2014年北大自主招生真题及答案
北大自主招生第1题详解
整数x，y，z满足xy+yz+zx=1，则（1+x^2）(1+y^2）(1+z^2) 可能取到的值为（） A.16900 B.17900 C.18900 D.前三个答案都不对
西安新曙光教育
【8871】【北大自主招生，博雅计划】
整数x，y，z满足xy+yz+zx=1，则（1+x^2）(1+y^2）(1+z^2) 可能取到的值为（） A.16900 B.17900 C.18900 D.前三个答案都不对 解：
这是一个完全平方数，而我们注意到：169=13×13 16900=13×13×2×2×5×5
西安新曙光教育
解：
(1 x2 )(1 y2 )(1 z2 ) [( x y)( y z)( z x)]2
16900=13×13×2×2×5×5
由于x,y,z的地位是平等的，数学上我们叫“轮换对称”， 这是一种代数上的对称，两个字母相互替换，表达式还 是相等的，所以，令
x y 2
y
z
5
z x 13
x 5
y
-3
z 8
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解：
(1 x2 )(1 y2 )(1 z2 ) [( x y)( y z)( z x)]2
16900=13×13×2×2×5×5
由于x,y,z的地位是平等的，数学上我们叫“轮换对称”， 这是一种代数上的Байду номын сангаас称，两个字母相互替换，表达式还 是相等的，所以，令
这是一个完全平方数，而我们注意到：169=13×13
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【8871】【北大自主招生，博雅计划】
整数x，y，z满足xy+yz+zx=1，则（1+x^2）(1+y^2）(1+z^2) 可能取到的值为（） A.16900 B.17900 C.18900 D.前三个答案都不对 解：
清华、北大2011-2015年自主招生面试真题汇总
清华、北大2011-2015年自主招生面试真题汇总2016年自主招生即将来临，考生和家长需要着手准备了。
除了报名申请材料之外，自主招生最重要的环节就是笔试和面试部分。
下面中国自主招生网小编汇总了清华大学、北京大学2011-2015年部分面试题，供报考2016自主招生的考生们参考。
清华大学清华大学2015年自主招生面试部分真题1.假设给你一次穿越的机会，你最希望穿越到什么时候?做什么人?干什么?2.清华大学的校训是什么?你是如何理解的?如果你被清华大学录取，你如何去践行这一校训?自强不息，厚德载物自强不息厚德载物——清华大学校训解释：来源于《周易》的两句话：一句是“天行健，君子以自强不息”（乾卦）；一句是“地势坤，君子以厚德载物”（坤卦）。
民国时期，梁启超在清华大学任教时，曾给当时的清华学子作了《论君子》的演讲，他在演讲中希望清华学子们都能继承中华传统美德，并引用了《易经》上的“自强不息”“厚德载物”等话语来激励清华学子。
此后，清华人便把“自强不息，厚德载物”8个字写进了清华校规，后来又逐渐演变成为清华校训。
“天行健，君子以自强不息”“地势坤，君子以厚德载物”两句意谓：天（即自然）的运动刚强劲健，相应于此，君子处世，应像天一样，自我力求进步，刚毅坚卓，发愤图强，永不停息；大地的气势厚实和顺，君子应增厚美德，容载万物。
译为：君子应该像天宇一样运行不息，即使颠沛流离，也不屈不挠；如果你是君子，接物度量要像大地一样，没有任何东西不能承载。
3.如果你是班长，如何组织一次关于雷锋精神的班级活动?活动内容，请向班里同学发表一段两分钟的“学雷锋”活动动员演讲。
4.“是休学创业，还是毕业后创业。
”老师同学们：上午好！51年前的今天，毛主席亲笔题词，号召全国人民“向雷锋同志学习”。
从此，“学习雷锋好榜样”的歌曲响彻中国大地，雷锋的精神影响了一代又一代中国人，并且也影响到全世界。
因此，每年的3月5日，就被确定为学习雷锋纪念日。
北京大学2014年自主选拔录取面试题
北京大学2014年自主选拔录取面试题1. 在当代人的生活和媒体语言中，诸如3D、4G、PM2.5、CPI等随处可见，你认为这些符号的流行会伤害汉语的文化价值和纯洁性吗？说说你的理由。
2. 试论科学和技术上的模仿与创新是一种什么样的关系？可以从中国近年在航天、航空、航海和高铁等领域的技术进展举例展开。
3. 古人云：“人唯求旧，器唯求新。
”请谈谈你对这句话的理解。
4. 越来越多的中国人读不懂中国文化的“原典”，如此下去，中国文化如何延续？5. 某国外名校称“我们所教历史中的大部分是我们教过的人创造的”，那么你认为北京大学在中国近现代史进程中发挥过怎样的作用。
6. 北大某学者近期表示告别微信，认为其中文字泛滥可能导致注意力资源的不当配置，而沉溺于社交网络将使人逐渐丧失自己思考和选择的能力。
对此你怎么看？7. 现在流行一个词：“儒商”。
请问你如何理解儒和商之间的关系？8. 雾霾是近期的一个重要话题。
你认为人们的精神层面是否也有“雾霾”，应该如何对待？9. 你认为街上的警察多一点好，还是少一点好？10. 国内外一系列统计表明，彩票中大奖的人，很少有人从此富裕起来，倒是绝大多数都很快把奖金消费掉，重新回到原状。
请你分析一下其中的社会原因和心理原因。
11. 儒家说：“名不正则言不顺。
”但佛家却主张“看破名目”，抓住事物的本质。
你如何看待这两种主张？12. 有人说“道德应成为科学的指路明灯”，但也有人认为道德束缚了科学研究。
谈谈你的看法。
13. 爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”，谈谈你的理解和看法。
14. 孩子们回家看老人时，经常捧着手机玩，让老人备受冷落。
老人气愤地说“你们就和手机过吧”，对此谈谈你的感想和评价。
15. 对“传统商务与电子商务是互相取代还是彼此融合”这个话题，谈谈你的看法。
16. 煤炭作为燃料是制造雾霾天气的重要元凶之一，而太阳能、风能目前又不能保证持续供应，因此有人说发展核电势在必行，但是前苏联和日本的核电站事故又给人造成核电心理阴影。
2014年北约自主招生语文试题汇总及解析
2014年北约自主招生语文试题汇总及解析(部分)一、填空题(部分)1.很多人的第一次骄傲( )是从戴上北大( )清华的校徽开始的。
答案：感；或清北解析：这句话选自文章《北大是清泉，清华是岩浆》，作者是北大中文系的李方，与好友鑫华同念。
这两个空不难，凭借基本的语感和简单的逻辑便可答出。
但刚拿到这道题，考生们会有一种不知所云的感觉。
考察这两个空的意义何在？也许这道题的意义不在这两个空，而在于试卷的开始激励考生的斗志，也在于引导考生去阅读这样一篇深入剖析北大清华校园氛围的美文，去更好地了解他们心中的理想学府。
2.高端大气上档次，低调奢华(有内涵);时尚亮丽(小清新)，可爱乡村非主流。
答案：这是一段网络流行用语，全文是：“高端大气上档次，低调奢华有内涵，简约时尚国际范，奔放洋气有深度，低端粗俗甩节操，土鳖矫情无下限，装模作样绿茶婊，外猛内柔女汉子，卖萌嘟嘴剪刀手，忧郁深沉无所谓，狂拽帅气叼炸天，冷艳高贵接地气，时尚亮丽小清新，可爱乡村非主流，贵族王朝杀马特，提莫团战必须死。
”清北解析：题目看似轻松有趣，多多少少舒缓了紧张的考试氛围，但实际上，考生如果不关注时下的流行用语，回答这道题可并不简单。
另一方面，严格说来，这道题属于“对联题”，分号前后两句分别是一组对仗。
考生如果不了解当下的流行用语，也可现场思考，把它当成一道传统的对联题来做。
点评：这道题考察了被很多考生称为“闭着眼睛都能填出来”的最新网络热词。
