2011年上海市浦东新区中考数学二模试卷

2011年上海市浦东新区中考数学二模试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列各式中，正确的是（）
A．a6+a6=a12 B．a4•a4=a16C．（﹣a2）3=（﹣a3）2D．（a﹣b）2=（b﹣a）2
2．（4分）下列根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C． D．
3．（4分）若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一定经过点（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣，2）C．（2，﹣1）D．（，2）
4．（4分）为了奖励学习有进步的学生，老师请小杰帮忙到文具店买了20本练习簿和10支水笔，共花了36元．已知每支水笔的价格比每本练习簿的价格贵1.2元，如果设练习簿每本为x元，水笔每支为y元，那么下面列出的方程组中正确的是（）
A．B．
C．D．
5．（4分）已知在△ABC中，点D、点E分别在边AB和边AC上，且AD=2DB，AE=2EC，，，用、表示向量正确的是（）
A．B． C． D．
6．（4分）下列说法中正确的是（）
A．每个命题都有逆命题B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题是真命题D．假命题的逆命题是假命题
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）（﹣3）2的平方根等于
．
8．（4分）函数的定义域是．
9．（4分）方程=x的解是．
10．（4分）如果关于x的方程的一个根为3，那么a=．
11．（4分）已知关于x的方程x2﹣mx+2=0有两个相等的实数根，那么m的值是．
12．（4分）在一次函数y=（4﹣m）x+2m中，如果y的值随自变量x的值增大而减小，那么这个一次函数的图象一定不经过第象限．
13．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，且经过点（2，﹣4）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是．
14．（4分）如果从数字1、2、3、4中，任意取出两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是奇数的概率是．
15．（4分）正十边形的中心角等于
度．
16．（4分）已知⊙O的直径为6cm，点A在直线l上，且AO=3cm，那么直线l与⊙O的位置关系是．
17．（4分）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，AC⊥AB，那么
cotB=．
18．（4分）已知在三角形纸片ABC中，∠C=90度，BC=1，AC=2，如果将这张三角形纸片折叠，使点A与点B重合，折痕交AC于点M，那么AM=．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）求不等式组的整数解．
20．（10分）先化简，再求值：÷x，其中x=．
21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．
22．（10分）在2010年上海世博会举行期间，某初级中学组织全校学生参观世博园，亲身体验“城市让生活更美好”的世博理念．为了解学生就学校统一组织参观过的5个场馆的最喜爱程度，随机抽取该校部分学生进行问卷调查（每人应选且只能选一个场馆），数据整理后，绘制成如下的统计图：
请根据统计图提供的信息回答下列问题：
（1）本次随机抽样调查的样本容量是；
（2）本次随机抽样调查的统计数据中，男生最喜爱场馆的中位数是名；（3）估计该校女生最喜爱泰国馆的约占全校学生数的%（保留三个有效数字）；（4）如果该校共有2000名学生，而且六、七、八年级学生人数总和比九年级学生人数的3倍还多200名，试通过计算估计该校九年级学生最喜爱中国馆的人数约为多少名？
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，，
DN∥CM，交边AC于点N．
（1）求证：MN∥BC；
（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．
24．（12分）如图，已知在直角坐标平面内，点A的坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y=2x上，∠PAO=45度．
（1）求点P的坐标；
（2）如果二次函数的图象经过P、O、A三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标M；
（3）如果将第（2）小题中的二次函数的图象向上或向下平移，使它的顶点落在直线y=2x 上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．
（1）求CD的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．
2011年上海市浦东新区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列各式中，正确的是（）
A．a6+a6=a12 B．a4•a4=a16C．（﹣a2）3=（﹣a3）2D．（a﹣b）2=（b﹣a）2
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题．
【分析】A、合并同类项，系数相加即可．
B、同底数幂的乘法运算法则解答；
C、幂的乘方的计算法则解答；
D、完全平方公式的运用．
【解答】解：A、合并同类项，系数相加，指数与底数均不变．所以a6+a6=2a6．故本选项错误；
