大一高数期末考试试题
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 极限的定义中，ε的值可以是（）。
A. 任意正整数B. 任意正实数C. 固定正整数D. 只有12. 若函数f(x)在点x=a处连续，则以下哪项正确？（）A. f(a)为f(x)在x=a处的极限值B. f(a)等于f(x)在x=a处的左极限值C. f(a)等于f(x)在x=a处的右极限值D. 所有上述选项都正确3. 以下级数中，收敛的是（）。
A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...B. (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...D. 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...4. 函数y = x^2的导数为（）。
A. 2xB. x^2C. 1/xD. -2x5. 微分方程dy/dx = x^2, y(0) = 0的解为（）。
A. y = x^3B. y = -x^3C. y = 1/xD. y = -1/x二、填空题（每题2分，共10分）6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。
7. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间为 _______。
8. 定积分∫(0→2) x^2 dx = _______。
9. 曲线y = x^3在点x=1处的切线斜率为 _______。
10. 微分方程d/dx(y^2) = 2xy，y(0) = 0的通解为 y = _______。
三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5从x=-1到x=3的定积分值。
12. 求函数g(x) = e^(2x)的导数，并计算在区间[0,1]上的定积分值。
13. 求由曲线y = x^2, y = 2x - 1, x = 0所围成的面积。
高数大一期末考试试卷
高数大一期末考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. x^2+2x2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 1B. 0C. -1D. 23. 若函数f(x)在x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. f(a)不存在C. f(a)=0D. f(a)=14. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数y=ln(x)的不定积分是：A. x+CC. x^2+CD. e^x+C6. 以下哪个级数是发散的：A. 1+1/2+1/3+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1/2+1/4+1/8+...D. 1/2^2+1/3^2+1/4^2+...7. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x+1D. f(x)=x-18. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的定积分是：A. 0B. 1/3C. 2/3D. 19. 以下哪个选项是洛必达法则的应用：A. lim(x→0) (x/sin(x))B. lim(x→0) (sin(x)/x)C. lim(x→0) (1/x)D. lim(x→0) (x^2/x)10. 以下哪个函数的导数是其本身：A. e^xB. ln(x)D. sin(x)二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数是________。
2. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
3. 函数f(x)=cos(x)的导数是________。
4. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是________。
5. 函数f(x)=ln(x)的定义域是________。
6. 函数f(x)=x^2+3x+2的根是________。
7. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是________。
大一高数期末考试试题
一．填空题（共5 小题，每题4 分，合计20 分）11 x 1x 2005e x e x dx1．lim( e x x) x 2.2．1x 0.3．设函数yy( x) 由方程x y e t 2dtx1确立，则dyxtf (t )dtf ( x)x 0.4. 设f x， f(0) 1，dx可导，且1则fx..5．微分方程y4y4y的通解为二．选择题（共 4 小题，每题 4 分，合计 16 分）1．设常数 k0 ，则函数f ( x) ln xx k)内零点的个数为（e） .在(0,(A) 3 个;(B) 2 个;(C) 1 个 ;(D) 0 个.2． 微分方程y4 y3cos2 x 的特解形式为（ ） .（ A ） yAcos2 x ;（ B ）yAx cos2x ;（ C ）yAx cos2 x Bxsin 2x ;（ D ） y*A sin 2x.3．以下结论不必定建立的是（） .dbx dx（ A ）若c,da, b , 则必有f x dxf ; （ B ）若f ( x)0 在 a,b 上可cabx dxf是周期为 T 的连续函数 , 则对随意常数 a 都有积, 则 a; （ C ）若f xa Tf x dxTf x dxxt dtf x为奇函数 , 则t f a0 ;（ D ）若可积函数也为奇函数 .4. 设1f x 1 e x1则 x 0是f ( x)的（2 3e x , ） .(A) 连续点 ;(B) 可去中断点 ; (C)本页满分 12 分 跳跃中断点 ;(D) 无量中断点 .三．计算本页得 题（共 5 小题，每题6 分，合计 30 分）分22x 3 e x dx1． 计算定积分x sin xdx2． 2．计算不定积分cos5x.xa(t sin t),t求摆线ya(1 cost ), 在2 处的切线的方程 .xcos(x2t) dtF (x)设，求 F (x) .n(n 1)(n 2)(n 3) (2n)x nnlim x n5．设，求 n .四．应用题（共 3 小题，每题 9 分，合计27 分） 1．求由曲线yx 2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积 .2．设平面图形 D 由 x 2y22x与y x所确立， 试求 D 绕直线 x 2 旋转一周所生成的旋转体的体积 .设 a 1, f (t) a tat 在 (, )内的驻点为t (a).问 a 为什么值时t(a)最小 ? 并求最小值 .五．证明题（ 7 分）f (0)= f (1) 1) 1，设函数f ( x)在[0,1]上连续，在(0,1) 内可导且0, f (2试证明起码存在 一 点(0,1) , 使 得f ()=1.一．填空题（每题4 分，5 题 共20 分）：111x 1 x 2005ex e xdx4lim( e x x) x 2y y( x) 由方程1．e 21e . 3 ．设函数 x 0.2．x yet 2dyxf ( x)dt xx 0e1.4. 设fx可导，且tf (t) dt1，1确立，则 dx1， f (0) 则fx1 x 2的通解为y(C 1 C 2 x)e 2x.二．选择e2. 5．微分方程y4 y4 yf (x) ln x x k在(0, )分）：1．