题目看似轻松有趣，多多少少舒缓了紧张的考试氛围，但实际上，考生如果不关注时下的流行用语，回答这道题可并不简单。
另一方面，严格说来，这道题属于“对联题”，分号前后两句分别是一组对仗。
考生如果不了解当下的流行用语，也可现场思考，把它当成一道传统的对联题来做。
二、选择题：(10分部分)1.与“常”、“胖”、“剑”不是一类的是( )A、吊B、畔C、到答案：A清北解析：这道题考察了汉字的拆分结构，也体现了与高考汉字考察的不同侧重点。
2014届全国自主招生模考北约数学2答案
北约数学答案2 一、选择题二、解答题 7、解：由均值不等式得2222)]2()2[()()4()(c b c a b a c b a b a +++++=++++………………………(3分)ab c bc ac ab bc ac ab ⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+=++≥222224244)2222()2(22ab c bc ac ab 16884+++=,………………………(6分)∴)(16884)()4()(22c b a abcabc bc ac ab c b a abc c b a b a ++⋅+++≥++⋅++++ 488111()8()22222a ab b a bc c c b a c b a =+++++=+++++++ 100)25()215(85422522=⋅⋅⋅≥c b a c b a ,………………………(6分)等号成立当且仅当02>==c b a , 故k 的最大值为100 .………………………(3分)8、解：结论成立. ………………………(4分)由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n nn q p a =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且,n n p q 互质）………………………(2分)由111p pa q q ==，可得q p <≤10；………………………(2分)若0≠n p ，设n n q p αβ=+（n p <≤β0，βα,是非负整数）则nn n p p q βα+= ，而由n n n q p a =得n n n p q a =1 11n n n n nq a a p p β+===，故β=+1n p ，nn p q =+1，可得nn p p <≤+10………………………(3分)若=n p ，则1=+n p ，………………………(2分)若q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅均不为0，则这q 正整数(1,2,3,,)n p n q =L 互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1-q 个，矛盾.………………………(3分)故q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在)1(q m m ≤≤，使得0=m a . 从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0， 所以对于大于q 的自然数n ，都有0=n a………………………(2分)9、解：设所求的两位数为x,则有自然数s 、t ，满足10210(1),10510(1)s n s t n t x x x x <<+<<+………………………(6分)两式相乘得+t22101010(1)s n s t x x +<<+………………………(2分)因为x 是两位数，224242321099,10,(1)1010103,10(1)10001,31s t n s t x x x n s t x x x x x ++++≤≤≤+≤<<=++<<+<<+=所以10所以这个两位数是31.……………………(10分)10、解：因为B m =（b m1，b m2，b m3，b m4）满足．由b m1，b m2，b m3，b m4关系的对称性，只需考虑（b m2，b m3，b m4）与（a 1，a 2，a 3）的关系数的情况．……………………(4分)当b m1=0时，有．……………………(3分)==．……………………(4分)即b m1=0，且，，时，a1b m2+a2b m3+a3b m4的最大值为m．当时，，……………………(4分)得a1b m2+a2b m3+a3b m4m所以C（A，B m m（m=1，2，3，…，n）．……………………(3分)。
2014年北约自招试卷[解析]
![2014年北约自招试卷[解析]](https://img.taocdn.com/s3/m/fcd6d3c95ff7ba0d4a7302768e9951e79b89693a.png)
2014“北约”自主招生物理试题即2014综合性大学自主选拔录取联合考试物理部分一、选择题【题1】今有一个相对地面静止，悬浮在赤道上空的气球。
对于一个站在宇宙背景惯性系的观察者，仅考虑地球相对其的自转运动，则以下对气球受力的描述正确的是（）A．该气球受地球引力、空气浮力和空气阻力B．该气球受力平衡C．地球引力大于空气浮力D．地球引力小于空气浮力【答案】C【题2】有两个惯性参考系1和2，彼此相对做速度极高的匀速直线运动，下列叙述中正确的是（）A．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变快了；在参考系2看来，1中的所有物理过程都变慢了B．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变快了；在参考系2看来，1中的所有物理过程也变快了C．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变慢了；在参考系2看来，1中的所有物理过程都变快了D．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变慢了；在参考系2看来，1中的所有物理过程也变慢了【答案】D【题3】下列过程中：①水在1atm、25℃下蒸发；②冰在1atm、25℃下融化；③理想气体准静态绝热膨胀；④理想气体准静态等温膨胀；⑤理想气体准静态等压加热；⑥理想气体向真空绝热膨胀。
其中系统对外作正功的是（）A．①③④⑤B．①②③⑤C．②④⑤⑥D．②③④⑥【答案】A【题4】下列说法中正确的是（）A．卢瑟福实验中发现许多α粒子被金箔大角度散射，这表明α粒子很难进入金箔原子内部B．β衰变中产生的β射线是原子核外电子挣脱原子核束缚之后形成的电子束C．通过化学反应无法改变放射性元素的半衰期D．平均结合能大的原子核不稳定，容易发生裂变【答案】C二、填空题【题5】 如图所示，有半径为R 的光滑细圆环轨道，其外壁被固定在竖直平面上。
轨道正上方和正下方分别有质量为2m 和m 的静止小球，它们由长为2R 的轻杆固连。
已知圆环轨道内壁开有环形小槽，可使轻杆无摩擦、无障碍地绕着其中心点转动。
今对上方小球施加小扰动，则此后过程中该小球的速度最大值为＿＿＿＿＿；当其达到速度最大值时，两小球对轨道作用力的合力大小为＿＿＿＿＿。
2014年北大自主招生试卷
北大自主招生真题及答案北大自主招生真题及答案（二）一、选择正确的或者最好的表达形式（10分）1、为维护语言的纯洁，禁止在广告中用谐音字______成语。
A篡改 B窜改 C纂改2、大家推举在学界______的朱德熙先生担任学会主席。
A深负众望 B不负众望 C深孚众望3、只要有诚心，再厚的冰也会______。
A融化 B熔化 C溶化4、棋摊摊主卖个破绽，引路人______，骗取钱财。
