指数概念的扩充
指数性质及运算知识分享
指数性质及运算o o a a /V /l\高一数学衔接教学指数性质及运算知识要点: 1.指数概念的扩充 当 n N 时，a n a a an 个a当n Q 时，⑴零指数a 0=1 （a 工0）⑵负整数指数a -=— （a 工0）a⑶分数指数a 陰育（a>0, m 、n 为正整数）①根式如果有x n =a ,那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数.当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负 数，用符号“a ”表示.例如&27 3，旷32=—.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数. 用符号“土a' 表示.例如4 16 = ±2负数没有偶次方根. 零的任何次方根都是零，用符号n 0=0表示. 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.根据n 次方根的意义，可得（n a ）n =a .例如（5）2=5，（3一2）3=-但要注意，n a ^不一定等于a.当n 为奇数时，n 了 =a ，例如（3一2）3=- 2 .但当n 为偶数时，如果a 是非负数，则n j =a ，例如（4 3）4=3，但如果a 是负数，贝U 〈'孑=-a例如 门7 = - £）=3.这就是说， 当n 为奇数时，na n=a ；当n 为偶数时，a a分数指数幕当时根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以同被开方数 的指数能被根指数整除一样写成分数指数幕的形式.例如3a 2 a"，4b 5 b[我们规定正数的正分数指数幕的意义是 a-（a>0，m ，n N ，且n>1）正数的负分数指数幕的意义与负整数指数幕的意义相仿，就是规定⑷(日―b )2 (a<b).⑵ J ( 10)2 =|-0|=10； ⑷.(a b)2 =|a -b|=b -a(a<b).11100212 -1(10尸 1 .10，(a>0, m , n N ，且 n>1)注:零的正分数次幕是零，零的负分数次幕没有意义.规定了分数指数幕的意义以后，指数从整数推广到了有理数.分数指数的定义揭示了分数指数幕与根式的关系，因此根式运算可以转化为分数指数幕的运算 2.幕运算法则⑴ a m a n =a m+n (m ， n Z); ⑵(a m )n =a m n (m ，n Z); ⑶(ab)n =a n b n (n Z).注:因为a m T 可以看作a m aj 所以a m ^n =a m -可以归入性质⑴.例题分析： 例1.求下列各式的值⑴ 3( 8)3 ；⑵(10)2 ；⑶ 4(3一)4 ；解：⑴ 3 ( 8)3 = -8；⑶ 4(3 )4=|3 - |= -3;例2.求下列各式的值:例3.计算下列各式2丄 11丄 2丄 上 ⑴(2a 3b 7)( 6a 2b 3) ( 3a 7b^);⑵(p 7q 和8 . 2111丄 22丄 1丄丄5解：⑴(2a 3b 2)( 6a 2b 3) ( 3a^b^) 4a 36b~ 3 6 4ab 0 4a ;1 3 1 3 21 3、8/48/ 8、82 3P⑵(p q ) (p ) (q ) p q 3 .q例4.计算下列各式2c 2Q 1c解：83 (23)3 2 3 22 4 ;⑵(35、,125)⑴a 10a 72 5解：⑴a'(2)(3 5 125) 4 5 (53 57) 5习 5^ a 32 a a~1T2 10aa7 1045；⑶ 3xy 2(. xy)3 .!■ 1 1 ⑶ 3xy 2( xy)3 3xy 2(x 2y 2)3习题： 1.求下列各式的值：⑴ 41004; 3xy 2 x 2y 2557 ；7 12. 求下列各式的值:3. ⑵ 5( 0.1)1⑴1217 ；4)2 ；1⑵（訂;⑷6 (x y)6 (y>x).3(3) 10000力;计算1 a 3 7a 17 ； 1 ⑶(x 3y 1⑷ 4a 3b 3( 3a 42⑵a33a 72a 3 1 2x^y 4 12)； 1 1 3b 3) 1 3)(3x _2y 3)("2丄6⑸(直占)25r 4丄_24x 7y 3);⑺ 4x 4( 3x"y 3) ( 6x 2y 3); 1 1 13y 7)(2x ? 3y 4).1⑻(2x 2 4.计算 2W 1253 (丄)2 21 13433 (寺)3 ；(2)(铲(5.6)02 1(2芳)3 0.125 2 ;4 3 2⑶(41.5) 3 160.25[(0.0081) 4]° (2._2尸 2 4；1 _2 2⑷(6” 2( .3)0 (3|) 30.125 3( 1) 1 ( 1)3；11 1 1⑸a^ a M-; ⑹(a2乞+a-) -fa2-「2).a2b2a2b25.已知a2x= .2+1，求a：a：x的值.a a1 , 1 , 1 石一6 .求下面等式中的x的值七T 一、2x 3x 31 x 31 x 31。
高中数学北师大版必修1 3.2 教学设计 《指数概念的扩充》(北师大)
《指数概念的扩充》我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。
