(含答案)交变电流的“四值”的比较与理解

交变电流的“四值”的比较与理解
一、基础知识
（一）正弦交变电流的函数表达式、峰值和有效值 1、周期和频率
(1)周期(T )：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T ＝2πω
.
(2)频率(f )：交变电流在1 s 内完成周期性变化的次数．单位是赫兹(Hz)． (3)周期和频率的关系：T ＝1f 或f ＝1
T
.
2、正弦式交变电流的函数表达式(线圈在中性面位置开始计时)
(1)电动势e 随时间变化的规律：e ＝E m sin_ωt .
(2)负载两端的电压u 随时间变化的规律：u ＝U m sin_ωt .
(3)电流i 随时间变化的规律：i ＝I m sin_ωt .其中ω等于线圈转动的角速度，E m ＝nBSω. 3、交变电流的瞬时值、峰值、有效值
(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数．
(2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值，也叫最大值．
(3)有效值：跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效值．对正弦交流电，其有效值和峰值的关系为：E ＝
E m 2，U ＝U m 2，I ＝I m
2
. (4)平均值：是交变电流图象中波形与横轴所围面积跟时间的比值．
说明：交流电有效值的求解
有效值是交流电中最重要的物理量，必须会求解，特别是正弦交流电的有效值，应记
住公式．求交变电流有效值的方法有： (1)利用I ＝
I m 2，U ＝U m 2，E ＝E m
2
计算，只适用于正(余)弦式交流电． (2)非正弦式交流电有效值的求解根据电流的热效应进行计算，其中，交变电流的有效值是根据电流通过电阻时产生的热效应定义的，即让交变电流和直流电流通过相同的电阻，在相同的时间里若产生的热量相同，则交变电流(电压)的有效值就等于这个直流电流(电压)的值，即求解交变电流有效值问题必须在相同电阻、相同时间、相同热量的“三同”原则下求解．
（二）交变电流的“四值”的比较与理解
1、交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
2、交变电流瞬时值表达式的求法
(1)先求电动势的最大值E m ＝nBSω； (2)求出角速度ω，ω＝2π
T
；
(3)明确从哪一位置开始计时，从而确定是正弦函数还是余弦函数； (4)写出瞬时值的表达式．
补充说明：书写交变电流瞬时值表达式的基本思路
1、确定正弦交变电流的峰值，根据已知图象读出或由公式E m ＝nBSω求出相应峰值．
2、明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式．如：
(1)线圈从中性面位置开始转动，则i －t 图象为正弦函数图象，函数式为i ＝I m sin ωt . (2)线圈从垂直中性面位置开始转动，则i －t 图象为余弦函数图象，函数式为i ＝I m cos ωt . 二、练习
1、小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间呈正弦函数关系，如图所示．此线圈与一个R ＝10 Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻，下列说法正确的是
( )
A ．交变电流的周期为0.125 s
B ．交变电流的频率为8 Hz
C ．交变电流的有效值为 2 A
D ．交变电流的最大值为4 A 答案 C
解析 由题图可知，交变电流的周期为0.250 s ，频率为4 Hz ，交变电流的最大值为2010 A
＝2 A ，有效值为
2
2
A ＝ 2 A ，所以应选C. 2、(2012·广东理综·19)某小型发电机产生的交变电动势为e ＝50sin 100πt (V)．对此电动势，
下列表述正确的有
( )
A ．最大值是50 2 V
B ．频率是100 Hz
C ．有效值是25 2 V
D ．周期是0.02 s
答案 CD
解析 交变电动势e ＝E m sin ωt 或e ＝E m cos ωt ，其中E m 为电动势的最大值，ω为角速度，有效值E ＝
E m 2，周期T ＝2πω，频率f ＝1T .由e ＝50sin 100πt (V)知，E m ＝50 V ，E ＝50
2
V ＝25 2 V ，T ＝2πω＝2π100π s ＝0.02 s ，f ＝1T ＝1
0.02 Hz ＝50 Hz ，所以选项C 、D 正确．
3、如图所示，图线a 是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生正弦交流电的图象，当调整线圈转速后，所产生正弦交流电的图象如图线b 所示，以下关于这两个正弦交流电的说法正确
的是 ( )
A ．在图中t ＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零