A入网 B入瓮C入彀5、所有机票代售点，一律不得向旅客收取或______收取手续费。
A变向 B变相 C 变项6、当时正值三年自然灾害，______尚有困难，有谁操心可有可无的戏班子的存亡。
A 裹腹 B裹肤 C果腹7、政府领导作为人们的公仆，要______都关心群众的疾苦。
A不时不刻 B时时刻刻 C无时无刻8、我国的农业生产取得了举世______的伟大成就，首先应归功于改革开放的政策。
A瞩目B侧目 C注目9、中国队20号前锋一脚远射，令对方门将______，皮球正入网中。
A措不及防 B猝手及防 C猝不及防10、把这些数据放在一起，就能看出______来。
A端倪 B端睨 C端眤二、文言文阅读（10分）州郡遇圣节锡宴，率命猥妓数十群舞于庭，作“天下太平”字，殊为不经。
而唐《乐府杂录》云：“舞有字，以舞人亚身于地，布成字也。
”王建《宫词》云：“罗衫叶叶绣重重，金凤银鹅各一丛。
每遇舞头分两向，太平万岁字当中。
”则此事由来久矣。
（周密《齐东野语》）1、文中所叙是一种什么景象？周密对此有何看法？2、结合现实生活中所见，谈谈你对类似现象的看法。
三、将下段古文翻译为现代汉语（20分）古者先王尽力于亲民加事于明法彼法明则忠臣劝罚必则邪臣止忠劝邪止而地广主尊者秦是也群臣朋党比周以隐正道、行私曲而地削主卑者山东是也乱弱者亡，人之性也治强者王古之道也越王勾践恃大朋之龟与吴战而不胜身臣入宦于吴反国弃龟明法亲民以报吴则夫差为擒故恃鬼神者慢于法恃诸侯者危其国（《韩非子•饰邪》）四、现代文阅读（20分）不久前我在鄯善迪坎儿村，见一大棵梭梭树长在路旁。
2014年北约自主招生笔试物理试题及答案
度������0满足什么关系时，两个小球的间距可以为无穷远。
【解答】 法一：
换一个参考系，如以������为参考系，������的初速度变为√2������0，������的受力为 w w w ������ + ������������������，������为万有引力，������������������为惯性力
1
2 2������������2
2 ������(√2������0) − ������0 ≥ 0
w www www 化简得到：
www.xdf.c
2������������ ������0 ≥ √ ������0
������ ������
w w w w ������������ = ������ ������������ = 3
ww ww ww 于是有
������
=
������������ ������������
=
3������
∙
������������ 2 ������������
=
3������
������2 9
.xdf.c 【解答】 （1） 如图，画出带电粒子的运动轨迹，从 A 到 B 为匀速圆周运动；进入电场后，因为
w w w w 刚进入电场时速度方向与两场交界垂直，受力水平向 ww ww ww 右，故做类平抛运动。竖直方向为匀速直线运动，故
=
√������2
+
������������ ( ������
⋅
2014北约自主招生数学试题及解答
2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.6.已知22()arctan 14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .7.证明tan3 是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.10.已知12,,,n x x x R +∈ ,且121n x x x = ,求证:12))1)n n x x x ≥ .2014年北约自主招生试题参考答案1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =.于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3 是有理数,则tan6,tan12,tan 24 为有理数,再由tan 6 和tan 24 可得tan30 为有理数,这与tan30=!因此,tan3 是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---,由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠,故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,3不可以同时在M中.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)nk k k N=≥∈时,不等式12))1)k k x x x ≥ 成立. 那么当1n k =+时,则1211k k x x x x += ,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k kx x x x x x+++--≤⇒+≥+,所以1212)2(2)kk x xx x + 12112)2()]kk k k x x xx x x ++=+++11212)2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+= 及n k =时的假设,故1n k=+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12))nx x x12121212111()()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k kknn nk k k k C C C k k k i i i ni i i nn n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12))nx x x1122))2)(2)(21)n n n n k kn n n nnC C C C ---≥++++ ,即证. (三法)由平均值不等式有111(nnnk kn ==≥……①;111(nnnk k n==≥……②①+②得1()nkk nn x =≥,即12))1)n n x x x ≥ 成立.。
2014高中自主对外招生数学试卷和答案
高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。
2014年自主招生北约模拟试题及解析
(2)设 M 为线段 AB 的中点，P 为奇质数，且点 M 到 x 轴的 距离和点 M 到准线 l 的距离均为非零整数， 求证点 M 到坐 标原点 O 的距离不可能是整数.
E O B F
M x
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2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)
【题 13】函数 y f ( x) ， x N ， y N ，满足：
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2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)
2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)参考答案
【题 01】复数 Z1、Z2 满足|Z1|=2、|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为 60° ，则 A.
