对策问题之必胜策略讲解学习

对策问题之必胜策略

对策问题之必胜策略

知识点总结：一取余制胜（取棋子，报数游戏） 1．每次取 1~n 个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成 1+n 即可无余则后，总与对手凑成 1+n 即可 2. 每次取 1~n 个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。问题转化为：每次取 1~n 个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。（总数-1）÷（1+n），之后同 1 中做法。二．抢占制胜点（倒推法） 1. 能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位 2. 处处为别人着想。自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。三．对称法 1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。 2. 不同等情况下，创造对等局面方可制胜。

1. 桌子上放着 100 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1～5 根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：100÷（1+5）=16……4 有余数，先拿必胜，甲必胜。（1）甲先拿 4 个；（2）乙拿 a 个，甲就拿 6-a 个

2. 甲乙两人轮流报数，报出的数只能是 1～7 的自然数。同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到 80，谁就获胜。请问必胜的策略是什么？分析： 80÷（1+7）=10 无余数，后拿必胜。甲拿 a 个，乙就拿 8-a 个必胜

3. 1000 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动 1～7 格。规定将棋子移到最后一格者谁赢。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析：（1000-1）÷（1+7）=124……7 有余，先走必胜。（1）甲先走 7 格（2）乙走 a 格，甲就拿 8-a 个必胜

4. 5 张扑克牌，每人每次只能拿 1 张到 4 张。谁取最后一张谁输。必胜的策略是什么？分析：先拿 4 张，留给别人 1 张就行。

5. 现有 1000 根火柴，甲乙两人轮流去拿，每人每次最少拿 1 根，最多拿 7 根，谁取最后一根谁输。试问：先拿获胜，还是后那获胜? 怎么拿法？分析：（1000-1）÷（1+7）=124……7 有余数，先拿必胜。（1）甲先拿 7 个；（2）乙拿 a 个，甲就拿 8-a 个

6. 有两堆火柴，每堆都有 36 根。两人轮流从两对里的其中一堆里拿，拿的根数不限。谁拿到最后的部分谁获胜。那么谁将必胜？获胜的策略是什么？分析：后拿者必胜先拿的人从一堆中拿几根，后拿的人就从另外一堆中拿几根

7. 有两堆火柴，其中一堆都有 25 根，另一堆有 38 根火柴。两人轮流从两对里的其中一堆里拿，拿的根数不限。谁拿到最后的部分谁获胜。那么谁将必胜？获胜的策略是什么？分析：先拿者必胜甲先从 38 根的一堆中拿出 13 根，留给对方相同的两堆火柴。接着乙从一堆中拿几根，甲就从另外一堆中拿几根。

8. 桌上有 30 根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取 1～3 根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？答：（30÷4=7…..2,先取 2 根，与对手凑 4 即可）

9. 甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报 1～4 个数，谁报到第 888 个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？答：（甲胜。甲先报 3 个数，以后每次与乙合报 5 个数即可获胜。）

10. 1111 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动 1～7 格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？答：（1111-1）÷（1＋7）＝138……6，所以甲第一步必须移 5 格，还剩下 1105 格，1105 是 8 的倍数加 1。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是 8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是 8 的倍数加 1。

11. （1）有两对火柴，每堆都有 97 根。两人轮流从两对里的其中一堆里拿，拿的根数不限。谁拿到最后的部分谁获胜。那么谁将必胜？获胜的策略是什么？（2）分别装有 63,108 个球的

两个箱子，两人轮流从任一箱中取球，取得球数不限。规定取得最后球者胜，谁有必胜的策略？怎么获胜？答：（1）后拿必胜。策略是先拿的人从一堆中拿几根，后拿的人就从另外一堆中拿几根。（2）先拿必胜。策略是后拿的人从 108 个球中拿走 45 个球，留给对方相同的两堆球。接下来策略同上。

12. 黑板上写着一排相连的自然数 1，2，3，…，51。甲、乙两人轮流划掉连续的 3 个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？答：甲先划，把中间 25，26，27 这三个数划去，就将 1 到 51 这 51 个数分成了两组，每组有 24 个数。这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划。因此，若甲先划，且按上述策略去进行，则甲必能获胜。

13. 在纸上写有一行或若干行“—” 号，甲乙两人轮流将其中一个或相邻的两个“—” 号改成“+”号，谁能修改到最后一个“—”号，谁就获胜。如果开始时：（1）有 11 个“—”号（2）有 10 个“—”号规定甲先修改，请问谁有必胜的策略。

答：（1）甲必胜。甲先将最中间的一个—变成+，以后乙在哪里改成+，甲在对称的位置改成+即可。（2）甲必胜。甲先将最中间的两个—变成+，以后乙在哪里改成+，甲在对称的位置改成+即可。