618数学分析A试题
【考研题库】2021年苏州大学数学科学学院618数学分析考研核心题库[证明题..
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一、证明题1．设f（x）为连续函数，且满足f（x）+f（y）=f（xy），x＞0，y＞0，证明：【答案】由f（x）+f（y）=f（xy）得于是令，则再由得令，则，所以2．设h（x），在[a，b]上连续，又对[a，b]上任意的和正整数n，有，其中M＞0为常数.求证：【答案】h（x）在[a，b]上连续，从而有界，即，使得对有'，又对有，即.因为存在，所以，于是有.因此，由迫敛性知3．设（1）数列单调下降且收敛于零；（2）数列有界，其中。
证明级数收敛。
【答案】由题设条件知，存在常数M>0,使得对一切自然数n均有任取自然数，则有令，对任意的m有因此，对任意n有即级数收敛。
4．设在[0,1]上可导，且f（0）=0，f（1）=1,为n个正数.证明在区间[0,1]内存在一组互不相等的数，使得.【答案】用上例的思路来证明之.令以及显然.取.在[0,1]上对应用介值定理，可以求得一点使.再在上对应用介值定理，又可求得一点，使.如此下去，可以求出，使得.总之,我们有n）.在每一个小区间上，对应用拉格朗日中值定理，存在，使得，即，亦即.将上式对i从1到n求和，可得5．设f（x）在R上连续，证明：.【答案】将区间[0，1]分成两段来处理.对，有对，有因为在一致收敛于0，所以对上述，当时，对有于是6．设在上有定义，在任意有限区间[a，b]上有界并可积，且.又设为一实常数.证明：积分收敛且函数连续.【答案】（1）证明积分收敛.（固定），将积分分开，注意到，由施瓦茨不等式，有而由式（1）知，S即收敛.又因为所以（绝对）收敛.由已知条件，f（x）在有限区间上可积，所以在[t-1，t+1]上可积，即收敛.综上知积分收敛.（2）证明在上连续.欲证在上连续，只须证在上连续.显然，，只须证在点连续即可.下证：在点连续，为此先证.设及，考察而，注意到不等式：a＞b＞0，有.利用施瓦茨不等式，有综上可知，.用完全类似的方法可证，故在点连续.同理可证也在点连续.从而在点连续.7．证明下列结论.（1）设在具有二阶连续偏导数.记，证明：，其中为沿曲面外法线方向的方向导数.（2）若在上，，且函数u在S恒等于0，则在内u=0.（3）设D是中的闭区域，f在D上连续且有偏导数，f满足，，则f 在D上等于0.（4）设D是有界闭区域，在D上连续，有偏导数，且，则在D上等于0.【答案】（1）设.由方向导数的计算公式及Gauss公式得（2）由（1）知由已知得.于是.进一步得.由此知u为常数.再由函数u在S恒等于0得在内u=0.（3）由已知及Gauss公式得于是，从而f=0.（4）假设在D上有正的最大值或负的最小值.由条件的最大值或最小值只能在D内部取得.不妨设为.对任意的，即为有一个极大值，则但，矛盾.故在D上等于0.8．证明：若函数f（x）在[0，+∞）上连续，且，则【答案】由于，从而对任意的＞0，存在M＞0，对任意有进一步得到又由于，因此，，最后可得9．设f（x）在上处处有正的二阶导数，证明存在常数，使【答案】令由于从而F（x）在[a，b]上连续，在[a，b]上存在最小值m与最大值M.设，使得下面证明若，则若，令，则其中，，故，故，从而对任意的，有即10．证明：，并求下列积分：（1）.【答案】0是的瑕点，且.故当，积分收敛.同理可得收敛.令侧设，则由此得（1）（2）由得.11．设f（x）是上的正值连续函数，若证明：是区间上严格单调递增的连续函数.【答案】因为，所以，从而做变量替换，则所以所以因为，所以.于是是区间上严格单调递增的连续函数.12．证明下列结论：（1）设f（x）是上的非负连续函数，若收敛，则也收敛；（2）设f（x）在上可导，且单调递减，，则收敛收敛。
南京林业大学618高等数学历年考研真题专业课考试试题
目 录
2013年南京林业大学603高等数学考研真题
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，满分32分） 1．关于函数下列说法正确的是（ ）. （A）周期函数 （B）有界函
数 （C）奇函数 （D）无界函数 2．设函数在上连续，且，则常数、满足（ ）. （A） （B） （C） （D） 3．设连续且，，若在处连续，则（ ）. （A） （B） （C）不存在 （D） 4.设是在内连续的单调增加的奇函数，则是（ ）. （A）单调增加的非奇非偶函数 （B）单调减少的非奇非偶函数（C）单调增加的奇函数
（D）单调减少的奇函数 5. （ ）.