Z1 Z 2 ( Z1 Z 2
).
133 7
B. 5
C.
1 5
D. 133
x2 y 2 【题 06】 如图所示， 从双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的左焦点 F 引圆 x2 y 2 a 2 的切线， 切点为 T． 延 a b 长 FT 交双曲线的右支于 P 点.若 M 为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则 | MO | | MT | 与 b a 的
则
1 sin 2 ) 0 ， 2
m
的取值范围是(
). C．[-1，1] D．[-1，6]
A．[-6，1] B． [4， 8] 【解析】选 A.由题意知 λ+2=2m①
2 cos2 m 2 sin ② 2 由①得 2 ， m m 2 2 2 由①②得 4m 9m 2 sin cos 4 sin 2 sin 3 ， 1 故-6≤4m2-9m≤-2，即 ≤m≤2. 4 2 从而 2 [ 6,1] . m m
2014自主招生部分试题
感；或
• 一、填空题(部分) • 2.高端大气上档次，低调奢华(有内涵);时尚 亮丽(小清新)，可爱乡村非主流。
答案：这是一段网络流行用语，全文是：“高端大气上 档次，低调奢华有内涵，简约时尚国际范，奔放洋气有 深度，低端粗俗甩节操，土鳖矫情无下限，装模作样绿 茶婊，外猛内柔女汉子，卖萌嘟嘴剪刀手，忧郁深沉无 所谓，狂拽帅气叼炸天，冷艳高贵接地气，时尚亮丽小 清新，可爱乡村非主流，贵族王朝杀马特，提莫团战必 须死。”
答案：C 解析：考察考生文学常识的储备和掌握
春雨 唐· 李商隐 怅卧新春白袷衣，白门寥落意多违。红楼隔雨相望冷，珠箔飘灯独 自归。 远路应悲春晼晚，残宵犹得梦依稀。玉珰缄札何由达，万里云罗一 雁飞。 但值得注意的是，即使考生不知道这首诗的作者为何人，也可以通 过排除法大致敲定是李商隐。李白是浪漫主义诗人，诗风豪放飘逸 ；杜甫是现实主义诗人，诗风沉郁顿挫，而李商隐的诗歌文辞清丽 、意韵深微，好用典故，有些诗较为晦涩。从这首《春雨》中便能 够看到他鲜明的诗作特色。唐代不同时期的时代气象不同，成就了 诗人诗文的不同气质，虽然并不排除例外，但总归是有规律可偱的 。
解析：题目看似轻松有趣，多多少少舒缓了紧张的考试氛围，但实际上，考生如果 不关注时下的流行用语，回答这道题可并不简单。另一方面，严格说来，这道题属于 “对联题” ，分号前后两句分别是一组对仗。考生如果不了解当下的流行用语，也 可现场思考，把它当成一道传统的对联题来做。
• 二、选择题：(10 分 部分) • 1.与“常”、“胖”、“剑”不是一类的是 () • A、吊 B、畔 C、到 答案：A 解析：这道题考察了汉字的拆分结构，也体 现了与高考汉字考察的不同侧重点。题目中“ 胖”与“畔” ； “剑”与“到”都共享了部分 结构（ “半”与“刀” ） ，而“胖”与“畔” 意符不同， “剑”与“到”声符不同，体现了 汉字造字的系统与变化原则。然而“吊”只是 “常”
2014北约自主招生数学试题(文科)
12014年北约自主招生数学试题一、选择题1. 设扇形的圆心角为60︒，面积为6π，将它围成一个圆锥，则此圆锥的表面积是_______．A 、132πB 、7πC 、152πD 、8π2. 10个人分成3组，每组人数分别为3,3,4，则不同的方法有_______种．A 、1050B 、2014C 、2100D 、42003. 函数()f x 满足：对于任意的实数,a b 有()()2233f a f b a b f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，已知()()11,47f f ==，则()2014f 的值是_______．A 、4027B 、4028C 、4029D 、40304. 已知函数()()2lg 2f x x ax a =-+的值域是(),-∞+∞，则实数a 的取值范围是_______．A 、01a <<B 、01a ≤≤C 、0,1a a <>D 、0,1a a ≤≥5. 设,x y 均为负数，且满足1x y +=-，则1xy xy +具有_______． A 、最大值174- B 、最小值174- C 、最大值174 D 、最小值1746. 使得函数()22arctan 14x f x C x -=++成为区间11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数的常数C 的值为_______． A 、0B 、arctan2-C 、arctan 2D 、不存在二、解答题 7. 求等差数列{}120041n n ≤≤+与{}120063n m ≤≤-的所有公共项的和．8. 设梯形的两条对角线的长分别是5和7，高为3，求该梯形的面积．9. 证明tan3︒为无理数．10. 设实二次函数()(),f x g x 满足方程()()()()30,0f x g x f x g x +=-=都只有一对重根，已知()0f x =有两个不同实根，证明()0g x =没有实根．。
历年来北大自主招生数学试题
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题数学部分1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分）3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分解析1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >．同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ． 下面研究正五边形对角线的长．如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EF EH x FGx HG ===-．解得x 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）IH GFE1111x x-1【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ② 联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -．于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③0s =>，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅( ④又由当12x a x b s ===-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆=注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s '=+-知当210s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =()g s 取得最小值．4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<．当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x xx x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =．而11sin cos sin 2(0,]x x x =∈，矛盾！()()1132，(1的交点的直线方程6x +()()1132得⎪⎪⎨⎪⎪⎩解析：因为222cos 2a b c C ab +-=22222a b a b ab +⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥()2231422a b ab ab+-= 312422ab abab -≥12=，当且仅当a b =时，""=成立，又因为()0,C π∈，所以060C ∠≤。
2014 年北约自主招生数学试题(理科)与答案
A． 0 a 1
B． 0 a 1
C． a 0, a 1
D． a 0, a 1
5. 设 x, y 均为负数，且满足 x y 1，则 xy 1 具有_______
A．最大值 17
B．最小值 17
xy C．最大值
17
4
4
4
（） D．最小值 17
4
6.
使得函数
f
x
arctan
2 2x 1 4x
A．1050
B． 2014
C． 2100
D． 4200
3.
