学科专业知识(小学数学)

2013教师招聘考试学科专业知识（小学数学）教材一、封面
二、图书基本信息
作者：《教师公开招聘考试专用系列教材》编委会
出版社：教育科学出版社
作者简介
《教师公开招聘考试专用系列教材》编委会由华图教育一线教师招聘考试研究专家、学者组成，编委会成员的专业背景涵盖了中小学各学段全部22门学科领域，均具有深厚的教育教学背景和扎实的学科专业基础知识，对教师公开招聘的考试政策、考试形式、出题思路、重点难点等有着全面独到的研究。

编委会一直致力于为广大考生提供质量上乘、适用高效备考的全国最专业的教师招聘考试图书。

三、图书目录
第一部分教材教法
第一章小学数学课程基础3
核心考点提示3
考纲知识导读3
一线名师精讲3
第一节小学数学基本理念和设计思路3
第二节小学数学课程目标、内容标准和实施建议7 命题热点集训22
第二章小学数学教学基础24
核心考点提示24
考纲知识导读24
一线名师精讲24
第一节小学数学教学原则、方法和策略24
第二节小学数学教学设计和评价26
命题热点集训31
第三章小学数学教材33
核心考点提示33
考纲知识导读33
一线名师精讲33
第一节小学数学教材概述33
第二节小学数学教材分析35
命题热点集训39
第四章经典教学案例与教案设计展示41
经典教学案例一41
经典教学案例二44
经典教学案例三46
经典教案设计一47
经典教案设计二51
经典教案设计三54
第二部分专业知识
第一章数与代数59
核心考点提示59
考纲知识导读59
一线名师精讲60
第一节数及数的运算60
第二节代数式及其运算63
第三节方程及其运算69
命题热点集训71
第二章不等式及其解法73
核心考点提示73
考纲知识导读73
一线名师精讲74
第一节不等式及其基本性质74 第二节解不等式78
命题热点集训81
第三章集合与简易逻辑84
核心考点提示84
考纲知识导读84
一线名师精讲85
第一节集合85
第二节简易逻辑91
命题热点集训96
第四章函数99
核心考点提示99
考纲知识导读99
一线名师精讲100
第一节函数的概念和基本性质100 第二节一次函数与二次函数110
第三节指数函数125
第四节对数函数127
第五节三角函数129
命题热点集训138
第五章数列143
核心考点提示143
考纲知识导读143
一线名师精讲144
第一节数列的概念与简单表示法144 第二节等差数列147
第三节等比数列150
命题热点集训154
第六章统计与概率159 核心考点提示159
考纲知识导读159
一线名师精讲160
第一节统计160
第二节概率167
第三节抽样与分布171 命题热点集训174
第七章向量180
核心考点提示180
考纲知识导读180
一线名师精讲181
第一节平面向量181 第二节空间向量189 命题热点集训194
第八章复数199
核心考点提示199
考纲知识导读199
一线名师精讲199
第一节复数的概念199 第二节复数的运算202 命题热点集训204
第九章极限与数学归纳法207 核心考点提示207
考纲知识导读207
一线名师精讲208
第一节极限208
第二节数学归纳法213
命题热点集训215
第十章微积分初步221
核心考点提示221
考纲知识导读222
一线名师精讲222
第一节导数222
第二节微分233
第三节积分234
命题热点集训239
第十一章线性代数243
核心考点提示243
考纲知识导读243
一线名师精讲244
第一节行列式244
第二节矩阵247
第三节线性方程组256
第四节线性空间258
命题热点集训263
第十二章几何初步267
核心考点提示267
考纲知识导读267
一线名师精讲268
第一节基本几何元素268
第二节多边形270
命题热点集训276
第十三章直线、平面、简单几何体280 核心考点提示280
考纲知识导读280
一线名师精讲280
第一节点、线、面及其位置关系280 第二节简单几何体290
命题热点集训299
第十四章解析几何305
核心考点提示305
考纲知识导读305
一线名师精讲306
第一节直线与圆的方程306
第二节圆锥曲线314
命题热点集训327
附录常用数学公式335
四、图书内容节选
第一章数与代数
第二部分专业知识
第一章数与代数
核心考点提示
1理解什么是整数，能判断一个数是奇数还是偶数。