从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。
进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。
【知识与能力目标】1．在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念；2．能够理解引入分数指数概念后m a （0 a ）表示实数。
【过程与方法目标】1．让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义；2．随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展。
【情感态度价值观目标】使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义增强学习数学的积极性和自信心。
【教学重点】理解分数指数幂的概念及表示。
◆教学重难点◆◆教材分析◆教学目标【教学难点】 分数指数的引入。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质：()n a a a a n N +=⋅⋅⋅⋅∈01(0)a a =≠1(0,)n na a n N a -+=≠∈ 二、研探新知，建构概念1．数指数幂：一般地，给定正实数a ，对于任意给定的整数m ,n ，存在唯一的正实数b ，使得n m b a =，我们把b 叫做a 的m n次幂，记作m n b a =，它就是分数指数幂。
例如：233253357,7;3,3b b x x ====则则等。
提出问题（1） 观察以下式子，并总结出规律：a ＞0①1051025255()a a a a === ②884242()a a a a === ③1212343444()aa a a === ④10105252()a a a a === （2） 利用上例你能表示出下面的式子吗？3535745,7,,n m a x ，（x ＞0，a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1，）正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是mn m n aa =（a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1） ◆课前准备◆ ◆教学过程提出问题：负分数指数幂的意义是怎样规定的？你能得到负分数指数幂的意义吗？你认为如何规定0的分数指数幂的意义？正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：1n n a a -=（a ≠0，n N +∈），1m n m na a -==（a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1） 零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。
北师大版必修1数学教学练习课件第三章指数函数和对数函数第二节指数扩充及其运算性质
第三章 指数函数和对数函数
〔跟踪练习 4〕 (1)设|x|<3，化简 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9； (2)如果 m<－5，化简：|6－m|－|2m＋1|＋ m2＋10m＋25； (3)已知 y＝ 3x－2＋ 2－3x＋ 26，求实数 x 及 y 的值．
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
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A．－1
B．14
C．12 [解析]
因为 f(－2)＝2－2＝14，
D．32
数 学 必
所以 f[f(－2)]＝f(14)＝1－ 14＝1－12＝12，故答案选 C．
修
①
北 师 大A 版
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第三章 指数函数和对数函数
3．若 b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则 b＝_5_－__3m_n___.
[解析] 若 bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则 b＝amn ，所以由 b－3n＝5m 知 b
数 学
3x－2≥0 2－3x≥0
，解得xx≥≤2323
.
必
修 ① 北
∴x＝23，从而 y＝ 26.
师
大A
版
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第三章 指数函数和对数函数
空间
典例 5 已知 x－82－ x－102＝2x－18 成立，求 x 的取值范围．
[错解] ∵ x－82＝x－8， x－102＝x－10，
∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18.解得 x＝10.
数
∴原方程可化为(8－x)－(10－x)＝2x－18，解得 x x 的取值范围为 8≤x≤10.
