气体分子运动论

第一章 气体动理论

§1 理想气体的压强和温度 一．理想气体的微观模型

1．忽略分子大小（看作质点）

分子线度 分子间平均距离

2．忽略分子间的作用力（分子与分子或器壁碰撞时除外） 3．碰撞为完全弹性

4．分子服从经典力学规律

二．平衡态理想气体分子的统计假设 1．按位置的均匀分布

分子在各处出现的概率相同（重力不计）。容器内各处分子数密度相同：

n = dN/dV = N/V

2．速度按方向的分布均匀

由于碰撞,分子往各方向运动的概率相同

22223

10

v

v v v v v v z y x z y x ======

其中

⎺v 2x = (v 21x + v 22x + … + v 2N x )/N

⎺v 2 = ⎺v 2x +⎺v 2y +⎺v 2z

三．理想气体压强公式

：分子平均平动动能

：分子质量

：分子数密度其中

222

13231v n n v n P t t

μεμεμ===

推导： 速度分组

：数密度

的数密度

：∑=+→i

i i i i n n v d v v n

一个分子碰壁一次对壁的冲量

ix v μ2

面光滑 在y,z 方向冲量＝0 全部分子在dt 时间内对dA 的冲量

()

()∑=∑=

∑=>i

ix

i ix

all ix i ix ix ix i ix v n dtdA v dtdA v n v v dtdA v n v I d 2

22μμμ

压强

22

2

2

2

23

1

31v n p v n v n n v n n v n dtdA I d P x i

ix

i i

ix

i μμμμμ=

==∑∑=＝＝ 压强与平均平动动能的关系

t

t n P v εμε3

22

12

==

压强是大量分子碰撞器壁单位面积作用力的统计平均值 四．温度的微观含义

1．温度和平均平动动能的关系

kT

nkT

P n P t t

2

332===εε 2．温度的统计意义

标志分子无规运动的剧烈程度 只能用于大量分子的集体 3．方均根速率-分子速率的一种描述

M

RT kT v kT

v t 33232122=

===μμε

§2 能量均分定理,理想气体的内能

一．自由度

● 决定物体空间位置所需独立坐标的数目 ● 自由质点：平动自由度t = 3 ● 刚体绕通过质心轴的

转动：转动自由度 r

= 3

二． 能量按自由度的

均分定理

1.定理（用经典统计可证明）

在温度为T 的热平衡态下，物质（气体，液体和固体）分子的每个自由

度都具有相同的平均动

能 kT 2

1

.

● 平均平动动能

x y

z θ

φψ

θ, φ ：轴方向ψ ：自转角度

()

kT

kT v v v v v v t kT kT t z y x z y x z y x t 2

1

2

12121213,

23

2222222===========εεεμμμε ● 平均转动动能

kT r r 2

=ε

● 平均振动能（动能＋势能）：

假定是简谐振动：平均动能＝平均势能

kT S kT S kT S v 2

222=+=ε

● 总自由度

s r t i 2++=

其中

t —平动自由度

r —转动自由度 s —振动自由度

● 总能量:

kT i 2

=ε

2．重要情况

● 单原子分子（He ，Ar ）：

kT

kT i t i 2

323

====ε ● 刚性双原子分子（H 2，O 2）：

绕对称轴的转动无意义 不计ψ 自由度

kT

r t i 2

55232

r ==+=+==ε

● 刚性多原子分子（H 2O ）：

kT

r t i 3633==+=+=ε ● 晶格点阵上的离子：

kT

s i 36322==⨯==ε 二．理想气体的内能

1．内能:分子动能，分子中原子间的势能和分子间势能的总和 2．理想气体内能

分子间势能为零 内能只包括分子的平动，转动，振动动能和振动势能. 内能只与T 有关。若气体有N 个分子, 则

RT i

kT i N E 2

2ν==

其中N 为气体的分子总数

§3 麦克斯韦速率分布律 一．速率分布函数

把速率分成很多相等的间隔∆v ,统计每∆v 间隔内的分子数∆N 1． 速率分布函数

()Ndv

dN v F v =

x

dN v ：v 附近v ～v +dv 内的分子数

dN v 的物理意义有两个等价的描述:

在速率v 附近单位速率区间内的分子数占分子总数的百分比。 一个分子的速率处于v 附近单位速率区间的概率—“概率密度”

● “归一化”

()110

==

⎰⎰

∞v dN N dv v F ● 速率v 1 v 2区间的分子数

()⎰=∆-21

2

1v v v v

dv v F N N

取平均值的两种方法

∑=

i

v N

v 1

()⎰=21

1v v

dv v NF N v 二．麦克斯韦速率分布律

1859年Maxwell 用概率论证明了:平衡态下理想气体分子的速率分布函数为

()22/22

/324v kT

v F kT

v μπμ

π

-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=e

● 速率分布曲线与温度的关系

三． 三种速率 1. 最概然速率

F (v )

v

T 1

T 2(>T 1)