微分方程的相关基本知识电路用

dy 2x ， y(1) 2 , dx
y 2x dx x2 C ,
将 x 1, y 2代入，得 C 1, 所求曲线方程为 y x2 1 .
6
第二节 一阶常系数线性微分方程的解法
7
一、可分离变量的方程 称 g( y)dy f ( x)dx 为可分离变量的方程.
两边积分, g( y)dy f (x)dx
积分得 ln(sinu) 3ln x lnC ,
即得原方程通解为 sin y Cx3 .
x
12
例4 求方程 y2 x2 dy xy dy 满足初始条件 dx dx
y(1) 1 的特解.
解
原方程变形为
dy dx
y2 xy x2
( y / x)2 , y x1
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
f (u) u x
注意：须将u代回.
11
例3 求方程 dy y 3 tan y 的通解.
dx x
x
解 此题不能分离变量, 是齐次方程,
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u 3 tanu , dx
分离变量得 du 3 dx , tanu x
所求特解为
1
y2
10 x 2 1 x2
.
10
二、齐次微分方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x d u ,
dx
dx
代入原式得 u x du f (u), dx
分离变量得
du dx , 两边积分即得通解.
y
1 y2 满足 xy(1 x2 )
y(1)
2
的特解.
解
y
1
分离变量， 1
Байду номын сангаас
y2
dy
x(1
x2 ) dx
两边积分
1 ln(1 y2 ) 1
2
2
1 x2 (1
x2
)
dx 2
1
2
(
1 x2
1 1 x2
) dx 2
1 x2 2 ln 1 x2
1 2
ln C
通解为
1
y2
C x2 1 x2
,
将 y(1) 2 代入得 C 10 ，
微分方程基本概念 及相关知识
1
第一节 微分方程的基本概念
在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学 与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关 系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身， 而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才 有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.
在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要 学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分 方程的解法以及它们的简单应用.
2
定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程. 定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2, dx x sint t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
15
一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程 dy P( x) y 0. dx
dy P( x)dx, y
dy y
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0
y0 ,
yx x0
y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
5
例 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M ( x, y) 处的切线的斜率为 2x ,求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y( x)
y
u(
x)
e
P( x)dx
u( x)
[P( x)]
e
P( x)dx
,
将y和y代入原方程得u( x) e P( x)dx Q( x),
积分得
u( x)
Q(
x)
e
P
(
x
)dx
dx
C
,
所以原方程的通解为:
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本 书中只讨论常微分方程，如下例：
y xy, 一阶 y 2 y 3 y ex , 二阶
(t 2 x)dt xdx 0, 一阶
3
定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的解. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u2 , dx u 1
即 x du u2 u u ,
dx u 1
u1
13
即 x du u2 u u ,
dx u 1
u1
分离变量得 (1 1 )du dx ,
u
x
积分得：u ln | u | ln | x | C ,
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 .
x
14
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
例 y y, 通解 y Cex; y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x
(2)特解: 不含任意常数的解. 定解条件: 用来确定任意常数的条件.
4
初始条件: 规定微分方程中的未知函数及其若干阶 导数在某一点处的取值 。
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
P(
x)dx,
使用分离 变量法
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
这里记号 P( x)dx 表示P( x) 的某个确定的原函数.
16
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x). dx
常数变易法：作变换
y
u(
x)
e
P( x )dx
设函数G( y) 和 F ( x) 是依次为g( y) 和 f ( x)
的某个原函数,
则 G( y) F ( x) C 为微分方程的通解.
8
例1 求方程 dy 2xy2 的通解. dx
解
分 离变量,
dy y2
2 xdx
,
积分 1 x2 C , y
所以通解为
y
1 x2 C
.
9
例2
求方程