圆的一般方程(北师大必修)

展开圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
不妨设：D＝－2a、E＝－2b、F＝a2+b2-r2
即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）
可见任何圆的方程都可以写成（1）式，
将（1）配方得（x D )2 ( y E )2 D2 E 2 4F (2)
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
D 6,
E
8，
F 0.
所求圆的方程为： x2 y2 6x 8y 0
若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的 一般方程用待定系数法求解.
小结
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
求光线l 所在直线的方程.
A(-3，3) •
C(2, 2) (1) 入射光线及反射光线与
•
x轴夹角相等.
(2)点P关于x轴的对称点Q在 反射光线所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于
• B(-3，-3)
圆的半径. 答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0
也就是点M属于集合 {M | | OM | 1}
| AM | 2
y
由两点间的距离公式，得
M
x2 y2
1
( x 3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A线(的3，方0程)距，离并的画比出为曲12线的。点的轨迹，求此曲
(1)x2 y2 4x 6 y 4 0
(x 2)2 ( y 3)2 9
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2)x2 y2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0 x 2, y 3
表示点（2，3）
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
(x 2)2 ( y 3)2 2 不表示任何图形
圆心 (2, －4) ，半径 2. ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
(2)圆心为(1, 2),半径为 11的圆.
(3)当a,b不同时为0时，圆心为(a, 0),半径为 a2 b2的圆 .当a, b同时为0时，表示一个点。
练习：求过点A(5, 1),圆心为(8, 3)的圆的方程， 并化一般方程。
设圆的方程为 (x 8)2 ( y 3)2 r 2
把点(5,1)代入得r2 13,
2
2
4
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
r
D2 E2 4F 2
（2）当
D2 E2 4F 0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
例2. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 1 的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线 2
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
(x 8)2 ( y 3)2 13
故圆的一般方程为x2 y2 16x 6 y 60 0
若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单.
练习：求过三点 A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 . 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
两种方程的字母间的关系：
(x-a)2+(y-b)2 =r2
（x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
形式特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0
（2）没有xy这样的项。
练习1:下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0 __原__点_(_0,_0_) (2)x2 y2 2x 4y 6 0____ (3)x2 y2 2ax b2 0________
第二章 解析几何初步 2.2.2
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
wenku.baidu.com
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆的一般方程
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2)x2 y2 2x 4 y 6 0
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 1
不是圆
x2 y2 Dx Ey F 0
不一定是圆
练习
判断下列方程是不是表示圆
y
M.
.
（-1，0） O
.
A(3,0)
x
[简单的思考与应用]
(1)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的圆心坐标为
(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
(D)
(A)4,6,3 (B) 4,6,3 (C) 4,6,3 (D)4,6,3
(2) x2 y2 2ax y a 0 是圆的方程的充要条件是
( A)a 1 2
(B)a 1 (C)a 1
2
2
(D)a 1 2
(D)
x (3)圆 x2 y2 8x 10y F 0 与 轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是 ( A)
( A)6
(B)5
(C )4
( D )3
例题. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，