2能判断质数和合数，会分解质因数和求公约数、公倍数。

3理解带余除法的定义。

4.会正确地读、写小数。

5了解分母是“10”、“100”的分数与小数的关系。

6能区分数与百分数。

7了解单项式和多项式的概念。

8理解整式的四则运算。

9理解分式的乘法法则。

10理解分式的加减法法则。

11理解异分母分式的加减法法则。

12理解分式的约分的步骤。

13理解因式分解的常用方法（提公因式法、公式法）。

14了解一元n次方程的定义。

15理解一元一次方程的解法。

考纲知识导读
数与代数数及数的运算整数
小数
分数
常见的量
代数式及其运算
整式
分式
因式分解
方程及其运算
方程的认识
一元一次方程的运算及其应用
一线名师精讲
第一节数及数的运算
一、整数★★
1自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数.一个物体也没有，用0表示.0也是自然数.
2计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位.每相邻两个计数单位之间的进率都是10.这样的计数法叫做十进制计数法. 3数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位.
4数的整除
（1）整除、倍数、约数
整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a.
如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）.倍数和约数是相互依存的.
真题点睛
1.在有余数的除法里，余数和除数相比较，()。

A.余数小
B.除数小
C.一样大
D.余数大
【答案】A
【名师点评】在有余数的除法里，余数和除数相比较，余数小。

若余数大于除数，则能继续进行除法运算。

2.38÷8=()。

A.4......6B.5......2C.6......4D. 5 (4)
【答案】A
【名师点评】38÷8商为4，余数为6。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身.例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10.
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身.3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数.
（2）整除的性质
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除.
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除.
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除.
一个数各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除.
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除.
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除.例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除.
一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除.例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除. （3）奇数和偶数
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数.能被2整除的数叫做偶数.不能被2整除的数叫做奇数.
0也是偶数.
（4）质数与合数
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12，都是合数.
1不是质数也不是合数，自然数除了0和1外，不是质数就是合数.
真题点睛
1—20中的质数为：。

【答案】2、3、5、7、11、13、17、19
【名师点评】20以内的质数，共8个：2、3、5、7、11、13、17、19。

（5）分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式.其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数.
例如15=3×5，3和5叫做15的质因数.把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如把28分解质因数28=2×2×7.
（6）公约数与公倍数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数.其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18.其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数.
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数.
公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质.
相邻的两个自然数互质.
两个不同的质数互质.
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质.
两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质.
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1.
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数.
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数.
如果两个数是互质数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数.
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的.
5.带余除法
整数a除以整数b，若除尽，则余数为0，称为整除；若除不尽，则余数不为0，就称为带余除法。

在一道带余除法算式中，涉及四个数：被除数÷除数=商……余数，最基本的数量关系式是：
（1）被除数=商×除数+余数。

（2）（被除数-余数）÷除数=商。

（3）（被除数-余数）=商×除数。

（4）（被除数-余数）÷商=除数。

二、小数★★
1小数
小数由整数部分、小数部分和小数点组成.测量物体时，往往得到的不是整数,古人就发明了用小数来补充整数。

小数是十进制分数的一种特殊表现形式.分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示.所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数.如589、085、26……这样的数都是小数.
2用小数表示分母是10的分数
1分米是1米的110，即01米；1厘米是1分米的110，即01分米.
3用小数表示分母是100的分数
1厘米是1米的1100,即001米.
三、分数★★★
1分数
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数.分数中间的一条横线叫做分数线，分数线上面的数叫做分子，分数线下面的数叫做分母.读作几分之几.分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示几份这样的数.
2百分数与分数的区别
（1）意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称. （2）百分数的分子可以是整数，也可以是小数；而分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数；百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数. （3）任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义.
（4）百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用.
真题点睛
47()59（填入“>”“<”“=”）。

