正无穷时的闭环根轨迹。
4
4－1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的分支数 分支数＝开环极点数 ＝开环特征方程的阶数
二、根轨迹对称于实轴 闭环极点为 实数→在实轴上 复数→共轭→对称于实轴
14
三、根轨迹的起点与终点
起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程有：
m
i1 n
(s (s
zi ) pi )
1 K*
i 1
起点 K * 0 → s pi 0 → s pi
① 有4条根轨迹。
② 各条根轨迹分别起于开环极点(0)，(-3)， （-1+j1）,（ -1-j1） ；终于无穷远。
③ 实轴上的根轨迹在0到-3之间。
④ 渐近线
a
(2k
1) π 4
450 , 1350
a
0 3 1 j11 4
j1
1.25
36
⑤ 确定分离点d
4 1 0
试绘制系统概略根轨迹。
23
解：
① n=2，有两条根轨迹。 ② 两条根轨迹分别起始于开环极点 (-1-j2), (-1+j2) ，终于开环零点 (-2-j) ,(-2+j) ③ 确定起始角、终止角。 如图4－13所示。
24
例4－5根轨迹的起始角和终止角
图4－13
基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练
运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。 3.正确理解根轨迹法则，对法则的证明只需一般了解，熟
练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变
化到正无穷时的闭环根轨迹。
4
4－1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的分支数 分支数＝开环极点数 ＝开环特征方程的阶数
二、根轨迹对称于实轴 闭环极点为 实数→在实轴上 复数→共轭→对称于实轴
14
三、根轨迹的起点与终点
起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程有：
m
i1 n
(s (s
zi ) pi )
1 K*
i 1
起点 K * 0 → s pi 0 → s pi
① 有4条根轨迹。
② 各条根轨迹分别起于开环极点(0)，(-3)， （-1+j1）,（ -1-j1） ；终于无穷远。
③ 实轴上的根轨迹在0到-3之间。
④ 渐近线
a
(2k
1) π 4
450 , 1350
a
0 3 1 j11 4
j1
1.25
36
⑤ 确定分离点d
4 1 0
试绘制系统概略根轨迹。
23
解：
① n=2，有两条根轨迹。 ② 两条根轨迹分别起始于开环极点 (-1-j2), (-1+j2) ，终于开环零点 (-2-j) ,(-2+j) ③ 确定起始角、终止角。 如图4－13所示。
24
例4－5根轨迹的起始角和终止角
图4－13
自动控制原理第4章
z2 ) p2 )
m
sm z j n1
i 1
(s zm )
(s pn )
m
(zj)
j 1
n
( pi )
i 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则 闭环特征方程为
snnp isn 1 n( p i)K *m( zj) 0
证明：系统的闭环特征方程
n
m
D(s) (spi)K* (szj)0
i1
j1
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重
根。因此，
n
m
(s pi ) K* (s zj ) 0
i1
j1
d
ds
n i1
(s
pi )
K*
m j1
(s zj )
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。
广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
(s
j 1
n
(s
zj) pi )
1 K*
i1
令K* =0，得
m
j 1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
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* j 1
s ( s pi )
i 1
n
其中: K*----根轨迹增益 Zj----开环零点（Zj =-1/τj） Pi----开环极点（Pi=-1/ Ti）
显然
K*
j 1
j
T
i 1
n
K
注意！ K与K*之间的转换
i
2 根轨迹方程
根据定义及集合的概念，定义根轨迹方程为 1+G（s）H（s）=0 或 G（s）H（s） = -1 ，即：
