抽屉原理习题(含答案)

抽屉原理习题讲解
1．一个篮球运动员在15分钟内将球投进篮圈20次，证明总有某一分钟他至少投进两次.
2．有黑、白、黄筷子各8只，不用眼睛看，任意地取出筷子来，使得至少有两双筷子不同色，那么至少要取出多少只筷子才能做到？
3．证明：在1，2，3，…，10这十个数中任取六个数，那么这六个数中总可以找到两个数，其中一个是另一个的倍数.
4．证明：任意502个整数中，必有两个整数的和或差是998的倍数.
5．任意写一个由数字1，2，3组成的30位数，从这30位数任意截取相邻三位，可得一个三位数，证明：在从各个不同位置上截得的三位数中至少有两个相等.
6．证明：把任意10个自然数用适当的运算符号连接起来，运算的结果总能被1890整除.
7．七条直线两两相交，所得的角中至少有一个角小于26°.
8．用2种颜色涂3行9列共27个小方格，证明：不论如何涂色，其中必至少有两列，它们的涂色方式相同.
9．用2种颜色涂5×5共25个小方格，证明：必有一个四角同色的矩形出
现.
10．求证存在形如11…11的一个数，此数是1987的倍数.
抽屉原理习题答案
（苹果数总是比抽屉数少）
1、平均分假设，每分钟投进一个，那么还有5个球没时间投，无论在哪个一分钟内投都能够使得这一分钟投进至少两球。

2、11只，最倒霉原则，先取出8只黄筷子，然后一黑一白，在任意取一只必能满足结果！
3、首先找到5个数，任意数都不是其他数的倍数！可能是
4、
5、
6、
7、9
或者5、6、7、8、9，这能是这两种组合，然后任意再挑一个，都会出现倍数关系。

3、另解：把1到10分成5个组{5，10}、{3，9}、{1，2，4，8}、{6}、
{7}
咱要从5个组里取6个数出来，必须从1个组里取2个数出来，而任意组拿出来的2个数都是倍数关系。

4、998=499*2=500+498，0-499这500个数，不能满足条件，任意拿到一
个数加上或者减这500个数中的一个数，必然是998的倍数
4、另解：每个整数被９９８除，余数必是０，１，２，…，９９７中的一
个．把这９９８个余数制造为（０），（１，９９７），（２，９９６），…，（４９７，５０１），（４９８），（４９９），（５００）共５０１个抽屉，把５０２个整数按被９９８除的余数大小分别放入上述抽屉，必有两数进入同一抽屉．若余数相同，那么它们的差是９９８的倍数，否则和为９９８的倍数．
5、从30位数中截出个3位数来，这个三位数共有多少中情况呢？111，112，
113。

用乘法原理可知共3*3*3=27种情况，而如果从一个30位数上往下截，应该有28中截法，可见截法比种类还多，这说明，至少有两种截法截出来数要相同。

6、由于1890=9*7*5*3*2，也就是说1890同时是9，7，5，3，2的倍数，
由于除以9的余数只有0到8共9中情况，所以任意取10个自然数，则至少有2个数被9除同余，
同理，除去这两个被9除同余的数外，剩下的8个数中至少有两个数被7除同余
再除去这两个数，剩下6个数中至少有两个数被5除同余
再除去这两个数，剩下4个数中至少有两个数被3除同余
最后剩下2个数，要么有一个2的倍数，要么差是2的倍数。

把刚才所有同余的一对数求差，生成的5个数或者6个数中，一定会同时拥有9，7，5，3，2的倍数，因此，全部乘起来后一定能被1890整除
7．平面中的任意七条线，我们都可以把他们平移到一个交点上这样并不会改变原先角的度数。

这样就能得到14个较小的角，如图所示，且对顶
角相等。

而又知，这14个角围成了一圈，也就是360度，那么14个角的平均度数就是360/14=25.7度<26度，所以必然有角度数小于26度。

8．总共有9列，每列有3个格子，而用两种颜色对3个格子进行涂色只有如下集中情况
000，001，010，011，100，101，110，111共8种情况，其实用乘法原理2*2*2=8也可得。

但现在有9列需要涂色，可见列数大于涂色种类，因此必然存在至少2列的涂色方法一致。

9．先看第一行，有5个方格，用两种颜色去染色，根据抽屉原理必有3个方格同色。

不妨设有3个方格为白色（设黑色也一样）（见图一），设在第1，3，5列。

我们把第2，4列抛弃不看。

如果不是1，3，5列是白色，我们不管是哪三个是白色的，只要留下第一行为白色的三列就！剩下的就5*3的阵列了（见图二）。

有两种情况：
（1）在5*3的方格中，2-5行的某一行的3个方格中出现两个白格，则它们与第一行相应的两个白格可组成四个同为白色的长方形。

（2）在5*3的方格中，2-5行如果没有两个白格。

那么只有白黑黒（记为1），黒白黑（记为2），黑黑白（记为3），黑黑黑（记为4）四种可能。

（图三）如果4出现在后四行中，不管其他三行为1，2，3，4的哪种，必有一个四角为黑色小方格的长方形。

如果4没有出现，则在这四
行中只能出现1，2，3这三种情况。

由抽屉原理，必有两行染色方式相同，显然这两行中的4个黑色的小方格可以构成四角同黑的长方形。

10、用1987去除任意自然数，其余数只有0-1986共1987个数，这就意味
着：任意取1988个不相同的数，必存在2个数除1987同余。

如果可以用f（1）代表1个1的话，那么f（2）就代表11，f（3）就代表111，f（100）就代表100个1。

那么我们取f（1）到f(1988)这1988个数，这其中必有两个数对1987同余。

假设这两个数位f（m）和f（n），其中m大于n，则f（m）（n）一定能被1987整除。

而f（m）（n）肯定是由个1和n个0组成。

容易的证f（）能被1987整除。

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