圆锥曲线方程教材分析
圆锥曲线教材分析(王秀彩)
教师专业成长途径
参加专业培训
教师应积极参加教育部门组织的数学专业培训，提高教育教学水平。
开展教学研究
教师应积极参与数学教学研究，发表教研论文，分享教学经验，促 进专业成长。
加强交流合作
教师应加强与同行之间的交流合作，共同探讨数学教学中遇到的问 题，相互学习，共同进步。
06 总结与展望
对本次教材分析的总结
圆锥曲线教材分析王秀彩
目 录
• 教材概述 • 圆锥曲线基础知识 • 圆锥曲线的教学方法与策略 • 圆锥曲线在高考中的地位与命题趋势 • 教材使用建议与拓展资源 • 总结与展望
01 教材概述
教材内容与结构
内容丰富
涵盖了圆锥曲线的基本概念、性质、 方程和图形等多个方面，内容全面且 深入。
结构清晰
按照从基础到深入的顺序，逐步引入 圆锥曲线的相关知识，层次分明，易 于学生理解和掌握。
04 圆锥曲线在高考中的地位 与命题趋势
高考考情分析
圆锥曲线是高考数学中的重要考点，主要考察学生对椭圆、双曲线、抛物 线等基本概念、性质和应用的理解和掌握。
高考中对于圆锥曲线的考察方式多样，既有选择题、填空题，也有解答题， 其中解答题往往涉及到多种知识点的综合运用。
圆锥曲线在高考中的难度属于中等偏上，需要学生具备扎实的数学基础和 较强的思维能力。
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拓展资源推荐
优秀教辅资料
推荐《圆锥曲线专题精讲》、《高中数学圆 锥曲线解题技巧》等教辅资料，帮助学生深 化对圆锥曲线的理解。
网络学习资源
推荐中国大学MOOC、网易公开课等在线课程平台 ，学生可自主选择相关课程进行拓展学习。
数学竞赛资源
高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案
4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
圆锥曲线大单元教学设计
➢ 教学反思
通过圆锥曲线大单元教学，绝大多数学生可以掌握 知识脉络，初步形成学科素养，但还是有一部分学生不 爱主动思考，疏于练习，不能构建知识网络，掌握的知 识断层。在以后的教学过程中，教师要充分发挥引导作 用，让学生端正学习态度、学会思考、给学生提供更多 探索的机会，让学生实际操作，将知识内化，融会贯通！
➢ 教材内容体系变化
➢ 新教材知内容
➢ 例题和习题变化
0.5m 改为1m 12题
➢ 教学目标分析
➢ 重点、难点
椭圆标准方程的推导与化简 双曲线标准方程的推导与化简
➢ 课时变化
➢ 单元教学流程设计
1.梳理知识框架
2.设计单元教学思路
以三种曲线的“个性特征”为明线，引导学生认识三种曲线；同时，通过讲 解“具体例子＋拓展性素材”的方式渗透和明确圆锥曲线统一定义，并在引 出抛物线概念时进行归纳。
引领性,双曲线、抛物线的研究通过类比椭圆完成。
4.设计教学流程：
在“问题串”的引导下，设计以下教学流程： 通过具体情境（如行星运行轨道），让学生了解椭圆的背景与应用； 结合情境、通过信息技术动态演示，让学生描述图形的几何特征，即椭圆是到
两个定点的距离之和为定长的动点的轨迹； 结合几何特征合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题； 借助几何图形的特点，形成研究椭圆性质的思路，利用方程，并通过直观想象
谢谢！
强调“先用几何眼光观察与思考，再用代数方法解决”，在明确几何特征的 基础上，再以坐标法和数形结合思想为暗线，建立坐标系、求标准方程，然 后通过方程、运用代数方法进一步探索圆锥曲线的性质及位置关系。
在研究圆锥曲线性质时，注重培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养和理 性思维。
3.确定方法和策略
圆锥曲线教案_双曲线的定义及其标准方程教案
《圆锥曲线----双曲线及其标准方程》教案【教学目标】1．知识与技能：通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程．2．过程与方法：在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，通过数形结合的方法进一步提高分析、归纳、推理的能力．3．情感态度价值观：培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度．【教学重点】双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程【教学难点】定义中的“差的绝对值”，a与c的关系的理解是难点．【课型】新课【课时安排】一课时（45min）【教学器具】多媒体【教学方式】教师引导学生思考【教学过程】一．复习引入1.椭圆的定义是什么？椭圆第一定义：把平面内与两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a>|F1F2|，其中F1，F2叫做焦点，它们之间的距离叫焦距，用2c(c>0)表示椭圆的第二定义：点M到定点的距离与它到定直线的距离的比为定值e （0<1)，则点m的轨迹是椭圆。
定点是椭圆的焦点；定直线叫做椭圆的准线;常数e是椭圆的2.椭圆的标准方程是什么？椭圆的标准方程分为两种情况，(1)当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a ²+y²/b²=1，(a>b>0)；（2）当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²-y²/b ²=1，(a>b>0)。
其中a²-c²=b²。
师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数2a，|F1F2|=2c，它们之间的变化对椭圆有什么影响？生：当a=c时，相应的轨迹是线段F1F2．当a＜c时，轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中边与边之间的关系．师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点F1、F2的距离的和”改写为“平面内与两个定点F1、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？二．实验(师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验．教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F1、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明．)师：做法是：适当选取两定点F1、F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段AF2(＜F1F2)，作为动点M到两定点F1和F2距离之差．而后把它固定在F2处．这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉锁的逐渐打开铅笔就徐徐画出一条曲线；同理可画出另一支．如图2-36．师：通过这个实验，你们发现了什么？生：所画的曲线不是椭圆，是两条相同的曲线，只是位置不同．其原因都是应用“平面内与两个定点的距离之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常数的条件画图的．师：所画出图象与椭圆完全不同，能说出属于哪一类曲线吗？生：属于双曲型曲线．师：很好！我们把这类曲线就叫做双曲线．我们思考以下几个问题：1．|MF1|和|MF2|哪个大？不一定．当点M在双曲线右支时，有|MF1|＞|MF2|，当点M在双曲线左支时，|MF1|＜|MF2|．2．