B、同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加．所以a4•a4=a8．故本选项错误；
C、幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以（﹣a2）3=﹣（﹣a3）2．故本选项错误；
D、（a﹣b）2=[﹣（a﹣b）]2=（b﹣a）2．故本选项正确；
故选D．
【点评】本题综合考查了完全平方公式、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方．此题是基础题，难度不大．
2．（4分）下列根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】计算题．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式．故本选项错误；
B、=|x|，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．故本选项错误；
C、=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．故本选项错误；
D、符合最简二次根式的定义．故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．（4分）若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一定经过点（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣，2）C．（2，﹣1）D．（，2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】将（﹣1，2）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（﹣1，2），
∴k=﹣1×2=﹣2，只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣2的，就在此函数图象上；
四个选项中只有C：2×（﹣1）=﹣2符合．
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
4．（4分）为了奖励学习有进步的学生，老师请小杰帮忙到文具店买了20本练习簿和10支水笔，共花了36元．已知每支水笔的价格比每本练习簿的价格贵1.2元，如果设练习簿每本为x元，水笔每支为y元，那么下面列出的方程组中正确的是（）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】应用题．
【分析】等量关系为：水笔的单价﹣练习簿的单价=1.2；20本练习簿的总价+10支水笔的总价=36，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据单价的等量关系可得方程为y﹣x=1.2，
根据总价36得到的方程为20x+10y=36，
∴可列方程为，
故选B．
【点评】考查列二元一次方程组；得到单价和总价的2个等量关系是解决本题的关键．
5．（4分）已知在△ABC中，点D、点E分别在边AB和边AC上，且AD=2DB，AE=2EC，，，用、表示向量正确的是（）
A．B． C． D．
【考点】*平面向量．
【分析】首先根据题意画出图形，由AD=2DB，AE=2EC，可得DE∥BC，△ADE∽△ABC，则可知DE=BC，又由，，求得的值，则问题得解．
【解答】解：∵AD=2DB，AE=2EC，
∴，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=2：3，
∴DE=BC，
∵，，
∴=﹣=﹣，
∴=（﹣）=﹣．
故选D．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合思想求解．
6．（4分）下列说法中正确的是（）
A．每个命题都有逆命题B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题是真命题D．假命题的逆命题是假命题
【考点】命题与定理．
【专题】压轴题．
【分析】根据命题、逆命题、逆定理的定义即可作出判断．
【解答】解：A、每个命题都有逆命题是正确的；
B、每个定理不一定有逆定理，如对顶角相等没有逆定理，故选项错误；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如对顶角相等的逆命题不是真命题，故选项错误；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，如相等的角是对顶角的逆命题是真命题，故选项错误．故选A．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）（﹣3）2的平方根等于
±3．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【分析】首先求出（﹣3）2的值，然后根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（﹣3）2=9，
又∵（±3）2=9，
∴（﹣3）2的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
8．（4分）函数的定义域是x＞﹣1．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9．（4分）方程=x的解是x=1．
【考点】无理方程．
【分析】本题要先平方化简后才能求出x的值．
【解答】解：=x，
两边都平方得x2﹣2x+1=0，
即（x﹣1）2=0，
∴x=1．
【点评】本题要先平方化简后，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