设常数 ke 题（每题 4 分，4 题共 160 ，则函数内零点的个数为（B ）.(A) 3 个 ;(B) 2 个 ;(C) 1 个;(D)0 个 .2． 微分方程y4 y 3 cos2x 的特解形式为（C ）（ A ） yAcos2 x ；（ B ）yAx cos2x ；（ C ）yAx cos2 x Bxsin 2x ；（ D ） y *A sin 2x3．以下结论不必定建立的是 （ A ）dfx dxbx dx(A) (A) 若 c,da, b, 则必有f ;cab f x dx 0(B) (B) 若 f (x) 0在 a,b 上可积 , 则 a;(C)(C)若fx是周期为T的连续函数, 则 对 任 意 常 数 a 都 有a Tf x dxTf x dxa;xt dt(D) (D)若 可 积 函 数fx为奇函数, 则t f 也为奇函数.4.设1f x 1 e x10是f ( x)的（ C2 3e x , 则 x ） .(A) 连续点 (B) 可去中断点 ;(C)跳跃中断点 ; (D)无量中断点 .三． 计算题 （每题6分，5题共 30分）： 1．计算定积分2 x3 ex 2dx.设 x 2t , 则23 ex 22 1tdt 1 2 txdxte2 tde解：22-------21te t 2 tdt 2e-------2e21 t213 2x sin xeexdx.解：222--------22 ．计算不定积分cos5xsin x dx1xd ( 1) 1xdx5x4 4 4 cos 4x4coscos xcos x--------3x 1 (tan 2 x 1) d tan x4cos 4 x4x a(tsin t),x1tan 3x1tan x Cya(1 cost), 在4cos 4 x124-----------33 ．求摆线t(a(1), a)2 处的切线的方程 . 解：切点为 2-------2kdya sin tdxta(1cost ) t221-------2y ax a(1)y x (22) a切线方程为2 即.-------2F ( x)xt )dt4. 设cos(x 22xcos x2(2x 1) cos(x2 x).5．设，则F (x)n(n 1)( n2)(n3) (2n)x nn lim x n.，求 nln x n1nln( 1i )ni 1n解：---------2ni 11lim ln x nlimln(1)ln(1 x)dxnnn n 0--------------2i 1x) 1011xln(1xdx 2 ln 2 1------------2=0 1 xlim x ne 2 ln 2 149 分，3 题共 27 分）1．求故 n=e四．应用题（每题 由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积 .解：y1x设切点为（ x 0, y0 )，则过原点的切线方程为2 x 0 2 ，（ x 0 , y 0 )在切线上，带入切线方程，解得切点为x 0 4, y 02.-----3因为点yx过原点和点( 4,2)的切线方程为2-----------------------------32面积s2( y 22 2 2 y)dy 2 2= 3-------------------3s21xdx4 1x2 22 2 (2x2 )dx或2232．设平面图形 D 由x 2y22x 与 yx所确立， 试求 D 绕直线 x2 旋转一周所生成的旋转体的体积 .解： 法一：VV1V 211 y22 1 2dy2 (1) dy( 2 y )21 y2( y 1)2dy 1-------621 ( y 1) 3 12 (1 )4433--------321x)( 2xx2x)dx(2法二： V=21 (2x) 2xx 2dx 21x 2)dx0 (2x------------------ 5( 2 2x) 2x x22 2 x x 2dx4132( 2x x 2) 2312 1 14 3432 1 24 1 2232323------------- 43.设a1, f (t)a tat 在 (,)内的驻点为 t (a).问 a 为什么值时t (a)最由 f (t )a t ln a a0得 t(a) 1ln ln a .小 ? 并求最小值 .解 :ln a --------------- 3又由 t (a)ln ln a 1 0得独一驻点 ae ea(ln a) 2------------3当 ae e 时 , t (a) 0;当 a e e时 , t (a)0,于是 ae e 为 t (a)的极小值点 . -----2 ae e 为 t (a)的最小值点 , 最小值为 t(e e ) 1ln e 1 1 . 故e e --------------1五．证明题（ 7 分）设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1)内可导且f (0)= f (1) 0, f (1)1，2试证明至少存在一点(0,1) , 使得f ()=1.证明：设 F ( x)f ( x)x ， F ( x) 在 [0,1] 上连续在 (0,1) 可导，因 f (0)= f (1)=0 ,有 F (0) f (0) 00, F (1)f (1)11,--------------- 2f (111 1 1 1， [1 ，)=1F ( )=f ()- =1-=2 1]又由2，知2222 在 2 上F ( x)用零点定理，F (1)F(1)=-1依据22，--------------- 21，(1)可知在2内起码存在一点，使得1F( )=0，(2,1)(0,1), F(0)= F()=0由 ROLLE 中值定理得起码存在一点(0, )(0,1) 使得 F()=0 即 f () 1=0，证毕 . --------------3。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h →--的值为（ ）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x→= .4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分）1.（6分）求2ln(15)lim.sin 3x x x x→+2. （6分）设y =求.y '3.（6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰ 4.（6分）求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0yxte dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6.（6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1.（7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2.（7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭及x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4.（7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1．设函数()23122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.2．函数()21ln x y +=，则='y.3． =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 21lim.4．