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第三章 指数函数和对数函数
『规律总结』 熟练掌握指数运算的性质及公式，是正确、迅速地化简、 求值的条件．
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 第2节 指数扩充及其运算性质(第1课时)基础知识素材 北师大版必修1
2．1 指数概念的扩充1．了解整数指数幂的概念．2．理解分数指数幂的概念，掌握分数指数形式与根式形式的互化． 3．了解无理数指数幂和实数指数幂的概念．1．整数指数幂 a n＝(n ∈N ＋)，a 0＝____(a ≠0)，a －n ＝____(a ≠0，n ∈N ＋)．【做一做1－1】 π0等于( )．A ．0B ．πC ．1D ．2π【做一做1－2】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝__________.2．分数指数幂(1)定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在____的正实数b ，使得b n＝____，那么b 叫作a 的m n次幂，记作b ＝____.它就是分数指数幂．分数指数幂m na 不是m n个a 相乘，实质上是关于b 的方程b n ＝a m的解．(2)写成根式形式：m na ＝____，1m nm naa-=＝____(其中a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．(3)结论：0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂________． 【做一做2－1】 323等于( )．A. 2B.33 C.327 D.27【做一做2－2】 5a －2等于( )． A ．25a- B ．52a C ．25a D ．52a -3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的____．指数的扩充过程：(1)规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充．(2)规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂． 【做一做3】 计算：(1)1327-；(2)126449-⎛⎫⎪⎝⎭；(3)212-⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：1．11na 【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 162．(1)唯一 a mm na (2)na m1na m(3)0 没有意义【做一做2－1】 D 【做一做2－2】 A 3．实数【做一做3】 (1)13 (2)78(3)221．为什么分数指数幂的定义中规定b 为正实数？剖析：由整数指数幂的规定知，当a ＞0时，对任意整数m ，总有a m＞0.若b ＝0，当n为正整数时，b n ＝0，此时b n ≠a m ；当n 为负整数或零时，b n 无意义，b n ＝a m无意义．若b ＜0，当n 为奇数时，b n＜0，此时b n≠a m；当n 为偶数时，虽然b n＝a m成立，但此时，0＞b ≠m na ＞0.因此规定b ＞0.2．为什么分数指数幂的定义中规定整数m ，n 互素？剖析：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：13a 中，底数a ∈R, 当a ＜0时，13a ＜0，而如果把13a 写成26a ，有两种运算：一是26a ＝126()a 就必须a ≥0；二是26a＝126()a ，在a ＜0时，26a 的结果大于0，与13a ＜0相矛盾．所以规定整数m ，n 互素．题型一 用分数指数幂表示正实数【例1】 把下列各式中的b 写成分数指数幂的形式(b ＞0)：(1)b 3＝4；(2)b －2＝5；(3)b m ＝32n(m ，n ∈N ＋)．反思：将b k＝d 中正实数b 写成分数指数幂的形式时，主要依据分数指数幂的意义：b n ＝amb ＝a m n(m ，n ∈N ＋，b ＞0)．题型二用分数指数幂表示根式【例2】用分数指数幂表示下列各式：(1)3x2；(2)13a；(3)4a－b3；(4)3m2＋n2.反思：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式：a mn＝na m(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．题型三求指数幂a mn的值【例3】计算：(1)6412-；(2)238；(3)13125-.分析：将分数指数幂化为根式，再求值．反思：分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的形式时，用熟悉的知识去理解新概念是关键．题型四易错辨析易错点忽略n的范围导致化简na n时出错【例4】化简：31＋23＋41－24.错解：原式＝(1＋2)＋(1－2)＝2.错因分析：错解中忽略了1－2＜0的事实，应当是41－24＝2－1. 答案：【例1】解：(1)b＝134.(2)b＝125-.(3)b＝33nm.【例2】解：(1)3x2＝23x.(2)13a＝131a＝13a-.(3)4a－b3＝34()a b-.(4)3m2＋n2＝1223()m n+.【例3】解：(1)12164864-==.(2)2323388644==.(3)13125-＝13125＝15.【例4】正解：原式＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.1 122写成根式形式是( )．2若b 4＝3(b ＞0)，则b 等于( )．A ．34B ．143 C ．43 D ．353 230-等于( )．A ．0B ．1C ．23- D ．没有意义4 把下列各式中的正实数x 写成根式的形式：(1)x 2＝3；(2)x 7＝53；(3)x －2＝d 9.5 求值：(1)10012；(2)329-；(3)34181-⎛⎫⎪⎝⎭.答案：1．A 2.B 3.D4．解：(1)x＝123=x＝375=(3)x＝92921dd-=.5．解：(1)∵102＝100，∴12100＝10.(2)∵231927-⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴321927-=.(3)∵274＝3181-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴34181-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝27.。
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案一、教学目标1. 让学生理解指数概念的扩充，掌握指数的运算性质。
