动量本征函数

n*d
3
r
体系处在 n 的概率是 an 2， 且 an 2 1
2、波函数的展开
(1)、一维谐振子
能量本征值: En (n 1/ 2) 本征函数: (x) Aea2x2 /2Hn (ax)
构成一组正交归 一完备函数集2
一、态叠加原理与力学量完全集（2）
任一波函数 可表示为:
(4)、简并情况下的波函数展开
例：一维自由粒子，哈密顿算符为：Hˆ pˆ x2 / 2m
本征态为： E Ceikx，本征值：E 2k 2 / 2m
任意本征值 E E Ceikx 和 E Ceikx 为二重简并。
对任意波函数Βιβλιοθήκη Baidu (x)，一般情况： (x) (k) E (k, x)dk
(Aˆ1, Aˆ2, Aˆ3,) 构成体系的一组力学量完全k 集。
例：lˆ 2和
lˆz 的共同本征态： k

Ylm
lˆ2Ylm lˆzYlm
l(l 1) mYlm
2Ylm
k lm, k 一组量子数的笼统记号
8
一、态叠加原理与力学量完全集（8）
3、哈密顿算符与力学量完全集 寻找力学量完全集是个重要课题，可以证明：
6
一、态叠加原理与力学量完全集（6）
(5)、例：一维自由粒子
设 Pˆ为宇称算符，不难证明 [Hˆ , Pˆ ] 0，因此 Pˆ 和 Hˆ 拥有
两个共同本征函数： 偶 和 奇 不简并
设 Pˆ 的本征值 p 1 和 p 1，可将它们划分为：
偶宇称：p 1偶 C cos(kx), E 2k2 / 2m
(x) (k) E (k, x)dk
但是，可以寻找另外的算符 Aˆ ，若 [Hˆ , Aˆ ] 0 ，则有可
能用 Aˆ 的本征值对(Hˆ , Aˆ ) 的共同本征函数 k 进行分类，
从而使同一个 对E应的简并态之间的正交性得到保证。 问题是：
1、能找到这样的 Aˆ 吗？2、如何进行分类？
t

10
二、守恒量与力学量完全集（2）
1、力学量平均值的时间依赖特性（2）
d dt
A(t)


Hˆ
i
,
Aˆ
(1)若体系 Hˆ 的本征值不简并，其对应的本征函数就能 构成正交归一完备集，此时 Hˆ 自身就构成体系的力学量
完全集，如一维谐振子。
(2)若体系Hˆ 的本征值简并，总可以找到其它的力学量，
其算符
Aˆ1, Aˆ2, A与ˆ3,对易Hˆ ，而 (Hˆ , Aˆ1, Aˆ2, Aˆ3构,成) 体系
目录 一、态叠加原理与力学量完全集 二、守恒量与力学量完全集 三、守恒量与能级简并 四、中心力场的径向方程
1
一、态叠加原理与力学量完全集（1）
1、态叠加原理的回顾
设算符 Aˆ 的本征函数和本征值为 n 和 An ，描述体系
状态的任一波函数可表示为:

an n, 其中
an



(x) C
(k) cos(kx)dk 7
一、态叠加原理与力学量完全集（7）
3、力学量完全集
设有一组彼此对易的厄米算符 (Aˆ1, Aˆ2, Aˆ3,) ，它们拥
有共同本征函数 k ，若 k 构成正交归一完备集，使得
任给体系的一个量子态 ，总有 ak k ，则称
1
2
( px )eixpx / dpx
其中，展开系数为：( px )
1
( x)eixpx / dx
2
从态叠加原理出发： 是描述体系状态的一个波函数3
一、态叠加原理与力学量完全集（3）
(3)、一般情况（非简并情况）
设任意力学量算符 Aˆ ，其本征函数和本征值为 n 和 An 。
若对任意 An 都不简并，则 n 可以构成一组正交归一
完备的态矢量。因此系统的任意状态 均可展开为：

an n, 其中
an



n*d
3
r
体系处在 n 的概率是 an 2， 且 an 2 1
一个问题：若对任意 An 是简并的，情况如何？
4
一、态叠加原理与力学量完全集（4）
an n,
an



n*d
3r
利用一维谐振子本征态：离散本征值情况展开
(2)、动量本征态（连续本征值情况展开）
动量本征函数: px (x)
1
2
eixpx
/ ，本征值：px
(,)
按傅立叶定理，任何平方可积函数 均可展开为：
(x) ( px ) px (x)dpx
原因为：因为属于同一个本征值的本征态之间的正交性
得不到保证，即：
d * E E

C2
e2ikxd

0
5
一、态叠加原理与力学量完全集（5）
注意一维自由粒子的本征态 E Ceikx 为哈密顿算 符 Hˆ 的本征态，对于 E Ceikx 来说，虽然对于 (x)
含时薛定谔方程： i (r, t) Hˆ (r, t)
t
d dt
A (t )



t
,
Aˆ




,
Aˆ

t



,
Aˆ
t



Hˆ
i
,
Aˆ
,
Aˆ
Hˆ
i


,
Aˆ
的力学量完全集。体系任一量子态 ，都 可以用它们的共
同本征函数 来展k 开： ak k
如一维自由粒子，(Hˆ , Pˆ) 构成体系k 的力学量完全集。9
二、守恒量与力学量完全集（1）
1、力学量平均值的时间依赖特性（1）
设体系处于量子态下 ，算符 Aˆ 在 下的平均值为：
A(t) ( (t), Aˆ(t) (t)) *(t) Aˆ(t) (t)dr3
奇宇称： p 1 奇 C sin(kx), E 2k 2 / 2m
自由粒子 Hˆ


2 2m
2 x 2
Hˆ偶 E偶 Hˆ奇 E奇
因为 cos(kx) 和 sin(kx) 是正交归一完备的， (x) 有：
(x) C(k)sin(kx)dk 或