【答案】>
【名师点评】47-59 =4×97×9－5×79×7=163>0，所以47>59。

四、常见的量★
1质量单位：吨、千克、克.
2时间单位：世纪、年、月、日、时、分、秒.
3长度单位：千米、米、分米、厘米、毫米.
第二节代数式及其运算
一、整式★★★★★
（一）整式的概念
单项式和多项式统称为整式.
（二）单项式
1单项式的表示形式
（1）数与字母的乘积的代数式叫做单项式.
（2）单个字母是单项式.
（3）单个的数是单项式.
（4）字母与字母相乘称为单项式.
（5）数与数相乘称为单项式.
2单项式的系数
单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数.
如果一个单项式，只含有数字因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为-1.
3单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
（三）多项式
1多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式.多项式中的符号，看作各项的性质符号.一元n次多项式最多有n+1项.
2多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数. 3多项式的排列：（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列.
注意：1由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变.
2为了便于多项式的计算，通常总是把一个多项式，按照一定的顺序，整理成整洁简单的形式，这就是多项式的排列.
3做多项式的排列题时应注意：
（1）在排列时，需把每一项的性质符号看做是这一项的一部分，一起移动. （2）有两个或两个以上字母的多项式排列时，要注意：
①先确认按照哪个字母的指数来排列.
②确定按这个字母向里排列，还是向外排列.
（3）同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项.
4掌握同类项的概念时应注意：
（1）判断几个单项式或项，是否是同类项，要掌握两个条件：
①所含字母相同.
②相同字母的次数也相同.
（2）同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关.
（3）几个常数项也是同类项.
（4）合并同类项
①合并同类项的概念
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
②合并同类项的法则
同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.
③合并同类项步骤
a准确地找出同类项.
b逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变. c写出合并后的结果.
(5)在掌握合并同类项时注意：
①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.
②不要漏掉不能合并的项.
③只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）.
（四）整式和整式的四则运算
1整式分为单项式和多项式，整式的运算分为加减和乘除.
2整式的加减
合并同类项是加减运算中的重点，也是难点.合并同类项时要注意以下三点：（1）要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准；
（2）明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
（3）合并是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变.
3整式的乘除
整式的乘除重点是其中的乘法公式.乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广泛含义，学生不易掌握.因此，乘法公式的灵活运用是难点，添括号（或去括号）时，括号中符号的处理是另一个难点.添括号（或去括号）是对多项式的变形，要根据添括号（或去括号）的法则进行.在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为，一般多项式的乘除都要“转化”为单项式的乘除.
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（2）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（3）积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
（4）单项式与单项式相乘有以下法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
（5）单项式与多项式相乘有以下法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去
乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
（6）多项式与多项式相乘有下面的法则：多项式与多项式相乘，即用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
（7）两个单项式相除可分为三个步骤：
①把系数相除，所得的结果作为商的系数；
②把同底数的幂分别相除，以所得的结果作为商的因式；
③只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式.
（8）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
4整式四则运算的主要题型
（1）单项式的四则运算
此类题目多以选择题和应用题的形式出现，其特点是考查单项式的四则运算. （2）单项式与多项式的运算
此类题目多以解答题的形式出现，技巧性强，其特点为考查单项式与多项式的四则运算.
例:先去括号，再合并同类项：2a-3b+［4a-(3a-b)］.
解：2a-3b+［4a-(3a-b)］
=2a-3b+（4a-3a+b）
=2a-3b+（a+b）
=2a-3b+a+b
=3a-2b
说明：本题指出了多项式化简的运算顺序，多重括号的去除，一般按去小括号→去中括号→去大括号的程序，逐次去掉括号，每去一层括号都要合并同类项一次，以使运算简便.也可以由外向里脱，即按去大括号→去中括号→去小括号的程序逐渐去掉括号.
真题点睛
先化简，再求值：x(x+2y)－(x+1)2+2x，其中x=－2，y=12
【答案】-3
【名师点评】原式化简为2xy－1，将x=－2，y=12代入原式得-3.
二、分式★★★
（一）分式的概念
1定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB 叫做分式.
注：AB=A×1B
2组成：在分式AB中，A称为分式的分子，B称为分式的分母.
3意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义.
4分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分式值为0.
分式的概念包括3个方面：
（1）分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起
除号的作用；
（2）分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式和分式的重要依据；
（3）在任何情况下，分母的值都不可以为0，否则分式无意义.这里，分母是指除式而言.而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件.
注意：
判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是AB的形式，关键要满足：（1）分式的分母中必须含有未知数.
（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义.
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性.
（二）约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.
（三）分式的约分步骤
1如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.
2分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别进行因式分解,再将公因式约去.
注意：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.
（四）最简分式
一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.
（五）分式的通分
把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分. （六）分式的通分步骤
先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.
注意：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质.
（2）分式的约分和通分是互逆运算过程.
（七）分式的四则运算
1同分母分式加减法则：同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
2异分母分式加减法则：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
3分式的乘法法则：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.
4分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
三、因式分解★★★
（一）定义
把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解（也叫做分解因式）.
（二）意义
因式分解是最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解
决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础.学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.
（三）因式分解的方法
1提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.提出“-”号时，多项式的各项都要变号.
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.
提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.
2公式法
如果把乘法反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.
（a+b）（a-b）=a2-b2反过来为a2-b2=（a+b）（a-b）
（a+b）2=a2+2ab+b2反过来为a2+2ab+b2=（a+b）2
（a-b）2=a2-2ab+b2反过来为a2-2ab+b2=（a-b）2
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍.
3分解因式技巧
分解因式与整式乘法互为逆变形.
分解因式技巧掌握：
（1）等式左边必须是多项式；
（2）分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；（4）分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.
真题点睛
若（a-1）∶7=4∶5，则10a+8之值为()
A．54B．66C．74D．80
【答案】C
【名师点评】（a-1）∶7=4∶5，即5（a-1）=28，去括号，移项得：5a=33，等式两边同时乘以2得，10a=66，则10a+8=74，故选C．。