2. 培养学生运用指数知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 指数的概念扩充2. 指数的运算性质3. 指数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：指数的概念扩充，指数的运算性质。
2. 教学难点：指数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索指数的概念和运算性质。
2. 利用实例分析，让学生了解指数在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作精神。
五、教学过程1. 导入：通过回顾幂的概念，引导学生思考指数的定义。
2. 新课讲解：讲解指数的概念扩充，引导学生理解指数的运算性质。
3. 实例分析：分析指数在实际问题中的应用，让学生感受指数的重要性。
4. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识；组织小组讨论，分享解题心得。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考指数概念的扩充在现实生活中的意义。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课后作业：收集学生的课后作业，检查学生对指数概念和运算性质的理解程度。
2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对指数知识的掌握情况。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
七、教学反馈与调整1. 根据学生的作业和课堂表现，及时给予反馈，指出学生的错误并提供正确的指导。
2. 根据学生的掌握情况，调整教学进度和教学方法，确保学生能够充分理解指数概念。
3. 在后续的教学中，增加更多的实际例子，让学生更好地应用指数知识解决实际问题。
八、拓展与延伸1. 介绍指数在其他数学领域的应用，如对数、微积分等，激发学生的学习兴趣。
2. 引导学生探索指数与幂的关系，进一步加深对指数概念的理解。
3. 鼓励学生自主研究指数在自然科学和社会科学中的应用，培养学生的研究能力。
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案一、教学目标1. 理解指数的概念及其在数学中的应用。
2. 掌握指数的运算规则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方。
3. 能够运用指数的概念解决实际问题，提高数学思维能力。
二、教学内容1. 指数的概念：引入指数的概念，解释指数的表示方法，如2^3表示2的3次方。
2. 同底数幂的乘法：讲解同底数幂相乘的规则，即底数不变，指数相加，如2^3 2^2 = 2^(3+2)。
3. 同底数幂的除法：讲解同底数幂相除的规则，即底数不变，指数相减，如2^3 / 2^2 = 2^(3-2)。
4. 幂的乘方：讲解幂的乘方的规则，即指数相乘，如(2^3)^2 = 2^(32)。
5. 积的乘方：讲解积的乘方的规则，即先乘后指数，如(23)^2 = 2^2 3^2。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考实际问题，激发学生对指数概念的兴趣。
2. 使用多媒体课件，通过动画和示例，直观地展示指数的运算规则。
3. 组织学生进行小组讨论和互动，鼓励学生分享自己的理解和解题方法。
4. 提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固指数的概念和运算规则。
四、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对指数概念的理解程度。
2. 练习题：布置相关的练习题，检查学生对指数运算规则的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和思维过程。
五、教学资源1. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，展示指数的概念和运算规则。
2. 练习题：准备相关的练习题，包括基础题和拓展题，以供学生练习。
3. 小组讨论材料：提供一些实际问题，供学生进行小组讨论和分享。
六、教学活动1. 引入指数的概念：通过展示实际问题，如人口增长、利息计算等，引导学生思考指数的概念。
2. 讲解指数的表示方法：解释指数的表示方法，如2^3表示2的3次方。
3. 演示同底数幂的乘法：通过动画和示例，展示同底数幂相乘的规则，即底数不变，指数相加。
§2__2.1__指数概念的扩充
的过剩近似值 31.622 776 60… 26.302 679 91… 26.001 595 63… 25.959 719 76… 25.954 938 25
10
2
10 ,10
1.5
1.42
,10
1.415
,10
1.4143
,10
1.41422
,...
15
10
2
的不足近似值
2 的不足近似值
1.4 1.41
m an
(a 0,m,n N ,n 1)
11
例３.把下列各式写成分数指数幂的形式： （1） 5 a 2 (a 0) ； （2） b (b 0) ； （3） 4 c3 (c 0)
解： （１） a a ；
5 2
2 5
（２） b b
（３） c c
4 3
1 2
3 4
12
1.414
25.118 864 31… 25.703 957 82…
25.941 793 62…
25.953 743 00… 25.954 340 62…
…
1.414 2 1.414 21
…
1.414
10 ,10 ,10
1.4
1.41
,10
1.4142
,10
1.41421
,...
16
10 10
2.计算： （1） 8 ; （2） 27 .
1 解： （1） 2 1 （2） 9
19
1 3
2 3
18
１.把下列各式中的 b 写成分数指数幂的形式： （1） b
5 4 5 2n 3m （2） b 3 ; ； （3） b (m, n N ). 32; ；
高中数学北师大版必修一 3.2.1-2指数概念的扩充、指数运算的性质 课件(33张)
【解析】 (1) －23＝－2； 4 4 (2) －32＝ 32＝ 3； 8 (3) 3－π8＝|3－π|＝π－3； (4)原式＝ x－y2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当 x≥y 时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当 x<y 时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 0，x≥y， 所以原式＝ 2y－x，x<y.