函数
f
x 满足：对于任意的实数 a ， b 有
f
a
2b 3
f
a 2 f
3
b
，已知
f
1 1 ，
f 4 7 ．则 f 2014 的值是
（）
A． 4027
B． 4028
C． 4029
D． 4030
4. 已知函数 f x lg x2 2ax a 的值域是 , ，则实数 a 的取值范围是 （ ）
3
8.
解析：设可知 3 f
f x a x x1 2
x
b
g x
x x2 2
a x x1 ， g x
2
，
a
f x
x x1 2
gx 3b x
b
x
x2
2
x2 2 ，则
．因为 f
x
0
有两个不
4
4
同实根，所以 a ， b 异号，且 x1 x2 ，所以 g x 0 没有实根．
9.
C
成为区间
1 4
,
1 4
上的奇函数的常数 C
北大自主招生面试题及答案
北大自主招生面试题(附答案)1.近几年不少用人单位在招聘员工时，很看重应聘者的本科毕业学校。
请谈谈你的看法。
答：本科阶段是一个人中学阶段的延续，能通过高考进入一所一流大学，这说明了他在中学阶段就是一个优秀的学生，而一个优秀的学生或者天资聪明，或者后天努力，而这两项素质都是一流高校招生中所看重的。
而中学阶段很优秀的学生进入大学，成为优秀学生的概率也很大。
从高校的选拔程序来看，高考每年有接近1000 万人参加考试，考生通过考试分数的高低来选择学校，分数越高去的学校越好，这样就能保证那些考试分数最高的学生进入北大或者清华，从而名牌大学能够招到全国最优秀的学生，这种选拔机制从效率的角度来看是最高的。
而研究生和博士生考试实行的是报名考试制度和保送制度，如果从报名考试制度来看，报考北大研究生的学生大概为5 万人，与本科生的报名人数比，这个数字只是1/200 ，如果不考虑其他因素，报考基数急剧减少，选拔出最优秀的学生的概率也会减少，这就会导致研究生的生源质量要低于本科生的生源质量。
此外，本科阶段是人生中最黄金的阶段，这个阶段正是一个人形成完整的世界观、人生观、价值观的时期，一个名牌高校能够为学生提供更博学的大师，有优秀的同学，一流的实验室，更好的学术氛围，更多出国交流的机会，更完整的思想体系，这对于一个人价值观的形成会起到很大的匡助。
所以不同大学里出来的学生都或者多或者少的带有自己学校独有的特点，比如北大学生的思想自由，兼容并包，清华学生的严禁、涵蓄、稳重，这些特点一旦形成，对于一个人的一辈子都会产生影响。
所以本科的学习不光是对于知识的学习，更是自己价值观形成的阶段，是走向社会的第一个台阶，为以后走向社会积累了更多的资本。
所以用人单位会更重视毕业生的本科院校。
虽然本科学校的好坏对于一个人的成长具有非常大的作用，但是，我们也不能仅凭本科毕业学校的好坏来判断一个人，因为有不少人由于出生于农村而不能接受到良好的教育，或者高考时一时失利等原因没有进入名牌大学，但是他们却在本科阶段奋发图强，通过自己的努力来考取更好学校的研究生或者进入更好的单位，他们的努力及拼搏的精神是值得肯定和学习的。
北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)
2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。
二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。
2014北约自主招生数学试题及详解（含文、理）
今年北约自招笔试已落下帷幕，从试题的整体难度来看，它不像我们平时觉得的有竞赛的难度，与往年相比难度也是大有降低，具体体现在试题中的前六道，属于高考基本题型，只要准备过自招考试的基本能拿满分，但也要熟悉反三角函数的处理以及无理性的证明思路.有区分度的点在最后三道，最后一题属于不等式的延伸内容，北约的考试尤其是解答题从来都不是基于课内知识点的反复强调和训练，往往来源于一些很基本的甚至是近似于数学常识的知识，比如去年考试中“任意三个数的和都是质数”的理解，的理解，和今年证明是无理数这样和今年证明是无理数这样的问题，都属于不强调复杂的计算，都属于不强调复杂的计算，只求看清楚问题的本质的处理手法。
只求看清楚问题的本质的处理手法。
只求看清楚问题的本质的处理手法。
去年和今年也都考去年和今年也都考察了对数列的理解，去年考察奇偶项和的理解，去年考察奇偶项和的理解，今年考察对数项形式的分析，今年考察对数项形式的分析，今年考察对数项形式的分析，所以北约的数所以北约的数学试题做起来如果很繁琐，说明往往已经偏离了命题人的基本想法。
下面附上试题及解析，供考完的对照以及明年参加北约考试的孩子参考。
希望对同学们有所帮助.2014北约理科数学试题北约理科数学试题1、圆心角为3p的扇形面积为6,p 求它围成圆锥的表面积.【解析】21,6,2,2S R R l R a a p =Þ===扇从而圆锥底面周长为222,,67.r S r S p p p p p p p =Þ===+=底2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.10634332100.2!C C C ××=3、()()()()22,11,47,33f a f ba b f f f ++æö===ç÷èø求()2014f . 【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设(),f x kx m =+()()11,47f f ==代入求得2,1,k m ==-从而()20144027.f =4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围.【解析】值域问题.2440,1a a a D =-³Þ³或0.a £5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 【解析】均值不等式，对勾函数性质.()()112,0,4x y xy xy =-+-³Þ<£从而11717..4xy xy +³6、()22arctan 14x f x C x +=+-在11,44æö-ç÷èø上为奇函数，求C 的值.【解析】()00,arctan 2.f C =Þ=-下面证明：()()22224arctanarctan 2arctan 2arctan 20.14143x x f x f x C x x +-æö+-=++=--=ç÷-+èø7、求证：tan3.Q °Ï【解析】反证法.