【高中数学】柱、锥、台的表面积与体积

A1
B1
C1
D1
A1
D
C
A
B
C
D
A
例4 在底面边长为a，侧棱长为2a的 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，求： D1
(1) 此棱柱的体积V； (2) 点B到平面AB1C的距离。 A1
V = V B-AB1C
B1-ABC
= VA-BB1C
D
= VC-ABB1
A
C1 B1
C B
变式4
已知正三棱锥S-ABC的侧棱两两垂
S正
棱
台＝
1（c＋c' 2
)h'
c/=0
S直棱柱＝ch' ch
S
三
棱
锥＝
1 2
ch'
练习:已知棱长为a ,各面均为等边三角形
的三棱锥 S ABC ,则它的
①底面积为__4_3_a_2__,
S
②侧面积为__3_4_3_a_2_, C
③表面积为___3_a_2__. A
B
8
二、圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积的求法：
一、棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积的求法：
在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图, 正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
探究：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平 面图形围成的多面体，它们的展开图是 什么?如何计算它们的表面积?
S表=S底+S侧
r O l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
圆锥的侧面展开图是扇形
l rO
2r
S圆锥侧 rl
S r2 rl r(r l)
2r'
r 'O’
2r
l
圆台的侧面展开图是扇环
rO
S圆台侧＝S扇环＝（r r/ )l
直，侧棱长为 2cm ，求：
(1) 此棱锥的体积V； (2) 点S到底面ABC的距离。
V = V S-ABC
B-SAC
= VA-SBC
A
= VC-SAB
S
C O
B
【总一总★成竹在胸】
1.柱体、椎体、台体的表面积公式； 2.柱体、椎体、台体的体积公式； 3.台体与柱体和椎体之间的转换关系.
3
3
2
2
1
1
经过探究得知，棱锥是同底等高的棱柱体积的 1 ．
即棱锥的体积：
3
V 1 Sh(其中S为底面面积，h为高) 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是
底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，
都是等于底面面积乘高的 1． 3
圆锥的体积公式：
V 1 Sh (其中S为底面面积，h为高) 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
x s' xh s
S'
x
x h s'
S
h
s s'
V台
1 3
S（h
x)
1 3
S
'x
1 Sh 1 Sx 1 S 'x 3 33
1 Sh 1 (S S ' ) h s'
33
s s'
1 Sh 1 ( s s' )h s' 1 h(s ss' s' )
4
AB=5，求分别以三
角形的三边为旋转轴
旋转一周所成的旋转
B
体的表面积与体积。
5
4
A
3
C
A 3 C
B
4
12 5
C
5
3 A
例3
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别 为3，2，1，求沿其表面从点A到点C1的最短距离。
D1
A1 D
C1 B1
1C E
2
A
3
2
B1
例3
已知长方体ABCD-A1B1D1的长、宽、高分别为3， 2，1，求沿其表面从点A到点C1的最短距离。
解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即:
V 3 122 610 3.14 (10 )2 10
4
2
2956 (mm3)
2.956 (cm3)
例1： 一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
正视图
2cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
这个几何体是 _正_四__棱_锥__，
它的表面积是 _________，
棱
台
侧＝
1（c 2
c'
)h'
h'
S表=S底+S侧
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计 算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和
底面面积之和． S表=S底+S侧
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间 有什么关系？
上底扩大
上底缩小
h'
h'
c/=c
三、柱体、椎体、台体的体积的求法： 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及 圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh (S为底面面积，h为高)
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥， 那么这三个三棱锥的体积有什么关系?它们与 三棱柱的体积有什么关系?
l
O
rO
rO
S (r'2 r2 r'l rl)
r/=r
r/=0
S 2 r2 2 rl 2 r(r l) S r2 rl r(r l)
练习：看图回答问题
r 1 h 2
l 2
r 1
r' 1
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
r2
S圆柱侧 _4_S圆锥侧 _2_S圆 台侧 _6_ S圆柱表 6__S圆锥 表 _3_ S圆台表 1_1_
它的体积是 _________.
变式1：一几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
2cm
正视图
1 cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
这个几何体是
由正四棱锥和长
_方__体_ 组合__而_成， 它的表面积是 _________，
它的体积是 _________.
例2：
5
在Rt△ABC中，
AC=3，BC=4， B
S (r'2 r2 r'l rl)
x 2r'
r ' O’
2r
l
rO
r' x
r xl
rx r' x r'l
S侧 r(l x) r' x (rl rx r' x)
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么 关系？
r O
r 'O’
上底扩大
l
l 上底缩小
33
3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么 关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S
V 1 (S 3
SS S)h S 0
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
h为锥体高
面积，h 为台体高
S为底面面积， h为柱体高
练习：有一堆规格相同的铁制六角螺帽， 已知底面是正六边形，边长为12mm，内 孔直径为10mm，高为10mm，问六角螺 帽的体积是多少？
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
正棱柱的侧面展开图
S直棱柱侧＝ch S表=S底+S侧
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
S
正
棱
锥
侧＝
1 2
ch'
S表=S底+S侧
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
S正
根据台体的特征，如何求台体的体积？
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)
P
截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台) 的体积公式(过程略)．
A
D
S
C
B
h
D
V VP ABCD VP ABCD A
S C
1 (S SS S)h
B
3
棱台(圆台)的体积公式:
V 1 (S SS S)h 3
D1
A1 D
2
C1
B1
F
1C
1
A
3 B2
a
例3
已知长方体ABCD-
A1B1C1D1的长、宽、高分 别为3，2，1，求沿其表面
D1
从点A到点C1的最短距离。 A1
D
2
A
3
G
C1 B1
1C B
变式3
已知正方体的棱长为a，有一只蚂蚁从点A出发
经正方体的侧面走一周到达点A1，求蚂蚁走的最短 距离。
D1
C1