2．1 指数概念的扩充 2．2 指数运算的性质
【课标要求】 1.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义. ]2.掌握分数指数幂与根式的互化. 3.掌握幂的运算性质. 4.能熟练地运用性质进行化简或求值．
自主学习 |新知预习| 1．分数指数幂 (1)定义：给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)， m n m 存在唯一的正实数 b，使得 b ＝a ，我们把 b 叫作 a 的 次幂，记作 b n ＝a .
n 【思路点拨】 根式与分数指数幂互化的依据是 a ＝ am(a>0， m，n∈N＋，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指 数幂写出，然后再利用运算性质化简．
m n
【解析】 (1)－ x＝－x 6
2
1 2 6 1 3
1 2
(x>0)；
3 4 1 －3 4
4 1 y ＝(|y| ) ＝－y (y<0)；x ＝(x ) ＝ x 3(x>0)； 1 3 1 1 1 x 3 ＝x 3 ＝ x(x≠0)．故选 C.
m n
(2)意义：
2.无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的正实数． 3．指数运算性质： 当 a>0，b>0 时，对任意实数 m，n 满足以下三条运算性质： (1)am· an＝am＋n. (2)(am)n＝amn. (3)(ab)n＝anbn.
§3.2.2 指数扩充及其运算性质(第三课时) 汝青华
时间： 编号: 编制人： 牛贝莉 编制成员： 曹廷玉 邵艳彬 李瑞华 席曦 郭涛 姚祁 审核人： 教师评价：蒙城八中高一年级数学学科导学案课题：§2.1 指数概念的扩充【学习目标】1.识记幂的运算性质，具有灵活运用运算性质解决问题。
2.通过幂的运算性质的学习，让学生体会分类讨论、换元和归纳总结的数学思想。
3.我在一中，激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。
【学习重点】 掌握分数指数幂的意义，无理数指数幂的意义；掌握米的运算性质。
【学习难点】 幂的运算性质的运用 【学法指导】1.课前认真阅读并思考课本P64-69页的内容，然后根据自身能力完成学案所设计的问题， 并在不明白的问题前用红笔做出标记。
2.限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑，并对每个问题做出点评，反思。
预习案一﹑相关知识1﹑给定正实数a ，对于任意给定的整数n m ,（n m ,互素），存在唯一的正实数b ，使得mna b =，我们把b 叫做a 的_______次幂，记作__________.它就是__________.正分数指数幂：_______nma=（0>a ）。
正数的负分数的指数幂：_______nm a1=（,,,0+∈>N n m a 且1>n ）。
注意：分数指数幂是指数幂概念的又一次推广.分数指数幂nm a 不可以理解为nm个a 相乘，它是根式的一种新的写法，规定n mnm a a=（,,,0+∈>N n m a 且1>n ），nm nmaa1=-（,,,0+∈>N n m a 且1>n ）。
2﹑0的正分数指数幂等于________;0的负分数指数幂__________.3﹑实数指数幂的运算性质：=⋅nma a _______;m m a )(=________;=nab )(________.其中R n m b a ∈>>,;0,0。
高中数学指数概念的扩充-合作与讨论
指数概念的扩充-合作与讨论1．本节课由正整数指数幂引出整数指数幂，进而引出分数指数幂、有理数指数幂，最后得出实数指数幂及其运算性质．然后通过例题与练习加深学生对这些概念的理解及运算性质的熟练应用，遵循由特殊到一般的认知思维过程．2．零的零次幂和负整数次幂无意义，n 0（n ∈N*且n ＞1）． 3．如何理解分数指数幂nma 的意义?分数指数幂nm a 不可理解为nm 个a 相乘，它是根式的一种新的写法．规定nm n ma a ＝ （a ＞0，m ，n都是正整数，n ＞1），nmnmnmaa a11＝＝－（a ＞0，m ，n 都是正整数，n ＞1），在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已．0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m ，n 的具体数而定． 4．分数指数幂和整数指数幂有什么异同?5．有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质是否一样?在运算形式上是完全一样的，都是a r·a s＝a r ＋s；（a r）s＝a rs；（ab ）r＝a r b r，式中a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ，对于这三条性质，不要求证明，但须记准，会正用，会逆用，要用活．6．如何进行根式运算?根式运算，教材中不介绍根式的运算性质，对于根式运算，简单的问题可根据根式的意义直接计算．一般可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质进行计算．注意，对计算结果的要求，不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数．运算时要分清n n a ）（与n n a 这两种形式．对于前者，利用a a nn ＝）（（n ＞1且n ∈N*）计算． 对于后者，要注意n 是奇数还是偶数，即利用下列等式： 当n 为奇数时，a a n n ＝；当n 为偶数时，⎪⎩⎪⎨⎧≥．＜，，，＝＝00||a a a a a a nn【例1】求下列各式的值．（1）2)2(－（2）24433)32()23()8(－－－＋－．