才能求出x的值．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
10．（4分）如果关于x的方程的一个根为3，那么a=3．
【考点】无理方程．
【专题】计算题．
【分析】根据方程的解的意义，把x=3代入原方程，然后解关于a的无理方程，解答后，一定要验根．
【解答】解：∵关于x的方程的一个根为3，
∴x=3一定满足关于x的方程，
=3，
方程的两边同时平方，得
6+a=9，
解得a=3；
检验：
将a=3代入原方程得，
左边==3，
右边=3，
所以，左边=右边．
所以，a=3符合题意；
故答案为：3．
【点评】本题考查了无理方程的解法．在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．
11．（4分）已知关于x的方程x2﹣mx+2=0有两个相等的实数根，那么m的值是±2．【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+2=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4×2=0，
即m2=8，
∴m=±2
故本题答案为：±2．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根
12．（4分）在一次函数y=（4﹣m）x+2m中，如果y的值随自变量x的值增大而减小，那么这个一次函数的图象一定不经过第三象限．
【考点】一次函数的性质．
【专题】常规题型．
【分析】根据函数的增减性可得出m的取值范围，进而可确定2m的正负情况，然后根据一次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：∵y的值随自变量x的值增大而减小，
∴可得4﹣m＜0，
解得m＞4，
2m＞8，
故可得函数一定不经过第三象限．
故答案为：三．
【点评】本题考查了一次函数的性质，难度不大，关键是掌握y=kx+b中，k＞0，y随x的增大而增大，k＜0，y随x的增大而减小．
13．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，且经过点（2，﹣4）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是y=﹣x2等（满足4a+c=﹣4即可）．
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】由于二次函数的对称轴为y轴，故x=﹣=0，由于a≠0，故b=0，所以二次函数
解析式为y=ax2+c．
将（2，﹣4）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推知a、c的值．
【解答】解：∵对称轴为y轴，
∴设二次函数解析式为y=ax2+c，
将（2，﹣4）代入解析式，得4a+c=﹣4，
不防取a=﹣1，c=0，得解析式为y=﹣x2．答案不唯一．
故答案为：y=﹣x2等（满足4a+c=﹣4即可）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，要熟悉对称轴公式、二次函数成立的条件，要注意此题具有开放性，答案不唯一．
14．（4分）如果从数字1、2、3、4中，任意取出两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是奇数的概率是．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】列表列举出所有情况，看两位数是偶数的情况数占总情况数的多少即可解答．【解答】解：列表如下
1 2 3 4
1 1
2 1
3 14
2 21 2
3 24
3 31 32 34
4 41 42 43
共有12种等可能的结果，其中是奇数的有6种，概率为=．
故答案为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
15．（4分）正十边形的中心角等于
36度．
【考点】正多边形和圆．
【专题】计算题．
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可．
【解答】解：正十边形的中心角为：=36°．
故答案为：36°．
【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
16．（4分）已知⊙O的直径为6cm，点A在直线l上，且AO=3cm，那么直线l与⊙O的位置关系是相交或相切．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】推理填空题．
【分析】由已知⊙O的直径为6cm，点A在直线l上，且AO=3cm，可得AO的长等于半径，那么点A一定在⊙O上，当有1个公共点时，则相切，当有2个公共点时，则相交．
【解答】解：已知⊙O的直径为6cm，则半径为3cm，又已知AO=3cm，所以AO为半径，则A在⊙O上．
当AO⊥L时，有1个公共点，即相切．
当圆心O到直线L的距离小于AO时，有2个公共点，即相交．
故答案为：相交或相切．
【点评】此题考查的知识点是直线与圆的位置关系，关键是由已知得AO为半径，那么点A 一定在⊙O上，由此能正确确定其位置关系．
17．（4分）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，AC⊥AB，那么cotB=．
【考点】解直角三角形；等腰梯形的性质．
【专题】数形结合．
【分析】利用三角形内角和计算可得∠B的度数，也就求得了cotB．
【解答】解：∵AB=AD=CD，
∴∠ABC=∠BCD，∠DAC=∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB，
∴∠ABC=2∠ACB，
∵AC⊥AB，
∴∠ABC=60°，