点M与点F1、F2距离之差是否就应是|MF1|-|MF2|？未必是．也可以是|MF2|-|MF1|．如何表示这两种情况？若要同时表示这两种情况，正确的表示是应||MF1|-|MF2||．无论哪种情况总是成立的．3．点M与点F1、F2的距离之差的绝对值与|F1F2|的大小关系怎样？由三角形的两边之差小于第三边可知，应是小于|F1F2|．否则作不出图形．在上述讨论的基础上，引导学生概括出双曲线的定义，教师板书课题．(学生试叙述，教师协助完成．)三．新课引入1.双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a(a＞0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，这两个焦点间的距离叫做焦距，记作2c(c＞0)．*由定义知||MF1|-|MF2||=2a，|F1F2|=2c，并设动点为M，请大家讨论以下几个问题：(1)当0＜a＜c时，动点M的轨迹是什么？学生略思考一下，回答出是双曲线．(2)当a=c时，动点M的轨迹是什么？分析若a=c，也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c，如图2-37所示：可以看出，动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射线．(3)当a＞c＞0时，动点M的轨迹是什么？由前面归纳已知动点M的轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中两边之差小于第三边的性质．2.双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以参照求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．首先建立直角坐标系，即以两定点连线为x轴，两定点的垂直平分线为y 轴．然后，观察双曲线的特征，猜测双曲线方程的结构与椭圆方程的结构是否有类似之处？(如图2-38)（1）当点M移动到x轴上点A1、A2时，如何求点A1、A2的坐标？点A1、A2是关于原点对称的，所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a．所以点A1和A2的坐标分别是(-a，0)和(a，0)．（2）请同学们对照椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方程．<1>．建立直角坐标系．<2>．设双曲线上任意一点的坐标为M(x、y)，|F1F2|=2c，并设F1(-c，0)，F2(c，0)．<3>．由两点间距离公式，得<4>．由双曲线定义，得|MF1|-|MF2|=±2a，即<5>．化简方程两边平方，得化简得：两边再平方，整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．(为使方程简化，更为对称和谐起见．)由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式，得b2x2-a2y2＝a2b2，也就是*双曲线中c2=a2+b2与椭圆中a2=b2+c2不同．（3）与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？我们可以从所画的图形上观察，对比来看一看互相间的转化．(图2-39、图2-40)从图形的对称来看，只要交换一下x轴、y轴的名称，然后逆时针翻转90°使之y轴向上、下，x轴水平放置即可得到焦点在y轴上的双曲线．（4）从方程上来分析，只要将方程(1)的x、y互换就可以得到它的方程此方程也是双曲线的标准方程．如何记忆这两个标准方程？双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为实轴，焦点在该轴上，且分母为a2．负项相应的坐标轴为虚轴，且分母为b2．*用一句话概括“以正负定实虚”．四．例题例1 已知两点F1(-4，0)和F2(4，0)，曲线上的点到两个焦点的距离之差为6，求曲线方程．解由焦点坐标可知c=4，2a=6，所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7．所以，所求的双曲线方程为例2 求满足下列条件的双曲线方程1．若a=4，b=3，焦点在x轴上；解(1)因为a=4，b=3，并且焦点在x轴上，所以所求的双曲线方程为(2)由题意设双曲线的标准方程为：所以代入双曲线方程得所以b2=16，所以所求的双曲线的标准方程为例1和例2可由学生自行解答，黑板上板演，并对照检查对错．复习引入实验新课引入例题【课后小结】1．知识方面双曲线的定义和双曲线的标准方程；方程中的3个常数a、b、c间的关系：c2=a2+b2．理解“以正负定实虚”的意义，会确定实轴、虚轴、焦点所在位置，会求双曲线的标准方程．2．在教学方面体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美．。
圆锥曲线与方程教材分析(印)
圆锥曲线与方程教材分析一．选修圆锥曲线与方程的课标要求在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。
二．圆锥曲线与方程内容的课标要求（约16课时)（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。
（2）曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。
三．教参课时参考1、曲线与方程的教学——(1) 曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程的概念(2) 求轨迹的一般方法(3) 由方程研究其曲线性质的一般方法2、圆锥曲线的教学(1) 基于圆锥曲线的共同特征较多，以及椭圆作为新的轨迹衔接了圆和后续的双曲线，因此，教学中可以加重对椭圆的教学;(2) 注重让学生更好地掌握圆锥曲线的定义和性质特征的教学设计与方法；(3) 在例题、习题选配上，建议①突出基础与规范。
②突出数形结合。
③突出圆锥曲线的应用④适当的方程思想、函数思想、转化思想与方法的训练3、直线与圆锥曲线的教学(1) 教材要求掌握判断直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、中点问题。
——建议在此补充韦达定理、弦长公式，以便简化运算。
(2) 在知识的交汇点处适当补充训练，但是要控制难度。
五、几个可以弹性处理的问题1、选修4-4参数方程的内容的添加问题BAxyOC QlP2、关于圆锥曲线的统一定义的处理3、圆锥曲线考查什么六、试验省市高考题----仅供参考1．(07年湖北7)双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ A ）A ．1-B ．1C ．12-D ．122．（08年湖北10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是（B ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④3．（07年江苏19）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ，（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议新教材人教A版