假设tan3,Q °Î则tan6,tan12,tan 24,Q Q Q °ÎÞ°ÎÞ°Î从而tan30,Q °Î矛盾.tan3.Q \°Ï8、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d x b e x c f b ea d c f -+-+-=D =----=由()()30f x g x +=可得 ()()()()()()223330,34330.a d xb e xc f b e ad c f +++++=D =+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df \-<()g x \没有实根.9、1213a a a 是等差数列，{}|113,i j k M a a a i j k =++£<<£问：7160,,23是否可以同时在M 中，并证明你的结论.【解析】数列中的项.分析M 中项的构成，若按照从小到大的顺序排列，最小的项为123a a a ++，第二项为124a a a ++，最大的项为111213,a a a ++设n a 公差为,d 则M 中项的公差也为d ，所以M 中共有111213123131++---+=项，假设7160,,23均为M 中的项，不妨设212121217167110,,,,030,23221kk d k d k k Z k k k -=-=Þ=Î<£、、且1231,k k +£这样的k 不存在，矛盾.所以7160,,23不可以同时在M 中.10、()01,2,...,i x i n >=1 1.nii x==Õ求证：()()1221.nni i x =+³+Õ【解析】不等式；柯西不等式或AM GM -平均不等式. 法一：AM GM -不等式.调和平均值()212n nn n iniiin H G x x =£=+æöç÷ç÷+èøÕå，则()12222nni niiin x x £+æöç÷ç÷+èøÕå，()()1222nnnn i i n i ii i ii n x x x x x £+=+æöç÷ç÷+èøÕÕå可得()2222n niiniin x x æö£ç÷ç÷+èø+åÕ，()22n i niini ix nx x æö£ç÷ç÷+èø+åÕ 上述两式相加得()()212222nn in iii i niin x n x x x +æöæö£+=ç÷ç÷++èøèø+ååÕ，即()()212nni ix +£+Õ，即()()212nni ix +£+Õ法二：由11.n i i x ==Õ及要证的结论分析，由柯西不等式得()()212221ii x x æö++³+ç÷èø，从而可设1i i y x =，且111 1.n ni i i iy x ====ÕÕ从而本题也即证()()1221.n ni i y =+³+Õ从而()()212221nni ii x x æö++³+ç÷èøÕ，即()()()22221nnii ix y ++³+Õ，假设原式不成立，即()()1221,nni i x =+<+Õ则()()1221.nni i y =+<+Õ从而()()()22221nnii ix y ++<+Õ，矛盾.得证.2014北约文科数学试题北约文科数学试题1、圆心角为3p的扇形面积为6,p 求它围成圆锥的表面积.【解析】21,6,2,2S R R l R a a p =Þ===扇从而圆锥底面周长为222,,67.r S r S p p p p p p p =Þ===+=底2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.10634332100.2!C C C ××=3、()()()()22,11,47,33f a f ba b f f f ++æö===ç÷èø求()2014f . 【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设(),f x kx m =+()()11,47f f ==代入求得2,1,k m ==-从而()20144027.f =4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围.【解析】值域问题.2440,1a a a D =-³Þ³或0.a £5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy +的取值范围.【解析】均值不等式，对勾函数性质.()()112,0,4x y xy xy =-+-³Þ<£从而117.4xy xy +³6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44æö-ç÷èø上为奇函数，求C 的值. 【解析】()00,arctan 2.f C =Þ=-下面证明：()()22224arctan arctan 2arctan 2arctan 20.14143x x f x f x Cx x +-æö+-=++=--=ç÷-+èø7、等比数列{}(){}()411200,631200n n m m +££-££的公共项之和.【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为a ，1mod(4),3mod(6).a a ºº易得a 最小的数为9.4和6的最小公倍数为12,则912,.a k k N =+Î91242001,66.k k +=´+Þ=\公共项之和为()67980127135.2S +==8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.【解析】如图，梯形面积为()()1122S AB CD h DF EC h =+=+，易求得210,4,DF EC ==()()11421036310.22S DF EC h =+=+=+9、求证：tan3.Q °Ï【解析】反证法假设tan3,Q °Î则tan6,tan12,tan 24,Q Q Q °ÎÞ°ÎÞ°Î从而tan30,Q °Î矛盾.tan3.Q \°Ï10、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d xb e xc f b e ad c f -+-+-=D =----=由()()30f x g x +=可得()()()()()()223330,34330.a d xb e xc f b e ad c f +++++=D =+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df \-<()g x \没有实根.FEDCBA。
