第五章相似理论与因次分析

1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4 将上述表达式写成量纲形式
[1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0 [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0 [4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0 求解方程（1） M: 1=0
T: 1=0
L: -3 1+ 1+1+1=0 → 1= -1 所以 1=l/d 求解方程（2） M: 2=0
T: 2=0
L: 1-3 2+ 2+2=0 → 2= -1 所以 2= /d
（1） （2） （3）
(4）
求解方程（3） M: 1+3=0 → 3= -1 T: -1-3=0 → 3= -1 L: -1-3 3+ 3+3=0 → 3= -1
§10.2 相似准数
1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随 时间变化的情况
2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的 影响程度
3 Euler 相似准数 Eu=p/v2 表示压力和惯性力的比值
所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有如 下关系式： xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt m=pk m=pk pm=ppkp fm=fpkf
将上述关系式带进方程（1）中，这时的方程应该和方程
（2）相同，因此得到
(1) v tx m m v x m v x x m m v y m v y x m m v z m v z x m m fx m 1 p x m m m v xm
(2) v tx p pv x p v x x p pv y p v y x p pv z p v z x pp fx p1 p x p pp v xp
p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re) p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re) 令= F2( /d, 1/Re)
p/= (l/d)(v2/2g) 这就是达西公式， 为沿程阻力系数，表示了等直圆管 中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成 正比，与管径成反比。
总之，根据流动的性质来选取决定性相似准数
决定性相似准数的定义： 对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否 满足了主要动力相似。
只要满足了决定性相似准数相等后，就满足 了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。 （注意：对于Eu准数而言，在其他相似准数作为
决定性相似准数满足相等时， Eu准数同时可 以满足）
解： 所求解问题的原隐函数关系式为
f(p, d, l, , , , v)=0
有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、 T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个 无量纲量的函数关系式
F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而
其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
从该例题看出，利用定理，可以在仅知与物理过 程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的 基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带 有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分 析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此， 量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。
Fp=Fm/kF=1000/1=1000N
§10.4 因次分析法
一 因次分析的基本概念 二 因次和谐性原理 三 布金汉（Buckingham）定理
一 因次分析的基本概念
1 因次 是物理量的单位种类，又称量刚，如长度、宽度、高
度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位 来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲 （长度量纲），用L表示。 2 基本因次 导出因次
所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1
T: -2-4=0 → 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为
F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式 可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么
综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原 型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如 果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所 有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就 能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着各比 例系数均等于1，这实际上意味着模型流动和原型流动 各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相 等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际 上办不到，我们寻求的是主要动力相似。
基本因次是具有独立性的因次，在流体力学领域中有 三个基本因次：长度因次L 时间因次T 质量因次M
导出因次由基本因次组合表示用，[ ]表如示物理量的 加速度的因次 [a]=LT-2 力的量纲因，次用（[F）]表=[ma]=MLT-2
示物理量的单位
任何物理量B的因次可写成 [B]=MLT
3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本
的单位是m2/s q的单位是m3/t
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上同名力矢成 同 也一可比写例成。k F 引 k 入m k a 力 ( 比k k 例l3 )k 系l( k t数 2 ) k kk Fl2 k v 2 FFmp C
力学物理量的比例系数可以表示为密度、
尺度、速度比例系数的不同组合形式，如：
4 Renolds 相似准数 Re=vl/= vl/ 表示惯性力和粘性力之比
5 Mach 相似准数 Ma=v/c 表示弹性力和惯性力之比，c为声速，反映了流动的压 缩程度
描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程， 两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面 是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程 在x方向上的分量形式:
