高三物理一轮复习资料【弹簧模型】

高三物理一轮复习资料【弹簧模型】
1．弹簧模型的问题特点
弹簧模型是高考中常见的物理模型之一，该模型涉及共点力的平衡、牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒定律以及能量守恒定律等知识．运动过程中，从力的角度看，弹簧上的弹力是变力，从能量的角度看，弹簧是储能元件．因此，借助弹簧模型，可以很好地考查考生的分析综合能力．在高考试题中，弹簧(主要是轻质弹簧)模型主要涉及四个方面的问题：静力学中的弹簧问题、动力学中的弹簧问题、与能量转化和与动量有关的弹簧问题．
2．弹簧模型的解题策略
(1)力学特征：轻质弹簧不计质量，并且因软质弹簧的形变发生改变需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹簧的弹力不突变．
(2)过程分析：弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力．当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小和方向与形变相对应，从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来综合分析物体的运动状态．
(3)功能关系：在求弹簧的弹力做功时，因该变力随形变量而线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可根据动能定理和功能关系求解．同时要注意弹力做功等于弹性势能增量的负值，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解．
(4)临界分析：弹簧一端有关联物、另一端固定时，当弹簧伸长到最长或压缩到最短时，物体速度有极值，弹簧的弹性势能最大，此时也是物体速度方向发生改变的时刻；若关联物与接触面间光滑，当弹簧恢复原长时，物体速度最大，弹性势能为零；若关联物与接触面间粗糙，物体速度最大时弹力与摩擦力平衡，此时弹簧并没有恢复原长，弹性势能也不为零．
3．弹簧模型的主要问题
(1)与弹簧关联物体受力变化前后的加速度问题．
(2)与弹簧关联两个相互接触的物体分离的临界问题．
(3)与弹簧关联物体的碰撞问题．
(4)与热力学、振动、电磁学综合的弹簧问题．
视角1：弹簧模型中的平衡问题
1．如图所示，质量为m 1的物体A 压在放于地面上的竖直轻弹簧L 1(劲
度系数为k 1)上，上端与轻弹簧L 2(劲度系数为k 2)相连，轻弹簧L 2上端与质
量为m 2的物体B 相连，物体B 通过轻绳跨过光滑的定滑轮与轻质小桶P 相
连，A 、B 均静止．现缓慢地向小桶P 内加入细沙，当弹簧L 1恰好恢复原长
时(小桶一直未落地)，求：
(1)小桶P 内所加入细沙的质量；
(2)小桶在此过程中下降的距离．
解析：(1)当L 1恢复原长时，对A 、B 整体分析，绳子的拉力为F ＝(m 1＋m 2)g ，即小桶中细沙的质量为m 1＋m 2.
(2)开始时，对A 、B 整体受力分析得k 1x 1＝(m 1＋m 2)g ，式中x 1为弹簧L 1的压缩量，则x 1＝(m 1＋m 2)g k 1 对B 受力分析得k 2x 2＝m 2g ，式中x 2为弹簧L 2的压缩量，则x 2＝m 2g k 2
当L 1恢复原长时，对A 受力分析得k 2x 2′＝m 1g ，式中x 2′为弹簧L 2的伸长量，则x 2′＝m 1g k 2
在整个过程中，小桶下降的距离
h ＝x 1＋x 2＋x 2′＝(m 1＋m 2)g ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2
. 答案：(1)m 1＋m 2 (2)(m 1＋m 2)g ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2
视角2：弹簧模型中的瞬时问题
2.细绳拴一个质量为m 的小球，小球将左端固定在墙上的轻弹簧压缩了距离x (小球与弹簧不连接)，小球静止时弹簧在水平位置，细绳与竖直方向的夹角为
53°，小球距地面的高度为h ，如图所示．下列说法中正确的是( )
A ．细绳烧断后，小球做平抛运动
B ．细绳烧断后，小球落地的速度等于2gh
C ．剪断弹簧瞬间，细绳的拉力为53
mg D ．细绳烧断瞬间，小球的加速度大小为53
g 解析：D 将细绳烧断后，小球受到重力和弹簧弹力的共同作用，合
力方向斜向右下方，并不是只有重力的作用，所以小球不是做平抛运动，
故A 错误；小球只做自由落体运动时，根据v 2＝2gh 得落地速度是v ＝2gh ，而现在除重力外还有弹簧的弹力对小球做功，所以小球落地时的速度一定大于2gh ，故B 错误；小球静止时，对小球进行受力分析如图所示，由平衡条件得，细绳的拉力大小T ＝mg cos 53°＝53
mg ，弹簧弹力的大小F ＝mg tan 53°＝43mg ，剪断弹簧瞬间，细绳的拉力发生突变，不再为T ＝53
mg ，故C 错误；细绳烧断瞬间，弹簧的弹力不变，则小球所受的合力与细绳烧断前细绳中
的拉力大小相等、方向相反，此时F 合＝T ，可知此瞬间小球的加速度大小a ＝F 合m ＝53
g ，故D 正确．
3．A 、B 两球质量相同，静止在倾角为30°的斜面上．两球
之间拴接有轻弹簧．A 球与挡板接触，B 球通过细线与斜面顶端
相连，细线绷紧，系统处于静止状态．则撤去挡板瞬间( )
A ．弹簧弹力一定变大
B ．细线拉力一定变大
C ．A 球一定处于失重状态
D ．B 球一定处于平衡状态
解析：D 开始时，弹簧可能处于压缩状态，则撤去挡板瞬间，小球A 向下运动，弹簧伸长，弹力变小，则绳的拉力增大，选项A 错误；若开始时弹簧处于伸长状态，且挡板的弹力为零，则撤去挡板瞬间，A 球仍静止，不是处于失重状态，选项B 、C 错误；B 球被细线拉住，一定处于平衡状态，选项D 正确．
视角3：弹簧模型中的动力学和能量问题
4．如图所示，有一倾角为θ＝37°的粗糙硬杆，其上套一底
端固定且劲度系数为k ＝10 N/m 的轻弹簧，弹簧自然伸长时上端
在Q 点，弹簧与杆间摩擦忽略不计．一个质量为m ＝5 kg 的小球
套在此硬杆上，从P 点由静止开始滑下，经过t ＝2 s 后，P 与弹
簧自由端Q 相碰，PQ 间的距离L ＝4 m ，弹簧的弹性势能与其形
变量x 的关系为E p ＝12
kx 2.已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g 取10 m/s 2.求： (1)小球与硬杆之间的动摩擦因数μ；
(2)小球向下运动过程中速度最大时弹簧的弹性势能．
解析：小球做匀加速直线运动，根据运动学公式和牛顿第二定律即可求出动摩擦因数；
当小球加速度为零时，速度最大，根据平衡条件求出压缩量，再根据E p ＝12
kx 2求出速度最大时弹簧的弹性势能．
(1)小球由静止做匀加速直线运动，则有：L ＝12
at 2， 解得：a ＝2 m/s 2.