曲线xy 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程为 .5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小值 . 6．=+⎰dx xx 21arctan . 二、单项选择题（每小题4分，共20分）1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ；() C 充分必要条件； () D 无关条件.2．下列各式正确的是（ ） .() A C e dx e x x +=--⎰； () B C xxdx +=⎰1ln ； () C ()C x dx x +-=-⎰21ln 21211； () D C x dx xx +=⎰ln ln ln 1. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.() A 等于1； () B 等于1-；() C 等于0； () D 不存在.5．已知()2lim 1=+→x f x ，以下结论正确的是（ ）.() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1．求极限：xx x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.4. ⎰+dx x x 221. 5. ⎰xdx x cos .6.方程yxx y 11=确定函数()x f y =，求y '.四、 （10分）已知2x e 为()x f 的一个原函数，求()⎰dx x f x 2.五、 （6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 （10分）设()()C ex dx x f x++='⎰1，求()x f .（三）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 210)(cos lim x x x → =_____e 1________.（2）曲线x x y ln =上及直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xx xe e f -=')(，且)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _______.9131-=x y __（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点. (B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点. 图1-1（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ D ）.（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .x y y y '''+-= （4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）.(A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B) ()().=⎰df x f x (C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim1-+-→ 1分=x x x x x ln 1ln lim1+-→ 2分= x x x xx x ln 1ln lim1+-→ 1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 及22dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）3. 4. 计算不定积分.222 =2arctan 2 =2C =----------------+---------⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dx xx.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分）35)1(3233023=++-=x （6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）. 1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.212-56012,31r r r r +=----------==----------解：特征方程分特征解.分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------⎰⎰分（）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1b af x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b b aab a b b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线及曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) (3) 求D 的面积A;(2) (4)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方xyy1程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为 .1x e y =----1分平面图形D 的面积 ⎰-=-=10.121)(e dy ey e A y ----2分（2） 切线xe y 1=及x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π= 2分曲线x y ln =及x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 2102)(⎰-=π， 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.解法一：2112xe e x x xξ=++≥+ 解法二：设() 1.xf x e x =--则(0)0.f = 1分 因为() 1.xf x e '=- 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1xe x ≥+。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷及(Ji)答案详解一、选择题(Ti)（共12分）1. （3分(Fen)）若为连续函(Han)数,则的(De)值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分(Fen)）已知则(Ze)的(De)值为（）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)3. （3分）定积分的值为（）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2f x在该点处( ).4. （3分）若在处不连续,则()(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为 .2. （3分） .3. （3分）= .4. （3分）的极大值为 .三、计算题（共42分）1.（6分）求2.（6分）设求3.（6分）求(Qiu)不定积分4.（6分(Fen)）求其(Qi)中5.（6分）设函(Han)数由方(Fang)程所(Suo)确定,求6.（6分(Fen)）设求(Qiu)7.（6分）求极限四、解答题（共28分）1.（7分）设且求2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.4.（7分）求函数在上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设在区间上连续,证明标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 2 3 0; 4 0.三、 1 解原式 5分1分2解 2分4分(Fen)3 解原(Yuan)式 3分(Fen)2分(Fen)1分(Fen)4解(Jie) 令则(Ze) 2分1分(Fen)1分1分1分5两边求导得 2分1分1分2分6解 2分4分7解原式= 4分= 2分四、1 解令则 3分= 2分2分1分2解(Jie) 3分(Fen)2分(Fen)2分(Fen)3解(Jie) 1分(Fen)令(Ling)得(De) 1分当时,当时, 2分为拐点, 1分该点处的切线为 2分4解 2分令得 1分2分最小值为最大值为 2分五、证明1分1分1分1分1分移项即得所证. 1分。
