最新高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用

x百度文库x0
x x0
3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法
如果函数 f ( x) 在其定义
区间内是连续的，点 x0 是定义区间内的一点，那么求 x→ x0 时函数 f ( x) 的极限，只要求出
f ( x) 在点 x0 处的函数值 f ( x0) 就可以了，即 lim f ( x)= f ( x0) x x0
但 lim f(x)= f(－ 1)= － 1, lim f(x)≠ f(－ 1),
x1
x1
所以 f(x)在 x=－ 1 处右连续，左不连续
lim f(x)=3= f (1), lim f( x)不存在，所以 lim f(x)不存在，
x1
x1
x1
所以 f(x)在 x=1 不连续，但左连续，右不连续
又 lim f(x)= f(0)=0, 所以 f(x)在 x=0 处连续 x0
(2)f(x)中，区间 (－∞ ,－ 1),［－ 1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此 续点 x=± 1 外，再也无不连续点， 所以 f( x)的连续区间是 ( －∞ ,－ 1),［－ 1,1］和 (1,5 ]
f(x)除不连
当 x≠－ 2 时， f(x)= x2
4 = x－ 2,
x2
其图象如上图
(2)由定义域知，函数 f(x)的不连续点是 x0=－ 2 (3)因为当 x≠－ 2 时， f(x)=x－ 2,
立身以立学为先，立学以读书为本
所以 lim f ( x) lim ( x 2) =－ 4
x2
x2
因此，将 f(x)的表达式改写为
又 f(x) 在(0, a+b］内是连续函数， 所以存在一个 x0∈ (0, a+b］，使 f(x0)=0, 即 x0 是方程 f( x)=0 的根，也就是方程 x=a· sinx+b 的根
因此，方程 x=asinx+b 至少存在一个正根，且它不大于 a+b
3 例 3 已知函数 f( x)= x( x 1)
知识依托 本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象
错解分析 第(3) 问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解
应明确
知道第 (3)问是求的分数函数解析式
技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答
解 (1)当 x+2 ≠ 0 时，有 x≠－ 2
因此，函数的定义域是 (－∞ ,－ 2)∪ (－ 2,+∞)
典型题例示范讲解
例 1 已知函数 f(x)= x2
4 ,
x2
(1)求 f (x)的定义域，并作出函数的图象；
(2)求 f (x)的不连续点 x0;
(3)对 f (x)补充定义，使其是 R 上的连续函数 命题意图 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映
因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法
f(x)=
x2 4 x2 4
( x 2) ( x 2)
则函数 f (x)在 R 上是连续函数
例 2 求证 方程 x=asinx+b(a＞ 0,b＞ 0) 至少有一个正根，且它不大于 a+b
命题意图 要判定方程 f (x)=0 是否有实根 即判定对应的连续函数 y=f (x)的图象是否与
x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在 一点在 x 轴下方即可 本题主要考查这种解题方法
x x0
反映在图象上是 f(x)的图象在点 x=x0 处是不间断的 2 函数 f(x)在点 x0 不连续，就是 f (x)的图象在点 其情形
x=x0 处是间断的
(1) lim f (x)存在； f(x0)存在，但 lim f(x)≠ f(x0);
x x0
x x0
(2) lim f (x)存在，但 f(x0)不存在 (3) lim f(x)不存在
立身以立学为先，立学以读书为本
高中数学复习专题讲座
函数的连续及其应用
高考要求
函数的连续性是新增加的内容之一
它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起
在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点
内容重点阐述这一块知识的知识结构体系
重难点归纳
1 深刻理解函数 f(x)在 x0 处连续的概念
x 轴上方，另
知识依托 解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正
错解分析 因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性
质在解这类题目中的简便作用 证明 设 f(x)=asin x+b－ x,
则 f(0)= b＞ 0,f( a+b)=a· sin(a+b)+b－ (a+b)=a［ sin(a+b)－ 1］≤ 0,
log 2 ( x 1)
( x 1) ( 1 x 1) (1 x 5)
(1)讨论 f(x)在点 x=－ 1,0,1 处的连续性； (2)求 f( x)的连续区间
解 (1) lim f(x)=3, lim f(x)= －1,所以 lim f(x)不存在，
x1
x1
x1
所以 f(x)在 x=－ 1 处不连续，
本节
等式 lim f (x)= f(x0)的涵义是 x x0
(1)f(x0)在 x=x0 处有定义，即 f(x0)存在；
(2) lim f (x)存在，这里隐含着 f (x)在点 x=x0 附近有定义； x x0
(3)f(x)在点 x0 处的极限值等于这一点的函数值， 即 lim f(x)=f(x0) 函数 f(x)在 x0 处连续，