椭圆的标准方程和性质上19页PPT
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《椭圆及其标准方程》课件
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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册
F1(0,-c)、F2(0,c)
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆及其标准方程ppt课件
课后作业
1.必做题：P51 练习4,5.
2.选做题：求与圆(x 2)2 y2 1 外切，且与圆 (x 2)2 y2 49 内切的动圆圆心的轨迹方程 3.思考题：Ax2 By 2 1什么时候表示椭圆？焦 点在哪个轴？
椭圆光学性质欣赏及探索
感谢大家的指导 谢谢
椭圆及其标准方程
01
圆锥曲线
现场演示观察
用一个圆锥形杯子，往杯子里倒入有色的 液体，然后倾斜杯子，请观察液体的水平 面是什么形状？
圆锥曲线
用一个平面去截圆锥面，当圆锥的 轴与截面所成的角不同时，可以得到不 同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、 抛物线和双曲线，我们这些曲线统称为 圆锥曲线.
生活中的椭圆
实例（-2，0）,（2，0),
，并且 并解由2所解由2所解由2所aaa：=：=椭以椭以且：=椭以经由由圆圆由圆bb((经b(552222522于于的的过 于的===过aa椭椭定定22a椭定222))2－－)点 22点－圆圆义义2圆义ccc的的知知((22的知(2===(焦焦2323焦cc236652c6))==..)=22点点.2点222,，，，在在在(((2355xx225x2轴轴)轴222， 上上))上)22求2，，，(((椭可可可232323设设))圆设)222其其其的22标标2标标11准准1准000，，方方准，方程程程方解解解为为为得得程得aaxxax2222aa.22a===
图形
标准方程 x2 y2 = 1(a>b>0)
a2 b2
y2 a2
x2 b2
=
1(a>b>0)
a, b, c的关系
a2__b2=c2
焦点
(－c, 0)，(c, 0)
(0, －c)，(0, c)
椭圆标准方程及几何性质ppt课件
25 16
(2)9x2 25 y 2 225 = 0
(3) 3x2 2 y2 = 1
(4) x2 + y 2 = 1(m 0） m2 m2 +1
注意： 分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。
17
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到
9
当 MF1 + MF2 = F1F2 时，即a=c时
M
F1
F2
动点M的轨迹：线段F1F2 .
当 MF1 + MF2 < F1F2 时，即a<c时
动点M的轨迹： 不存在.
10
2、椭圆的标准方程
求曲线方程的步骤:
步骤一：建立直角坐标系 步骤二：设动点坐标
Y M
步骤三：列方程 步骤四：化简方程
F1
O
不
图形
同
点
y M
F1 O F2
x
y
F2 M
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0 x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
b2 a2
x c 、 a 的线段吗？
a2-c2 有什么几何意义？
令 | OP |= a2 c2 = b
则方程可化为 x2 + y2 = 1（ a b 0）
a2 b2
13
椭圆的标准方程
焦点在x轴：
x2 a2
+
y2 b2
= 1a
b
0
y
M
F1 o F2 x
F1（-c，0）、F2（c，0） y
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆的标准方程和性质ppt课件
椭圆的标准方程。
课堂练习
已知，曲线方程
x2 y2 k4 6k
1
（1）当k为何值时，表示圆；
（2）当k为何值时，表示椭圆；
（3）当k为何值时，表示焦点在x轴上的椭圆。
新授
二、椭圆的性质：
新授
二、椭圆的性质：
新授
(4)离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e c
叫做椭圆的离心率。
a
e越趋近于1，则c越趋近于a，从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
a2 b2
1(a b 0) 上的一点，F1, F2
为椭
圆的两焦点，若 PF1 PF2 ，试求：
（1）椭圆的方程；
（2）PF1F2 的面积。
课堂练习
设椭圆C：ax22
y2 b2
1(a
b
0)