人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议2021年9月24日一、本章教材在整册教材及高中数学教学中的地位与作用《圆锥曲线的方程》是在学习《直线和圆的方程》的基础上，进一步运用坐标法研究几何问题，通过行星运行轨道，抛物运动轨迹等，让学生了解圆锥曲线的背景与应用，在平面直角坐标系中，建立它们的标准方程认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，运用平面解析几何的方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想，培养学生直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。
二、本章教材与原教材相应内容的主要区别和联系1. 新教材《曲线与方程》不再作为独立单元呈现在旧教材的课本中： 2-1课本35页例题2求解线段垂直平分线后，给出了求解原曲线方程的步骤：（第36页）新教材选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》对应旧教材中《圆锥曲线与方程》，旧教材选修2-1中把《曲线与方程》作为一个独立的单元来处理，选修教材1-1和新教材都是是将这部分内容渗透到圆锥曲线的学习过程中，并在章末小结中（课本143页）给出了曲线的方程与方程的曲线的定义；通过例题和习题把求曲线方程的常用方法一一作了介绍,除了建立三种圆锥曲线的标准方程；由定义或待定系数法确定圆锥曲线的方程外，在例题、习题中都设置了21个求轨迹方程的问题：椭圆有8个：课本108页例2,例3；109页练习4；113页例6；115页习题3。
1中6，8,9,10。
双曲线中共设置了7个求轨迹方程的题：121页的探究；5页例5；126页的练习1；127页习题3。
2中5,10,11,14。
抛物线中共设置了4个：137页例6；138页练习第5题；习题3.3中的第9、11题。
再加上145页的复习参考题中的第9,11题。
2.课本例题、习题有所调整椭圆的例题(7个)，练习题(共11个)（原来分两个练习，现在是三个练习），习题(14个)，总体个数没变，具体题目内容和顺数有所调整；新教材中的例7是与旧教材中的例7相关的一个变式，而旧教材中的例7放到了新教材课后习题13题的位置上；课后习题第2题删除了一个与例1同类型的一个小题，保留了原来的两个小题，删除了旧教材的习题第3题（给出方程画椭圆）；新教材习题14题是原来的A组中的第8题。
第二章圆锥曲线与方程教案[1]
![第二章圆锥曲线与方程教案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/28bc211fce84b9d528ea81c758f5f61fb73628a8.png)
第二章圆锥曲线与方程一、授课课题：§2.1 椭圆二、教学目标（三维目标）：1、知识与技能：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程与化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．2、过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观:通过运用椭圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
三、教学重点:椭圆的标准方程四、教学难点:会根据不同的已知条件，利用待定系数法求椭圆的标准方程。
五、教学方法：尝试，探究六、教学手段(教学用具)：课件七、课时安排:一课时八、学情分析：导学生用其他方法来解．另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，则22222591104464a a b b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩． 例2 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？分析：点P 在圆224x y +=上运动，由点P 移动引起点M 的运动，则称点M 是点P 的伴随点，因点M 为线段PD 的中点，则点M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点M 的轨迹方程．引申：设定点()6,2A ，P 是椭圆221259x y +=上动点，求线段AP 中点M的轨迹方程．解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设(),M x y ，()11,P x y ；②（点与伴随点的关系）∵M 为线段AP 的中点，∴112622x x y y =-⎧⎨=-⎩；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵22111259x y +=，∴点M 的轨迹方程为()()223112594x y --+=；④伴随轨迹表示的范围． 例3如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49-，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．解法剖析：设点(),M x y ，则()55AM y k x x =≠-+，()55BM yk x x =≠-；代入点M 的集合有4559y y x x ⨯=-+-，化简即可得点M 的轨迹方程． 引申：如图，设△ABC 的两个顶点(),0A a -，(),0B a ，顶点C 在移动，且AC BC k k k ⨯=，且0k <，试求动点C 的轨迹方程． 引申目的有两点：①让学生明白题目涉与问题的一般情形；②当k 值在变化时，线段AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．三.随堂练习第45页1、2、3、4、四.课堂小结1．椭圆的定义，应注意什么问题？ 2．求椭圆的标准方程，应注意什么问题五.板书设计：六.布置作业七.教学反思（手写）一、授课课题：§2.1.2椭圆的几何性质 二、教学目标（三维目标）：1、知识与技能：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; (3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备 2、过程与方法: 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力 3、情感、态度与价值观: 培养他们的辨析能力以与培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．三、教学重点: 椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图 四、教学难点: 椭圆离心率的概念的理解.五、教学方法：尝试，探究六、教学手段(教学用具)：课件 七、课时安排:一课时 八、学情分析：一.课题导入复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程.二.讲授新课（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.]已知椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x1.范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x ，y 的范围就知道了.] 问题1 方程中x 、y 的取值范围是什么?由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标()都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2 所以 ≤a ， ≤b即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。
第三章 圆锥曲线的方程教材介绍与教学建议
