质点系动力学

（2）
由此得质点系的总动量为
p mi vi mvc
（3）
质点系的总动量等于质心的速度与质点系总 质量之积。
4、质心的加速度和质心运动定理
当 质量mi 不变时，由质心速度可以得到质心 加速度
ac
m a
i
i
（4）
m
（5）
这时，质点系的动量定理可以写为
(e) d Fi d t (mvc ) mac
m2
m1
o
x
方法1 用动量守恒定律 建立如图固定坐标系， m1 设任一 时刻船的质心和 车的质心分别是 x1和 x2 ， o 它们的绝对速度分别为 dx1 dt 和 dx2 dt . 系统原来静止，总动量为零。因此有
m2
x
dx1 dx2 m1 m2 0 dt dt
（1）
方程两边同乘以 dt 并积分得
( i ) Fi Fj( i ) F ( e ) j
vi
mj vj
对于每个质点应用动量定理 得
(e) (i ) d Fi Fi (mi vi ) dt
对质点系中所有质点求和得
F
(e)
i
Fi
(i)
d ( mi vi ) dt
由于内力总是成对出现，大小相等方向相反， 矢量和为零。
135
0
例4.1.6 车在船上的运动 船长l1，质量m1；汽 车长l2 ，质量m 2 。汽车从船尾由静止开始向船 头运动，到达船头时恰好相对船静止，忽略船 的阻力，求由于汽车的运动而使船移动的距离。
解：在水平方向上，车 和船组成的系统所受外 力为零,动量守恒。初始 总动量为零。具体解有 以下两种方法。
系统的总质量 为
m m1 m2 m3 57m0
质心的坐标为
m1 x1 m2 x2 m3 x3 0 4m0 R m0 R / 2 xc m 57 m0 7 R 114
m1 y1 m2 y2 m3 y3 0 0 m0 R / 4 yc m 57m0 1 R 228
机械能守恒定律
4.2.2 内力的功
以两质点为例，讨论 一对内力的功。
质点1： dA F dr 1 1 1 质点2： dA2 F2 dr2 dAi F1 dr1 F2 dr2 F1 dr1 F1 dr2 F1 dr1 dr2 F1 d r1 r2 F1 dr12
y
解：该系统可看成由质量分 布均匀的大、中、小三个球体 组成，它们可 视为质量各自集 中在质心（球心）处的三个质 点，中球的质量为负。
o
x
y
设小球质量为 m0 则 它们的质量和坐标分别为：
o
大球： 中球： 小球：
x
m1 64m0 , x1 0, y1 0 . m2 8m0 , x2 R / 2, y2 0 . m3 m0 , x3 R / 2, y3 R / 4 .
方法二
用质心的概念
在不受外力的情况下， 系统质心的速度保持不变， 原来静止还静止，因而系统 质心的位置也不变。设初始 o 船和车的坐标分别为 x10和 02x 根据质心坐标的定义得
x10
x20
x
t 0 时刻： m1 x10 m2 x20 (m1 m2 ) xc
t 时刻：m1 ( x10 x1 ) m2 ( x20 x2 ) (m1 m2 ) xc
上式表明：质点系所 有外力和内力功的总和 等于质点系动能的增量。
注意
内力能改变系统的总动能， 但不能改变系统的总动量。
2、机械能守恒定律 若质点系所受的力仅为保守力，则
Ai Ae (Ep 2 Ep1 )
即
(Ep 2 Ep1 ) Ek 2 Ek1
质点系的总机械能为
Ep 2 Ek 2 Ep1 Ek1 常量
质心的加速度为
d vc d z v z dv ac ( v) dt dt l l l dt
2
d v / d t g 为绳子下落的加速度，故有，
z z z ac 2 g( 1 ) g 2 g 3 g l l l
（3）
将ac 代入（1）式得，地面对绳子的作用力为
质量，则可看出： 质点系中总是存在着一个特殊的点C，该点的 运动代表着质点系整体的平动。
1、质心
如何确定这个特殊 点的位置？
rc
mi ri m
（2）
o
x
则由该式求导数可得到（1）式。 （2）式表明，点C的位矢是质点系各质点位 矢的质量加权平均， 故称点C为质点系的质心.
cr
质心 的定义
两式相减得
m1x1 m2x2 0
因车的绝对位移为：
x1 x2 x1 x2 (l1 l2 )
同理解得船移动的距离
m1 x2 (l1 l2 ) m1 m2
4 4.2 质点系动能定理 . 2 4.2.1 质点系动能定理和和机械能守恒定律 节 1、质点系动能定理
由（1）式看出， 若定义点C的位 置矢量为：
z
mi
C

y
ri
mj
rj
百度文库
2、质心坐标的计算
在平面直角坐标系中，质心的坐标为：
xc y c
mi xi
m mi yi m
质量连续分布
xc yc
xdm
m
ydm
m
说 明
动量定理及守恒定律的应用
例4.1.1 柔绳下落 一质量均 匀分布的柔软细绳铅直地悬 挂着，绳的下端刚好触到水 平桌面上，如果把绳的上端 放开，绳将落在桌面上。试 证明：在绳下落的过程中，
o
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力
x
的3倍。
证明：取如图坐标，设柔绳总长为L，
总质量为M 。将柔绳视为质点系，t
4.1.2 动量守恒定律
若F 0，则
即， 一个质点系所受的合外力为零时，这
一质点系的总动量保持不变。
注意：
1) 系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 2) 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，外力与内力相比小很多时，可忽略外力。 3) 若合外力沿某一方向为零，动量守恒可在某一方 向上成立。 4) 定律中的速度对应的是同一惯性系、同一时刻。 5）动量守恒定律是矢量式，应注意动量方向的确定。 6) 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。

