函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质教学设计

课题：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象（第一课时）

教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修4

一、内容与内容解析

1．本课地位和作用

三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用．“函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数A，ω，φ变化对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．

2．本课内容剖析

“函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sin x的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．

本节课是“函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象”的第一课时，本节课的教学设计是先分别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响，再探究y＝sin(2x＋1)的图象和y＝sin2x的图象之间的变换关系．其中，对参数φ的研究方法可以迁移到后续问题解决中去．

本节课的重点是：对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象和y＝sin x的图象之间的变换规律的理解.

二、目标与目标解析

1．分别探究φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响；

2．在理解φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变换规律的基础上，探究ω不为1时的平移变换；

3．让学生自主探究研究策略，经历从具体到抽象、由感性到理性的研究过程，培养学生的认知策略．

三、学生学情分析

在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函

数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸和拓展，从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图象的变换规律．

1．参数φ引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对平移变换的理解；

2．A、ω对y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)图象的影响，由学生类比方法独立研究．其中，参数A和ω的取值，学生会忽视0＜A＜1和0＜ω＜1情况，在这里注意引导，从而全面认识参数A和ω的变化引起的图象变换．

通过本节课的学习，学生经历从由形导数到由数释形的深化过程，形成研究函数图象变换的一般策略．

四、教学策略分析

本节课的难点是：①伸缩变换；②ω不为1时的平移变换．

突破难点的策略是：①通过探讨φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响，初步感悟变换的实质，进而类比探究A、ω对y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响．比如，从y＝sin x到y＝sinωx，代数上是用ωx代换x，因此是将y＝sin x图象上坐标

为(x0，y0)的点变换到坐标为(1

ωx0，y0)的点，所以是将y＝sin x图象上各点纵坐标不

变、横坐标变为原来的1

ω；②从y＝sin2x的图象变换到y＝sin(2x＋1)的图象，究竟

是向左平移1个单位还是1

2个单位？突破难点的方法是通过坐标变换理性分析，如

果学生仍有困难，结合几何画板作图观察．

教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体的例子，增加供归纳的样本，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，逐步概括图象变换的规律．学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法．

本节课遵循自主探究的教学方式，因为每个人的知识、能力不同，因此认识问题的习惯与特点不同，所以本节课并不把探究过程设计成一个封闭的、静态的系统，而是设计为一个动态的、开放的系统，充分发挥学生的主观能动性，这有利于学生认知策略的发展．

五、教学过程

研制策略，优化方案

合作探究，感悟方法

以问题为载体

以活动为主线

类比方法，自主探究

思考巩固，深化铺垫

整理小结，规划任务

1.创设情境、提出问题

如图，摩天轮的半径为A m (A>0)，摩天轮逆时针做匀速转动，角速度为ωrad ／min (ω>0)，如果当摩天轮上点P从图中点P0处开始计算时间．请在如图所示的坐标系中，确定时刻x min时点P的纵坐标y．

【设计意图】

用数学的眼光观察世界，感悟函数y＝A sin(ωx＋φ)是刻画自然界周期现象的常见的数学模型，具有丰富的自然背景．借助于实际意义来理解函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象性质是自然的、清楚的、明白的！

师生活动：先将点P0置于x轴正半轴上，利用正弦函数的定义得到y＝A sinωx；再将点P0置于如图所示位置，得到在时刻x min时点P的纵坐标y＝A sin(ωx＋φ)．

小结：形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数在生活中经常可见，如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足y＝A sin(ωx＋φ)，如图所示．再比如潮汐现象中水位的高度等也满足这个解析式，因此今天我们来探讨这个函数，为了探讨方便，这里A>0，ω>0．

设问1：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法研究或认识函数的性质呢？

结论：图象．

板书课题：函数y＝A sin(ωx＋φ)（A>0，ω>0）的图象

设问2：显然，参数A，ω，φ取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？

结论：函数y＝sin x．

2．研制策略，优化方案

问题1：如何由y＝sin x的图象得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？

师生活动：引导学生制定研究方案，教师板书方案．

小结：在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案，即相对固定其中2个，仅一个变动，先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响，再综合．

【设计意图】

首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法;其次，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化，体会从简单到复杂的研究问题的一般方法．

3．合作探究，感悟方法

问题2：如何由y＝sin x的图象得到y＝sin(x＋1)的图象？

师生活动：①让学生们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？”；②再

举几个例子如：y＝sin(x－1)，y＝sin(x＋π

3)；③抽象到一般．