概率论初步(1-5大专)

第五章概率论初步

前言：概率论是研究随机现象的统计规律的一门重要的数学科。

在实际中，我们经常会遇到两类现象：

（一）随机事件随机现象

1.必然现象与

1.）必然现象——在一定的条件下，必然会发生的现象。例：上抛物体必然

会下

落；同性相斥，异性相吸；在标准大气压下，把水加热到100C ，水必然会沸腾，等等，在自然界中我们常见的物理、化学、电磁等现象，就是属于这类必然现象。

2）随机现象——在一定的条件下，可能会发生，也可能不发生的现象。

抛掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面；

检验一批产品，其中含有3个次品，每次抽取5个产品进行检验，抽取到的5个产品中可能含有的次品数为：0，1，2，3；

下周某天的天气预报：可能是睛，下雨，阴；

在金融市场中，预估下周的上证指数是在]

[b

a区间内；

,

在电讯服务业中，电话总机在某一时刻接到的呼唤次数是：0，1，2，…，100，…；

像这类现象，在日常生活中随处可见，我们称为随机现象。

计规律的方法。

2.随机试验

这里的随机试验一般是泛指对某种现象或事物进行观察或测试。例在前面曾经提到的随机现象：

1.观察抛掷一枚硬币出现正面、或者是出现反面；

2. 检验一批产品，观察其中所含的次品数；

3. 预报下周某天的天气；

4.在金融资本市场中，预估下周的上证指数运行的区间范围；

1.在电讯服务业中，观察电话总机在某一时刻接到的呼唤次数等等，都称为

作随机

试验。

这种试验与普通的物理，化学试验不同的地方是它具有三个特点：

（1）试验可以重复进行；

（2）试验的结果不止一个；

（3）在试验前，不能确定究竟会出现哪一种结果，我们把这种试验称为随机试验，简称为试验。

3.随机事件与样本空间

1.定义：随机试验的各种可能结果称为随机事件，简称为事件。一般常用大写的英文字母:

,

A,

,等等来表示。

C

B

D

2.随机事件的分类

（1）基本事件——在随机试验中，发生的每一个可能的试验结果。

例：掷一枚均匀的骰子，每一面出现的可能点数1，2，3，4，5，6就是一个基本事件。

（2）复合事件——由两个以上的基本事件组所成的事件。

例：在上例中，出现的点数为偶数2，4，6为复合事件。

（3）必然事件——每次试验都会出现的事件，一般记为Ω。

例：出现的点数是1到6中的某一个。

（4）不可能事件——在随机试验中，不可能发生的事件，一般记为Φ。

例：出现7点的事件。

（5）样本空间——基本事件的全体，记为Ω。

例掷一枚均匀的骰子，其样本空间Ω={}6,5,4,3,2,1。

（二）事件的关系及其运算

1.包含关系（或称为子集）——如果事件A发生，必然导致事件B发生，则称事件B包含了事件A，记为B

A⊂。

2.等价关系——如果事件B

A⊃，则称事件A与事件B是

A⊂，同时事件B

等价的，记为B

A=。

事件的运算；

1.和事件——若“事件A与B和中，至少有一个事件发生”则事件必然发生，

则称

事件为A与B的和事件，记为B

A+）。

A⋃（或B

2.积事件——若“事件A与B同时发生”，则事件必然发生，则称事件为A与

A⋂，或AB。

B的积事件，记为B

3.差事件——若“事件A发生，而事件B不发生”，称事件为A与B的差事件，记为B

A）。

A-（或B

4.互斥事件——若“事件A 与B 不能同时发生的事件”， 则称事件为A 与B 为互斥事件，记为Φ=⋂B A ，或Φ=AB 。

5.对立事件——若“事件A 与B 不能同时发生的事件，但必须有一个发生，即满足Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,”， 则称事件为A 与B 为对立事件，一般记为A B =。 1.完备事件组——如果事件n A A A ,,,21 满足两两互斥，且其和事件又为必然事件，即Ω=≠Φ=∑=n

i i j i A j i A A 1,，则称n A A A ,,,21 为一个完备事件组。

下面用文氏图来说明事件之间的关系及其运算

1.包含关系 2和事件 3积事件

(三)事件的运算的规律

1.分配律 C B A D B C A ⋃⋂=⋃⋂⋃)()(；

2.对偶律 （摩根律）B A AB B A B A ⋃==⋃..；

3.吸收律 若B A ⊂，则B B A A AB =⋃=,；

4.蕴涵律 若,φ=AB 则A B B A ⊂⊂,；

5.差积转换律 AB A B A B A -==-。

（四）事件的运算与集合运算之间的关系

§2概率的定义及计算

一、事件的频率

1．定义：设事件A 在n 次试验中发生了A n 次，称比值

n n A 为事件A 发生的频率，记为n

n A f A n =)(。 2．频率的性质：

1）对任意事件A ，有1)(0≤≤A f n ；

2） 1)(=ΩP ；

3）若A 与B 为两两互斥事件，则有),()()(B P A P B A P +=

推广 若n A A A ,,21为两两互斥事件，则∑===n

i i n i i A P A P 11)()( 。

4）当试验的次数n 不断增加时，频率稳定于某个常数p ，称常数p 为事件A 发生的概率——这就是概率的统计定义。

例 投掷一枚硬币，当次数不断增加时，出现正面的频率稳定于常数

1。 设Ω为样本空间，若对样本空间中的每一个基本事件A ，总有某个实数)(A P 与之对应，且实数)(A P 满足下列三个条件：

（1） ,1)(0≤≤A P （2） 1)(=ΩP ， （3）若 ,,,,21n A A A ，是

两两互斥，

则有∑∞

=∞==11)()(i i i i A P A P ，则称实数)(A P 为事件A 的概率。

三、概率的性质

1．0)(=φP ；