高中三角函数典型例题(教用)

【典型例题】：

1、已知2tan =x ，求x x cos ,sin 的值． 解：因为2cos sin tan ==

x

x

x ，又1cos sin 22=+a a ， 联立得⎩⎨⎧=+=，1

cos sin cos 2sin 2

2x x x

x 解这个方程组得.55cos 5

52sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x

2、求)

330cos()150sin()690tan()

480sin()210cos()120tan( ----的值。

解：原式)

30360cos()150sin()30720tan()

120360sin()30180cos()180120tan(o

--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=

3、若

,2cos sin cos sin =+-x

x x

x ，求x x cos sin 的值．

解：法一：因为

,2cos sin cos sin =+-x

x x

x

所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-

得到x x cos 3sin -=，又1cos sin 22=+a a ，联立方程组，解得

，，⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10

103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-

=10

3

cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x

x x

x

所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-，

所以2

2)cos (sin 4)cos (sin x x x x +=-，所以x x x x cos sin 84cos sin 21+=-，

所以有⋅-

=10

3cos sin x x 4、求证：x x x x 2

2

2

2

sin tan sin tan -=。

5、求函数)6

π

2

sin(2+

=x

y 在区间]2,0[π上的值域。 解：因为]20π≤≤x ，所以π≤≤20x ，6

7626π

ππ≤+≤x 由正弦函数的图象，

得到

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-∈+=1,21)6π2sin(2x y ，所以[]

2,1)6π2sin(2-∈+∈x y

6、求下列函数的值域．

（1）2cos sin 2

+-=x x y ； （2）)cos (sin cos sin 2x x x x y +-=)

解：（1）2cos sin 2

+-=x x y

=3)cos (cos 2cos cos 122++-=+--x x x x

令x t cos =，则,413)21(413)2

1

(3)(],1,1[22

2

++-=++-=++-=-∈t t t t y t

利用二次函数的图象得到].4

13,

1[∈y (2) )cos (sin cos sin 2x x x x y +-=

=)cos (sin 1)cos (sin 2

x x x x +--+

令x x t cos sin +=2=

)4

π

sin(+x ，则]2,2[-∈t

则,12

--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4

5[+-∈y

7、若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。

解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴

交点的间隔是

41

个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8

πω 又由)28π

sin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4

π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ

8、已知函数f (x )=cos 4

x －2sin x cos x －sin 4

x ．

(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2

π

,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值．数

x

x

y cos 3sin 1--=

的值域．

解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4

x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2

x －sin 2

x )(cos 2

x ＋sin 2

x )－sin2x )4

π

2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x

所以最小正周期为π．

(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4

π

3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为

;1)4πsin(2=--当8

π

3=

x 时，f (x )取最小值为.2-

9、已知2tan =θ，求（1）θ

θθ

θsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.

解：（1）

2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-

+

=++θθθ

θθθ

θθθθ； (2) θ

+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222

2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin

3

24122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ

θ+θθ

-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过 程简化。

10、求函数2

1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos )[4

π

t x x x =+=

+∈，则原函数可化为

2213

1()24

y t t t =++=++

，因为[t ∈，所以

当t =

时，max 3y =12t =-时，min 3

4

y =，

所以，函数的值域为3

[34

y ∈，。

11、已知函数2

()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，；（1）求()f x 的最小正周期、()

f x