n 1 1 j 1 d z i 1 d p j i m
由上式算得的分离点d值必须使K*>0, 或者讲必须在根轨迹上. 当开环传递函数没有一个零点时, 分离点d的值由下式计算:
1 0 j 1 d p j
n
现计算例子中的分离点d值, 由于:
1 1 1 1 1 1 1 d d 6 d 8 d 0.5 j d 0.5 j d 4 j3 d 4 j3 1 1 1 1 d 1 d 10 d 7 j 2 d 7 j 2
a
z p
i i j 1
m
n
j
mn
(2k 1) a mn
k 0,1,2,, m n 1
（5）法则5： 根轨迹的分离点（也叫会合点）及分离角。 1）分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在S平面上相遇又分 开的点称为分离点。一般常见的分离点多位于实轴上, 但有时 也产生于共軛复数对中(即在复平面上). 分离点d可由下式求得：
n 7, m 4; z1 1, z2 10, z3 7 j 2, z4 7 j 2 p1 0, p2 6, p3 8, p4 0.5 j, p5 0.5 j, p6 4 j3, p7 4 j3
jω p6 z3 p4 -10 z2 -8 p3 -6 p2 3 2 1
(2k 1) a nm
n m i 1 i
(k=0，1，2，…，n-m-1)
a
p z
j 1
j
nm
上例中, n-m=7-4=3, 有三条渐近线,它们的 a 和 a 计算如下:
p j 0 6 8 0.5 j 0.5 j 4 j 3 4 j 3 23
（3）法则3： 实轴上的根轨迹。 根据相角条件，实轴上的某段根轨迹，若其右边的开环 实数极点与开环实数零点的总数为奇数，该区段必是条完 整的根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分. jω
p6 z3 p4 -10 z2 -8 p3 -6 p2 -1 z1 3 2 1
0 p1
p5
σ
z4
p7
（4）法则4： 根轨迹的渐近线。(证明参见P149-) 设 n＞m ，则有n-m条渐近线，它们与实轴的交点σa和交角φa 分别为：
第四章
根轨迹法
一、重点： 1、根轨迹方程 2、绘制根轨迹的基本公式、基本法则 二、难点： 1、绘制复杂系统根轨迹 2、利用根轨迹分析系统性能 3、用根轨迹方法设计系统 三、考点： 1、绘制系统根轨迹 2、利用根轨迹分析系统性能
4.1 根轨迹法的基本概念
先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么.
a0
3
,
a1 , a 2
渐近线见下图:
p6 z3 p4
jω
3 2
1 0 2/3 p1 p5
-10 z2
-8 p3
z4
-6 p2
-1 z1
σ
p7
对于法则4, 当m>n时, 有m-n条根轨迹从无穷远处的极点沿 a 和 a 由下式计算: 一组渐近线进入有限零点, 这一组渐近线的
(3)开环增益K与根轨迹增益K* 的关系
因为开环传递函数可以有两种形式：
尾 1 型
G( s) H ( s)
K ( j s 1)
j 1
m
其中， K----开环增益 ν----系统类型
s (Ti s 1)
i 1
m
n
首 1 型
G( s) H ( s)
m
K (s z j )
1 .根轨迹概念：
(1)定义：当开环系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化时, 系统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移 动而形成的轨迹. 称为系统的根轨迹. (2) 系统性能与根轨迹的关系（教材P145） 当增益K由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入 s平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的;
Pi (2k 1) ( z p p p )
j 1
j i
m
n
n 、m分别为开环极、零点数 （k=0，±1， ±2，…）
j 1 j i
j
i
其中
z p z p p p p p
j
i
j
i
j
i
j
i
( pi z j ) ( pi z j ) ( pi p j ) ( pi p j )
K G ( s) ( s 1)( s 2)
若令开环传递函数:
G(s)的极点为-1和-2, 恰为当K=0时, 代数方程 s2 3s 2 K 0 的两个根, 也即两条根轨迹分支的起点.
(3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上 的根轨迹关于实轴成镜向对称.