第三章圆锥曲线的方程教材介绍与教学建议圆锥曲线的方程是一种非常重要的数学概念，它们可以帮助人们在几何分析和物理科学领域解决许多问题。
圆锥曲线的方程式在数学及其相关分支课程中被广泛地使用，是一个极其重要的概念。
圆锥曲线的方程式可以定义为一个给定半径和焦点的椭圆曲线。
一个圆锥曲线可以由以下三条元素组成：一个由两个焦点和一个唯一半径定义的平面；一个焦点，用于定义椭圆的椭圆轴；一个椭圆的“高”，表示两个焦点距离的距离。
椭圆轴与平面的角度被称为“轨迹角”，是一个唯一的参数，定义了椭圆的形状。
圆锥曲线可以用三种梯形系数来表示，包括长轴梯形系数、短轴梯形系数和轨迹角梯形系数。
圆锥曲线的方程可以用梯形系数表示，也可以用普通椭圆方程表示，这两种方法都可以获得圆锥曲线的方程。
圆锥曲线的方程可以用于求解多种问题，比如可以用来解决航空、航天、气体动力学等领域的问题，还可以用于求解三角测量、地理学、统计学等领域的问题。
此外，圆锥曲线的方程还可以被用来解决机械设计、汽车设计、工程图形等问题。
圆锥曲线的方程可以帮助学生深入理解数学的核心概念，更有效地应用数学知识，准备有关的课程考试，有效地解决现实生活中的科学问题。
因此，在教授圆锥曲线的方程时，我认为应该从理论上介绍圆锥曲线的概念，着重探讨其在各个分支学科领域的应用；并重视口头讲解、习题练习以及实际操作，以便学生能更好地掌握所学知识，实现理解和运用。
本章还将探讨如何使用圆锥曲线的方程式进行三角测量，以及如何使用圆锥曲线的方程式来解决机械设计中的问题。
实验活动应该包括求解标准椭圆方程式的步骤，以及圆锥曲线方程式的三个梯形系数的实际求解过程。
最后，在帮助学生掌握知识的同时，教师也应该重视学生的态度及其他测评指标，同时加强学生学习能力及其转化能力的培养，以更好地提高学生的数学成绩。
总之，圆锥曲线的方程是一个非常重要的数学概念，可以用来解决许多物理、几何和科学问题，它也对学生数学学习和考试表现起到关键作用。
新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第三章圆锥曲线的方程内容安排〗
内容安排第一，本章的研究对象是圆锥曲线（几何图形），在研究过程中，数形结合思想和坐标法统领全局．教科书按椭圆、双曲线、抛物线的顺序安排，因为它们的研究内容、过程和方法是"同构"的，所以对每一种圆锥曲线都按照"曲线的几何特征一一曲线的标准方程——通过方程研究曲线的性质——应用"的过程展开，并把椭圆作为重点，强调它的典壁示范作用，注重数学思想和基本方法的引领性，双曲线、抛物线的研究通过类比椭圆来完成．第二，曲线与方程的关系（一种充要条件）是讨论各种具体问题的基础，与前一章内容的处理方式一样，本章仍然采取在建立圆锥曲线的标准方程后，就这方程的建立过程讨论"曲线上点的坐标都满足方程""以方程的解为坐标的点都在曲线上"．这样处理，既不失科学性，又不让学生感到过于抽象，可以使学生在潜移默化中体验曲线与方程之间的一一对应关系，进一步理解通过方程研究曲线性质的合理性，使理性思维得到培养．第三，圆锥曲线是解析几何中的核心内容，是平面几何没有涉及的．根据解析几何的学科特点，教科书在对这些曲线的研究中都贯彻了"先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决"的策略，对于每一种圆锥曲线，都加强了概念的抽象过程，强调在探索、明确其几何特征（主要是对称性）的基础上，再利用几何特征建立坐标系、求出标准方程，然后通过方程，运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，从而促进学生的直观想象，数学运算等素养的发展．第四，圆锥曲线的统一定义表明三种曲线之间的内在联系，是非常重要的，而"个性定义"的几何特征非常突出．特别是，我们可以根据椭圆的定义方便地得到其图形，通过直观就能发现椭圆的基本特征——对称性．因此，与以往的处理方式一样，教科书以三种曲线的"个性特征"为明线，分别定义三种曲线．同时，为了使学生能了解统一定义，教科书以"具体例子拓展性素材"的方式进行渗透和明确，并在引出抛物线概念时进行适当归纳．第五，教科书虽然没有明确给出求曲线的方程的一般步骤，但在求圆锥曲线的方程时进行了渗透：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（，）表示曲线上任意一点M的坐标：（2）写出适合条件的集合 |）}；（3）用坐标表示条件），列出方程(),0f x y =；（4）化方程(),0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．同时，通过"思考""探究"等栏目，让学生自己推出不同坐标系下的标准方程，达到既熟练推导过程又加强代数运算的训练，并使学生把握标准方程的多样性表示．第六，在研究圆锥曲线的范围、对称性、顶点、离心率等性质时，教科书特别注意发挥"几何图形的性质指什么""如何利用方程研究几何图形的性质""先直观感知图形的性质，再用方程进行论证"等一般观念的引领作用，通过栏目、边注等作出明确提示，将坐标法具体结合到几何性质的研究过程中去．在增强教科书的思想性的同时，也为直观想象、逻辑推理等素养的培养和理性思维的发展提供了载体．对于椭圆的离心率，教科书要求学生探究怎样利用"基本量"刻画椭圆的扁平程度；对于双曲线的渐近线，教科书安排了一个从特殊到一般的过程，以增强直观性和操作性，使学生在信息技术的帮助下体会"渐近"的含义．第七，用坐标法解决几何问题，其基础是利用坐标系将点表示为有序数组，建立起平面内点与有序数组之间的一一对应，由此可以将曲线表示为一个方程，几何问题就归结为代数问题；然后借助于代数运算和逻辑推理，对这些数、代数式及方程之间的关系进行讨论；最后再把讨论的结果利用坐标系"翻译"成相应的几何结论．这就是我们熟悉的三步曲：几何问题"翻译"为代数问题一代数运算与推理一代数结论"翻译"为几何结论，与圆锥曲线相关的主要问题是：（1）求有某种几何特征的曲线方程；（2）根据曲线的方程，用代数方法证明（或讨论）曲线的几何性质；（3）赋予代数方程以几何意义，用几何方法研究它的代数性质，例如通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系等．为此，教科书在解决（1）（2）两个问题后，通过例题，习题解决问题（3）．教科书特别注意把圆锥曲线丰富多彩的性质选作例题和习题，不仅使题目的思想内涵得到增强，而且通过这些题目加强了知识间的相互联系，从而帮助学生建立对圆锥曲线的整体认识．例如，椭圆的例题中，就包含了椭圆与圆的联系、定义椭圆的其他方式、椭圆的光学性质等，这些题目的"数学含金量"是非常高的．另外，这些题目的可拓展性也是很强的．第八，教科书在三种圆锥曲线中都注意安排实际应用问题，并通过拓展性资源对"圆锥曲线的光学性质及其应用"进行归纳总结，以落实"通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用"的要求．同时，教科书特别注意发挥信息技术的作用，在正文中明确提出利用信息技术进行探究的要求，而且安排了利用信息技术探究圆锥曲线性质的栏目、拓展性材料等．另外，还安排了"文献阅读与数学写作解析几何的形成与发展"，要求学生查阅与解析几何有关的文献，了解解析几何形成与发展的过程，以及解析几何对人类文明的主要贡献，以体现本章内容在数学文化中的特殊作用．根据以上分析，本章知识结构如下：。
高中数学新课圆锥曲线方程教案
一、教案基本信息高中数学新课圆锥曲线方程教案课时安排：2课时教学对象：高中数学学生教学目标：1. 理解圆锥曲线的概念及其特点。
2. 掌握圆锥曲线的基本方程。
3. 能够运用圆锥曲线方程解决实际问题。
教学方法：1. 采用问题导入法，激发学生兴趣。
2. 利用多媒体课件，直观展示圆锥曲线的图形。
3. 采用小组讨论法，引导学生探究圆锥曲线方程的推导过程。
4. 运用例题讲解法，帮助学生掌握圆锥曲线方程的应用。