解析：（1）2)2(－是n n a 一类且n 为偶数．所以2)2(2＝－．（2）33)8(－是n n a 一类且n 为奇数；44)23(－是n n a 一类且n 为偶数； 2)32(－是nn a ）（一类．所以8)32()8()32()23()8(24433＝－－＋－＝－－－＋－． 7．如何进行根式与分数指数幂的互化?分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的一种新的写法．互化时应根据规定，nmnm a a ＝（a ＞0，m ，n ∈N*且n ＞1），nm nmaa1＝－（a ＞0，m ，n ∈N*且n ＞1）进行变形．【例2】（1）用负指数幂表示ba 111－；（2）化掉分数指数幂322－－x ；（3）写成指数幂的形式34)(b a b a ＋－解析：直接根据“规定”互化即可．（1）111)(111－－－－＝－b a ba ；（2）x x x 33222＝－－（3）342134)()()(－＋－＝＋－b a b a b a b a ． 8．如何进行分数指数幂和根式的运算？（1）用分数指数幂进行根式运算，顺序是先化为分数指数幂，再根据幂的运算性质计算． （2）计算结果不强求一致，如无特别要求，用分数指数幂的形式，如有要求，可据要求给结果． （3）结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含负指数幂． 【例3】计算：（1）)0(107532＞a aa a a ⋅⋅；（2）)4()3)(2(324132213141y x y xyx －－－－÷．解析：（1）先将根式化成分数指数幂再运算．571072153210721532107532a aaa aa aa a a ＝＝＝－－＋－－⋅⋅⋅⋅⋅；（2）可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底幂相乘除，并且注意符号． 312132323141214132413221314123)]4(3)2[()4()3)(2(－－－＋－－－－－＝－－＝－－y x yxy x y xyx ÷⨯÷． 【例4】（1）化简111113131313132－－－＋＋＋＋＋－x xx x x x x x ；（2）已知a ＝43，b ＝32，求下式的值：414121214121432141412121)2(－－－－－－－－－－－－＋－－＋＋＋ba b a ba ab b a a a解析：（1）化简时注意乘法公式b a b a b a －＝－＋))((21212121； b a b b a a b a ±±±＝＋))((323131323131的应用．313132313231313131313132313131313132)()1()1(1)1)(1()1()1(11111xx x x x x x x x x x x x x xx x x x x x ＝－＋－＋－＋－＝－－＋－＋－＋－＝－－－＋＋＋＋＋－（2）求值时，应先化简后求值：原式4141414141414141212414121))(()()(－－－－－－－－－－－－＋－＋－＋＋＝ba ba ba ba ba a4141414141414123222)()(－－－－－－－＝＝＝－－＋＝⨯b ba ba点评：化简时把分数指数幂、负指数幂看作一个整体，然后使用有理式中的乘法公式分解因式进行约分化简，体现了整体思想． 知识总结通过本节课的学习，使学生理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质并能熟练运用之进行化简、求值，能对根式、分数指数幂进行互化，培养学生的数学应用意识，使学生了解数学解题的化归与转化思想，教会学生用联系的观点看问题，并认识事物之间的普遍联系，提高学生的素质．本节学习了分数指数幂及有理数指数幂的概念及其性质．对于整数指数幂、分数指数幂及有理数指数幂的概念，课本上是直接规定的。
高中数学第三章指数函数与对数函数3.2指数扩充及其运算性质3.2.1指数概念的扩充(第二课时)教案
陕西省石泉县高中数学第三章指数函数与对数函数3.2 指数扩充及其运算性质3.2.1 指数概念的扩充（第二课时）教案北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第三章指数函数与对数函数3.2 指数扩充及其运算性质3.2.1 指数概念的扩充（第二课时）教案北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
2.1 指数概念的扩充(第二课时）教学目标n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算.教学重点掌握根式与指数幂的运算。
教学难点准确运用性质进行计算.教学过程一、复习提问： (学生回答，老师板演）1。
提问:什么叫做根式? 运算性质？2。
提问：分数指数幂如何定义？运算性质？3. 基础习题练习: （口答下列基础题)① n为时，(0)||...........(0)n nxx xx≥⎧==⎨<⎩.②求下列各式的值: 362；416; 681；62)2(-; 1532-；48x；642ba二、典例精讲：例1．计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（2）31884()m n-例2．计算下列各式(1）34(25125)25-÷（2）232(.aaa a＞0)例3．已知1122a a-+=3，求下列各式的值:(１）1-+aa；（２）22-+aa;（３)33221122a a a a---- ．三、巩固练习：1. 化简：)()(41412121y x y x -÷-。
人教版高中数学必修第一册3.2指数扩充及其运算性质
答案 因为指数已扩充为实数，故有aamn＝am·a－n＝am－n. 既不必再区分 m、n 的大小，也不必区分 am·an 和aamn了.