∴cotB=．
故答案为：．
【点评】综合考查了等腰梯形及解直角三角形的知识；判断出∠B的度数是解决本题的关键．
18．（4分）已知在三角形纸片ABC中，∠C=90度，BC=1，AC=2，如果将这张三角形纸片折叠，使点A与点B重合，折痕交AC于点M，那么AM=．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】首先根据题意作出图形，根据折叠的性质即可知：MN是线段AB的垂直平分线，则可证得：AM=BM，在Rt△BCM中，由勾股定理，借助于方程求解即可．
【解答】解：如图：连接BM，
∵将这张三角形纸片折叠，使点A与点B重合，折痕交AC于点M，
∴MN是线段AB的垂直平分线，
∴BM=AM，
设AM=x，则BM=x，CM=AC﹣AM=2﹣x，
∵∠C=90°，
∴BC2+CM2=BM2，
∴1+（2﹣x）2=x2，
解得：x=．
∴AM=．
故答案为：．
【点评】此题考查了折叠的性质与勾股定理的应用．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）求不等式组的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再其公共解集内找出符合条件的x 的整数解即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣2．（2分）
由②得，x≤1．（2分）
∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤1．（3分）
∴原不等式组的整数解为﹣1，0，1．（3分）
故答案为：﹣1，0，1．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，能根据求一元一此不等式组解集的方法求出原不等式组的解集是解答此题的关键．
20．（10分）先化简，再求值：÷x，其中x=．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
【解答】解：原式=（2分）
=+1
=，（5分）
当x=时，原式==﹣4．（7分）
【点评】把分式化到最简后再进行代值计算．
21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】利用垂径定理构造直角三角形分别求得三角形的三边长，然后相加即可得到△ACD 的周长．
【解答】解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴．
∵AB=10cm，
∴AO=BO=CO=5cm．
∵BE=OE，
∴cm，cm．
在Rt△COE中，∵CD⊥AB，
∴OE2+CE2=OC2．
∴cm．
∴cm．
同理可得cm，cm．
∴△ACD的周长为cm．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形并利用勾股定理解之．
22．（10分）在2010年上海世博会举行期间，某初级中学组织全校学生参观世博园，亲身体验“城市让生活更美好”的世博理念．为了解学生就学校统一组织参观过的5个场馆的最喜爱程度，随机抽取该校部分学生进行问卷调查（每人应选且只能选一个场馆），数据整理后，绘制成如下的统计图：
请根据统计图提供的信息回答下列问题：
（1）本次随机抽样调查的样本容量是300；
（2）本次随机抽样调查的统计数据中，男生最喜爱场馆的中位数是30名；
（3）估计该校女生最喜爱泰国馆的约占全校学生数的12.7%（保留三个有效数字）；（4）如果该校共有2000名学生，而且六、七、八年级学生人数总和比九年级学生人数的3倍还多200名，试通过计算估计该校九年级学生最喜爱中国馆的人数约为多少名？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；中位数．
【专题】代数综合题；图表型．
【分析】（1）将各馆的男生女生相加即可得出本次随机抽样调查的样本容量．
（2）将各馆的人数按从少到多依次排列，从而可得出中位数．
（3）根据频率=进行计算即可．
（4）设该校九年级学生人数为x名，然后根据题意可得2000﹣x=3x+2，解出即可．
【解答】解：（1）本次随机抽样调查的样本容量=20+10+30+15+30+38+64+42+6+45=300；（2）男生最喜爱场馆排列为：震旦馆、航空馆、汽车馆、泰国馆、中国馆，
∴本次随机抽样调查的统计数据中，男生最喜爱场馆的中位数是30；
（3）女生最喜爱泰国馆的约占全校学生数==12.7%；
（4）设该校九年级学生人数为x名，
根据题意，得2000﹣x=3x+200，
解方程，得x=450，
∴（名）．
答：估计该校九年级学生喜欢中国馆的人数约为159名．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题也考查了对中位数、众数的认识和用样本估计总体．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，，
DN∥CM，交边AC于点N．
（1）求证：MN∥BC；
（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．
【考点】等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）此题又有两种证法：
证法一：取边BC的中点E，连接ME，利用已知条件求证△MEC≌△NCD．可得CM=DN，又利用CM∥DN，
可证四边形MCDN是平行四边形即可．
证法二：延长CD到F，使得DF=CD，连接AF．由，CD=DF，可得BC=CF，再
利用MC∥DN，可得ND∥AF，再利用CD=DF，可证MN∥BC即可．
（2）根据MN∥BD，BM与DN不平行，可得四边形BDNM是梯形，再利用∠ACB=90°，可得CM=BM=AM，然后即可证明四边形BDNM是等腰梯形．