稳定性
稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I 型系统，根轨迹上的K值（开环增益）就是静态速度误差 系数Kv。如果已知ess的容许范围，则在根轨迹图上可以确 定闭环极点取值的容许范围。 动态特性 当0< K <0.25时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当K=0.25时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统; 当K>0.25时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。
---- m个开环零点中第j个零点zj到第i个 极点 pi 的相角 ---- n个开环极点中扣除第i个以后其余 的第j 个极点pj到第i个极点pi的相角
2）分离角：
由下式来求取。
(2k 1) d l
（k=0，1，2，…，l-1）
其中 l 为分离点处的分支数；在多数情况下，l= 2 或4等。 例题1 教材P153例题4-1、例题4-2。 （6） 法则6： 根轨迹的起始角/出射角与终止角/入射角。 ① 起始角（出射角）：复数开环极点处，根轨迹切线方向与 正实轴的夹角，以θPi表示。
设有二阶代数方程 s2 3s 2 K 0 , 由韦达定理, 可求出其二个根 为: s1, 2 1.5 0.25 K , 当可变参数K从0连续变化到正无穷大时, 计算这两个根的 所有值是相当麻烦的. 那么能否在根平面即S平面上画出这两个根随K从0连续变 化到正无穷大时的变化轨迹呢? (1)K=0, 则 s1 1, s2 2
对上式整理得:
d 10 38.5d 9 621.75d 8 5430 .375d 7 572799 .25d 6 72338 d 5 49935 .75d 4 584743 .625d 3 640674 .75d 2 67091 .25d 406775 0
根据向量相等的条件，有： ∣G（s）H（s）∣=1
j j GG ( S()S H) (H S )( S )
1 1 e 1 e
j ( 2 k 1)
j ( 2 k 1)
（k= 0, 1, 2, …）
∠G（s）H（s）=（2k±1）π
（k= 0, 1, 2, …）
K (s z j )
j 1 4
7
i 1
i
1 10 7 j 2 7 j 2 25
a
p
j 1
7
j
zi
i 1
4
nm ( 2k 1) a nm (2k 1) a 3
23 ( 25) 2 3 3 k 0,1,2,, n m 1 k 0,1,2 5 3
*
m
即有
j 1
(s p )
i 1 i
m n j 1 j
n
1 或者 K
*
(s p ) (s z )
j 1 j i 1 m i
n
(模值条件)
(s z ) (s p ) (2k 1)
i 1 i
(相角条件)
（k= 0, 1, 2, …）
-1 z1
0 p1
p5
σ
z4
p7
(1) 法则1：根轨迹的起点与终点。根轨迹的起点（K*=0）是 开环极点；终点（K*=∞）是开环零点。 说明：设G（s）H（s）的开环零点数是 m ，开环极点数是 n 。 当m≤n时，将有 n-m 条根轨迹的终点在无穷远处； 当m＞n时，将有 m-n 条根轨迹的起点在无穷远处。 在无穷远处（在G（s）H（s）没有出现）的零、极点称为 无限零、极点； 在G（s）H（s）出现的且数值有限的零、极点称为有限零、 极点； (2) 法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。 ① 根轨迹的分支数。由1+G（s）H（s）=0的阶次数决定。 ② 连续性。根轨迹在[s]平面上是连续的。这是因为当K*→∞时， 系统的特征根是连续的。 ③ 对称性。根轨迹在 [s]平面上是关于实轴对称的。这是因 为当K*→∞时，系统的特征根是实数或共轭复数。
同时满足模值条件和相角条件，可以确定根轨迹，还可以： （1）已知根轨迹上的点，确定根轨迹参数K*； （2）已知根轨迹参数K*，确定根轨迹上的点（即闭环极点）。
其中，相角条件为确定根轨迹的充要条件。因为一般只要利 用相角条件绘制根轨迹，只有在求K*时才用到模值条件。
s ( s pi )
i 1
n
其中: K*----根轨迹增益 Zj----开环零点（Zj =-1/τj） Pi----开环极点（Pi=-1/ Ti）
显然
K*
j 1
j
T
i 1
n
K
注意！ K与K*之间的转换
i
2 根轨迹方程
根据定义及集合的概念，定义根轨迹方程为 1+G（s）H（s）=0 或 G（s）H（s） = -1 ，即：