大一高数期末考试试题
大一高数期末考试试题大一高数期末考试试题一、选择题（每小题4分，共60分）1. 设函数 $f(x)=\frac{2x^2+3x+1}{x(x-1)}$ ，则其定义域为（）。
A. $x\neq0,x\neq1$B. $x\neq1$C. $x\neq0$D.$x\neq0,x\neq0$2. 函数 $y=f(x)$ 图像在坐标系中所在象限有（）。
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数 $y=ax^2+bx+c$ （a、b、c为实数）的图像既经过点 P （1，2），又经过点 Q（2，3），则有（）。
A. 无解B. 无穷多解C. 有唯一解D. 有无穷多解4. 由 $ \frac{d}{dx}[\int_{0}^{x}f(t)dt]=f(x)$ ，则 $f(x)$ 可以是（）。
A. $sinx$B. $cosx$C. $(1+x^2)$D. $(1+6x^2)$5. 函数 $y=e^x+e^{-x}$ 的最小值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -1二、填空题（每空4分，共40分）1. 曲线 $C$ 的参数方程为 $ \begin{cases} x=t^2-t \\ y=t^2+t+2 \end{cases}$ ，则曲线 $C$ 的切线方程为 $y= $ 。
2. 设 $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ ， $g(x)=2x-1$ ，则 $f(g(x))= $ 。
3. 设 $y=f(x)$ 在 $(0，+\infty)$ 上可导，且 $f(1)=1$ ，当 $x\geq 1$ 时， $f'(x) \geq 0$ ，则当 $x \geq 1$ 时， $f(x) \geq $ 。
4. 设 $f(x)=e^x$ ， $g(x)=lnx$ ，则 $g(f(x))= $ 。
5. 由区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 内的曲线 $y=sinx$ 及两直线$x=0$ ， $x=\frac{\pi}{2}$ 所围成的图形的面积为 $k$ ，则$k= $ 。
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值。
A. 0B. -1C. -4D. 12. 已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2，求a_5。
A. 10B. 11C. 12D. 133. 极限lim (n→∞) (1 + 1/n)^n 的值是：A. eB. 1C. 2D. 34. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πC. π/2D. π/46. 已知f(x)=2x-1，求f'(2)的值。
A. 3B. 2C. 1D. 07. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点坐标是：A. (1,3)B. (2,3)C. (1,1)D. (2,7)8. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 19. 若f(x)在[a,b]上连续，且∫(a到b) f(x) dx = 0，则f(x)在[a,b]上：A. 恒等于0B. 至少有一个零点C. 恒为正D. 恒为负10. 函数y=ln(x)的原函数是：A. x-1C. x^2D. xln(x) - x + C二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的导数是________。
12. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的解是________。
13. 已知∫(0到1) x dx = 1/2，那么∫(1到2) x dx =________。
14. 函数f(x)=x^2+1的二阶导数是________。
15. 利用导数求函数f(x)=x^3-2x^2+3x-4在x=2时的切线方程是________。
16. 函数y=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是________。
17. 定积分∫(0到π/2) sin(x) dx的值是________。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数.求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．设函数 ，则 是 的第类间断点.
2．函数 ，则 .
3． .
4．曲线 在点 处的切线方程为.
5．函数 在 上的最大值，最小值.
6． .
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列 有界是它收敛的（）.
必要但非充分条件； 充分但非必要条件；
充分必要条件； 无关条件.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数 ，则函数 在 内零点的个数为（B）.
(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.
2．微分方程 的特解形式为（C）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
3．下列结论不一定成立的是（A）
(A)(A)若 ,则必有 ;
(B)(B)若 在 上可积,则 ;
(C)(C)若 是周期为 的连续函数,则对任意常数 都有 ;
2．下列各式正确的是（）.
； ；
； .
3．设 在 上， 且 ，则曲线 在 上.
沿 轴正向上升且为凹的； 沿 轴正向下降且为凹的；
沿 轴正向上升且为凸的； 沿 轴正向下降且为凸的.
4．设 ，则 在 处的导数（）.
等于 ； 等于 ；
等于 ； 不存在.
5．已知 ，以下结论正确的是（）.
函数在 处有定义且 ； 函数在 处的某去心邻域内有定义；
大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共12分）
1. （3分）若 为连续函数,则 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. （3分）已知 则 的值为（ ）.
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
3. （3分）定积分 的值为（ ）.