B ．线圈先后两次转速之比
为3∶2
C ．交流电a 的瞬时值表达式为u ＝10sin 5πt (V)
D ．交流电b 的最大值为5 V 答案 BC
解析 t ＝0时刻穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，故电压为零，A 错．读图得两次周期之比为2∶3，由转速n ＝ω2π＝1
T 得转速与周期成反比，故B 正确．读图得
a 的最大值为10 V ，ω＝5π rad/s ，由交流电感应电动势的瞬时值表达式e ＝E m sin ωt (V)(从线圈在中性面位置开始计时)得，u ＝10sin 5πt (V)，故C 正确．交流电的最大值E m ＝nBSω，所以根据两次转速的比值可得，交流电
b 的最大值为23×10 V ＝20
3 V ，故D
错．
4、一理想变压器原、副线圈匝数比n 1∶n 2＝11∶5，原线圈与正弦交变电源连接，输入电压
u 如图所示．副线圈仅接入一个10 Ω的电阻．则 ( )
A ．流过电阻的电流是20 A
B ．与电阻并联的电压表的示数是100 2 V
C ．经过1分钟电阻发出的热量是6×103 J
D ．变压器的输入功率是1×103 W
解析 原线圈中电压的有效值是220 V ．由变压比知副线圈中电压为100 V ，流过电阻的电流是10 A ；与电阻并联的电压表的示数是100 V ；经过1 分钟电阻发出的热量是6×104 J ；P 入＝P 出＝U 22R ＝1002
10
V ＝1×103 W ．只有D 项正确． 答案 D
5、一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图所示．由图可知
( )
A ．该交流电的电压瞬时值的表达式为u ＝100sin (25t ) V
B ．该交流电的频率为25 Hz
C ．该交流电的电压的有效值为100 2 V
D ．若将该交流电压加在阻值为R ＝100 Ω的电阻两端， 则电阻消耗的功率是50 W 答案 BD
解析 从题图中可知，交流电周期T ＝4×10－2 s ，峰值电压U m ＝100 V ，故交流电的频
率f ＝1T ＝25 Hz ，有效值U ＝U m
2＝50 2 V ．将该交流电压加在R ＝100 Ω的电阻两端时，
电阻消耗的热功率P ＝U 2R ＝50 W ，电压的瞬时值表达式u ＝U m sin 2πT t ＝100sin (50πt ) V ，
故正确选项为B 、D.
6、一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图甲所示．电路组成如图乙所示，已知发电机线圈内阻为5.0 Ω，外接灯泡阻值为95.0 Ω，灯泡正常发光，则( )
A ．电压表的示数为220 V
B ．电路中的电流方向每秒钟改变50次
C ．灯泡消耗的功率为509 W
D ．发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2 J 答案 D
解析 电压表的示数应为有效值，U ＝U m 2·R
R ＋r ＝209 V ，A 项错；电路中的电流方向
每秒钟改变100次，B 项错；P 灯＝U 2
R ＝459.8 W ，C 项错；发电机线圈内阻的发热功率
为P ′＝I 2r ＝(U
R
)2r ＝24.2 W ，每秒生热24.2 J ，D 项对．
7、在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图甲所示，金属线
框的总电阻为R ，金属线框产生的交变电动势的图象如图乙所示，则
( )
甲 乙 A ．t ＝0.005 s 时线框的磁通量变化率为零 B ．t ＝0.01 s 时线框平面与中性面重合 C ．线框中产生的电功率为P ＝3112
2R
D ．线框中产生的交变电动势频率为50 Hz
答案 BCD
解析 由题图乙可知在0.005 s 时，电动势最大，那么线框的磁通量的变化率应为最大，A 项错．在0.01 s 时，e ＝0，线框位于中性面位置，线框中的电功率为P ＝U 2R ＝(U m 2)2/R ＝3112
2R ，
B 、
C 项正确；e 的频率f ＝1T ＝1
0.02
Hz ＝50 Hz ，D 项正确．
有效值的计算（8——11题）
8、(2012·北京理综·15)一个小型电热器若接在输出电压为10 V 的直流电源上，消耗电功率
为P ；若把它接在某个正弦式交流电源上，其消耗的电功率为P
2.如果电热器电阻不变，
则此交流电源输出电压的最大值为
( )
A ．5 V
B ．5 2 V
C ．10 V
D ．10 2 V
答案 C
解析 根据P ＝U 2R ，对直流电有P ＝102R ，对正弦式交流电有P 2＝U ′2
R ，所以正弦式交流
电的有效值为U ′＝
PR 2＝10
2
V ，故交流电源输出电压的最大值U m ′＝2U ′＝10 V ，故选项C 正确，选项A 、B 、D 错误．
9、电阻R 1、R 2与交流电源按照如图甲所示方式连接，R 1＝10 Ω、R 2＝20 Ω.合上开关S 后，
通过电阻R 2的正弦交变电流i 随时间t 变化的情况如图乙所示．则( )