一般地，当a>0，b>0时，有：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn.其中m，n∈R.
答案
知识点二 实数指数幂的化简
思考
第三章 指数函数和对数函数
§2 指数扩充及其运算性质
学习目标
1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 2.理解实数指数幂的运算性质； 3.能用实数指数幂运算性质化简、求值.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 实数指数幂的运算性质
思考1 在实数指数幂ax中，为什么要规定a>0?
方法二 因为ab＝ba，b＝9a， 所以a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a， 所以 a9＝9a，a8＝9，a＝4 3.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 3 已知 67x＝27,603y＝81，求3x－4y的值.
3
4
解 由67x＝33，得 67 3x , 603y＝81得 603 3 y ,
类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化
例1 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0，x>0，y>0)：
(1)a2· a；
解
a2
a
a2
1
a2
2 1
a2
5
a2;
(2)a3·3 a2；
解
a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3;
(3) a a；
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案第一章：指数概念的引入1.1 教学目标1. 理解指数的概念及其在数学中的重要性。
2. 掌握指数的基本性质和运算规则。
3. 能够应用指数概念解决实际问题。
1.2 教学内容1. 指数的概念：正整数幂的定义，指数的表示方法。
2. 指数的基本性质：指数的乘法规则，指数的除法规则，指数的乘方规则。
3. 指数的运算：同底数幂的加法，同底数幂的减法，幂的乘法，幂的除法。
4. 应用指数概念解决实际问题：计算利息，复合增长，指数函数模型。
1.3 教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，让学生主动发现指数的基本性质和运算规则。
2. 利用数学软件或图形计算器，进行指数运算的演示和验证，增强学生对指数概念的理解。
3. 提供实际问题情境，让学生应用指数概念解决问题，培养学生的应用能力。
1.4 教学评估1. 课堂练习：布置一些基础的指数运算题目，检查学生对指数概念的理解和运算能力。
2. 课后作业：设计一些应用性的题目，让学生独立完成，评估学生对指数概念的应用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决一个复杂的指数问题，评估学生的合作和沟通能力。
第二章：指数函数的性质2.1 教学目标1. 理解指数函数的定义和性质。
2. 掌握指数函数的图像和特点。
3. 能够应用指数函数解决实际问题。
2.2 教学内容1. 指数函数的定义：指数函数的表示方法，指数函数的定义域和值域。
2. 指数函数的性质：指数函数的单调性，指数函数的奇偶性，指数函数的周期性。
3. 指数函数的图像：指数函数的图像特点，指数函数的渐近线。
4. 应用指数函数解决实际问题：人口增长，放射性衰变，利息计算。
2.3 教学方法1. 利用数学软件或图形计算器，绘制指数函数的图像，让学生直观地感受指数函数的性质。
2. 通过具体的例子，引导学生发现指数函数的单调性和奇偶性，深化学生对指数函数性质的理解。
3. 提供实际问题情境，让学生应用指数函数解决问题，培养学生的应用能力。
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指数概念的扩充
指数概念的扩充
一、教学目标
1．经历由幂指数由整数逐步扩充到实数的过程，理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义．
2．掌握幂的运算性质．
3．理解随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充到实数指数函数．
4．使学生感受数学推理的合理与严谨，体会充满在整个数学中的组织化，系统化的精神．
二、设计思路
以前的数学学习中，已经经历过“数”的扩充过程．由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系．本章也是按照这个思路来实现指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要；②基本运算能无限制地进行．把“指数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化，系统化的精神．
2.1整数指数幂
1．2.1节首先回忆初中学习的整数指数幂的概念和正整数指数幂的运算性质，进而讨论这些运算性质能否推广到整数指数幂，为学习指数概念的扩充作准备．2．运算性质的扩充是通过实例说明，不要求证明，降低难度，符合高一学生的思维水平．3．当指数运算性质推广到整数