教学内容：1. 圆锥曲线的概念及特点2. 圆锥曲线的基本方程3. 圆锥曲线方程的推导过程4. 圆锥曲线方程的应用二、教学过程第一课时：1. 导入：利用多媒体课件，展示圆锥曲线的图形，引导学生观察其特点。
2. 新课讲解：1. 讲解圆锥曲线的概念及特点。
2. 引导学生探究圆锥曲线的基本方程。
3. 讲解圆锥曲线方程的推导过程。
3. 例题讲解：运用例题，讲解圆锥曲线方程的应用。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
第二课时：1. 复习导入：复习上一课时所讲的内容，提问学生圆锥曲线方程的应用。
2. 课堂讲解：讲解圆锥曲线方程在实际问题中的应用。
3. 例题讲解：运用例题，讲解圆锥曲线方程解决实际问题的方法。
4. 小组讨论：布置讨论题，让学生分组讨论圆锥曲线方程的应用。
5. 课堂总结：总结本节课所讲内容，强调圆锥曲线方程的重要性。
6. 课后作业：布置作业，让学生巩固所学知识。
三、教学评价1. 课后问卷调查，了解学生对圆锥曲线方程的掌握程度。
2. 课堂练习及作业批改，评估学生运用圆锥曲线方程解决实际问题的能力。
3. 课堂表现，观察学生在讨论、回答问题等方面的参与度。
四、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。
2. 结合学生反馈，优化教学内容，使课堂更贴近学生需求。
3. 注重培养学生的动手操作能力和实际应用能力，提高学生的综合素质。
五、教学资源1. 多媒体课件：展示圆锥曲线的图形，生动直观。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 章末小结(含解析)1数学教案
第2章圆锥曲线与方程1．圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)；②双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；③抛物线方程为x2＝2py(p≠0)或y2＝2px(p≠0)．2．椭圆、双曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率常用以下两种方法：(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．4．求曲线的方程求曲线方程的常用方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．曲线方程的求法[例1] 过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．[解] 法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1， 即OA 中点B 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法二(几何法)：设B 点坐标为(x ，y )， 由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 如法一中图，则|MB |＝12|OC |＝12，故B 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法三(代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法四(交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为： y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)为所求．(1)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．1．求与圆x 2＋y 2＝1外切，且和x 轴相切的动圆圆心M 的轨迹方程．解：设两圆的切点为A ，M 的坐标为(x ，y )，圆M 与x 轴相切于点N ，∴|AM |＝|MN |， |MO |－1＝|MN |＝|y |. ∴x 2＋y 2－1＝|y |. 化简得：x 2＝2|y |＋1.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2＝2|y |＋1.2．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，点P 分AB 之比为AP ∶PB ＝2∶1，求点P 的轨迹方程．解：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意得AP ―→＝2PB―→，即(x －4，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －42，y 0＝3y 2，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －422＋9y 24＝4， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.∴所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.圆锥曲线的定义及性质问题[例2] F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．[解] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)．∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①又S△PF1F2＝123，∴12|PF1||PF2|sin 60°＝123，即|PF1||PF2|＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴所求的双曲线方程为x24－y212＝1.(1)圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.①又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：B4．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|.∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.答案：A直线与圆锥曲线的位置关系[例3] x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x (或y )的一元二次方程，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2(或y 1＋y 2，y 1y 2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题．5．设抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋k 所得弦长|AB |＝3 5. (1)求k 的值；(2)以弦AB 为底边，x 轴上的P 点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P 的坐标．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋k ，y 2＝4x ，得4x 2＋4(k －1)x ＋k 2＝0，Δ＝16(k －1)2－16k 2＞0，∴k ＜12.又由根与系数的关系有x 1＋x 2＝1－k ，x 1x 2＝k 24，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·1－2k ， 即51－2k ＝35，∴k ＝－4.