m1v1

m2v2
即：m1v1 m2v2 m3v3 0
所以这三个动量必处 于同一个平面内，且 m3v3 第三块的动量必和第 一、二块的合动量大 小相等、方向相反， 如图所示。 因为 v1 和 v 2 相互垂直，所以
m1v1

m2v2
(m3v3 ) (m1v1 ) (m2v2 )
求质心的位置
例4.1.3 求半径为R的半球形球壳的质心
解：将球壳细分成无数多细 环如图，设球壳质量面密度为 。 则其中任一细环的质量为
r
R
d m ( 2 r R d ) 2 2 R sin d
半球壳的质量为
o
m d m 2 R
2
2 R
质点系动力学研究质点系整体运动 特征量（动量、角动量和动能）的 变化与作用力间的关系。主要内容: 质点系的动量定理
质点系的角动量定理
质点系的动能定理
4.1.3 质心和质心运动定理
p mi vi mvc （1） 若令 其中 m mi m1 m2 …… 为质点系的总


2 0
sin d
2
（质量均匀分布可不必积分）
根据对称性，细环的质心位于 y 轴，积分可得半球 壳质心的位置
xc 0 yc
ydm
m

2 0
2 R sin cos d
3
2 R
2
1 R 2
例4.1.4. 负质量问题 如图所示，半径为R的大 球内有一个半径为R/2的球形空腔，空腔的下部 放置了一个半径为R/4的小球。已知大球和小球 的质量密度相同，求该系统的质心。
系统所受的合外力等于系统的质量乘以质心的 加速度，上式又称质心运动定理。
说明
（1）质心的运动代表着质点系整体的运动，与 单个质点的运动相同。这正是将实际物体抽象 为质点模型的实质。
（2）在内力的作用下，质点系内各部分的运动 可以不相同，但质心的运动与内力无关，仅取 决于外力。 （3）若质点系受到的外力的矢量和为零，则质 心静止或作匀速直线运动。
对于任一质点 mi ：
Ai
( e)
Ai
(i )
1 1 2 2 mi vi 2 mi vi1 2 2
对于质点系整体 ： （求和）
A
(e)
i
Ai
(i )
1 2 1 2 mi vi 2 mi vi1 2 2
记作：
Ai Ae Ek 2 Ek1
质点系动能定理
2 2
2
由于
m1 m2 m , m3 2m
所以 v3 的大小为
1 1 2 2 2 2 v3 v1 v2 30 30 15 2 m/s 2 2
v3 和 v1所成之角 1800
v2 因 tan 1, 45。. v1
所以第三块与第一块速度方向的夹角为
质心运动定理的应用
例4.1.5 柔绳下落 一质量m 长度为 l 均匀柔绳竖直悬挂， 其下端刚刚与地面接触。今使 之自静止状态下落，求绳下落 到所剩的长度为 z 时，地面对 绳的作用力。
z
m
lz
l
z
o
解：取整条绳子为研究对象，将柔绳视为质点 系，采用质心运动定理求解。
z
m
设地面对绳子的作用力N ， 绳子的质心加速度 ac ， 建立如 l 图所示坐标系，对整个绳子应用 质心运动定理。
m1x1 m2x2 0
车相对船的位移为：x1 (l1 l2 )
车的绝对位移为：
（2）
x1 x2 x1 x2 (l1 l2 )
代入（2）式可解得船移动的距离
（3）
m1 x2 (l1 l2 ) m1 m2
可见，求解的过程和结果都与运动过程无关， 因此不管车的速度和加速度如何，结果都一样。
o
时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后
的dt时间内将有质量为dx（Mdx/L) 的柔绳（质点）以dx/dt 的速率碰到 桌面而停止，它的动量变化率为：
x
一维运动可用标量
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
柔绳对桌面的冲力F＝－F′即：
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
（1）质心是质点系质量分布的中心。
（2）对于形状规则、质量分布均匀的物体， 质心位于几何中心。 （3）线分布： 面分布： 体分布：
m dm dl l m dm dS S m dm dV V
3、质心的速度和质点系的动量
当 质量mi 不变时，由（1）式得质心的速度
vc

mi vi m
例4.1.2 爆炸前后总动量守恒 一个静止的物体 炸裂成三块，其中两块具有相等的质量，且以相同 速率30 m/s 沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量 为前两块的总和，求第三块的速度。 解：物体的动量原 等于零，根据动量守恒 定律知道，物体分裂为 m3v3 三块后，这三块碎片的 动量的动量总和仍然等 于零。
z N 3mg( 1 ) l
（4）
4 4.1 质点系动量定理 . 1 4.1.1 质点系动量定理 m 节 质点系：若干个有相互作
i
用力的质点组成的系统。 i 内力 F ：系统内各质点 间的相互作用力。 外力 F e ：系统外的物体对系统内各质点 间的相互作用力。
Fi ( e )
( i ) Fi 0
因此有
用 F 和 P 表示系统的合外力和总动量，上式可写为：
( e ) d Fi d t ( mi vi )
总动量
p mvi m1v1 m2v2 i
上式表明：质点系所受到的合外力等于质点系的 动量对时间的变化率。
lz
z
o
N mg mac
绳的质心坐标为
（1）
m 未落地部分的质量 l z ，质心的坐标为 1 z ，整条 2
1 m 1 z2 zc ( z z ) m l 2 2l
（2）
质心的速度为
d zc z d z z vc v dt l dt l
式中 dz/dt = v 是绳子上端的下落速度。对于一个 完全柔软的绳子，它和一个自由质点的下落速度 相同，即 v 2g (l z)