傅里叶变换

傅里叶变换：

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量；也就是说，傅里叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。

图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。

傅里叶变换的作用：

（1）图像增强与图像去噪

绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频—噪音；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强图像的边缘；

（2）图像分割之边缘检测

提取图像高频分量

（3）图像特征提取

形状特征：傅里叶描述子

纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征

其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换使特征具有平移，伸缩、旋转不变形

（4）图像压缩

可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅里叶变换的实变换。

频域中的重要概念：

图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪音更多是两者的混合；

低频分量：图像变换平缓部分，也就是图像轮廓信息

高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过

低通滤波器：

带通滤波器：使图像在某一部分的频率信息通过，其他过低或过高的都抑制。

模板运算与卷积公式：

在时域内做模板运算，实际上就是对图像进行卷积。模板运算是图像处理一个很重要的处理过程，很多图像处理过程中，比如增强/去噪，边缘检测中普遍用到。根据卷积定理，时域卷积等价于频域乘积。因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。

比如说一个均值模板，其频域响应为一个低通滤波器；在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应做一个低通滤波。

为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单。因为正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波德形状仍是一样的，且只有正弦曲线才拥有这样的性质，挣因如此我们才不用方波或三角波来表示。

傅里叶变换分类：

傅里叶原理表明:任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无线叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该算法从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独变换的正弦比信号转换成一个信号。因此，可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频谱信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

从现在数学的眼光看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅里叶变换：

（1）傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子。

（2）傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常相似

（3）正弦基函数是微分运算的本证函数，从而使得线性微分方程的求解可以转换为常系数的代数方程的求解，在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于

（4）著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

（5）离散形式的傅里叶变换可以利用计算机快速的算出。

傅里叶变换是图像处理中最长用的变换，它是进行图像处理和分析的有力工具。

图像傅里叶变换的物理意义：

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。从纯粹的数学意义上看，傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号分解后有助于处理。

我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但它确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。

傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅里叶变换很容易得到信号的频率域特性。

傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要震动频率特点。

傅里叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上个点，则图像可由z=f（x，y）来表示，由于空间是三维的，图像是二维的，因此