（A） （B） （C）0 （D） 6.设在上
2003年南京林业大学高等数学考研真题
2013年南京林业大学603高等数学考研真题
注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；
③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，满分32分） 1．关于函数下列说法正确的是（ ）. （A）周期函数 （B）有界函数 （C）奇函
数 （D）无界函数 2．设函数在上连续，且，则常数、满足（ ）.（A） （B） （C） （D）3．设连续且，，若在处连续，则（ ）. （A） （B） （C）不存在 （D） 4.设是在内连续的单调增加的奇函数，则是（ ）.（A）单调增加的非奇非偶函数 （B）单调减少的非奇非偶函数（C）单调增加的奇函数
（D）单调减少的奇函数 5. （ ）. （A） 。
温州大学618数学分析2015——2018,2020年考研真题试卷试题
=
ln
x3 y2 +
z
, 求全微分du
∫ （4）求定积分 2 ln2 xdx 1
∑∞
（5）求级数和
(−1)n−1
n=1 2n ⋅ n!
（6）求 ( x − y)dx + ( x + y)dy, L是椭圆 x2 + y2 = 1, 逆时针方向。
∫ L
23
2 （每小题6分，共36分）
（1）
假设
lim
n→∞
一、 （10 分）按函数极限的 定义证明极限 lim x2 4 . x2
二、 （10 分）求极限 lim n 1n 2n L 2017n . n
三、 （10
分）求由参数方程
x
y
(t 1)et t 2et
所确定的函数
y
y(x)
的二阶导数
d2 y dx2
.
xy2
四、 （15
分）设
f
(x,
八、 （12 分）判别级数
(1)n1 的收敛性，并指出是条件收敛还是绝对收敛.
n1 n 1 n
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2018 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称: 622 数学分析
适用专业：070104 应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
九、
（10
分）求幂级数
n1
n! nn
x2n
的收敛域.
十、 （10 分）证明函数项级数 (1 cos x ) 在[ , ]上一致收敛，其中 0 .
n1
n
十一、 （10 分）设 f (x) 为连续的周期函数，周期为T ，证明
aT
f (x)dx
2020年温州大学考研真题618数学分析(2020年)
第 1 页 ，共 2 页
2020年硕士研究生招生考试试题 （请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
2
22sin ()03
22
211
122
636cos limcos ln ,ln (1)2!()(),1,23
636lim x x
x
x n n
n L n n d t dt dx x
x u du y z
xdx n x y x y dx x y dy L a a -→-∞
=→∞=+-⋅-+++==⎰⎰∑⎰1 计算题（每小题分，共分）
（1）求微分（2）求极限（3）设求全微分（4）求定积分（5）求级数和（6）求是椭圆逆时针方向。
2 （每小题分，共分）
（1） 假设，求证12221++211++lim .1lim 2.32
()()[1,)()()[1,)lim (),lim '()lim '()0.[1,)n n x x x x a a a a n
x x x f x f x f x dx dx x f x f x xf x xf x εδ→∞→∞∞→+∞→+∞
→+∞
=--=--++∞+∞=+∞⎰⎰（2） 用极限的定义证明（3） 设 在上连续， 收敛。
求证 绝对收敛.
（4） 若 在上可微，且都存在、有限，求证（5） 构造一个在上可微()lim ()lim '().()()(0,)lim 0,().
x x x g x g x g x h x h x x
h x →+∞
→+∞
→+∞+∞=的函数，使得存在、有限，但不存在（6） 设是上的凸、增函数，二阶可导，且求证是常值函数。
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2010年硕士研究生招生入学考试试题
科目代码及名称: 618数学分析A适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
，求： , , （12分）
３．计算积分 （12分）
４．计算积分 （12分）
５．计算积分 ,其中 为半圆周 ,从点 到点 .（12分）
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
（2）补充一个条件使得结论 成立，并给出证明.（12分）
9．设 ,讨论 在点 处的连续性和可导性,并在可导时求 .（15分）
10．设 ,证明函数项级数 在 的一致收敛.（12分）
11．设 ,证明含参量积分 在任何有限闭区间 一致收敛,但在 不一致收敛.（15分）
６．计算积分 ,其中 为抛物面 ( )部分的上侧.（12分）
7．设 在 可导,在 二阶可导， , .求证:存在 使得 .（12分）
8．设数列 满足条件: ， ，试解答下列问题
（1）举例说明,在上述条件下结论 不一定成立；
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2010年硕士研究生招生入学考试试题
科目代码及名称: 618数学分析适用专业：应用数学