(2)设x 轴上点P (x,0)，P 到AB 的距离为d ， 则d ＝|2x －0－4|5＝|2x －4|5，S △PAB ＝12·35·|2x －4|5＝39，∴|2x －4|＝26，∴x ＝15或x ＝－11. ∴P 点坐标为(15,0)或(－11,0).圆锥曲线中的定点、定值、最值问题[例4] (2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：2a 2＋2b2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解析] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ，－4－t 22. 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法”．(2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．6．设椭圆x 29＋y 24＝1上的动点P (x ，y )，点A (a,0)(0＜a ＜3)．若|AP |的最小值为1，求a 的值．解：|AP |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋4⎝⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9a 52－4a 25＋4.因为x 29＝1－y 24，所以x 29≤1,0≤|x |≤3. (1)当0＜9a 5≤3，即0＜a ≤53时，x ＝9a 5，|AP |2取最小值4－4a 25＝1.解得a ＝152.因为152＞53，所以a 不存在．(2)当9a 5＞3，即53＜a ＜3时，x ＝3，|AP |2取最小值59⎝ ⎛⎭⎪⎫3－9a 52＋4－4a25＝1.解得a ＝2或a ＝4(舍)．所以，当a ＝2时，|AP |的最小值为1.7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .证明：如图所示．∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根， ∴y 1y 2＝－p 2，∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率k ＝y 2－p 2＝－2y 2p ＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率， ∴直线AC 经过原点O .(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53.答案：B2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0,1)解析：由x 2＋ky 2＝2，得x 22＋y 22k＝1，又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴2k＞2，即0＜k ＜1.答案：D3．若抛物线x 2＝2ay 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴a2＝－1，即a ＝－2. 答案：A4．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案：C5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B. 答案：B6．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0.因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2.所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，则双曲线的离心率为( ) A.102B.105C.10D.2解析：设双曲线右焦点为M ，∵OE ⊥PF ，∴在直角三角形OEF 中，|EF |＝c 2－a 24.又OE ―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，∴E 是PF 的中点．∴|PF |＝2c 2－a 24，|PM |＝a .又|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a .∴离心率e ＝c a ＝102.答案：A8．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)， 由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9， 化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.答案：A9．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，若|PF 1|＝7，则△PF 1F 2最大内角的余弦值为( )A ．－17B.17C.59117D.1113解析：由双曲线定义知|PF 2|＝|PF 1|±2a . 所以|PF 2|＝13或|PF 2|＝1<c －a ＝2(舍去)又|F 1F 2|＝10，所以△PF 1F 2的最大内角为∠PF 1F 2， cos ∠PF 1F 2＝102＋72－1322×10×7＝－17.答案：A10．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2，所以a 2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e ＝1a 2＋1，则a 2＝1e 2－1，从而e ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．答案：D11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案：B12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＝|AB |＝6，则|F 2B |＝________.解析：由椭圆定义知|F 1A |＋|F 2A |＝|F 1B |＋|F 2B |＝2a ＝10，所以|F 1A |＝10－|F 2A |＝4，|F 1B |＝|AB |－|F 1A |＝2，故|F 2B |＝10－|F 1B |＝8.答案：814．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设抛物线焦点为F ，则|PM |＝|PF |－12，∴|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PF |－12.∴当且仅当A ，P ，F 共线时|PA |＋|PF |取最小值为|AF |＝5，∴|PA |＋|PM |最小值为92.答案：9215．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：1516．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13，则动点P 的轨迹方程为____________．解析：∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a >0)，2a >2c ＝22， ∴a > 2. 由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1， ∵|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时， |PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a2－1.