A ．通过R 1的电流的有效值是1.2 A
B ．R 1两端的电压有效值是6 V
C ．通过R 2的电流的有效值是1.2 2 A
D ．R 2两端的电压有效值是6 2 V 答案 B
解析 由题图知流过R 2交流电电流的最大值I 2m ＝0.6 2 A ，有效值I 2＝
I 2m
2
＝0.6 A ，故选项C 错误；由U 2m ＝I 2m R 2＝12 2 V 知，U 2＝12 V ，选项D 错误；因串联电路电流处
处相同，则I 1m ＝0.6 2 A ，电流的有效值I 1＝I 1m
2
＝0.6 A ，故选项A 错误；由U 1＝I 1R 1＝6 V ，故选项B 正确．
10、如图所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波的交变电流与时间的变化关系．若使
这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，则经过1 min 的时间，两电阻消耗的电功之比W 甲∶W 乙为
( )
A ．1∶ 2
B ．1∶2
C ．1∶3
D ．1∶6
解析 电功的计算中，I 要用有效值计算，图甲中，由有效值的定义得(
12
)2
R ×2×10－2＋0＋(
12
)2R ×2×10－2＝I 21R ×6×10－2，得I 1＝33 A ；图乙中，I 的值不变，I 2＝1 A ，由W ＝UIt ＝I 2Rt 可以得到W 甲∶W 乙＝1∶3. 答案 C
11、如图甲所示，为一种调光台灯电路示意图，它通过双向可控硅电子器件实现了无级调节亮度．给该台灯接220 V 的正弦交流电后加在灯管两端的电压如图乙所示，则此时交流电压表的示数为
( )
A ．220 V
B ．110 V
C.220
2
V
D.1102
V
答案 B
解析 本题考查电压的有效值的计算．设电压的有效值为U ，根据有效值定义有⎝⎛⎭⎫22022R
·T
2
＝U 2
R T ，解得U ＝110 V ，则B 项正确．
12、如图所示，线圈abcd 的面积是0.05 m 2，共100匝，线圈电阻为1 Ω，外接电阻R ＝9 Ω，
匀强磁场的磁感应强度B ＝1
π
T ，当线圈以300 r/min 的转速匀速旋转时．问：
(1)若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式； (2)线圈转过1
30
s 时电动势的瞬时值多大？
(3)电路中，电压表和电流表的示数各是多少？
(4)从中性面开始计时，经1
30 s 通过电阻R 的电荷量是多少？
解析 (1)e ＝E m sin ωt ＝nBS ·2πf sin (2πft ) ＝100×1π×0.05×2π×30060sin (2π×300
60t ) V
＝50sin 10πt V
(2)当t ＝130 s 时，e ＝50sin (10π×1
30) V ≈43.3 V .
(3)电动势的有效值为E ＝
E m 2＝50
2
V ≈35.4 V ， 电流表示数I ＝E R ＋r ＝35.4
9＋1 A ＝3.54 A ，
电压表示数U ＝IR ＝3.54×9 V ＝31.86 V.
(4)130 s 内线圈转过的角度θ＝ωt ＝30060×2π×130＝π3. 该过程中，ΔΦ＝BS －BS cos θ＝1
2BS ，
由I ＝q Δt ，I ＝E R ＋r
，E ＝n ΔΦ
Δt
得q ＝n ΔΦR ＋r ＝nBS 2(R ＋r )＝100×1
π×0.05
2×(9＋1) C ＝1
4π C.
答案 (1)e ＝50sin 10πt V (2)43.3 V (3)31.86 V 3.54 A (4)1
4π
C
13、(2011·四川理综·20)如图所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周期为T ，转轴O 1O 2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω.从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为1 A ．那么( )
A ．线圈消耗的电功率为4 W
B ．线圈中感应电流的有效值为2 A
C ．任意时刻线圈中的感应电动势为e ＝4cos
2πT
t D ．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝T πsin 2π
T t
答案 AC
解析 从线圈平面平行于磁感线开始计时，交变电流的感应电动势的表达式为e ＝ E m cos ωt ，则感应电流i ＝e R ＝E m R cos θ，由题给条件有：1＝E m 2×1
2，解得E m ＝4 V ，则
I m ＝2 A ，I 有效＝ 2 A ，线圈消耗的电功率P ＝I 2有效R ＝4 W ，所以A 正确，B 错误．e ＝
4cos ωt ＝4cos
2πT t ，故C 正确．由E m ＝BSω＝Φm 2πT 得Φm ＝2T
π
，故任意时刻Φ＝ 2T πsin 2π
T
