四点共圆模型

共 圆 模型

模型1 共端点，等线段模型

如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．

如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．

如图③，常见结论有：∠ACB ＝12∠AOB ，∠BAC ＝1

2

∠BOC .

模型分析

∵OA ＝OB ＝OC .

∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等．

∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．

∵∠ACB 是»AB 的圆周角，∠AOB 是»AB 的圆心角，

∴∠ACB ＝1

2

∠AOB .

同理可证∠BAC ＝1

2

∠BOC .

（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．

（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例

如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AC ＝AD ，连接BD ．

求证：∠1＋∠2＝90°.

证明

证法一：如图①，

∵AB ＝AC ＝AD ． ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上． ∴∠ABC ＝∠2.

图①

O A

C B

图②

B

O

C A

图③

O

A

B

C 2

1B

D

A

图①

2

1C

D

A

B

图②

12

B

A

C

E

D

在△BAC 中，∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②，

∵AB ＝AC ＝AD ．∴∠BAC ＝2∠1．∵AB ＝AC ， ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上． 延长BA 与圆A 相交于E ，连接CE ．

∴∠E ＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE ＝AC ，∴∠E ＝∠ACE .

∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE ＝90°． ∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.

小猿热搜

1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，在△ABC 的外侧作直线AP ，点B 与点 D 关于AP 轴对称，连接BD 、CD ，CD 与AP 交于点E ．求证：∠1＝∠2．

证明

∵A 、D 关于AP 轴对称，∴AP 是BD 的垂直平分线． ∴AD ＝AB ，ED ＝EB ．又∵AB ＝AC .

∴C 、B 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．

∵ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∴∠2＝2∠EDB .又∵∠1＝2∠CDB . ∴∠1＝∠2.

2．己知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a ＞b ，求BD 的长．

解答

以A 为圆心，以a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ． ∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DAE ＝∠CDA . ∵AC ＝AD ， ∴∠DCA ＝∠CDA . ∴∠DAE ＝∠CAB .在△CAB 和△DAE 中． AD AC DAE CAB AE AB =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△CAB ≌△DAE . ∴ED ＝BC ＝b ∵BE 是直径，∴∠EDB ＝90°. 在Rt △EDB 中，ED ＝b ，BE ＝2a ，

1

2

P

B

A

C

E D

A D

21

P

E C

B

A C

B

D

B

C

E

D

A

∴BD 22BE ED -()

2

22a b -224a b -

模型2 直角三角形共斜边模型

模型分析

如图①、②，Rt △ABC 和Rt △ABD 共斜边，取AB 中点O ，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC =OD =OA =OB ，

∴A 、B 、C 、D 四点共圆．

（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；

（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一． 模型实例

例１ 如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，H 为垂线，问： （１）图中有多少组四点共圆？ （２）求证：∠ADF ＝∠ADE ．

解答

（１）６组

①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；

②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；

③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；

④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；

⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；

⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．

（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.

同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.

∴∠ADF＝∠ADE．

例２如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.

解答

如图，连接DB、DF.

∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，

∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，

∴∠DBF=90°．

又∵∠DEF=90°，

∴D、E、B、F四点共圆．

∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．

∴△DEF是等腰直角三角形．

∴FE=DE．