过点（0,3），其离心率为
4 5
。求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）过点（4,0），且斜率为 3 的直线被椭圆C所截得的线段的
的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点。
焦点
标准方程的推导
新授 一、椭圆的标准方程
推导：
新授 一、椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1
(a b 0)
焦点的坐标
焦距
问题解决
例题讲解
例1.平面内两个定点的距离是8，求到这两个定点的距离的和是10的
点的轨迹方程。
例2.分别求椭圆A：x2 y2 1 与椭圆B： x2 y2 1 的焦点。
43
34
x2 y2 想一想：过椭圆 9 5 1 的右焦点 F2作x轴的垂线，交椭圆于A，B两
点，F1 是椭圆的左焦点，你能求出AF1F2 的周长吗？ ABF1 的周长呢？
课堂练习
已知，曲线方程
x2 y2 k4 6k
1
（1）当k为何值时，表示圆；
（2）当k为何值时，表示椭圆；
（3）当k为何值时，表示焦点在x轴上的椭圆。
新授
二、椭圆的性质：
新授
二、椭圆的性质：
新授
(4)离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e c
叫做椭圆的离心率。
a
e越趋近于1，则c越趋近于a，从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
a2 b2
1(a b 0) 上的一点，F1, F2
为椭
圆的两焦点，若 PF1 PF2 ，试求：
（1）椭圆的方程；
（2）PF1F2 的面积。
课堂练习
设椭圆C：ax22
y2 b2
1(a
b
0)
过点（0,3），其离心率为
4 5
。求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）过点（4,0），且斜率为 3 的直线被椭圆C所截得的线段的
的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点。
焦点
标准方程的推导
新授 一、椭圆的标准方程
推导：
新授 一、椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1
(a b 0)
焦点的坐标
焦距
问题解决
例题讲解
例1.平面内两个定点的距离是8，求到这两个定点的距离的和是10的
点的轨迹方程。
例2.分别求椭圆A：x2 y2 1 与椭圆B： x2 y2 1 的焦点。
43
34
x2 y2 想一想：过椭圆 9 5 1 的右焦点 F2作x轴的垂线，交椭圆于A，B两
点，F1 是椭圆的左焦点，你能求出AF1F2 的周长吗？ ABF1 的周长呢？
椭圆性质PPT课件
要注意椭圆的焦点 与长轴始终在同一个
固 知
（2）因为 2a 18，e c 1， a3
轴上．求椭圆的标准 方程时，如果不能确 定焦点的位置，要针 对不同的情况，给出
识
所以
a = 9， c = 3．
两种标准方程．
典
于是
b2 a2 c2 81 9 72．
型
椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．因此，所求的
例3 求椭圆 9x2 25y2 225 的长轴长、短轴长、离
心率、焦点和顶点的坐标，并用“描点法”画出它的图形．
解 将所给的方程化为标准方程，得
巩 固
x2 y2 1． 25 9
知
这是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，并且a = 5，b = 3．
识
因为 c a2 b2 25 9 4，
所以长轴长2a = 10，短轴长2b = 6，离心率
坐标原点对称．x轴与y轴都叫做椭圆的对称轴，坐标原点叫
动
做椭圆的对称中心（简称中心）．
脑
思
考
探 索 新 知
第5页/共20页
3.顶点
在方程中，令y = 0，得x = ±a，说明椭圆与x轴有两个交点
A1(a，0)和 A2 (a，0)；同样，令x = 0，得y = ±b，说明椭圆与x
动 脑 思
轴有两个交点 B1(0， b)和 B2 (0，b（) 如图）．
识
椭圆长轴和短轴的一个端点．于是
典
a = 3， b = 2．
型
由于椭圆的长轴在x轴上，故椭圆的焦点在x轴上．因此
例
所求的椭圆标准方程为
题
x2 y2 1．
94
第12页/共20页
例4 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
椭圆的标准方程和性质MicrosoftPowerPoint演示文稿
【分析】焦点所在的轴不确定，经过两点，可以分设，
也可以统设
【点拨】焦点不确定，同时
经过两个点，用统设法：
【能力提升单】
答案
2
1.
12
4
2.
