2021年新教材高中数学必修第二册：6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的向量积 教学设计

2021年新教材高中数学必修第二册：6.2.4 向量的数量积第2课时向量的向量积

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及

其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数

量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。

向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。

A.掌握数量积的运算律；

B.利用数量积的运算律进行化简、求值；

1.教学重点：数量积的运算律；

2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。多媒体

一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律

【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：

（1） a a )()(λμμλ=

（2）a a a μλμλ

+=+)(

（3）b a b a λλλ+=+)(

2.平面向量的数量积定义：

θcos ||||b a b a =⋅

平面向量的数量积的结果是数量。 二、探索新知

1.平面向量数量积的运算律

探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？

平面向量数量积的运算律

证明：（1）因为θcos ||||b a b a =⋅，θcos ||||a b a b =⋅

所以，a b b a ⋅=⋅。

（2）当的夹角与的夹角、

与时，b a b a λλ0>一样。 因为)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ，

)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ

同理，当)()()(0b a b a b a λλλλ⋅=⋅=⋅<时，成立。

所以，)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅。 （3）

通过思考，总结

思考：设c b a ,,是向量，)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅一定成立吗？为什么？ 【答案】c b a ⋅⋅)( 表示与一个与c 共线的向量，

而)(c b a ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线。 所以)()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅。 结论：向量数量积不满足结合律。

例

1.对任意R b a ∈,，恒有2

2

2

2)(b

ab a b a ++=+，

22))((b a b a b a -=-+，对任意向量b a ,，是否也有下面类似的结

论？（1）2

2

22)(b b a a b a +⋅+=+；（2）2

2

))((b a b a b a -=-+。 【解析】

2

2

2

2

2))()(2(2))(()(1b

a b b a b b a a a b a b a b

b a a b b a b b a a a b a b a b a -=⋅-⋅+⋅-⋅=-++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=++=+）（

例2.)3()2(,60,4,60

b a b a b a -⋅+===求夹角已知θ

在整个探求过程中,充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”并利用它探求新知识。这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有:(1)教师应该如何准确的提出问题在教学中,教师提出的问题要具体、准确,而不应该模棱两可。(2)教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考,何时教师引导学生,何时教师讲授,这是个值得思考的问题。(3)教师要点拨到位，在学生出现问题后,教师要及时点评加以总结,要重视思维的提升,提高学生的数学能力和素质。(4)课堂语言还需要进一步提炼。在教学中,提出的问题,分析引导的话应具体,明确,不能让学生不知道如何回答,当然有些问题我也考虑过该如何问,只是没有找到更合适的提间方法,这方面的能力有待加强。