2011年高考全国1卷(理数)

2011年高考全国1卷(理数)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

数学

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=（） (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

2. 函数)

20y x x =≥的反函数为（）

(A)

()2

4

x y x R =∈ (B) ()2

04

x y x =≥

(C)()24y x x R =∈ (D)

()240y x x =≥

3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（） (A)

1a b >+ (B) 1a b >-

(C)2

2

a

b > (D)

33a b >

4.设n

S 为等差数列{}n

a 的前n 项和，若1

1

a

=，公差

22,24

k k d S S +=-=，则k=（）

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移

3

π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（）

(A) 13 (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，

,,B BD l D

β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面

ABC 的距离等于（） (A)

22

(B) 3

3

(C)

63

(D) 1

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21

x

y e

=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围

成的三角形的面积为（）

15. 已知1

2

F F 、分别为双曲线

22:1

927

x y C -=的左、右焦

点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为1

2

F AF ∠的角平分线，则 2

AF = .

16. 已知点E 、F 分别在正方体11

1

1

ABCD A B C D - 的棱

11

BB CC 、上，且1

2B E EB =,

1

2CF FC =,则面AEF 与面ABC

所成的二面角的正切值等于 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

ABC ∆的内角

A 、

B 、

C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b

-=+=，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。 （Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙

两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形， AB=BC=2

，

CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

20.（本小题满分12分） 设数列{}n

a 满足1

1

11

0,111n n

a a

a +=-

=--

（Ⅰ）求{}n

a 的通项公式；

（Ⅱ）设1

1n n

a b n

+-=

，记1

n

n

k k S b ==∑，证明：1

n

S

<。

21.（本小题满分12分） 已知O 为坐标原点，F 为椭圆

2

2

:1

2

y

C x +=在y 轴

正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足

0.

OA OB OP ++=

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。