数学建模--静态优化模型
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静态优化模型
• 现实世界中普遍存在着优化问题 • 静态优化问题是指最优解是数(不是函数)
• 建立静态优化模型关键之一是根据建模 的目的确定恰当的目标函数
• 求解静态优化模型一般用微分法
3.1 存贮模型
问 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品是因 题 更换设备要付生产准备费，产品大于需求时因积
压资金要付贮存费，该厂的生产能力非常大，即 所需数量可在很短时间内产出。
T' 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q' 2c1r c3 c2 c2 c3
允许 缺货 模型
T' 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q' 2c1r c3 c2 c2 c3
不允 许缺
T
2 c1 rc 2
货模 型
Q
2 rc 1 c2
记 c2 c3
c3
T'T ,
Q'
Q
不
允
1 T ' T,Q ' Qc3
建模及求解
估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元） t 天 生猪体重w=80+rt 销售收入R=pw 出售 出售价格p=8-gt 资金投入C=4t
利润Q=R-C=pw-C Q(t)=(8-gt)(8+rt)-4t
求t 使Q(t)最大 t 4r40g210 rg
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元
许
缺
c3 1 T' T,Q' Q
货
3.2 生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80公斤重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每公斤8元，但是预测每天会降 低0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
模型建立
离散问题连续化
q
将贮存量表示为时间的函数q(t) Q
T=0时生产Q件,贮存量q(0)=Q, q(t)
r
以需求r的速度递减直到q(T)=0
A
Q rT (1 )
T
t
一周期贮存费用 c2 0Tq(t)dtc2Ac2Q 2 T
一周期总费用
Cc1c2Q 2 Tc1c2r2T2
每天总费用平均 值(目标函数)
敏感性分析
t 4r40g210 rg
研究r, g变化时对模型结果的影响. 估计r=2, g=0.1
设g=0.1不变 t 40r 60 r1.5 rt
t 对r 的（相对）敏感度 20
S(t,r)t t dtr r r drt
S(t,r) 60 3 40r60
15
10
5
0
r
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
一周期 缺货费
T
c3 T1 q(t)dtc3B
一周期 总费用
Cc1c2Q 21T c3r(T 2T1)2
每天总费用的平均值（目标函数）
C (T ,Q )C c 1 c 2 Q 2 c 3 (rT Q )2 T T 2 rT 2 rT
求 T,Q 使 C(T,Q ) Min
C 0, C 0 T Q
为与不允许缺货模型相比， T记作T′，Q记作Q′。
平均每天费用2550元
10天生产一次平均每天费用最小吗？
问题分析与思考 • 周期短，产量小 • 周期长，产量大
贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总 费用（准备费+贮存费）最小 • 这是一个优化问题，关键在于建立目标函数
显然不能用一个周期的费用作为目标函数
目标函数——每天总费用的平均值
C(T)Cc1c2rT (2) TT 2
模型求解 dC 0 dt
模型分析
求 T使 C(T)c1c2rT Min T2
T 2 c1 rc 2
Q rT 2rc1 c2
c1 T,Q c2 T,Q rT,Q
模型应用
回答 问题
c1=5000(元), c2=1(元/天·件), r=100(件/天) T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)。
•经济批量定货公式（EQQ公式） 用于定货、供应、存贮情形
每天的需求量为r，每次定货费为c1 ,每天每件贮存 费为c2 ， T天定货一次(周期为T)，每次定货Q件， 且当贮存量降到零时，Q件立即到货。
T 2 c1 rc 2
Q rT 2rc1 c2
不允许缺货的存贮模型
问：为什么不考虑生产费用？ 在什么条件下才不考虑？
• 每天生产一次, 每次 100件, 无贮存费, 准备费5000元， 故每天费用为5000元。
• 10天生产一次, 每次 1000件, 贮存费900+800++100 =4500，准备费5000元, 总计9500元。 平均每天费用950元
• 50天生产一次, 每次 5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500，准备费5000元, 总计127500元。
现已知某产品日需求量为100件，生产准备费5000 元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计 划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量 多少，使总费用最少。
要 不只是回答问题，而是要建立生产周期、产量 求 与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
问题分析 日需求量100件，生产准备费5000元， 与思考 贮存费每日每件1元
允许缺货的存贮模型
当贮存量下降到零时仍有需求r， 出现缺货，造成损失。
原模型假设：存贮量下降到零时, Q件产品立即生产出来(立即到货)
q
Q
r
A
Q rT
T1 BT
t
现假设: 允许缺货, 每天每件缺货损失费c3, 缺货需补足.