§10.3 模型率
1 模型流动设计
设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，原 则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似。具 体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性相似准 数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及实验 时所采用的流体是否与原型流动中的流体相同且是否 同一温度等因素。
2 数据换算
从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到原型 流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中已确定 的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其他一 些比例系数，这样，原型流动中所要获得的数据就等 于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。
例1 有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶，设计时速 v=108km/h，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在 公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全 尺寸风洞(kl=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与轿 车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风 洞实验段内的气流速度应安排多大？
（3） kv
kt
kv2 kl
kg
kp kkl
kkv kl2
从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、
质量力、压力和摩擦力，（3）式表示模型流动和原型流
动的力多边形相似。
用（3）中的位变惯性力项除全式，得到
kl 1klkg kp （k4）
ktkv
kv2 kk2 v klkv
（4）式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比 例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相 似准则
理方程表示时，方程中每项的因次应该是和谐的、一致
的、齐次的。
一个正确的物理方程，式中的每项的因次应该一样，
以能量方程为例
z p v2 C
g 2g
方程左边各项的因次从左到右依次为
L、
ML1T2 ML3LT2
L
L2T 2 LT 2
L
三 布金汉（Buckingham）定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为 函数关系，
第五章相似理论与因次分析
§10.1 力学相似性原理 §10.2 相似准数 §10.3 模型率 §10.4 因次分析法
二 运动相似（时间相似）
定义：两流动的对应点上的流体速度矢
成同一比例。
引入速度比例系数 kv
由于
vm lm/tm
ຫໍສະໝຸດ Baidu
vp lp /tp
vm vp
C
因此
kv
lm lp
tm tp
kl kt
量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种 关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本
因次个数，所取定的基本量必须包括三个基本因 次在内， 这就是选取基本量的原则。
如、v 、l可以构成一组基本量，包含了L 、M 、T 这三个基本量纲，而a 、v 、l就不能构成基本量，因为不 包含基本因次M
要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解 决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用 的流动，选用Froude准数为主要相似准数（决定性相 似准数），满足Frm=Frp ，此外 管道流动，流体机械中的流动 ：Rem=Rep，Re数为决 定性相似准数
非定常流动：Srm=Srp，Sr数为决定性相似准数 可压缩流动：Mam=Map，Ma数为决定性相似准数
4 无因次量 指该物理量的因次为1，用L0M0T0表示，实际是一个
数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的 综合物理量，如前面讲过的相似准数
[Re]vl LL2TT 11L1
[S]rvl t LTL 1T1
二 因次和谐性原理
因次和谐性原理又被称为因次一致性原理，也叫因次
齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物
f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本因次，可把这n个变量转换成为 有(n-m)=i个无因次量的函数关系式
F(1,2, … n-m)=0 这样可以表达出物理方程的明确的因次关系，并把方程 中的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或 物理现象的内在关系。
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流 动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗 糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断 面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。
kt
tm tp
运动相似建立在几何相似基础上，那么 运动相似只需确定时间比例系数 k 就t 可以 了。运动相似也就被称之为时间相似。
运动学物理量的比例系数都可以表示为尺 度比例系数和时间比例系数的不同组合形 式。
如：kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kq=kl3kt-1
解： 首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选取 Re作为决定性相似准数，Rem=Rep，即kvkl/k=1，
再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互约 束关系，这里k=1，所以 kv=kl-1，由于kl=lm/lp=2/3， 那么kv=vm/vp=1/kl=3/2
最后得到风洞实验段内的气流速度应该是
vm=vpkv=108×3/2=162km/h=45m/s
例2 在例1中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在 风洞实验段中的风速为45m/s时，空气阻力为1000N， 问：此轿车以108km/h的速度在公路上行驶时，所受 的空气阻力有多大？
解：在设计模型时，定下
k=1 kl=2/3 kv=3/2 在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数 k=1，那么力比例系数 kF= k kl2 kv2=1×(2/3)2×(3/2)2=1 因此，该轿车在公路上以108km/h的速度行驶所遇 到的空气阻力
力矩M 压强p kMF Flm lp kkl3kv2
kp
pm pp
kF kA
kkv2
功率NkNkM kt1k 动kl力2kv3 粘度
k kklkv
综上所述，要使模型流动和原型流动相 似，需要两者在时空相似的条件下受力相 似。
动力相似（受力相似）用相似准则（相 似准数）的形式来表示，即：要使模型流 动和原型流动动力相似，需要这两个流动 在时空相似的条件下各相似准则都相等。