t ，故D 错误． 14、如图所示，垂直于纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场以虚线为界，
虚线左侧磁场范围足够大，单匝矩形线圈中的轴线与磁场边界重合，线圈以恒定的角速度ω绕中轴线转动，线圈所围面积为S ，线圈导线的总电阻为R .t ＝0时刻线圈平面与纸面重合，以下说法正确的是( ) A ．时刻t 线圈中电流的瞬时值i ＝BSωR cos ωt
B ．线圈中电流的有效值I ＝2BSω
4R
C ．线圈中电流的有效值I ＝
2BSω
2R
D ．线圈消耗的电功率P ＝(BSω)2
R
答案 B
解析 电动势的最大值应为E m ＝
BSω2，t ＝0时，e ＝0，因此瞬时值表达式应为e ＝1
2
BSω sin ωt ，i ＝BSω2R sin ωt ，A 项错；电流的有效值I ＝I m 2＝2BSω
4R ，B 项正确，C 项错误；
线圈消耗的电功率应为
P ＝I 2R ＝
(BSω)2
8R
，D 项错，因此正确选项为B. 15、如图所示，矩形线圈abcd 绕轴OO ′匀速转动产生交流电，在图示位置开始计时，则下列说法正确的是
( )
A ．t ＝0时穿过线圈的磁通量最大，产生的感应电流最大
B ．t ＝T
4(T 为周期)时感应电流沿abcda 方向
C ．若转速增大为
原来的2倍，则交变电流的频率是原来的2倍
D ．若转速增大为原来的2倍，则产生的电流有效值为原来的4倍 答案 BC
解析 图示时刻，ab 、cd 边切割磁感线的有效速率为零，产生的感应电动势为零，A 错
误；根据线圈的转动方向，确定T
4时线圈的位置，用右手定则可以确定线圈中的感应电
流方向沿abcda 方向，B 正确；根据转速和频率的定义可知C 正确；根据ω＝2πf ，E m ＝nBSω，E ＝
E m 2，I ＝E
R 总
可知电流有效值变为原来的2倍，D 错误． 16、如图，交流发电机的矩形线圈边长ab ＝cd ＝0.4 m ，ad ＝bc ＝0.2 m ，线圈匝数N ＝100，电阻r ＝1 Ω，线圈在磁感应强度B ＝0.2 T 的匀强磁场中绕垂直于磁场的轴以ω＝100π rad/s 的角速度匀速转动，外接电阻R ＝9 Ω，以图示时刻开始计时，则
( )
A ．电动势瞬时值为160πsin (100πt ) V
B ．t ＝0时线圈中磁通量变化率最大
C ．t ＝1
2 s 时线圈中感应电动势最大
D ．交变电流的有效值是82π A 答案 BCD
解析 图示时刻线圈平面垂直于中性面，电动势的瞬时值e ＝NBSωcos ωt ＝100×0.2×(0.4×0.2)×100πcos (100πt ) V ＝160πcos (100πt ) V ，A 错误．图示时刻即t ＝0时，Φ＝0，但ΔΦΔt 最大，B 正确．t ＝1
2 s 时，e ＝E m ，C 正确，交变电流的有效值是82
π A ，D 正确．
17、如图所示，矩形线圈面积为S ，匝数为N ，线圈电阻为r ，在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕OO ′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R ，当线圈由图示位置转过60°的过程中，下列判断正确的是
( )
A ．电压表的读数为
NBSωR
2(R ＋r )
B ．通过电阻R 的电荷量为q ＝
NBS
2(R ＋r )
11 C ．电阻R 所产生的焦耳热为Q ＝N 2B 2S 2ωR π4(R ＋r )2 D ．当线圈由图示位置转过
60°时的电流为NBSω2(R ＋r )
答案 AB
解析 线圈在磁场中转动产生了正弦交流电，其电动势的最大值E m ＝NBSω，电动势的
有效值E ＝NBSω2，电压表的读数等于交流电源路端电压，且为有效值，则U ＝NBSω2(R ＋r )
R ，A 正确；求通过电阻R 的电荷量要用交流电的平均电流，则q ＝I Δt ＝N ΔΦR ＋r ＝N (BS －12BS )R ＋r
＝NBS 2(R ＋r )
，故B 正确；电阻R 上产生的热量应该用有效值来计算，则电阻R 产生的热量Q ＝I 2Rt ＝[NBSω2(R ＋r )]2R ·π
3ω＝πN 2B 2S 2Rω6(R ＋r )2
，故C 错误；线圈由图示位置转过60°时的电流为瞬时值，则i ＝NBSωR ＋r sin ωt ＝NBSωR ＋r sin π3＝3NBSω2(R ＋r )
，故D 错误 18、如图所示，一个半径为r 的半圆形线圈，以直径ab 为轴匀速转动，转
速为n ，ab 的左侧有垂直于纸面向里(与ab 垂直)的匀强磁场，磁感应强
度为B .M 和N 是两个集流环，负载电阻为R ，线圈、电流表和连接导线
的电阻不计，求：
(1)感应电动势的最大值；
(2)从图示位置起转过1/4转的时间内负载电阻R 上产生的热量；
(3)从图示位置起转过1/4转的时间内通过负载电阻R 的电荷量；
(4)电流表的示数．
答案 (1)π2Bnr 2 (2)π4B 2r 4n 8R (3)πBr 22R (4)π2r 2nB 2R 解析 (1)
线圈绕轴匀速转动时，在电路中产生如图所示的交变电流．
此交变电动势的最大值为。