由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝3－2＝1.∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程．解：∵MN ―→＝2MP ―→，故P 为MN 中点．又∵PM ―→⊥PF ―→，P 在y 轴上，F 为(1,0)， 故M 在x 轴的负方向上．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)．∴PM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.∵PM ―→⊥PF ―→，∴PM ―→·PF―→＝0，即－x ＋y 24＝0.∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程．18．(本小题满分12分)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6.故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 解：(1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝⎛⎭⎪⎫2t 2p，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ， 设其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，消去x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.22．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·P Q ―→＝1.证明：过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)．由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q(－3，t )，P (m ，n )， 则O Q ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )，O Q ―→·PF―→＝3＋3m －tn ， OP ―→＝(m ，n )，P Q ―→＝(－3－m ，t －n )． 由OP ―→·P Q ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以O Q ―→·PF ―→＝0，即O Q ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于O Q ，所以过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .。
高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析 新课标 人教版 教案
高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：8．1椭圆及其标准方程 3课时8．2椭圆的简单几何性质 4课时8．3双曲线及其标准方程 2课时8．4双曲线的简单几何性质 3课时8．5抛物线及其标准方程 2课时8．6抛物线的简单几何性质 2课时小结与复习 2课时一、内容与要求(一)本章的教学内容圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点(二)教学要求本章的教学要求归纳起来有以下几点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；3．进一步掌握坐标方法；4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准二、本章的主要特点(一)突出重点1．突出重点内容本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的X围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质2．突出坐标方法要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的(二)注意内容的整体性和训练的阶段性高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益(三)注意调动学生学习的主动性教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率三、教学中应注意的问题(一)注意准确地把握教学要求准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大如何控制教学要求是个难点高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。
苏教版选修2《圆锥曲线》说课稿
苏教版选修2《圆锥曲线》说课稿一、教材分析1. 教材背景《圆锥曲线》是苏教版高中数学选修2的一部分，属于高中数学的选修课程，主要内容是圆锥曲线的基本知识和相关性质。
2. 教材特点•系统性强：本教材从基本概念开始，逐渐引入更加深入的内容，形成一个系统的学习框架。
•理论与实际结合：教材不仅重点讲解圆锥曲线的理论知识，还将这些知识与实际问题相结合，突出数学在实际应用中的重要性。
•画图辅助：教材中大量使用图示和实例，帮助学生理解和掌握圆锥曲线的性质。
•培养分析和解决问题的能力：本教材注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，通过大量的例题和练习题提高学生的综合运用能力。
二、教学目标1. 知识与技能目标•了解圆锥曲线的基本概念和性质；•掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及其性质；•学会解圆锥曲线的相关问题。
2. 过程与方法目标•培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力；•注重引导学生理解和发现数学规律，提高其数学思考和解决问题的能力；•提供充分的实例和练习，鼓励学生进行实践操作和探索性学习。
3. 情感态度价值观目标•培养学生对数学的兴趣和热爱，提高数学学科的学习积极性；•培养学生的数学思想意识，能够运用数学知识解决实际问题；•培养学生的合作意识和创新精神，提高其团队合作和问题解决能力。
三、教学重点和难点1. 教学重点•圆锥曲线的基本定义和性质；•椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质。
2. 教学难点•理解椭圆、双曲线和抛物线的方程及其性质；•解决实际问题时如何应用圆锥曲线的知识。
四、教学过程与方法设计1. 教学过程安排时间段教学环节教学内容教学方法第1课时导入引入圆锥曲线的概念提问引导讲授椭圆的基本定义和性质讲授、示例分析第2课时讲授双曲线的基本定义和性质讲授、示例分析梳理椭圆与双曲线的对比示范导出、提问引导第3课时讲授抛物线的基本定义和性质讲授、示例分析综合运用圆锥曲线的应用实例小组讨论、展示第4课时练习巩固习题讲解与练习教师辅导、学生独立思考课堂总结总结圆锥曲线的重点知识教师点评、学生互动作业布置布置相关练习题布置写作任务2. 教学方法•提问引导：通过提问的方式，引导学生主动思考、发现问题，并激发学生的学习兴趣。
高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.