n 1 1 j 1 d z i 1 d p j i m
由上式算得的分离点d值必须使K*>0, 或者讲必须在根轨迹上. 当开环传递函数没有一个零点时, 分离点d的值由下式计算:
1 0 j 1 d p j
n
现计算例子中的分离点d值, 由于:
1 1 1 1 1 1 1 d d 6 d 8 d 0.5 j d 0.5 j d 4 j3 d 4 j3 1 1 1 1 d 1 d 10 d 7 j 2 d 7 j 2
a
z p
i i j 1
m
n
j
mn
(2k 1) a mn
k 0,1,2,, m n 1
（5）法则5： 根轨迹的分离点（也叫会合点）及分离角。 1）分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在S平面上相遇又分 开的点称为分离点。一般常见的分离点多位于实轴上, 但有时 也产生于共軛复数对中(即在复平面上). 分离点d可由下式求得：
n 7, m 4; z1 1, z2 10, z3 7 j 2, z4 7 j 2 p1 0, p2 6, p3 8, p4 0.5 j, p5 0.5 j, p6 4 j3, p7 4 j3
jω p6 z3 p4 -10 z2 -8 p3 -6 p2 3 2 1
(2k 1) a nm
n m i 1 i
(k=0，1，2，…，n-m-1)
a
p z
j 1
j
nm
上例中, n-m=7-4=3, 有三条渐近线,它们的 a 和 a 计算如下:
p j 0 6 8 0.5 j 0.5 j 4 j 3 4 j 3 23
（3）法则3： 实轴上的根轨迹。 根据相角条件，实轴上的某段根轨迹，若其右边的开环 实数极点与开环实数零点的总数为奇数，该区段必是条完 整的根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分. jω
p6 z3 p4 -10 z2 -8 p3 -6 p2 -1 z1 3 2 1
0 p1
p5
σ
z4
p7
（4）法则4： 根轨迹的渐近线。(证明参见P149-) 设 n＞m ，则有n-m条渐近线，它们与实轴的交点σa和交角φa 分别为：
第四章
根轨迹法
一、重点： 1、根轨迹方程 2、绘制根轨迹的基本公式、基本法则 二、难点： 1、绘制复杂系统根轨迹 2、利用根轨迹分析系统性能 3、用根轨迹方法设计系统 三、考点： 1、绘制系统根轨迹 2、利用根轨迹分析系统性能
4.1 根轨迹法的基本概念
先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么.
a0
3
,
a1 , a 2
渐近线见下图:
p6 z3 p4
jω
3 2
1 0 2/3 p1 p5
-10 z2
-8 p3
z4
-6 p2
-1 z1
σ
p7
对于法则4, 当m>n时, 有m-n条根轨迹从无穷远处的极点沿 a 和 a 由下式计算: 一组渐近线进入有限零点, 这一组渐近线的
(3)开环增益K与根轨迹增益K* 的关系
因为开环传递函数可以有两种形式：
尾 1 型
G( s) H ( s)
K ( j s 1)
j 1
m
其中， K----开环增益 ν----系统类型
s (Ti s 1)
i 1
m
n
首 1 型
G( s) H ( s)
m
K (s z j )
1 .根轨迹概念：
(1)定义：当开环系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化时, 系统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移 动而形成的轨迹. 称为系统的根轨迹. (2) 系统性能与根轨迹的关系（教材P145） 当增益K由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入 s平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的;
Pi (2k 1) ( z p p p )
j 1
j i
m
n
n 、m分别为开环极、零点数 （k=0，±1， ±2，…）
j 1 j i
j
i
其中
z p z p p p p p
j
i
j
i
j
i
j
i
( pi z j ) ( pi z j ) ( pi p j ) ( pi p j )
K G ( s) ( s 1)( s 2)
若令开环传递函数:
G(s)的极点为-1和-2, 恰为当K=0时, 代数方程 s2 3s 2 K 0 的两个根, 也即两条根轨迹分支的起点.