【解答】（1）证法一：取边BC的中点E，连接ME．
∵M是边AB的中点，
∴BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．
∴∠MEC=∠NCD．
∵，∴CD=CE．
∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．
∴△MEC≌△NCD．
∴CM=DN．
又∵CM∥DN，
∴四边形MCDN是平行四边形．
∴MN∥BC．
证法二：延长CD到F，使得DF=CD，连接AF．
∵，CD=DF，
∴BC=CF．
∵BM=AM，
∴MC∥AF．
∵MC∥DN，
∴ND∥AF．
又∵CD=DF，
∴CN=AN．
∴MN∥BC．
（2）答：当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．
证明：∵MN∥BD，BM与DN不平行，
∴四边形BDNM是梯形，
∵∠ACB=90°
M是边AB的中点，
∴BM=AM，
∵CM是Rt△ABC的中线，
∴CM=BM=AM，
∵CM=DN，
∴BM=DN，
∴四边形BDNM是等腰梯形．
【点评】此题主要考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，综合性较强，是一道典型的题目．
24．（12分）如图，已知在直角坐标平面内，点A的坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y=2x上，∠PAO=45度．
（1）求点P的坐标；
（2）如果二次函数的图象经过P、O、A三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标M；
（3）如果将第（2）小题中的二次函数的图象向上或向下平移，使它的顶点落在直线y=2x 上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据题意设点P的坐标为（x，2x），又由∠PAO=45°，PH⊥OA，可得PH=AH=2x，又由点A的坐标为（3，0），即可求得x的值，则可求得点P的坐标；
（2）利用待定系数法将点P，O，A的坐标代入解析式即可得到方程组，解方程组即可求得解析式；
（3）根据图形求得：△APO、△AQO与四边形AMPO的面积，即可求得△APM与△APQ 的面积，则问题得解．
【解答】解：（1）过点P作PH⊥OA，垂足为点H．
∵点P在直线y=2x上，
∴设点P的坐标为（x，2x）．
∵∠PAO=45°，PH⊥OA，
∴∠PAO=∠APH=45°．
∴PH=AH=2x．
∵点A的坐标为（3，0），
∴x+2x=3．
∴x=1．
∴点P的坐标为（1，2）．
（2）设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
∵图象经过P（1，2）、O（0，0）、A（3，0）三点，
∴，
解得，
∴所求的二次函数解析式为y=﹣x2+3x．
顶点M的坐标为（，）．
（3）根据题意，得点Q的坐标为（，3）．
∵S△AQO=×3×3=，
S△APO=×3×2=3，
S四边形AMPO=×1×2+×（2+）×+××=，
∴S△APM=﹣3=，S△APQ=﹣3=．
∴△APM与△APQ的面积之比为．
另解：根据题意，得点Q的坐标为（，3）．
设图象的对称轴与直线AP相交于点N，则点N的坐标为（，）．
∴MN=﹣=，QN=3﹣=．
∴MN=QN，
∴，．
∴△APM与△APQ的面积之比为．
【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法以及三角形面积的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．
（1）求CD的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行线分线段成比例．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，易得：△BDC∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长；
（2）由BC=BD与∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，可证得：∠ABC=∠ACB，则可求得：AC=AB=4；作辅助线：作DE⊥BC，垂足为点E，即可证得：DE∥AH，又由DE∥PQ，根据平行线分线段成比例定理，即可求得y关于x的函数解析式；
（3）首先求得AQ=AB=4，然后作AF⊥BQ，垂足为点F，即可求得QF与DF的值，由勾股定理即可求得CP的值．
【解答】解：（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴，
∵AB=4，BC=BD=2，
∴CD=1；
（2）∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB=4，
作AH⊥BC，垂足为点H．
∴BH=CH=1．
作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH．
∴，即．
∴，．
又∵DE∥PQ
∴，即，
整理，得．
定义域为x＞0．
（3）
∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．
∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，
∴∠ABD=∠DQA．
∴AQ=AB=4．
作AF⊥BQ，垂足为点F，可得，．
∴．
解得，
∴．
解得，
即．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．
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——小编编。