图的基本概念Graphs

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顶点的连通关系是 V(G) 上的等价关系，它把图 G 的顶点作了一个划分。每个等价类导出的子图 称为图 G 的一个连通分支。若 G 只有一个连通 分支，则称 G 是连通的。
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设 n>=3 V={1,2,3, … ,n }
圈 (Cycle)
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E={12,23,34, ...., (n-1)n, n1} 则简单图 G=(V,E) 称为圈，记作
平行边，环
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若两条不同的边具有相同的端点，则称为平行 边 (parallel edges) 。 两个端点相同的边称为环 (loop) 。
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简单图
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没有平行边和环的图，称为简单图 (simple graph) 。 对于简单图，我们可以直接用顶点的无序对来表 示边。
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V={a,b,c,d} E={ac, ab, cb, bd} 这里 ab=ba
图的基本概念 Graphs
中山大学 杨超 yangch8@mail.sysu.edu.cn
一、图的定义
( 无向 ) 图 G 由三部分组成： 顶点集 V=V(G) 边集 E=E(G) 从边集到顶点的无序对之集的一个映射 f 。
例： V={a,b,c,d} E={1,2,3,4,5,6} f(1)={a,c} f(2)={a,c} f(3)={a,b} f(4)={b,c} f(5)={b,d} f(6)={d,d}={d}
称为链，若 每条边前后的顶点恰好是它的两个端点。 特别地，若 称为闭链。
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v 0= v n
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连通
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图 G 中若存在从顶点 x 到顶点 y 的链，则称 x 和 y 是连通的。 定理： x 和 y 是连通的当且仅当有一条从 x 到 y 的路。（从 x 到 y 有一条链当且仅当从 x 到 y 有 一条路）
二部图
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若图 G 的顶点可以划分成不交的且非空的两部 分 U 和 W ，且任何一条边的两个端点分别属于 U和W。 (U,W) 称为 G 的一个二部划分。
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例： 偶圈是二部图。 奇圈不是二部图。
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二部图的刻画
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定理：图 G 是二部图的充分必要是图 G 不含奇 圈。 证明：若 G 是二部图，易知 G 只有偶圈。
n
路 (Path)
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设 V={1,2,3,...,n} E={12, 23, 34, ..., (n-1)n } 则简单图 G=(V,E) 称为路。 N 阶路记作
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Pn
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路的边数称为路的长度。 P n 的长度是 n – 1 .
链 (walk 或 chain)
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图 G 中点边交错的序列
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v 0, e 1, v 1, e 2, v 2, ... , e n , v n
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我们这门课讲的都是有限图。即顶点集和边集都 是有限集。 一般用 n=n(G)=|V(G)| 来表示顶点的个数 用 m=m(G)=|E(G)| 来表示边数 顶点的个数也称为图的阶数 (order) ， n 个顶点 的图，称为 n 阶图。 对于简单图，有
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n n −1 0 ≤ m≤ 2
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顶点的度
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图 G 中，和一个顶点 v 关联的边的条数，称为 v 的度 (degree) ，记作
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d G v
或
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d v
度与边数的关系
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定理：
d v =2m ∑ v ∈ V G
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推论：任意图 G 的奇度点的个数为偶数。
子图
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G=(V,E) 是一个无向图， V1 是 V 的一个子集， E1 是 E 的一个子集，且 E1 中的边的端点仍在 V1 中，则 H=(V1,E1) 称为 G 的一个子图。 设 E0 是图 G 的一个边子集，用 G – E0 表示去掉 E0 的边后得到的图。特别地，若 E0={e} ，则 G – {e} 也简记为 G – e .
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若 G 不含奇圈，我们证明 G 是二部图。不妨设 G 是连通的。取 G 的一个顶点 x ，把所有的顶点 按到 x 的距离划分，如下图。
Biblioteka Baidu
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U = ∪i is even V i W = ∪i is odd V i
令
完全二部图
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若 G 是简单二部图，以 (U,V) 为二部划分，且对 任意的 U 中的顶点 x ，和任意的 V 中的顶点 y, 都有 xy 是图 G 的一条边，就称 G 为完全二部 图。若 |U|=n, |V|=m ，则图 G 也记作
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若
V G =∅
，称图 G 为空图。
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一般，我们只考虑顶点集非空的图。 若
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V G ≠∅ , E G =∅
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称图 G 为零图。
相邻 和 关联
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两个顶点称为相邻的 (adjacent) ，若它们是某一 条边的两个端点。 若顶点 v 是边 e 的一个端点，称 e 和 v 是关联的 (incident) 。
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Cn
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Cn
的长度 ( 边数 ) 为 n .
闭链与圈
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定理：长度为奇数的闭链一定包含一个奇圈。 证明：对闭链的长度用归纳法。 ( 作业 )
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距离 (Distance)
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设 x 和 y 是图 G 的两个顶点。图 G 中连接 x 和 y 的最短路的长度称为 x 和 y 的距离。记作
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d G x , y
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设 V0 是图 G 的一个点子集。 G – V0 表示去掉 V0 中的所有点，以及去掉所有和 V0 中的点有关联的 边后得到的图。 G – {v} 也简记为 G – v .
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导出子图
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导出子图：设 G=(V,E) 是一个图， S 是顶点集 V 的一个子集。那么以 S 为顶点集，以 G 的所有 两个端点都落在 S 内的边的全体为边集的子图， 称为 G 的导出子图，记作 G[S] 。
特别地 d(x,x)=0 d(x,y)=1 的充分必要条件是 x 和 y 相邻
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直径 (Diameter)
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图 G 中距离最远的两个点的距离称为图 G 的直 径，记作
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d G
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即
d G = max { d x , y | x , y ∈ V G }
d P n = n−1 n d C n =[ ] 2
补图
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简单图 G 的补图记为 G 的顶点集和 G 一样 , 且若 x,y 是两个顶点， 则 xy 是 G 的一条边当且仅当 xy 不是 G 的边
G
二、一些特殊的图类
完全图 (complete graph): 任何两个不同的顶点恰 有一条边的简单图称为完全图， n 个顶点的完全图 有 n(n-1)/2 条边。 n 阶完全图记作 K