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ .3. （3分） 201lim sin x x x→= .4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 31;y x =+ 2 2;33 0;4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →⋅= 5分 53= 1分 2 解22ln ln ln(1),12x y x x ==-++Q 2分2212[]121x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰ 2分 2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分4 解 令1,x t -=则 2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分1211(1)1cos t tdt e dt t -=+++⎰⎰ 1分210[]t e t =++ 1分21e e =-+ 1分5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分cos y xy e '=-Q 1分cos sin 1xx =- 1分cos sin 1xdy dx x ∴=- 2分6 解 1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰2分21sin(23)2x C =++ 4分7 解 原式=23323lim 12nn n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 4分 =32e 2分四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴=Q 2分().x f x x e ∴=+ 1分2 解 222cos x V xdx πππ-=⎰ 3分 2202cos xdx ππ=⎰ 2分 2.2π= 2分 3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分令0,y ''=得 1.x = 1分当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分 (1,3)∴为拐点, 1分该点处的切线为321(1).y x =+- 2分4 解1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4x =1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分 五、证明()()()()()()b b a ax a x b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()b b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分 [2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分 ()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分移项即得所证. 1分。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷及答案详解一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数；则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续；则()f x 在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)；且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+2. （6分）设y =求.y '3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定；求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续；证明1()[()()]()()().22bb a ab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 31;y x =+ 2 2;33 0;4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →⋅= 5分 53= 1分 2 解 22l n l n l n (1),12x y x x ==-++ 2分2212[]121x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰ 2分2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分1211(1)1cos t t dt e dt t -=+++⎰⎰ 1分 210[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y x y e '=-1分 c o s s i n 1x x =- 1分 cos sin 1x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1(23)(23)(22)2f x d x f x d x +=++⎰⎰ 2分 21sin(23)2x C =++ 4分 7 解 原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 4分=32e 2分四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴= 2分().x f x x e ∴=+ 1分2 解 222c o s x V xd x πππ-=⎰ 3分 2202cos xdx ππ=⎰ 2分 2.2π=2分 3 解 23624,66,y x x yx '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分当1x -∞<<时；0;y ''< 当1x <<+∞时；0,y ''> 2分 (1,3)∴为拐点； 1分该点处的切线为321(1).y x =+- 2分4 解1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4x = 1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分 ∴最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分 五、证明()()()()()()bba a x a xb f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分[()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分移项即得所证. 1分。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷及答案详解一、选择题1. 该题为微分求导题，考察对基本微分法则的掌握。
解答：根据指数函数的求导法则，对指数函数f(x)进行求导，得到f'(x)=3x^2。
将x=2代入f'(x)，得到f'(2)=3×2^2=12。
因此，选项C为正确答案。
2. 该题为函数极值题，考察对函数极值点的判断和求解。
解答：首先计算函数f(x)的导函数f'(x)。
根据导数定理，函数在极值点处的导数为0。
将f'(x)=2x-3=0，求解得到x=3/2。
接下来通过二阶导数的符号判断极值类型。
计算f''(x)=2，由此可知二阶导数恒为正，故x=3/2是函数f(x)的极小值点。
因此，选项A为正确答案。