5
3.二
+
2
4
=1
【课后检测】
答案
谢谢大家！
【复习目标】
【复习重点】
理解椭圆的标准方程
会根据椭圆方程求性
质
能根据性质写出椭圆
的方程
感受数形结合的思想
椭圆的标准方程及
性质
【课前知识整理】
标准方
程
图形
焦点在X轴
焦点在Y轴
x2 y2
2 1( a b 0)
2
a
b
x2 y2
2 1( a b 0)
2
b
例4.已知椭圆对称轴为坐标轴，过点（3，-2）
且与椭圆
2
9
+
2
4
= 1有相同焦点，求椭圆方程
Hale Waihona Puke 【分析】有相同的焦点，包含两层意思：（1）c相等
（2）焦点所在的轴相同
例5. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为 =
1
且过点M（4，-2
2
3 ），求椭圆的标准方程
【分析】焦点所在的轴不确定，经过一个点，分类讨论
a
焦点在X轴
焦点坐
标
顶点坐
标
准线
焦距
长轴长
短轴长
离心率
对称轴
焦点在Y轴
( c,0)
(0, c)
( a,0), (0,b)
a2
x
也可以统设
【点拨】焦点不确定，同时
经过两个点，用统设法：
【能力提升单】
答案
2
1.
12
4
2.
5
3.二
+
2
4
=1
【课后检测】
答案
谢谢大家！
【复习目标】
【复习重点】
理解椭圆的标准方程
会根据椭圆方程求性
质
能根据性质写出椭圆
的方程
感受数形结合的思想
椭圆的标准方程及
性质
【课前知识整理】
标准方
程
图形
焦点在X轴
焦点在Y轴
x2 y2
2 1( a b 0)
2
a
b
x2 y2
2 1( a b 0)
2
b
例4.已知椭圆对称轴为坐标轴，过点（3，-2）
且与椭圆
2
9
+
2
4
= 1有相同焦点，求椭圆方程
Hale Waihona Puke 【分析】有相同的焦点，包含两层意思：（1）c相等
（2）焦点所在的轴相同
例5. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为 =
1
且过点M（4，-2
2
3 ），求椭圆的标准方程
【分析】焦点所在的轴不确定，经过一个点，分类讨论
a
焦点在X轴
焦点坐
标
顶点坐
标
准线
焦距
长轴长
短轴长
离心率
对称轴
焦点在Y轴
( c,0)
(0, c)
( a,0), (0,b)
a2
x
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
椭圆方程及几何性质PPT课件
标准方 程及 图形
xa22＋by22＝1 (a>b>0)
xb22＋ay22＝1
(a>b>0)
顶点
ABB112(((－00，，a,b－0))b，)，A2(a,0)，AAB121(((－00， ，b－a,0))，a，)，B2(b,0)
轴
对称轴： x轴、y轴，长轴长： |A1A2|＝2a ， 短轴长： |B1B2|＝2b
4（2010全国卷）已知F是椭圆C的一个焦
点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长
线交C于点D， 且BF=2FD，则C的离心率
为
.
5（2010湖北）:已知椭圆 c
:
x2 2
y2
1
的两焦点分别为 F 1 , F 2 , 点 P(x0 , y0 ) 满足
0___x_202___y，02 直 1,线则|xP0Fx1
(2)离心率：e＝
c a
(0<e<1)．
(3)焦点到相应准线的距离：p＝
b2 c
.
(4)焦点在 x 轴上的椭圆焦点弦长 d
＝ a2－2ca2bc2os2θ(其中 θ 为倾斜角)
．
3．椭圆的几何性质
{M||MF1|＋|MF2|＝2a，(2a>|F1F2|)}
条件
{M|＝ |MdF1 1|＝|MdF2 2| ＝e(0<e<1)}
2
|+|
PF
y0
2 |的取值范围为 y 1与椭圆C的公
共点个数_____。
考点一
椭圆的定义及应用
利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到 两个焦点的距离进行转化，一般地，解决 与到焦点的距离有关的问题时，首先应考 虑用定义来解题．
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③