北约自主招生2014年物理试题及解答
两质点相距无穷远时，其引力势能趋向于零。根据能量守恒原理，系统的初始总能量应满足
1 2 1 2 m2 mv10 mv20 G E k min 2 2 r0
速率 v0 需要满足的条件 v0
2
2Gm 。 r0
解法二： 根据矢量计算法则，可得初始时刻两质点的动量矢量和的大小为
P0 2mv0
2 v0
得速率 v0 需要满足的条件
2Gm r0
解法四： 由于只有万有引力作用， 所以系统动量守恒， 两质点能够相距无穷远的条件是两质点和 质心取得共同速度 v 在水平方向应用动量守恒定律： mv0 2mv x 在竖直方向应用动量守恒定律： mv0 2mv y 根据速度的矢量合成规则，可得 v
m1m2 ） r
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10、如图，区域中一部分有匀强磁场，另一部分有匀强电场，方向如图所示，一 个带正电的粒子，从 A 点以速度 v 出发，射 入匀强磁场，方向未知，经过 t1 时间运动到 磁场与电场交界处 B 点，此时速度方向垂直 于两个场的分界线，此后粒子在电场的作用 下，经过 t 2 时间从 C 点离开电场，已知磁场 宽度 l1 与电场宽度 l2 ， A 与 B 点的水平距离 为 d ，速度 v 。 （1） 求整个运动过程中粒子的最大速度。 B （2）求 。 E
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12、 （17分）在实验室参考系，有一静止的光源与一静止的接收器，它们距离 l0 ， 光源-接收器均浸在均匀无限的液体介质（静止折射率为 n ）中。试对下列三种 情况计算光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间。 （1）液体介质相对于光源-接收器装置静止； （2）液体沿着光源-接收器连线方向以速度 v 流动； （3）液体垂直于光源-接收器连线方向以速度 v 流动。
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2014年北大自主招生真题及答案一、选择正确的或者最好的表达形式（10分）1、为维护语言的纯洁，禁止在广告中用谐音字______成语。
A篡改B窜改C纂改2、大家推举在学界______的朱德熙先生担任学会主席。
A深负众望B不负众望C深孚众望3、只要有诚心，再厚的冰也会______。
A融化B熔化C溶化4、棋摊摊主卖个破绽，引路人______，骗取钱财。
A入网B入瓮C入彀5、所有机票代售点，一律不得向旅客收取或______收取手续费。
A变向B变相 C 变项6、当时正值三年自然灾害，______尚有困难，有谁操心可有可无的戏班子的存亡。
A 裹腹B裹肤C果腹7、政府领导作为人们的公仆，要______都关心群众的疾苦。
A不时不刻B时时刻刻C无时无刻8、我国的农业生产取得了举世______的伟大成就，首先应归功于改革开放的政策。
A瞩目B侧目C注目9、中国队20号前锋一脚远射，令对方门将______，皮球正入网中。
A措不及防B猝手及防C猝不及防10、把这些数据放在一起，就能看出______来。
A端倪B端睨C端眤二、文言文阅读（10分）州郡遇圣节锡宴，率命猥妓数十群舞于庭，作“天下太平”字，殊为不经。
而唐《乐府杂录》云：“舞有字，以舞人亚身于地，布成字也。
”王建《宫词》云：“罗衫叶叶绣重重，金凤银鹅各一丛。
每遇舞头分两向，太平万岁字当中。
”则此事由来久矣。
（周密《齐东野语》）1、文中所叙是一种什么景象？周密对此有何看法？2、结合现实生活中所见，谈谈你对类似现象的看法。
三、将下段古文翻译为现代汉语（20分）古者先王尽力于亲民加事于明法彼法明则忠臣劝罚必则邪臣止忠劝邪止而地广主尊者秦是也群臣朋党比周以隐正道、行私曲而地削主卑者山东是也乱弱者亡，人之性也治强者王古之道也越王勾践恃大朋之龟与吴战而不胜身臣入宦于吴反国弃龟明法亲民以报吴则夫差为擒故恃鬼神者慢于法恃诸侯者危其国（《韩非子•饰邪》）四、现代文阅读（20分）不久前我在鄯善迪坎儿村，见一大棵梭梭树长在路旁。
我从小认识梭梭，见了亲切的很，就像看见一个亲人站在那儿。
我对这个村庄也一下有了兴趣。
一棵本来只能当烧柴的梭梭，在村里枝条完好地长了这么多年，一直长到老，谁在护着它呢。
迪坎儿村紧挨沙漠，走进一户人家，门前一渠沟水流，葡萄藤蔓覆盖了整个院落。
转到屋后，发现后墙已经被流沙淹埋掉大半，沙漠从这户人家的后墙根，一望无际地远去，没有一点绿色。
我生活的新疆地域辽阔，大块地存有一些自然风光，除了几个国家级的野生动物保护区，在相对疏松的村镇之间，连绵的农田间隙，还有幸能看到荒野草原、沙漠戈壁，这些暂时没被人侵占的地方，长野草野树，或寸草不生，任风沙吹刮。
不像内地中原，城市村庄紧凑相连，农田密布，整个大地住满人长满人吃的粮食，没有一块闲地供野草生长，更别说有野生动物了。
自然退居到偏远边疆和那些不易人居的荒芜山岭。
城市的野生动物只剩下苍蝇和老鼠，乡下也差不多。
美好的自然景观离人们远了，迫近的却是自然灾害：地震、泥石流、旱涝、反常气候。
这是自然的另一面。
其实自然从来就没有远离我们，无论身居都市还是乡村，我们一样在自然的大怀抱中。
包括人也是自然的一部分，人类所有的城市、政权、宗教、文化文明，都建立在一个最大的自然——大地之上，苍天之下。
它动一动身，这一切便都不存在。
但它厚爱着我们，不会轻易动身。
我们却常常忘记承载我们的大地，护佑我们的苍天。
古人云：厚德载物。
宽厚的大地承载江河山岳，也承载毛虫小草；承载秀水江南，也承载荒漠西域。
它的德是公正。
而说出厚德载物的人，则听懂了大地语言。
庄子懂得自然的语言，那些古代优秀的文学家都懂，他们通过草木虫鸟、云霞水土跟自然交流，心灵在天地万物中神游，获得启迪和智慧。
《诗经》中上百种动植物，个个有名字。
“关关雎鸠，在河之洲。
”一只叫雎鸠的鸟，关关地鸣叫着出现在《诗经》的开篇，这是古代诗人给一只鸟的待遇，有声音有名字，有尊严有位置。
如果在现代诗人笔下，很可能就写成“一只鸟在河边叫”了。
至于是只什么鸟，大概没多少人在意。
现在大地上所有动植物都有名字，我们却不知道或不懂得用名字去称呼它们，在许多的文学作品中，我们读到的多是对动植物笼统的称呼，把地上长的都叫草，天上飞的都叫鸟，不懂得去单个地叫出一棵草、一只鸟的名字。