3. 该题为定积分计算题，考察对定积分的理解和计算。
解答：根据定积分的定义，将被积函数f(x)=2x在区间[1,3]上进行积分，即∫(1->3) 2x dx。
对函数f(x)进行不定积分，得到F(x)=x^2+C。
将上限3代入不定积分结果，再减去下限1代入不定积分结果，得到∫(1->3) 2x dx=F(3)-F(1)=(3)^2+C-(1)^2+C=9+C-1-C=8。
因此，选项B为正确答案。
4. 该题为二重积分计算题，考察对二重积分的理解和计算。
解答：首先对被积函数f(x,y)=x+2y进行内积分，得到f_1(y)=xy+2y^2/2=x(y+y^2)。
接下来对内积分结果进行外积分，即对f_1(y)在区间[0,1]上积分，得到∫(0->1) x(y+y^2) dy。
先对y进行积分，得到∫(0->1) (xy+xy^2) dy=x/2 + x/3=5x/6。
因此，选项C为正确答案。
二、填空题1. 该题为极限计算题，考察对极限的求解。
解答：将x趋近于无穷大时，分子和分母的最高次项均为x^4，根据极限的最高次项的性质，可以将该极限简化为计算3/(-2)= -3/2。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分， 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f 。
（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=(C ）(0)0f '= (D ）()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。
3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ）。
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； (B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；(C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x （B)222x+(C ）1x - （D)2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分,共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim 。
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续,=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ，A 为常数。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷及答案详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1.（3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为(). (A)1(B)2(C)3(D)-12.（3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为（）. (A)1(B)3(C)-1(D)123.（3分）定积分22ππ-⎰的值为（）. (A)0(B)-2(C)1(D)24.（3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处().(A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导(D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为.2.（3分）1241(sin )x x x dx -+=⎰. 3.（3分）201lim sin x x x→=. 4.（3分）3223y x x =-的极大值为. 三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+2. （6分）设y =求.y '3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明标准答案一、1B;2 C;3D;4 A.二、131;y x =+22;330;40. 三、1解原式205lim 3x x x x →⋅=5分 53=1分2解22ln ln ln(1),12x y x x ==-++2分2212[]121x y x x '∴=-++4分 3解原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰2分 2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+1分 4 解令1,x t -=则2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰1分1211(1)1cos t t dt e dt t-=+++⎰⎰1分 210[]t e t =++1分 21e e =-+1分5 两边求导得cos 0,ye y x '⋅+=2分 cos y x y e '=-1分 cos sin 1x x =-1分 cos sin 1x dy dx x ∴=-2分 6 解1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰2分 21sin(23)2x C =++4分7 解原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4分 =32e 2分 四、1解令ln ,x t =则,()1,t tx e f t e '==+3分 ()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++2分(0)1,0,f C =∴=2分().x f x x e ∴=+1分2 解222cos x V xdx πππ-=⎰3分 2202cos xdx ππ=⎰2分 2.2π=2分 3 解23624,66,y x x y x '''=-+=-1分令0,y ''=得 1.x =1分当1x -∞<<时,0;y ''<当1x <<+∞时,0,y ''>2分 (1,3)∴为拐点,1分该点处的切线为321(1).y x =+-2分4解1y '=-=2分 令0,y '=得3.4x =1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭2分∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2分 五、证明()()()()()()bba a x a xb f x x a x b df x '''--=--⎰⎰1分 [()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰1分[2()()b a x a b df x =--+⎰1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰1分 ()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰1分 移项即得所证.1分。
大一高等数学期末考试试卷及答案详
