高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题

总分200分

一、选择题（50分） 1、已知i 是虚数单位，则复数

122

i

i +-=（ ） A

i B i - C

4355i -- D 4355

i -+ 2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A

2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x =

3、已知,a b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->是命题5:[,)26

q ππ

θ∈的

（ ）

A 充分非必要条件

B 必要非充分条件

C 充要条件

D 非充分非必要条件 4、已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a =

≤≤=-≤≤+，若P

M P =，则实

数a 的取值范围是（ ） A

(,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞

5、函数3sin()cos()226

y x x ππ

=

++-的最大值是（ ） A 134 B 134 C 132

D 13 6、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）

A A

B SA ⊥ B B

C 平面SAD

C BC 与SA 所成的角等于A

D 与SC 所成的角

D

SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角

7、程序框图如图所示，若

22(),()log f x x g x x ==，输入x 的

值为0.25，则输出的结果是（ ） A

0.24 B 2- C 2 D 0.25-

8、设

,i j 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且

25a i a j -+-=，则2a i

+

的取值范围是（ ）

A

B

[

5 C

D [,3]5

9、已知12,F F 分别为双曲线22

:1927

x y C -=的左右焦点，点A 的坐标为9(,

22，则12F AF ∠的平分线与轴的交点M 的坐标为（ ） A

(2,0) B (2,0)- C (4,0) D (4,0)-

10、设

2()f x x bx c =++，若方程()f x x =无实根，则方程(())f f x x =（ ）

A 有四个相异实根

B 有两个相异实根

C 有一个实根

D 无实数根

二、填空题（共49分） 11、设直线4y

ax =-与直线8y x b =-关于直线y x =对称，则___,____.a b ==

12、已知

1cos sin 1cos x

x x

-=+，则_______.

x =

13、已知x

R ∈+的值为_______.

14、已知实数,,,a b c d 满足2

21ab c d =+=，则22()()a c b d -+-的最小值为

_______. 15、设数列{}n a 为等比数列，且每项都大于

1，则2011

12012

11

1

lg lg lg lg i i i a a a a =+∑的值为

_______.

16、设0x >，则44433311

()()

()11()()

x x x x f x x x x x

+-+=

+-+的最小值为_______. 17、如图是一个残缺的33⨯幻方，此幻方每一行每一列及每一

条对角线上得三个数之和有相等的值，则x 的值为_______.

三、解答题（每题17分，共51分）

18、已知实数1210,,,x x x 满足1010

1

1

|1|4,|2|6i i i i x x ==-≤-≤∑∑，求1210,,

,x x x 的平

均值.

19、设P 为椭圆22

12516

x y +=长轴上一个动点，过点P 斜率为k 直线交椭圆于两点。若

2

2

PA PB

+的值仅仅依赖于k 而与P 无关，求k 的值.

20、设

,p q Z +

∈，且

2

p q ≤。试证对n Z +

∈，存在

N Z +

∈，使

(n p N -

=-(n p N +

=+.

四、附加题（每题25分，共50分）。

21、设圆4O 与1O ，圆1O 与2O ，圆2O 与3O ，圆3O 与4O 分别外切于1234,,,P P P P ，试证：

（1）1234,,,P P P P 四点共圆；

（2）四边形1234O O O O 是某个圆的外切四边形；并且该圆的半径不超过四边形

1234,,,P P P P 的外接圆的半径.

22、设1210,,,i i i 为1,2,,10的一个排列，记1234910

S i i i i i i =-+-++-，

求S 可以取到的所有值.