高中数学新课圆锥曲线方程教案
高中数学新课圆锥曲线方程教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的基本概念，掌握圆锥曲线的定义及其性质。
2. 学习圆锥曲线的标准方程及其求法。
3. 能够运用圆锥曲线方程解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线的定义与性质1.1 圆锥曲线的定义1.2 圆锥曲线的性质2. 圆锥曲线的标准方程2.1 椭圆的标准方程2.2 双曲线的标准方程2.3 抛物线的标准方程三、教学重点与难点1. 重点：圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求法。
2. 难点：圆锥曲线标准方程的推导与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线的定义与性质。
2. 利用图形演示，让学生直观理解圆锥曲线的特点。
3. 运用类比法，引导学生发现圆锥曲线标准方程的规律。
4. 注重实践操作，让学生在解决问题中巩固圆锥曲线方程的应用。
五、教学准备1. 教学课件：圆锥曲线的相关图片、图形演示等。
2. 教学素材：圆锥曲线的实例问题。
3. 学生用书：《高中数学》圆锥曲线相关章节。
教案篇幅有限，后续章节（六、七、八、九、十）将陆续提供。
请随时查阅。
六、教学过程1. 导入：通过展示生活中的圆锥曲线实例，如旋转的伞、地球卫星轨道等，引导学生关注圆锥曲线在现实世界中的应用。
2. 新课导入：介绍圆锥曲线的定义，引导学生理解圆锥曲线的形成过程。
3. 性质探讨：引导学生发现圆锥曲线的性质，如对称性、渐近线等。
4. 标准方程求法：讲解椭圆、双曲线、抛物线的标准方程求法。
5. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
七、课堂互动1. 小组讨论：让学生分组讨论圆锥曲线的性质，分享各自的发现。
2. 提问环节：鼓励学生提问，解答学生关于圆锥曲线方程的疑问。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用圆锥曲线方程解决实际问题。
八、课后作业1. 完成学生用书上的课后练习题。
2. 选取一个实际问题，运用圆锥曲线方程进行解答。
九、教学反思2. 反思教学方法：观察学生对圆锥曲线方程的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。
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第八章圆锥曲线方程教材分析
本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用全章共分6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：
8．1椭圆及其标准方程 3课时
8．2椭圆的简单几何性质 4课时
8．3双曲线及其标准方程 2课时
8．4双曲线的简单几何性质 3课时
8．5抛物线及其标准方程 2课时
8．6抛物线的简单几何性质 2课时
小结与复习 2课时
一、内容与要求
(一)本章的教学内容
圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点
(二)教学要求
本章的教学要求归纳起来有以下几点：
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；
2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；
3．进一步掌握坐标方法；
4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各
坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多
数学生所能达到的程度为标准
二、本章的主要特点
(一)突出重点
1．突出重点内容
本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的范围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高
在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质
2．突出坐标方法
要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的
(二)注意内容的整体性和训练的阶段性
高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益
(三)注意调动学生学习的主动性
学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能
力，提高学习效率
三、教学中应注意的问题
(一)注意准确地把握教学要求
准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大如何控制教学要求是个难点高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题
从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求
(二)注意形数结合的教学
解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：
1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。
2．注意在解决问题的过程中，充分利用图形。
学生在解解折几何的题目时，往往在得到曲线的方程以后就把图形抛到一边去了，不再利用图形，忽视了图形直观对启发思路的作用。
例如，巳知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，求这两点的距离解这个题目如果单纯用代数方法，可以完全不用图形；可是借助图形可以使问题变得简单在解决解析几何的问题中，充分利用图形，有时不仅简单，而且能开阔思路
3．为了使学生在学习解析几何的过程中，以及今后的实际工作中能顺利地画出圆锥曲线的草图，教材结合圆锥曲线几何性质的教学，突出了圆锥曲线标
准方程中e
,
,的几何意义，根据它们的几何意义来画草图就比较方便，教
a,
b
p
学时，希望能充分利用这一点
(三)注意与初中数学的衔接
本章的教学离不开根式的化简和解二元二次方程组，由于义务教育初中数学中对这两部分内容降低了要求，所以学生这方面的基础较差解决这个问题有两个思路，一是在这一章的前面集中补讲这些内容，二是在用到这些知识的时候边用边讲例如，在列出椭圆的方程以后，出现了含两个根式的无理方程，这种方程初中代数中出现过，只是这里根号下的式子复杂些教学时适当放慢些速度，将化简过程写得详细一些，学生是可以掌握的又如，在利用待定系
数法求椭圆的标准方程中的b a ,时，得到以22,b a 为 未知数的方程组，并且未知数在分母上，这种方程组学生在初中没有见过，但是初中学过用换元法解方程组，若设221,1
b y a x ==，就可以把它化为初中学过的二元一次方程组，这
样问题便能够解决，教材结合具体例题的教学过程，比较详细地说明了这类方程组的解法，边用边学 这个问题解决以后，求两条曲线的交点的问题，包括求椭圆与双曲线的交点的问题就都可以解决了。