一方面是不认识，另一方面在意识中或许没有对所书写对象的敬重。
有一颗能跟自然交流的心灵，懂得尊重自然，敬畏人之外的生命，才可能听懂自然，知道一棵草一朵云在说什么，漫天星星在说什么。
自然跟我们交流的惟一渠道是心灵。
现代人也有心，但是不灵了。
小时候，夜晚躺在草垛上，看见身边的狗在看星星，也跟着看，我从来不认为狗看不懂星星，狗大概也不这样认为我。
看星星其实再简单不过，抬抬头，就可以看见那些遥远的星星，你能感到它们一直在注视你，你也在注视着它们。
包括地上的一块石头，一个土疙瘩，也一直这样注视着我们。
只是我们的心不灵了，感觉不到一个土疙瘩的注视。
自然不跟我们交流了，我们也早已失去和自然交流的语言。
鄯善迪坎儿村的人们还在自然中，他们从来就懂得怎么和沙漠荒芜一起生活，怎样和仅有的一点水源、一架葡萄还有一棵梭梭树一起生活，更重要的是他们还懂得怎样贫穷地生活。
1、文章写梭梭树，在行文脉络、情感表达和思想意蕴上的作用。
2、如何理解“现代人也有心，但是不灵了”？3、文末写“懂得怎样贫穷的生活”，有评论者认为，作者是希望人们安于贫穷的现状，你对此怎么理解？（200字左右）五、作文（40分）鲁迅曾说：“无尽的远方，无数的人们，都与我有关。
”你认为这是怎样的一种关联？你自己与“无尽的远方，无数的人们”是以什么方式相关联？试结合上述问题，以“无尽的远方，与无数的人们”为题写一篇作文。
要求：1、取譬适当，杜绝虚假；2、行文畅达，说理明晰；3、感情真挚，戒用套话；4、字数要求700-800字。
参考答案一、1-5 BCACB 6-10 CBACA二、提示1、州郡遇圣节锡宴，率命猥妓数十群舞于庭，作“天下太平”字。
作者周密看法体现在“殊为不经（特别不合常规）”上，持否定态度。
2、围绕“此事由来久矣”分析，现实生活中不无这样的例子。
三、参考译文古代先王致力于亲近百姓，从事于彰明法度。
他们的法度彰明了，忠臣就受到鼓励，刑罚坚决了，奸臣就停止作恶。
忠臣受到鼓励，奸臣停止作恶，因而国土拓展、君主尊贵的，秦国正是这样。
群臣结党来背离正道营私舞弊，因而国土丧失、君主卑下，山东六国正是这样。
混乱弱小的衰亡，这是人事的一般规则。
安定强盛的称王天下，这是自古以来的规律。
越王勾践依仗贵重的龟甲所显示的吉兆同吴国打仗，结果没有胜利，自己成了俘虏去吴国服贱役；返国后抛弃龟甲，彰明法度亲近百姓以求报复吴国，结果吴王夫差被擒住。
所以依仗鬼神保佑的就会忽视法治，依仗别国援助的就会危害国家。
四、提示1、行文线索，情感依附，思想寄托。
2、“自然不跟我们交流了，我们也早已失去和自然交流的语言。
”3、要从“懂得尊重自然，敬畏人之外的生命”角度考虑。
五、提示“无穷的远方，无数的人们，都和我有关”，出自大师鲁迅的《且介亭杂文末集•这也是生活》，2005年“感动中国”颁奖晚会主持人曾经引用过这句话：“鲁迅曾说过：‘无穷的远方，无数的人们，都和我有关。
’对于丛飞来说，那些失学的孩子不都和他有关吗！他是一位真正的无私者，一位奉献了金钱、时间乃至健康的博爱者。
”例文：不知何时，这样一句话时常被人们挂在嘴边——“与我无关”。
于是，光天化日之下，有人抢劫行凶，肇事逃逸，你低头匆匆而过，“与我无关”，明哲保身为好；于是，雪灾、地震的捐款中一毛不拔，助学救贫的基金你一分不捐，与我无关嘛！然而，真的如此吗？“无穷的远方，无数的人们，都和我有关。
”鲁迅先生的警戒之言回响耳畔，“与我无关”？不，你并非生活于真空的瓶子之中，世态冷暖、国家兴衰与你息息相关。
“与我无关”不过是懦夫自保的借口，不过是麻木者自我安慰的理由；在道义与责任的拷问下，这些搪塞之辞就如阳光下的积雪，转瞬即逝，根本立不住脚。
社会就像一个日夜不息、运转不停的机器，每个人都是其上一颗不可或缺的螺丝钉，如果社会的发展、国家的兴衰果真与你无关，那么，你的作用又在哪里？你人生的价值又如何体现？顾炎武曾说：“天下兴亡，匹夫有责。
”拥有国家责任感，才有了屈原的《离骚》，才有了文天祥的《正气歌》，才有了梅兰芳的蓄胡罢演，才有了刘和珍的为民请愿……爱国主义是永恒不变的主题，国家责任感是责任意识的最高境界。
或许你又会说，我对于社会不过是一粒沙，微不足道，不过是一滴水，平凡无奇。
国计民生的大事，我的努力不过九牛一毛，雪灾、地震的大难，我的付出也不过杯水车薪，无力回天。
然而，朋友，积土成山，积水成渊，再大的困难除以十三亿也会变得可以承担，再小的奉献乘以十三亿也会变得重如泰山。
你的一小步，对于社会就是一个飞跃，为什么不把自己纳入社会这架机器，发挥自己的作用呢？或许我们很难名垂青史，流芳百世，但我们可以坦然地告诉子孙，我为国家的发展、社会的进步作了应有的贡献，我无愧于心。
无穷的远方，无数的人们，都与我有关，从中我们看到了强烈的责任感，一种以天下兴衰、民间疾苦为已任的精神，也正是这种精神，让鲁迅先生登上了二十世纪的巅峰，祓除苦痛，医治创伤。
当他身披“民族魂”的大旗远去时，华夏的青史上也早已刻下了他的功勋。
朋友，放弃那看似充分正当，实则软弱无力的借口吧，那只是掩耳盗铃的自我安慰；重拾那被人忘却但日益重要的社会责任感吧，这才是中华民族再次崛起的阶梯。
在他人遭受欺侮时，请出手相援；在他人深陷苦痛时，请以爱呵护；当国泰民安时，我们才能自豪地宣布，这与我相关。
北大自主招生真题及答案1.写两个四字短语，要求偏旁部首相同。
(10分)2.写一个十字句子，每个字的声母都是zh,ch,sh,r。
(10分)3.写一段文言50字以内，至少3个“之”，且用法不同。
(10分)4.请随便默写一首五言绝句，再将每一句诗增加两个字，使之成为七言绝句。
(30分)5.作文：模仿贪官污吏写600-700字检讨，要体现出其中的华而不实、雕琢堆砌、避重就轻和企图敷衍了事。
(40分)参考答案：1、泾浊渭清汹涌澎湃2、让山上圣人杀猪真是傻！3、吾欲之江南，观西湖之美。
吾友羡之，顷之，携行囊已至吾所。
4、《春晓》：春眠不觉晓，处处闻啼鸟。
夜来风雨声，花落知多少？（平平仄仄仄，仄仄平平仄。
仄平平仄平，平仄平平仄。
）热炕春眠不觉晓，茅屋处处闻啼鸟。
酣眠夜来风雨声，芍药花落知多少？（仄仄平平仄仄仄，平平仄仄平平仄。
平平仄平平仄平，平仄平仄平平仄。
）5、我的检讨书尊敬的领导：踱步囚室，铁窗外残月西沉，茫茫不见光亮；四壁间孑身被困，独怆然而泣下。
忆昔抚今，我痛心疾首，追悔莫及。
为党辛辛苦苦，勤勤恳恳，尽心竭力，早出晚归，宵衣旰食，呕心沥血，奋斗了几十年，尽管政绩无数，却瞬间化为乌有。