(3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上 的根轨迹关于实轴成镜向对称.
稳定性
稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I 型系统，根轨迹上的K值（开环增益）就是静态速度误差 系数Kv。如果已知ess的容许范围，则在根轨迹图上可以确 定闭环极点取值的容许范围。 动态特性 当0< K <0.25时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当K=0.25时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统; 当K>0.25时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。
---- m个开环零点中第j个零点zj到第i个 极点 pi 的相角 ---- n个开环极点中扣除第i个以后其余 的第j 个极点pj到第i个极点pi的相角
2）分离角：
由下式来求取。
(2k 1) d l
（k=0，1，2，…，l-1）
其中 l 为分离点处的分支数；在多数情况下，l= 2 或4等。 例题1 教材P153例题4-1、例题4-2。 （6） 法则6： 根轨迹的起始角/出射角与终止角/入射角。 ① 起始角（出射角）：复数开环极点处，根轨迹切线方向与 正实轴的夹角，以θPi表示。
设有二阶代数方程 s2 3s 2 K 0 , 由韦达定理, 可求出其二个根 为: s1, 2 1.5 0.25 K , 当可变参数K从0连续变化到正无穷大时, 计算这两个根的 所有值是相当麻烦的. 那么能否在根平面即S平面上画出这两个根随K从0连续变 化到正无穷大时的变化轨迹呢? (1)K=0, 则 s1 1, s2 2
对上式整理得:
d 10 38.5d 9 621.75d 8 5430 .375d 7 572799 .25d 6 72338 d 5 49935 .75d 4 584743 .625d 3 640674 .75d 2 67091 .25d 406775 0
根据向量相等的条件，有： ∣G（s）H（s）∣=1
j j GG ( S()S H) (H S )( S )
1 1 e 1 e
j ( 2 k 1)
j ( 2 k 1)
（k= 0, 1, 2, …）
∠G（s）H（s）=（2k±1）π
（k= 0, 1, 2, …）
K (s z j )
j 1 4
7
i 1
i
1 10 7 j 2 7 j 2 25
a
p
j 1
7
j
zi
i 1
4
nm ( 2k 1) a nm (2k 1) a 3
23 ( 25) 2 3 3 k 0,1,2,, n m 1 k 0,1,2 5 3
*
m
即有
j 1
(s p )
i 1 i
m n j 1 j
n
1 或者 K
*
(s p ) (s z )
j 1 j i 1 m i
n
(模值条件)
(s z ) (s p ) (2k 1)
i 1 i
(相角条件)
（k= 0, 1, 2, …）
-1 z1
0 p1
p5
σ
z4
p7
(1) 法则1：根轨迹的起点与终点。根轨迹的起点（K*=0）是 开环极点；终点（K*=∞）是开环零点。 说明：设G（s）H（s）的开环零点数是 m ，开环极点数是 n 。 当m≤n时，将有 n-m 条根轨迹的终点在无穷远处； 当m＞n时，将有 m-n 条根轨迹的起点在无穷远处。 在无穷远处（在G（s）H（s）没有出现）的零、极点称为 无限零、极点； 在G（s）H（s）出现的且数值有限的零、极点称为有限零、 极点； (2) 法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。 ① 根轨迹的分支数。由1+G（s）H（s）=0的阶次数决定。 ② 连续性。根轨迹在[s]平面上是连续的。这是因为当K*→∞时， 系统的特征根是连续的。 ③ 对称性。根轨迹在 [s]平面上是关于实轴对称的。这是因 为当K*→∞时，系统的特征根是实数或共轭复数。
同时满足模值条件和相角条件，可以确定根轨迹，还可以： （1）已知根轨迹上的点，确定根轨迹参数K*； （2）已知根轨迹参数K*，确定根轨迹上的点（即闭环极点）。
其中，相角条件为确定根轨迹的充要条件。因为一般只要利 用相角条件绘制根轨迹，只有在求K*时才用到模值条件。