寿险精算公式集合

x kxn
Weibull 模型(1939) s( x) exp{kxn1} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义：根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
0
整值未来寿命的期望与方差
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： (x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
e ex E ( K ( x))
k k px qxk
p k 1
x
x
k 0
k 0
பைடு நூலகம்
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k 1 px ex2
d
。计算下面各值：（1）
30
,
20
p30
,30
q30 ,10
q30
（2）20 岁的人在 50~55 岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。
1、 d 3 0 l3 0 l3 1 1 0 0
q 3 0 3 0
l30 l60 l30
3/7
p 2 0
30
l50 l30
5/7
q 1 0
30
l40 l41 l30
t u qx q tu x t qx t px tu px
整值未来寿命
定义：(x) 未来存活的完整年数，简记 K(X ) k,
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1)
概率函数
q k 1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
未来寿命的期望与方差
k T (x) k 1, k 0,1,
o
期望未来寿命： (x) 未来寿命的期望值(均值),简记 ex
E(T (x))
td (1
0
t
px )
0
t
px dt
o2
Var (T ( x)) E (T ( x)2 ) E (T ( x))2 2 t t pxdt ex
未来寿命的方差
常用符号：新生生命组个体数： l0 年龄： x 极限年龄：
l0 个新生生命能生存到年龄 X 的期望个数： lx lx l0 s ( x)
l0 个新生生命中在年龄 x 与 x+n 之间死亡的期望个数： n dx （特别：n=1 时，记作 d x ）
n d x lx lx n lx n qx d x lx l x 1 l x qx
s( x)
1
x
,
0 x
x Bc x Gompertze 模型(1825) s( x) exp{B(c x 1)} , B 0,c 1,x 0
x A Bcx Makeham 模型(1860) s(x) exp{Ax B(cx 1)} , B 0,A -B,c 1,x 0
s(x) s(x t) s(x)
基本函数
未来寿命的生存函数 t px
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t) s(x t) s(x)
特别： x
p0
s(x)
px ：x 岁的人至少能活到 x+1 岁的概率
qx ：x 岁的人将在 1 年内去世的概率 t u qx ：X 岁的人将在 x+t 岁至 x+t+u 岁之间去世的概率
死亡效力与密度函数的关系
0
死亡效力表示未来寿命的密度函数
FT
t (
) t px1 s( x
) s x (t s( x)
)
g(t) fT (t )
d dt
G(t )
d dt
s(x) s(x t)
s( x)
s( x t)xt
s( x)
t px xt
关寿命分布的参数模型
x
1
x
De Moivre 模型(1729)
1 / 70
2、 3 0 5 q 2 0
l50 l55 l20
1 /16
e 0
3、
T0
解答：
0
l0
100
(1
x )dx 50
0
100
生命表实例（美国全体人口生命表）
（略）
中国的生命表
中国生命表结构。生命曲线。生命特点。
选择-终极生命表 选择-终极生命表构造的原因： 需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的
xt
l0 个新生生命在年龄 x 至 x+t 区间共存活年数： t Lx t Lx x l y dy
l0 个 新 生 生 命 中 能 活 到 年 龄 x 的 个 体 的 未 来 寿 命 总 数 ：
Tx Tx x l y d y
o
xe
Tx lx
例 2.1：已知 l x
10000(1
x) 100
第一章 生命表函数与生命表构造 生存函数
定义S(x) Pr( X x) 意义：新生儿能活到 x 岁的概率 与分布函数的关系 S(x) 1 F(x) 与密度函数的关系 f (x) S(x) 新生儿将在 x 岁至 z 岁之间死亡的概率 Pr(x X z) s(x) s(z)
未来寿命 定义：已经活到 x 岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为未来寿命，记作 T(x)。 分布函数： t qx Pr(T ( X ) t) pr(x X x t X x)
整值未来寿命的方差
k 0
死亡效力
x
定义： (x) 的瞬时死亡率，简记
s( x) s( x)
f ( x) ln[s( x)] s( x)
x
s( x) exp{ s ds}
0
x t
t px exp{
s ds}
死亡效力与生存函数的关系
x
x
f ( x) x s( x) x exp{ sds}