大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分)x,2,0,ex,fx(),1. (3分)若为连续函数,则的值为( ). a,axx，,,0,(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 fhf(3)(3),,,2. (3分)已知则的值为( ). limf(3)2,,h,02h1(A)1 (B)3 (C)-1 (D) 2,223. (3分)定积分的值为( ). 1cos,xdx,,,2(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若在处不连续,则在该点处( ).xx,fx()fx()0(A)必不行导(B)肯定可导(C)可能可导(D)必无极限二、填空题(共12分)23x1((3分)平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程(0,1)(,)xy 为. 124(sin)xxxdx，,2. (3分) . ,,112xlimsin3. (3分) = . x,0x324. (3分)的极大值为. yxx,,23三、计算题(共42分)xxln(15)，lim.1. (6分)求2x,0sin3xxe,y,,2. (6分)设求y. 2x，12xxdxln(1).，3. (6分)求不定积分,x,3,1,x,,fxdx(1),,4. (6分)求其中()fx,1cos，x,,0x,1,1.ex，,,1yxt5. (6分)设函数由方程所确定,求edttdt，,cos0yfx,()dy.,,0026. (6分)设求fxdxxC()sin,,，fxdx(23).，,,n3,,7. (6分)求极限lim1.，,,,,nn2,,四、解答题(共28分),1. (7分)设且求fxx(ln)1,,，f(0)1,,fx().,,,,2. (7分)求由曲线与轴所围成图形围着轴旋转一周所得旋xxyxxcos,,,,,,22,,转体的体积.323. (7分)求曲线在拐点处的切线方程. yxxx,,，,324194. (7分)求函数在上的最小值和最大值. [5,1],yxx,，,1五、证明题(6分),,设在区间上连续,证明fx()[,]abbbba,1,, fxdxfafbxaxbfxdx()[()()]()()().,，，,,,,aa22(二)一、填空题(每小题3分，共18分)2x,1x,1，，fx,，，1(设函数，则是的第类间断点. fx2x,3x，22,，，2(函数，则. y,y,ln1，xx2 x，1,,( 3 . ,lim,,x,, x,,11,,y,4(曲线在点处的切线方程为. ,2,,x2,,32,,,1,45(函数在上的最大值，最小值. y,2x,3xxarctandx,6(. ,21，x2二、单项选择题(每小题4分，共20分) 1(数列有界是它收敛的( ) . ,,xn必要但非充分条件;充分但非必要条件;，，，，A B充分必要条件;无关条件.，，，，C D 2(下列各式正确的是( ) .1,x,xxdx,，C; ; ln，，edx,e，C，，A B ,,x111，，dx,ln1,2x，Cdx,lnlnx，C; .，，，，C D ,,xlnx1,2x2,,,3(设在上，且，则曲线在上.，，，，，，，，,,,,fxa,bfx,0fx,0y,fxa,b沿轴正向上升且为凹的;沿轴正向下降且为凹的;，，，，A xB x，，沿轴正向上升且为凸的;，，沿轴正向下降且为凸的. C xD xx,04(设，，，则，，在处的导数( ). fx,xlnxfx1,1，，，，等于;等于; A B0，，，，等于;不存在. C D，，limfx,25(已知，以下结论正确的是( ).，x,1x,1x,1，，，，，，函数在处有定义且;函数在处的某去心邻域内有定义;Af1,2Bx,1x,1，，，，函数在处的左侧某邻域内有定义;函数在处的右侧某邻域内有定义. C D 三、计算(每小题6分，共36分)12limsinx1(求极限:. x,0x2,，，2.已知，求. yy,ln1，xsinx，，3.求函数x,0的导数. y,x2xdx4. . ,21，xxcosxdx5. . ,11yx,，，y,fx6.方程确定函数，求y. y,x322x四、(10分)已知为的一个原函数，求.，，，，xfxdxefx,,x五、(6分)求曲线的拐点及凹凸区间. y,xex,，，六、(10分)设，，，求. fxdx,xe，1，C，，fx,(三)一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分). 112xlim(cosx)e,x0(1) =_____________.y,xlnxx,y，1,0y,x,1(2)曲线上与直线平行的切线方程为_________.12(lnx)x,x,f(x),f(x),f(1),0f(e),xe2(3)已知，且,则___________ .2x11y,x,.y,393x，1(4)曲线的斜渐近线方程为_________ 7522y222,y,(x，1)，C(x，1).yx,,，(1)3x，1(5)微分方程的通解为_________二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分).(1)下列积分结果正确的是( D )1111dx,0dx,,2,,2,,11xx(A) (B)，,1，,1,，,dx,，,dx,4,11xx(C) (D) f(x)[a,b]f'(x)(2)函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则( D ). x,x12(A)都是极值点. y，，，，x,f(x),x,f(x),1122y,f(x)(B)都是拐点.，，xx,f(x)122(C)是极值点.，是拐点.，，x,f(x)xax1121(D)是拐点，是极值点. xObx2图1-1xxx,2yCCx,，，eee12(3)函数满意的一个微分方程是( D ).xx,,,,,,yyyx,,,23e.yyy,,,23e.(A) (B)xx,,,,,,yyyx，,,23e.yyy，,,23e.(C) (D)fxfxh,,，，，，00limxh,f(x)00h(4)设在处可导，则为( A ). ,,fx,fx，，，，00(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在.(5)下列等式中正确的结果是( A ).4,(())().fxdxfx,dfxfx()().,,,(A) (B),dfxdxfx[()]().,fxdxfx()().,,,(C) (D)三、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分).x1lim(,)x,1xx,1ln1(求极限.xlnx,x，1x1limlim(,)x,1x,1(x,1)lnxxx,1ln解= 1分lnxlimx,1x,1，lnxx = 2分xlnxlimx,1x,1，xlnx = 1分1lnx1，lim,x,11lnx12，，= 2分 2x,lnsint,dydy,2y,cost，tsinty,xdxdx2.方程确定为的函数，求与.,dyy(t),,tsint,,dxx(t)解(3分)2,dy(tsint),,sinttant，tsint.2,x(t)dx (6分)arctanxdx,xx(1)，3. 4.计算不定积分.arctanarctanxx解:分dxdx,,,,,,,,,,,,22,,(1)，xxx(1)，=2arctanarctan2xdx,,,,,,,分,2()分=arctan2xC，,,,,,,,,,3xdx,01，1，x4.计算定积分.33,，xx(11x)3,dxdx,,(1,1，x)dx,,00,,x，，11x0解(3分)332523(1),,，，x,330 (6分) 1，x,t(或令)(四)一(填空题(每小题4分，5题共20分):5112xxlim()ex,,2e,x1( . 014xx,2005xxeedx1，,,，，，，,,1e2(.xy，dy2t,,edtx,x,0,yyx,()1e,13(设函数由方程确定，则. dxx12xtftdtfx()(),2,，，，，fxfx,f(0),11e4.设可导，且，，则.二(选择题(每小题4分，4题共16分):xf(x),lnx,，k(0,，,)k,0e1(设常数，则函数在内零点的个数为( B ).