蝴蝶定理的证明

图 5

蝴蝶定理的证明

定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒

得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，

又MAD

MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。

证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○

1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即

PC'CQ =。又

111

CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222

∠∠（）（）

故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠

而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。

证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有

FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC

1ME DN CF

⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到

NA ND NC NB ⋅=⋅ 得

2

2

FM AN ND BF CF BF CF

ME AE ED BN CN AE ED

⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2

2

22

PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -=

=-+--

化简上式后得ME=MF 。

[2]

2 不使用辅助线的证明方法

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven 给出）如图5，并令

图 2

图 3

图 4

DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a

x y

αβ

γδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由

FCM AME EDM FMB

FCM EDM FMB AME

S S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=，

即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ

αγβδ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

化简得 ()()()()222

222

MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+⋅⋅-====

⋅⋅-+- 即 222

222

x y a y a x -=-，

从而 ,ME MF x y ==。 证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理，有

()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA

αβαββαβα

++=+=+，

上述两式相减，得

()()()1

1sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪

⋅⋅⎝⎭

设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有

()()MB MA 2MH 2OM cos 902OM sin MD MC 2MG 2OM cos 902OM sin ββαα

-==︒-=-==︒-=

于是 ()1

1sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，

而180αβ+≠︒，知()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明

在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为

()2

22

x y a R ++=。

直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x

=。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为

()()()2

22120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣

⎦

令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()

222

120

k k x a R μλμ++-=，

由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。

[5]

证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为

()

2

22x a y r -+=

直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x

=。

又设A B C D 、、、的坐标为(),,1,2,3,4i i x y i =，

则14x x 、分别是二次方

程

()

()2

2

22222

212,x a k x r x a k x r -+=-+=的一根。AD 在y 轴上的截距为

()()24111121441

1111214141k x k x x k k x x y y y x k x x x x x x x ----⋅=-=

---。

同理，BC 在y 轴上的截距为

()1223

32

k k x x x x --。注意到12x x 、是方程

()22

221

120k x

ax a r +-+-=的

两

根

，

34

x x 、是方程

()

222

22

12

0k x a x a r +-+-=的两根，所以34122212342x x x x a

x x a r x x ++==-，

从而易

得

3412

1234

0x x x x x x x x +=--，

即ME MF =。

证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。因C F B 、、三点共线，令

BMx CMx αβ∠=∠=，，则()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα⎛⎫⎛⎫

-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

即 ()C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ-=

- ○1 ()

A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ

-=- ○2

作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。注意到A B C D ρρρρ= ○3 由Rt OUM ∆与Rt OVM ∆可得

D C

B A cos cos ρρρραβ

--=- ○4

将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。

图 8