根据牛顿第二定律得：mg sin 37°－μmg cos 37°＝ma
解得：μ＝0.5.
(2)当小球加速度为零时，速度最大
即有：mg sin 37°＝μmg cos 37°＋kx
解得：x ＝1 m
所以弹性势能为：E p ＝12kx 2＝12
×10×12 J ＝5 J. 答案：(1)0.5 (2)5 J
5．(多选)如图甲所示，倾角为θ＝30°的光滑斜面固定在水平面上，自然伸长的轻质弹簧一端固定在斜面底端的挡板上．一质量为m 的小球，从离弹簧上端一定距离的位置由静止释放，接触弹簧后继续向下运动．小球运动的v -t 图象如图乙所示，其中OA 段为直线段，AB 段是与OA 相切于A 点的平滑曲线，BC 是平滑曲线，不考虑空气阻力，重力加速度为g .关于小球的运动过程，下列说法正确的是( )
A ．小球在t
B 时刻所受弹簧的弹力等于12
mg B ．小球在t C 时刻的加速度大于12
g C ．小球从t C 时刻所在的位置由静止释放后，能回到出发点
D ．小球从t A 时刻到t C 时刻的过程中，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量 解析：ABC 小球在t B 时刻速度达到最大，此时弹簧的弹力等于重力沿斜面的分力，
即此时F 弹＝mg sin 30°＝12
mg ，故A 正确；由题意可知，t A 时刻小球刚好与弹簧接触且弹簧无形变，此时小球的加速度a A ＝12
g ，由图乙可知，A 点图线斜率的绝对值小于C 点图线斜
率的绝对值，分析可知小球在t C 时刻的加速度大于12
g ，故B 正确；整个过程中，弹簧和小球组成的系统机械能守恒，故小球从C 点释放能到达原来的释放点，故C 正确；小球从t A 时刻到t C 时刻的过程中，由系统机械能守恒知小球重力势能的减少量与动能的减少量之和等于弹簧弹性势能的增加量，故D 错误．
视角4：弹簧模型中的动量问题
6．如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为2m 的光滑弧形槽静止放在光滑水平面上．弧形槽底端与水平面相切，一个质量为m 的物块从槽高h 处开始自由下滑，下列说法错误的是( )
A ．在下滑过程中，物块和弧形槽组成的系统机械能守恒
B ．在下滑过程中，物块和槽的水平方向动量守恒
C ．物块压缩弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能E p ＝23
mgh D ．物块被弹簧反弹后，离开弹簧时的速度大小为 2gh 3
解析：D 物块下滑过程，只有重力做功，系统机械能守恒，故A 正确；物块下滑过程，滑块与弧形槽组成的系统水平方向所受合外力为零，系统水平方向动量守恒，故B 正确；设物块到达水平面时速度大小为v 1，槽的速度大小为v 2，且可判断物块速度方向向右，槽的速度方向向左，以向右为正方向，在物块下滑过程中，槽和物块组成的系统水平方向
动量守恒，由动量守恒定律得：m v 1－2m v 2＝0，由机械能守恒定律得：mgh ＝12m v 21
＋12·2m v 22，由以上两式解得：v 1＝2 gh 3，v 2＝ gh 3
，物块与弹簧相互作用过程系统机械能守恒，物块离开弹簧时速度大小与物块接触弹簧前的速度大小相等，v ＝v 1＝2
gh 3，故D 错误；物块与弹簧相互作用过程系统机械能守恒，物块速度为零时，弹簧的弹性势能最大，由机械能守恒定律可知，最大弹性势能E p ＝12m v 21＝2mgh 3
，故C 正确． 7．(多选)如图所示，连接有轻弹簧的物块a 静止于光滑水平面上，物块b 以一定初速度向左运动．下列关于a 、b 两物块的动量p 随时间t 的变化关系图象，合理的是( )
解析：BCD b与弹簧接触后，弹力慢慢增大，故两物块的加速度一定先增大后减小，故A不正确；b与弹簧接触后，压缩弹簧，b做减速运动，a做加速运动，且在运动过程中系统的动量守恒，如果b的质量较小，可能出现b反弹的现象，故B正确；由B中分析可知，两物块满足动量守恒定律，并且如果a、b两物块的质量相等，则可以出现C中的运
动过程，故C正确；由B中分析可知，两物块满足动量守恒定律，如果a的质量很小，可能出现D中的运动过程，故D正确．。