(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.,,y，4y,3cos2x2(微分方程的特解形式为( C ),,yAx,cos2yAxx,cos2(A); (B);*,yAxxBxx,，cos2sin2y,Asin2x(C); (D)3(下列结论不肯定成立的是( A )db，，，，fxdx,fxdx,,,,,,c,d,a,bca(A) (A)若,则必有;bfxdx,0，，,,,a,bf(x),0a(B) (B)若在上可积,则;，，fxaT(C) (C)若是周期为的连续函数,则对任意常数都有a，TT，，，，fxdx,fxdx,,0a; xtftdt，，,，，fx0(D) (D)若可积函数为奇函数,则也为奇函数.1x1，e，，fx,1xf(x)x,02，3e4.设,则是的( C ).(A)连续点; (B)可去间断点; (C)跳动间断点; (D)无穷间断点.三(计算题(每小题6分，5题共30分):223,xxedx,1(计算定积分. 0112222,x,t,t23,设x,t则xedx,tedt,,tde,,,00022解: -------22，，21,t,t,,te,edt,,,002，，-------22113,2,t,2,,e,e,,e0222 --------2sinxxdx5,cosx2(计算不定积分.6xsinx111xdx，，dxxd(),,,5444,,,,,cosx4cosx4cosxcosx，，解: --------3x12,,(tanx，1)dtanx4,4cosx4x113,,tanx,tanx，C44cosx124 -----------3x,a(t,sint),,,,t,y,a(1,cost),2,3(求摆线在处的切线的方程.,(a(,1),a)2解:切点为-------2asintdy,,k,,a(1,cost)dxt,t,22,1 -------2,,y,a,x,a(,1)y,x，(2,)a22切线方程为即. -------2x2F(x),cos(x,t)dt22,,F(x),2xcosx,(2x,1)cos(x,x)04.设，则. nnnnn(，1)(，2)(，3)？(2)x,limxnn,,nn5(设，求.ni1xln,ln(1，),nnn,1i解: ---------2n1i1limlnx,limln(1，),ln(1，x)dx,n,0,,,,nnnn,1i --------------2111xln(1，x),xdx,2ln2,10,01，x = ------------242ln2,1e,limxn,,ne故=标准答案一、1 B; 2 C; 3 D; 4 A.23二、1 2 3 0; 4 0. yx,，1;;3 xx,55三、1解原式6分,,lim2x,033xxex2lnlnln(1),？yx,,,，2解2分212x，xex12,？,,y[] 4分22xx，，121122,，，ln(1)(1)xdx3解原式3分,2712x222 2分,，，,，,[(1)ln(1)(1)]xxxdx,221，x 1222 1分,，，,，[(1)ln(1)]xxxC 24解令则2分xt,,1,32 1分fxdxftdt()(),,,,0112tt 1分,，，(1)dtedt,,,111cos，tt2 1分,，，0[]et12 1分,,，ee1y,5两边求导得2分eyx,，,cos0,cosx, 1分？y,,yecosx 1分,sin1x,cosx 2分？,dydxsin1x,1fxdxfxdx(23)(23)(22)，,，，6解2分,,2 12,，，sin(23)xC 4分223n,3323,,2lim1，7解原式= =e 6分,,n,,n2,, tt,四、1解令ln,xt,则3分xefte,,，,()1, ttftedt()(1),，teC，，.= 2分,？fC(0)1,0,,？, 2分x 1分？,，fxxe().8,222解3分Vxdx,,cosx,,,2,22 ,2cos,xdx 2分,02, 2分,.2 2,,,3解1分yxxyx,,，,,3624,66,,,x,1.令得1分y,0,,,,,,,,,x11,,，,x当时,当时, 2分y,0;y,0,为拐点, 1分？(1,3)该点处的切线为2分yx,，,321(1). 1211,,x,y,,,1,4解2分 2121,,xx3,x,.令得1分y,0,435,,yyy(5)56,2.55,,(1)1,,,,，,,,, 2分,,44,,35,,y,.y(5)56,,,,，最小值为最大值为2分？,,44,,五、证明bb,,,()()()()()()xaxbfxxaxbdfx,,,,, 1分,,aabb,,,,,,,，[()()()]()[2()xaxbfxfxxabdx 1分,aab,,,，[2()()xabdfx 1分,abb,,,，，[2()]()2()xabfxfxdx 1分,,,aab,,,，，()[()()]2(),bafafbfxdx 1分,a 移项即得所证. 1分9。
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2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期末模拟试卷专业班级姓名学号开课系室高等数学考试日期 2010年1月11日注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰.3．设函数()y y x =由方程21x y t e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）.（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）1．计算定积分230x x e dx-.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke xx x f +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=；（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cdx x f dx x f ;(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-2032dxe x x .解：⎰⎰⎰----===20202322121,2t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=ee e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424-----------3 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)cos 1(sin π=-=t t a t a 1= -------2切线方程为 )12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解：)1ln(1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x ni n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x x x x ------------2故 nn x ∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或 322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解： 法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=1022121022)1(12)2()11(2dyy ydy y dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---12)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=101022)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(ln 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。