指数幂时，正整数指数幂的运算性质：
不过，这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定.当指数的范围扩大到有理数集Q以至实数集R后．幂的运算性质仍然是上述三条，当然这3条性质也要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定．
4．本教材强调了整数指数幂满足不等性质，这些性质即常用又容易理解．
2.2分数指数幂
1．指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要；②基本运算能无限制地进行．
2．强调指数概念的扩充是由于需要．
3．整个§2，知识的发生发展都是先讲指数概念的扩充．指数概念的推广和指数函数定义域的扩充平行，随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充．然后运算性质的扩充．4．本书绕开了根式，讲解分数指数幂的概念．分三步，首先说清楚正分数指数幂的意义，再说的意义，最后规定负分数指数幂的意义．通过实例，在幂的运算bn＝am，解决求b的问题中，导出分数指数幂的概念．导出过程中强调了b的存在与唯一．使学生感受数学推理的合理与严谨．5．例5、6、7为学生理解分数指数幂的概念而设计．6．分数指数幂与根式只是形式不同，为了方便学生阅读参考书，教材中给出“有时我们把正分数指数幂写成根式形式”，并在习题中让学生适
当地练习．
7．有理指数幂运算性质，是提出问题：“整数指数幂扩充到有理数指数幂，整数指数幂的运算性质也适用于有理数指数幂吗？”后直接给出，没有证明过程．这是因为教材要面对全体学生，有兴趣的同学可以在教师指导下证明这些结论．
2.3实数指数幂
1．由于学生必须学习极限的概念后，才能真正地理解实数指数幂的概念，因而本节安排《阅读理解》，帮助学生了解了解实数指数幂的意义．2．首先“用有理数逼近无理数”的思想，理解的一系列不足近似值，和一系列过剩近似值，越来越逼近的精确值．进而认识的近似值精确度越高，以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂10α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为．
3．让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程，认识实数指数幂的概念．
4．把实数指数幂作为一小节，目的是让学生感受“用有理数逼近无理数”，了解由“有限”认识“无限”的数学大思想．
5．当指数扩充到实数，运算性质和指数函数的概念也随之扩充到实数集上．
四、教学建议
2.1整数指数幂
1．可以采用多种方式复习整数指数幂的概念和正整数指数幂的运算性
质．
2．通过问题“负整数指数幂还保留以上运算性质吗？”组织学生演算例1，从中抽象一般结论：正整数指数幂的运算性质可以推广到整数．3．讨论例2，让学生得出指数幂的运算性质的五条可以合并为三条．4．分清哪些概念是规定的(如a0＝1，00无意义)，哪些是通过演绎推理得出的．
2.2分数指数幂
1．让学生理解指数概念的扩充是由于数学发展和实际应用的需要．2．正分数指数幂是由问题“正整数指数幂的运算bn＝a中，常常是已知正实数b和正整数n，求a．反过来已知a和n怎样求b？”引入．强调存在与唯一，即“给定正实数a，对于任意给定的正整数n，存在惟一的正实数b，使得bn＝a．这样，我们把这个存在惟一的正实数b记作：b＝”．学生理解这点后，进一步讲解“给定正实数a，对于任意给定的正整数n，m，存在惟一的正实数b，使得bn＝am，我们规定b 叫做a的次幂，记作：b＝．它就是正分数指数幂”．让学生体会数学概念扩充的理性思考．
3．把握难度，指数概念的扩充过程要求较高，运算性质的推广中的推理不作要求．
4．对于运算结果，一般地用分数指数幂的形式表示．如有特殊要求，根据要求给出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2.3实数指数幂
1．在学习实数指数幂的概念时，一定让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程．
2．是学生熟悉的数，这里是“用有理数逼近无理数”的思想重新认识它，让学生读出它的一系列不足近似值和过剩近似值，体会越来越逼近的精确值的过程，为认识作准备．
3．让学生算的一系列不足近似值和过剩近似值，并分析比较，体会越来越逼近的精确值的过程．从而对实数指数幂有感性认识．
4．指数函数概念的扩充可以由学生讨论完成．
5．实数指数幂的运算性质直接给出，并告诉学生：与有理指数幂的运算性质不同在于，要证明它，我们目前的知识不够．
五、课程资料参考
一．怎样证明正分数指数幂的运算性质?
二．指数发展简史
1637年，法国数学家笛卡儿(Descartes，1596――1650年)开始用符号an表示正整数幂，在他的《几何学》一书中，用a3代表a?a?a，用a4代表a?a?a?a．分数指数幂在十七世纪初也开始出观，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师司蒂文(Stevin)．十七世纪末，华里斯开始使用an表示分数指数及负数指数幂．十八世纪初，英国数学家牛顿(Newton，1642―1727年)开始使用an表示任意实数指数幂．这样，指数概念就由正整数指数逐步推广到实数指数．。