周期T, t=T1贮存量下降到零。
一周期
贮存费
c2
T1 0
q(t)dtc2A
生猪每天体重r 增加1%，出售时间推迟3%。
敏感性分析
t 4r40g210 rg
研究r,g变化时对模型结果的影响 估计g=0.1, r=2
•设r=2不变
t 3 20g g
0g1.5
t
t对g的（相对）敏感度 30
25
S(t,g) t/t dtg 百度文库/g dgt
20 15
10
S(t,g) 3 3 320g
模型假设
1、产品每天的需求量为常数r。 2、每次生产准备费为c1 ,每天每件产品的贮存费为c2 3、T天生产一次(周期为T)，每次生产Q件，且当贮
存量降到零时，Q件产品立即生产出来（生产时 间不记）。 4、为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
建模目的
设r，c1，c2已知，求T，Q，使每天总费用平均值最小
• 现实世界中普遍存在着优化问题 • 静态优化问题是指最优解是数(不是函数)
• 建立静态优化模型关键之一是根据建模 的目的确定恰当的目标函数
• 求解静态优化模型一般用微分法
3.1 存贮模型
问 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品是因 题 更换设备要付生产准备费，产品大于需求时因积
压资金要付贮存费，该厂的生产能力非常大，即 所需数量可在很短时间内产出。
T' 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q' 2c1r c3 c2 c2 c3
允许 缺货 模型
T' 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q' 2c1r c3 c2 c2 c3
不允 许缺
T
2 c1 rc 2
货模 型
Q
2 rc 1 c2
记 c2 c3
c3
T'T ,
Q'
Q
不
允
1 T ' T,Q ' Qc3
建模及求解
估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元） t 天 生猪体重w=80+rt 销售收入R=pw 出售 出售价格p=8-gt 资金投入C=4t
利润Q=R-C=pw-C Q(t)=(8-gt)(8+rt)-4t
求t 使Q(t)最大 t 4r40g210 rg
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元
许
缺
c3 1 T' T,Q' Q
货
3.2 生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80公斤重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每公斤8元，但是预测每天会降 低0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
模型建立
离散问题连续化
q
将贮存量表示为时间的函数q(t) Q
T=0时生产Q件,贮存量q(0)=Q, q(t)
r
以需求r的速度递减直到q(T)=0
A
Q rT (1 )
T
t
一周期贮存费用 c2 0Tq(t)dtc2Ac2Q 2 T
一周期总费用
Cc1c2Q 2 Tc1c2r2T2
每天总费用平均 值(目标函数)
敏感性分析
t 4r40g210 rg
研究r, g变化时对模型结果的影响. 估计r=2, g=0.1
设g=0.1不变 t 40r 60 r1.5 rt
t 对r 的（相对）敏感度 20
S(t,r)t t dtr r r drt
S(t,r) 60 3 40r60
15
10
5
0
r
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
一周期 缺货费
T
c3 T1 q(t)dtc3B
一周期 总费用
Cc1c2Q 21T c3r(T 2T1)2
每天总费用的平均值（目标函数）
C (T ,Q )C c 1 c 2 Q 2 c 3 (rT Q )2 T T 2 rT 2 rT
求 T,Q 使 C(T,Q ) Min
C 0, C 0 T Q
为与不允许缺货模型相比， T记作T′，Q记作Q′。
平均每天费用2550元
10天生产一次平均每天费用最小吗？
问题分析与思考 • 周期短，产量小 • 周期长，产量大
贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总 费用（准备费+贮存费）最小 • 这是一个优化问题，关键在于建立目标函数
显然不能用一个周期的费用作为目标函数
目标函数——每天总费用的平均值
C(T)Cc1c2rT (2) TT 2
模型求解 dC 0 dt
模型分析
求 T使 C(T)c1c2rT Min T2
T 2 c1 rc 2
Q rT 2rc1 c2
c1 T,Q c2 T,Q rT,Q
模型应用
回答 问题
c1=5000(元), c2=1(元/天·件), r=100(件/天) T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)。
•经济批量定货公式（EQQ公式） 用于定货、供应、存贮情形
每天的需求量为r，每次定货费为c1 ,每天每件贮存 费为c2 ， T天定货一次(周期为T)，每次定货Q件， 且当贮存量降到零时，Q件立即到货。
T 2 c1 rc 2
Q rT 2rc1 c2
不允许缺货的存贮模型
问：为什么不考虑生产费用？ 在什么条件下才不考虑？
• 每天生产一次, 每次 100件, 无贮存费, 准备费5000元， 故每天费用为5000元。
• 10天生产一次, 每次 1000件, 贮存费900+800++100 =4500，准备费5000元, 总计9500元。 平均每天费用950元
• 50天生产一次, 每次 5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500，准备费5000元, 总计127500元。
现已知某产品日需求量为100件，生产准备费5000 元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计 划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量 多少，使总费用最少。
要 不只是回答问题，而是要建立生产周期、产量 求 与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
问题分析 日需求量100件，生产准备费5000元， 与思考 贮存费每日每件1元
允许缺货的存贮模型
当贮存量下降到零时仍有需求r， 出现缺货，造成损失。
原模型假设：存贮量下降到零时, Q件产品立即生产出来(立即到货)
q
Q
r
A
Q rT
T1 BT
t
现假设: 允许缺货, 每天每件缺货损失费c3, 缺货需补足.
周期T, t=T1贮存量下降到零。
一周期
贮存费
c2
T1 0
q(t)dtc2A
生猪每天体重r 增加1%，出售时间推迟3%。
敏感性分析
t 4r40g210 rg
研究r,g变化时对模型结果的影响 估计g=0.1, r=2
•设r=2不变
t 3 20g g
0g1.5
t
t对g的（相对）敏感度 30
25
S(t,g) t/t dtg 百度文库/g dgt
20 15
10
S(t,g) 3 3 320g
模型假设
1、产品每天的需求量为常数r。 2、每次生产准备费为c1 ,每天每件产品的贮存费为c2 3、T天生产一次(周期为T)，每次生产Q件，且当贮
存量降到零时，Q件产品立即生产出来（生产时 间不记）。 4、为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
建模目的
设r，c1，c2已知，求T，Q，使每天总费用平均值最小